高中数学新课程创新教学设计案例--不等式的性质
【教案】等式与不等式性质(一)教学设计
变形→判断差的符号→下结论．作差后变形
是比较大小的关键一步，变形的方向
是化成几个完全平方式的形式或一
些易判断符号的因式积的形式．
例 1 比 较 （ x+2 ） (x+3) 和
(x+1)(x+4)的大小
语言表示
符号表示
如 果 a-b 是 正 数 ，
那 么 a＞ b
> ⇔− >0
x
秒，人在此时间内跑
0.5
燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的
x
x
的路程为 4×
m．由题意可得 4× >100.
0.5
0.5
速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索
3.答案
的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的
安全区，导火索的长度 x(cm)应满足
的不等式为(
解析
A
1
3
∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋22＋ >0，
习 的
目标，
整 体
提 升
数 学
素养。
教学环节：板书设计
1. 不等关系与不等式“翻译”表
2. 两个实数比较大小的方法
3. 整体讲解在电子白板上下课时保存，下节课可以打开继续使用
6
学科网（ 北京） 股份有 限公司
言
③多个不等关系用不等式组表示．
变式练（1） 某套试卷原以每本 2.5
元的价格销售，可以售出 8 万本．据
市场调查，若单价每提高 0.1 元，销
等于， 等于，
至少， 至多，
不低
不超
于
过
符
号
>
语
2
贾艳锦-不等式的性质
人教版（必修5）3.1.2《不等式性质》教学设计新疆生产建设兵团第六师五家渠高级中学贾艳锦教材：人教版《普通高中课程标准试验教科书数学（A版）》必修五课题：3.1不等式的性质课时：第2课时一、教材内容分析不等和相等构成了数学中最基本的数量关系，而不等式的性质是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用及重要的实际意义，它是学习解一元二次不等式、研究线性规划以及基本不等式的理论依据，也是学生解决不等式问题的重要基础和必备技能。
所以不等式的性质在教材中起着重要的作用。
本节教学内容是学生在初中学习了数轴、实数比较大小、等式性质的基础上展开对不等式性质的学习，在相等关系与不等关系的教学中，引导学生通过类比学过的等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异。
而新课程标准指出：在教学中应关注数学学科核心素养的培养，要让学生逐渐养成借助直观理解、进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯。
基于以上对教材的认识，考虑到学生已有的认知结构与心理特征，我制定的教学目标如下：教学目标分析1、通过实际情境引入，学生类比归纳，体验不等式性质的发现、构建、证明的过程。
2、掌握不等式的性质，理解不等式性质在数学运算中的作用。
并理解不等式性质中的限制条件。
3. 通过本节课的学习，培养学生类比分析的能力；培养学生直观感知和逻辑理的数学核心素养：体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
教学重点：不等式的性质产生、建构的过程及证明。
教学难点：不等式的性质建构过程及在研究数学运算中的作用。
教学策略分析1、引导发现：引导学生类比等式的性质提出一些不等式的性质的猜想。
2、探索讨论：如何用实数大小的基本事实证明性质。
3、例证教学：通过充分的典型例题帮助学生理解新知，逐步形成对不等式性质的全面的认识。
4、概括总结：让学生感受与实数性质，等式性质的联系性，在数与运算的系统中考查关于实数大小的基本定理。
高中数学2.1等式性质与不等式性质第2课时教学设计新人教A版必修第一册
2.1等式性质与不等式性质（第2课时）教学目标学习目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题;2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小;3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质.核心素养1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，培养学生数学抽象的核心素养；2. 进一步掌握作差比较法比较实数的大小，提升数学运算的核心素养；3. 能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养。
教学重难点重点：掌握不等式性质及其应用．难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异．学情分析学生在小学和初中阶段已经接触过不等式，但上升到理论层次，例如比较大小的理论根据--作差法，对不等式性质的推导与证明，利用不等式性质解决简单的证明等问题，还有一定的难度，所以在教学过程中，注意引导学生分析不等式个性质的条件及结论，做到有理有据、严谨细致、条例清楚，提高逻辑推理和数学运算的核心素养。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入上一课时我们学习了比较两个数的大小，为我们学习不等式的性质奠定了基础.让我们先回顾等式的有关性质：性质1 如果那么（对称性）性质2 如果那么（传学生回忆所学知识通过引导学生回忆，帮助学生用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力递性）性质3 如果那么性质4 如果那么性质5 如果那么新知讲授【知识一：不等式的性质】性质1 如果如果，那么.性质2 如果，那么(传递性）性质3 如果，那么性质4 如果那么；如果那么性质5 如果，那么性质6 如果，那么性质7 如果那么. 符号表示：文字表示：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.移项法则：文字表示：不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.注意：同向不等式相加得同向不等式，并无相减。
高中数学北师大版精品教案《不等式的性质》
不等式的性质【教材分析】本节主要学习了不等式的五个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质的探索及运用，要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。
对于不等式的基本性质，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。
并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的．【教学目标】1．探索并掌握不等式的基本性质；2．理解不等式与等式性质的联系与区别．【核心素养】1．数学抽象：如何利用不等式表示不等关系2．逻辑推理：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．3．数学运算：证明不等式关系，会比较代数式的大小关系4．直观想象：利用数轴的比较任意两数的大小关系，引出实数的大小关系，间接引出实数不等式的5个性质5．数学建模：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，学会利用不等式关系表示实际问题【教学重难点】1．教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．2．教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简【教学准备】PPT【教学过程】1．知识引入在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊a，b的大小．关于实数a，b，大小的比较，有以下基本事实：如果a b-等于0，那么a b-=；如果a b-是正数，那么如果a b＞；如果a b是负数，那么a b<反过来也成立．结论总结：0＞＞a b a b↔-=↔-=a b a b0a b a b <↔-<2．不等式基本性质性质1如果a b ＞，且b c ＞，那么a c ＞．分析要证a c ＞，只需证0a c -＞．证明因为a b ＞，且b c ＞，0a b -＞，0b c -＞从而)(0a c a b b c -=-+-（）＞，即a c ＞．性质2如果a b ＞，那么a c b c ++＞．分析要证a c b c ++＞，需证0a c b c +-+（）（）＞．证明因为a b ＞，所以0a b -＞，所以0a c b c a b +-+=-（）（）＞，即a c b c ++＞．性质3如果a b ＞，0c ＞，那么ac bc ＞；如果a b ＞，0c ＜，那么ac bc ＜ 分析：要证ac bc ＞，只需证明0ac bc -＞证明因为a b ＞，所以0a b -＞．又因为0c ＞，所以()0a b c -＞即0ac bc -＞，ac bc ＞请同学完成0c ＜的情况证明例1试比较()()15x x ++与()23x +的大小．解：因为()()()()()222153656940x x x x x x x ++-+=++-++=-＜ 所以()()()2153x x x +++＜例2试证明：若0a b ＜＜，0m ＞，则a m ab m b ++＞ 证明：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++ 因为a b ＜，所以0b a -＞．又0b ＞，0m ＞，故()0()m b a b b m ->+ 因此：a m a b m b +>+性质4如果a b ＞，c d ＞，那么a c b d ++＞．证明：因为a b ＞，所以a c b c ++＞．又因为：c d ＞，b c b d ++＞由不等式的性质1，得a c b d ++＞．性质5：如果0a b ＞＞，0c d ＞＞，那么ac bd ＞；如果0a b ＞＞，0c d ＞＞，那么ac bd ＞．证明：因为a b ＞，0c ＞，所以ac bc ＞．又因：c d ＞，0b ＞，所以bc bd ＞由不等式的性质1，得ac bd ＞．请同学们：完成0c d ＜＜的情况证明特殊情况：当0a b ＞＞时，an bn ＞，其中n N +∈，2n ≥例3：（1）已知a b ＞，0ab ＞，求证11a b＜ 已知a b ＞，c d ＜，求证：a c b d --＞证明：（1）因为0ab ＞，所以10ab >；因为a b ＞，所以有不等式的性质3，得11a b ab ab ⋅⋅＞，即11a b＜ （2）因为c d ＜，所以c d --＞．又因为a b ＞，所以有不等式性质4，得a c b d +-+-（）＞（），即a c b d --＞ 3．题型归类：比较两数的大小（1）比较大小：()()()2324x x x ---＞．（填写“＞”或“＜”）（2）()()15x x ++与()23x +的大小关系为()()()2153x x x +++＜．（3）．已知a ，b 为实数，则()()()()3524a a a a +-+-＜．（填写“＞”或“＜”或“=”） 判断不等关系是否成立（1）已知a b ＞，则下列不等式一定正确的是（C ）A ．22ac bc ＞B ．22a b ＞C ．33a b ＞D ．11a b ＜（2）对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（C ）A ．若a b ＞，则ac bc ＞B ．若a b ＞，c ＞d ，则ac bd ＞C ．若22ac bc ＞，则a b ＞D ．若a b ＞，则11a b ＜（3）若a ，b ，c R ∈，且a b ＞，则下列不等式一定成立的是（B ）A ．a c b c +≥-B ．()20a b c -≥C ．ac bc ＞D ．bb c a a c+≤+ 证明不等关系 1．已知0a b ＞＞，0c ＜求证：cc a b ＞．2．比较()()35a a +-与()()24a a +-的大小． 证明：（1）0a b ＞＞，∴10a b＞＞， 再由0c ＜，可得c c a b＞．故要证的不等式成立；解：（2）∵()()()()3524a a a a +-+-- ()2221528a a a a =-----70=-＜，∴()()()()3524a a a a +-+-＜． （2）已知a ，b ∈R ，比较22a b +与1ab a b ++-的大小． 解：()()221a b ab a b +-++-2212222222a b ab a b =+---+（） 22221[(2)(21)(21)]2a ab b a a b b =-++-++-+ 2222[()(1)(1)]0a b a b =-+-+-≥，当且仅当1a b ==时，两式相等 ∴221a b ab a b +≥++-（3）设0a b ＞＞，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小． 解析：解：∵0a b ＞＞，∴0a b -＞，22a b ＞，∴22220a b a b -+＞，0a b a b -+＞． 两数作商22222222222()()()11a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b --+-++÷=⨯==+++-+++＞， ∴2222a b a b a b a b--++＞． 【教学反思】本节内容需要学生掌握不等式的基本性质，会判断两数的不等关系，学会利用不等式关表示实际问题。
高中数学教案不等式的性质和解法
高中数学教案不等式的性质和解法高中数学教案：不等式的性质和解法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，它可以帮助我们描述数值大小的关系。
掌握不等式的性质和解法对于学生的数学素养的提高至关重要。
本教案将介绍不等式的基本性质以及常用的解法方法，帮助学生深入理解不等式的本质和应用。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：不等式具有传递性的性质，即如果对于实数a、b和c，若a < b，b < c，则有a < c。
这是由实数集的有序性决定的。
2. 不等式的加法性：对于实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
这是由实数加法运算的性质决定的。
3. 不等式的乘法性：对于实数a、b和c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
若a < b且c < 0，则有ac > bc。
这是由实数乘法运算的性质决定的。
4. 已知不等式的平方：对于实数a，若a > 0，则有a^2 > 0。
若a < 0，则有a^2 > 0。
这是由实数平方的性质决定的。
二、不等式的解法方法1. 图解法：利用数轴上的点、线段和箭头等图形表示不等式的解集。
可以通过图示的方式直观地观察解集的范围。
2. 代数法：通过代数方法，利用不等式的性质，将不等式转化为若干等价的不等式，再通过解等价不等式得到原不等式的解集。
3. 数值法：对于一些简单的不等式，可以通过列举数字的方式求解。
将不等式中的变量替换为具体的数值，并逐个验证是否满足不等式，从而得到解集。
4. 增减法：通过逐步增减变量的值，缩小不等式的解集范围。
通过观察变量的增减趋势，可以确定不等式的解集。
三、应用实例例1：求解不等式2x + 5 > 10。
解：首先，由不等式的加法性质，可以将不等式转化为2x > 5。
然后，再利用不等式的乘法性质，将不等式进一步转化为x > 2.5。
高中数学教案：不等式的性质
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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48 不等式的性质
教材分析
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内
容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活
中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一
系列性质．
教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及
其应用．
教学目标
1. 通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不
等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．
2. 理解并掌握比较两个实数大小的方法．
3. 引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培
养学生的合情推理和逻辑论证能力．
任务分析
这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的
基本性质．为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质
的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一
系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必
须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论
证才予以认可，培养学生的数学理性精神．
教学设计
一、问题情境
教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．
1. 公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km
／h，用不等式表达即为v≤40km／h．
2. 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每
提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不
等式表示销售的总收入的不低于20万元？
x·［80000－2000（x－25）］≥200000．
3. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，
600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．
设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则
通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我
们学习不等式及基本性质．
二、建立模型
1. 教师精讲，分析
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的
实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0
的数．
一般地，设ａ，ｂ∈R，则
ａ＞ｂａ－ｂ＞0，
ａ＝ｂａ－ｂ＝0，
ａ＜ｂａ－ｂ＜0．
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）
（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．
2. 通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质
（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？
（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？
（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来．
用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质：
定理1 如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．
定理2 如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．
定理3 如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．
定理4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；
如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．
3. 定理1～4的证明
关于定理1～4的证明要注意：
（1）定理为什么要证明？
（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？
（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．
（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．
4. 考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命
题，得出定理5
定理5 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．
由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．
∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，
∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
［练 习］
1. 判断下列命题的真假，并说明理由．
（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．
（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．
四、拓展延伸
1. 如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．
2. 如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞
ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？
3. 如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）
点 评
这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进而点出
教学的主题———不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达
转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质．通过对不等式的证明，使学生理
解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力．就整个教学设计的效果看，这种设
计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果
比较理想．此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维
能力．
总之，这是一篇成功的教学设计案例，美中不足的是，对文初创设的现实情景利用的力
度稍欠缺．