二次函数与一元二次方程

复习

1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①

；①；①；①若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )

A.①①

B.①①

C.①①①

D.①①①

2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；①

；①；①．其中正确的结论是( )

A.①①①

B.①①①

C.①①①

D.①①①①

3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；

①b-2a=0；①；①．

其中正确的是( )

A.①

B.①①

C.①①

D.①①

4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：

①；①2a+b=0；①；①．其中正确的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；①；①c-a=2；①方程有两个相等的实数根．其中正确的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①

；①；①；①．其中正确的是( )

A.①①

B.①①

C.①①①

D.①①①①

二次函数与一元二次方程（讲义）

➢ 课前预习

1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应

的二元一次方程组的解．

如：已知方程组3302360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为431x y ⎧

=

⎪⎨⎪=⎩，则一次函数y =3x -3与332y x =-+的交点P 的坐

标是________．

请思考：一元二次方程20ax bx c ++=的根，可否看作是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横

坐标，即方程组20y ax bx c

y ⎧=++⎨=⎩

的解中x 的值.

2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：

（1）如图所示，函数y 1=|x |和214

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y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的

取值范围是（ ）

A ．x ＜-1

B ．-1＜x ＜2

C ．x ＞2

D ．x ＜-1或x ＞2

（2）如图，函数1

1k y x

=

与22y k x =的图象相交于点

A (1，2)

和点B ，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1

B ．-1＜x ＜0

C ．-1＜x ＜0或x ＞1

D ．x ＜-1或0＜x ＜1

知识点

___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． 1. 方程的根是对应的两个____________交点的___________．

特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当0Δ>时，

二次函数图象与x 轴有________个交点；当0Δ=时，与x 轴有_____个交点；当<0Δ时，与x 轴______交点．

2. 函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为

方程问题解决．

➢ 精讲精练

1. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数3y x =-的图象与抛物线交于B ，C 两点．

（1）一元二次方程ax 2

+bx +c =0的根为______________． 当ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围为______________． 当ax 2+bx +c ≤0时，x 的取值范围为______________．

（2）方程23ax bx c x ++=-的根为_______________． 当___________时，一次函数值大于二次函数值． （3）该二次函数的表达式为__________________．

2. （1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为_____________，直线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点

坐标为________，不等式-x 2+8x -12＞3的解集为_______________． （2）直线y =2x -1与抛物线y =x 2-x +1的交点坐标为________， 不等式x 2-x +1≥2x -1的解集为_________________．

（3）若二次函数的图象经过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为___________． 3. 已知二次函数22y x x m =++的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若二次函

数22y x x m =++的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为_________；若22y x x m =++的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．

4. 若二次函数2(1)2y m x x =-+的图象与直线1y x =-没有交点，则m 的取值范围是________

．