最新人教版高中数学选修1-1《双曲线的几何性质》课后导练

课后导练
基础达标
1.双曲线与椭圆641622yx=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=-x，则双曲线方程为( )
A.x2-y2=96 B.y2-x2=160
C.x2-y2=80 D.y2-x2=24

解析：由椭圆641622yx=1得其焦点坐标为(0,-43)、（0，43）.
∴双曲线的焦点在y轴上.
∵双曲线的一条渐近线为y=-x,

∴a=b，而c=43.

∴a2+b2=(43)2,2a2=48.
∴a2=24,b2=24.
∴双曲线的方程为y2-x2=24.
答案：D
2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是( )

A.162022yx=1 B.162022xy=1

C.201622yx=1 D.201622xy=1
解析：∵2a=45,∴a=25.
∵双曲线的焦点在x轴上时，双曲线上的点的横坐标x应满足|x|≥25,而A点的横坐标为2，
不满足|x|≥25.
∴双曲线的焦点应在y轴上.

设双曲线的方程为.120222bxy
∵点A(2,-5)在双曲线上，
∴1420252b.
∴b2=16.

∴双曲线的方程为.11622xy
答案：B
3.中心在坐标原点，离心率为35的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )

A.y=±45x B.y=±54x
C.y=±34x D.y=±43x

解析：∵.34.925,35222ababaac
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±bax.

∴所求双曲线的渐近线方程为y=±43x.
答案：D

4.焦点为(0，6)且与双曲线22x-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )

A.241222yx=1 B.241222xy=1
C.122422xy=1 D.122422yx=1
解析：设所求双曲线的方程为.1222yx
∵双曲线的一个焦点为(0,6)在y轴上，
∴λ<0.∴-λ-2λ=36,λ=-12.

∴所求双曲线方程是.1241222xy
答案：B
5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于( )

A.2 B.3

C.5 D.25
解析：焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=22babc,则b=2ac2-a2=4a2e=.5ac
答案：C
6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_________，虚轴长为_________，渐近线方程为_________，
离心率为_________.
解析：∵a2=5,b2=4,

∴2a=25,2b=4,c=22baa2+b2=3.

∴e=.553ac
又双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±.552x

答案：25 4 y=±x552 553
7.准线方程为x+y=1,相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是_________.
解析：等轴双曲线的离心率e=2，由双曲线的第二定义，得方程为

2
|1|·2)1()1(22yx
yx
,化简得xy=21.

答案：xy=21
8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为
_________.
解析：设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.

则有.32|||||,|21||1221PFPFPFPF

解得.34||,32||21PFPF
又设点P到右准线的距离为d，则
.332||2
acd

PF

∴d=6,即点P到右准线的距离为6.
答案：6

9.双曲线4922yx=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.
解：直线y=kx-1过（0，-1）点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的
渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±32x.∴k=±32.
10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，-1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双
曲线的标准方程.

解：∵点A与圆心O的连线的斜率为-41,
∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.

设双曲线方程为x2-
16

2
y

=λ.

∵点A（4，-1）在双曲线上，
∴16-161=λ,λ=16255.

∴双曲线的标准方程为.12551625522yx

综合运用
11.已知双曲线2222byax=1(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求｜
PF1｜·｜PF2｜的最小值.
解析：设P点的横坐标为x0，则x
0≥a或x0
≤-a.由焦半径公式得

|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-.||2202222202220222axabaaxacxaca
∵|x0|≥a,∴x20≥a2.
∴|PF1|·|PF2|≥222aba·a2-a2=b2.
当|x0|=a时，上式“=”成立.
∴|PF1|·|PF2|的最小值为b2.

12.在双曲线121322yx=-1的上支上有不同的三点A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3)，与焦点F(0，5)
的距离成等差数列.
(1)求y1+y3的值；
(2)求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.

(1)解：∵cayPF2||=e,
∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，
∴2(ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a).
∴y1+y3=2y2=12.

(2)证明：由题意，得.11312,1131223232121xyxy

①-②，得121(y1-y3)(y1+y3)-131(x1-x3)·(x1+x3)=0.
∴.13)(13)(123131313121xxyyxxxxyy
若x1+x3=0.
则kAC=0,y1=y3=y2=6,A、B、C三点共线，这是不可能的.

∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=).2(133131xxxxx

即y=2251321xxx.因此，AC的中垂线过定点(0,225).
13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=21,求双曲线的方程.
解：∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，
∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上.

∵,21,42caac
∴a=2,c=8.
∴b2=82-22=60.

∴双曲线的方程是.160422yx

拓展探究
14.已知双曲线5422yx=1,F为其右焦点，A(4，1)为平面上一点，点P为双曲线上一点，求｜
PA｜+32｜PF｜的最小值(如右图).
解：由双曲线的第二定义可知dPF||=e,其中d为P到右准线l：x=34的距离，e=23.
∴|PF|=ed=23d.
∴|PA|+23|PF|=|PA|+23×23d.
∴|PA|+23|PF|=|PA|+d,则求|PA|+23|PF|的最小值，就是在双曲线上求一点P，使P到A的距
离与到右准线l:
x=34的距离之和最小（如题图），由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线

段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=34作垂线AB，交双曲线于P点，此时|PA|+d
最小，即|PA|+32|PE|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=38，故|PA|+32|PF|的最小值
为38.
15.(2005北京高考，理19)已知点M(-2，0)、N(2，0)，动点P满足条件｜PM｜-｜PN｜=22.
记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；

(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA·OB的最小值.

解：（1）由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，实半轴长
a=2.
又半焦距c=2,故虚半轴长b=.222ac
所以W的方程为2222yx=1,x≥2.
(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时，x1=x2,y1=-y2.

从而OA·OB=x1x2+y1y2=x21-y21=2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得
（1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.

故x1+x2=212kkm，x1x2=1222km.
所以OA·OB=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

=2222222121)2)(1(mkmkkmk

.142122222
kk

k

又因为x1x2>0，所以k2-1>0，从而OA·OB>2.
综上，当AB⊥x轴时，OA·OB取得最小值2.