行列式的多种计算方法
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行列式的多种计算方法
摘要：行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种
行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.
关键词：线性代数、行列式、方法 正文：
1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．
例1：n
n n n n D ⨯-=000100002000
010
解：在n ！项中只有一项1n ),n 3,2(,11342312-=+-a a a a a a nn n n π且不为零 !n )1(n 1n 21)1()1(D 1n 1n 1123121n n ⋅-=⋅-⋅-=-=∴--+-- nn n n a a a a
2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式
n
21n
n n
2
1
n
n n 2
1
n
n n 2
1
*0000
000*0
00000
)
1(λλλλλλλλλλλλ
===⨯⨯⨯下三角行列式
上三角行列式对角行列式n
212
)1(n
n n
2
1
n
n n
2
1
n
n n n
2
1
)
1(0
00
000
00000
0000)
2(λλλλλλλλλλλλλ
-⨯⨯⨯-==
=n n 次下三角行列式
次上三角行列式次对角行列式2.2 箭形行列式
例2 n
n n n D ⨯= 0010
3010
0211111
解：)1
1(!00
0300002011111221,3,21∑∑
=
=⨯=-=-=-n j n
n n
j C j
C n
j n
j n n j D j
2.3 可化为箭形的行列式
∏∑∏∑
=∏===+===⨯--+=---+⨯
------=------==≠=n 1
i i i n
1k 2
22n 1k i i
C C n
,2j n 3
332
221
11n 1
i i i n 113
31
12
211321r -r n
2,i n 3
2
1
321
321
321)
x ()1(1
0101)(x
1
1
-0101-0011-)
(x x 00x 0x 0x 00x x x D :,,2,1,3j
11
i a a x a a x a a x a a x a a a x a a x a a x a a x x a a a a a a a a a a n
i a x x a a a a x a a a a x a a a a x D k k k
k
k n k
k k
n
n n n i i n
n n
n
n n n
解例3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行列式进行计算
)!1()1(2
1
)1(000000
00000)1(00000000000000000000004
111+-=
-++-+=-++=n b a b
a b b b b a b a a b a a a
b b
a b a b a D n n n n n
按第一列
展开
例4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算
)()1(0
00
000
001c c c c 0
10010011r r r r ,r r 0
15
1n n
a x 1
12a x 11n
n 1n 1312==-⋅-+=---+++---------=≠=-⨯---⨯n n n
n a
x a n n D a x a x a
x na a x a x a x a a a
a x a x a x a a a x a a a x a a a x a a a D a x x a a a a x a a a a x a a a a x D 时当时当例
5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n ，2-阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值
:,)()(:,)()(00
000000
)(00
00000006
111
11得由此递推下去
得递推公式由此例----⨯-⨯⨯⨯⨯-+-=-+-=---+
-=+-=+-+++==n n n n n n n n n n n
n n
n n n n a x a D a x D a x a D a x a a
a x a a x a a
x D a x a a a a a x a a a
a x a a a a x a x a a a x a a a
x a a a x a a x a a a
x a a a x a a a x x a a a a x a a a
a x a a a a x D
]
)1([)()
()1()
()(])())[((11
11
122a n x a x a x a n D a x a x a a x a D a x a x D n n n n n n n -+-=--+-=-+-+--=------
6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般
性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值
)1
(1n .)1)(1
1()11(11
11)11(10
111
1
1111
11117
11
12111
2121
212
1
21
1112121
∑
∑
∑
-=--==+=-≥+=+⋅=++=
+=+=≠+++=
n i i
n n n
i i
n n i i
n n
n a a a a a D n a a a a D a a a a a D a a a D a a a a a a D
的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例