特殊平行四边形：证明题

基础篇

特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明

1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞

AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻

折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A.DE 是△ABC 的中位线B.AA '是BC 边上的中线

C.AA '是BC 边上的高

D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；

（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．

3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．

（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；

（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．

4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．（1）

求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是

5如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE

（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.

D

A

E

N

M

O

A

B

C

D

E

F D ′

A

D

G

C

B F E

6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD

△沿CA方向平移得到A C D

'''

△．

（1）证明A AD CC B

'''

△≌△；

（2）若30

ACB

∠=°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D''是菱形，并请说明理由．

7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56

AB AC

==

，．点D作DE AC

∥交BC的延长线于点E．

（1）求BDE

△的周长；

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP DQ

=．

8．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心；

（2）求证：四边形DECF为菱形．

9、如图,已知:在四边形ABFC中，ACB

∠=90BC

,︒的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;

(2)当A

∠的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.

(特别提醒:表示角最好用数字)

10、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD

，的延长线分别交于E F

，．（1）求证：BOE DOF

△≌△；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F

，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

A Q D

E

B P C

O

C

B

A

D

A'C'

（第19

D'

型二：正方形的证明题

1、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．

（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想

2、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜

想．

4、如图12，B 、C 、E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 是都是正方形.连接BG 、DE.（1）观察猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论.

（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.

图12

G F

E

D

C B

A

5．如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . (1) 求证：DE －BF = EF ．

(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．

F

D

O

C

B E

A

D

C

A

B G

H

F

E

（2）

7、已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由．9．如图：已知在ABC

△中，AB AC

=，D为BC边的中点，过点D作DE AB DF AC

⊥，⊥，垂足分别为E F

，.

（1）求证：BED CFD

△≌△；

（2）若90

A

∠=°，求证：四边形DFAE是正方形.

题型五：矩形的证明题

1.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

（1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

2.如图，在梯形ABCD中，AD BC AB DE AF DC E F

∥，∥，∥，、两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．

（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；

（2）当AB DC

=时，求证：ABCD是矩形．

A

B C

D

E

F

E'

G

D

C

B

E

A

F

A D

C