第一章 行列式试题及答案

第一章行列式试题及答案

第一章行列式试题及答案

一选择题 (每小题3分，共30分)

⑴ n 元排列i 1 i2… i n 经过相邻对换，变为i n … i2 i1，则相邻对换的次数为( )

(A) n (B) n /2 (C) 2n

(D) n (n -1)/2

2x 1-1⑵ 在函数f (x )=-2x -x 4x 中，x 3的系数是( )

1

2

x

(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )

(A) 1 (B) -1 (C) (-1) n

(D) (-1)

n(n-1) /2

λ1

λ1

⑷ 设

λ2

λ2

=

，则n 不可取下面的值是( )

λn λn

(A)7 (B) 2k

+1(k ≥2) (C) 2k

(k ≥2) (D) 17

⑸ 下列行列式等于零的是( )

3210030-10

3-16

(A)-321 (B) 0-10 (C) 300 (D) 2

24 0

01

1

3

01

1

6

2

⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例

(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 a 2+1

ab

ac

⑺

ab b 2+1bc = ( ) ac

bc c 2+1

a 2

ab ac

100

a 2a

b a

c 1ab ac

(A) ab b 2bc +010 (B) ab b 2+1bc +ab b 2+1bc ac bc c 2001 ac bc c 2+1ac bc c 2+1a 2ab ac 1ab ac a 2

ab ac 1ab ac

(C) ab b 2+1bc +0b 2

+1bc (D) ab b 2bc +ab 1bc

ac bc c 2+10bc c 2+1ac bc c 2ac bc 1

b +

c c +a a +b

⑻ 设a , b , c 两两不同，则a

b c =0的充要条件是( )

a 2

b

2

c

2

(A) abc=0 (B) a+b+c=0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2

=b 2

, c =0 a 1

b 1

⑼ 四阶行列式

a 2

b 2b ( )

3a =3

b 4

a 4

(A) (a 1a 2- b1b 2) (a 3a 4- b3b 4) (B) (a 1a 4- b1b 4) (a 2a 3- b2b 3) (C) (a 1b 2- a2b 1) (a 3b 4- a4b 3) (D) (a 1b 4- a4b 1) (a 2b 3- a3b 2)

⎧x 1+2x 2-2x 3=⑽ 齐次线性方程组⎪

⎨2x 1-x 2+λx 3=0只有零解，则λ应满足的条

⎪⎩3x 1+x 2-x 3

=0件是( )

(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1

二填空 (每小题3分，共15分)

⑴ 在五阶行列式中，a 12a 53a 41a 24a 35的符号是_________。

00013

00032

⑵ 五阶行列式00183=___________。

020*******-15

7

-8

⑶ 设D =

1

111

20-9

6，则5A 14+A 24+A 44=_______。 -34

3

7

a b 0⑷ 若a , b 是实数，则当a =___且b =___时，有-b a

0=0。

-10-x 1

x 2x 3

⑸ 设x 1, x 2, x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式x 3 x 1x 2=__。

x 2

x 3

x 1

三计算行列式 (每小题6分，共30分)

11231

3

-1-1

2

2a 2

(a +1)2(a +2)2(a +3)2⑴ 2

310 ⑵ b 2

-1-(b +1)2(b +2)2(b +3)21

2301

c

2

(c +1)2(c +2)2(c +3)2

-22

10

d 2

1(d +1)2

(d +2)2(d +3)2

+x

1

1

1a b

c a b

⑶

1

1-x 11111+y 1 ⑷ c a b

1

1

1

1-y

c a b

c a

x a a a

b

x a a

⑸ D n =

(a ≠b )

b b x a b b b x

四证明题 (每小题10分，共20分)

⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2, …, n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n

ax +by +c =0

⑵ 设平面上三条不同的直线为 bx +cy +a =0，

cx +ay +b =0证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是a +b +c =0