勾股定理的几种证法

勾股定理的几种常见证法

证法1

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌RtΔEBD，

∴∠EGF = ∠BED，

∵∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴∠BED + ∠GEF = 90°，

∴∠BEG =180°―90°= 90°

又∵AB = BE = EG = GA = c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形。

∴∠ABC + ∠CBE = 90°

∵RtΔABC ≌RtΔEBD，

∴∠ABC = ∠EBD.

∴∠EBD + ∠CBE = 90°

即∠CBD= 90°

又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

A2+B2=C2

证法2

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴∠MPC = 90°，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP = 90°，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。

∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴∠QBM = ∠ABC，

又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴RtΔBMQ ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌RtΔAEF.即A2+B2=C2

证法3

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌RtΔCF D ≌RtΔABG ≌RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，

∴∠ABG +∠CBJ= 90°，

∵∠ABC= 90°，

∴G,B,I,J在同一直线上，

A2+B2=C2。

证法4

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点L.

∵AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ΔFAB ≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.

同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积

∴即A2+B2=C2

证法5（欧几里得的证法）

《几何原本》中的证明

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB 和BD 分别等于FB 和BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为A 与K 和L是线性对应的，所以四方形BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK 必须有相同的面积BAGF = AB²；。同理可证，四边形CKLE 必须有相同的面积ACIH = AC2；。把这两个结果相加，AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法）

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高

通过证明三角形相似则有射影定理如下：

（1）（BD）2;=AD·DC，

（2）（AB）2;=AD·AC ，

（3）（BC）2;=CD·AC。

由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；，

图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。

图1

证法七（赵爽弦图）