(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
数学归纳初中代数中的平方根与立方根总结与归纳
数学归纳初中代数中的平方根与立方根总结与归纳在初中数学中，学生们学习了平方根和立方根的概念与性质。
平方根和立方根作为代数中重要的概念，对于解决各种数学问题和实际应用问题都起到了关键作用。
本文将对初中代数中的平方根和立方根进行总结与归纳。
一、平方根的概念与性质1. 平方根的定义：如果正数a的平方等于b，那么称b是a的平方根，记作√b=a。
其中，√b表示开平方，a表示被开方的数。
2. 平方根的运算法则：平方根具有如下运算法则：a) √(a × b) = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)。
b) √(a ÷ b) = √a ÷ √b (a ≥ 0, b > 0)。
c) √(a + b) ≠ √a + √b。
3. 平方根的性质：平方根具有如下性质：a) 一个非负实数的平方根是非负实数。
b) 两个正实数的积的平方根等于它们的平方根的积。
二、立方根的概念与性质1. 立方根的定义：如果正数a的立方等于b，那么称b是a的立方根，记作³√b=a。
其中，³√b表示开立方，a表示被开立方的数。
2. 立方根的运算法则：立方根具有如下运算法则：a) ³√(a × b) = ³√a × ³√b (a ≥ 0, b ≥ 0)。
b) ³√(a ÷ b) = ³√a ÷ ³√b (a ≥ 0, b > 0)。
c) ³√(a + b) ≠ ³√a + ³√b。
3. 立方根的性质：立方根具有如下性质：a) 一个实数的立方根可能是正实数、负实数或零。
b) 两个实数的积的立方根等于它们的立方根的积。
三、平方根与立方根的应用1. 在几何中，平方根和立方根常常用于求解长度、面积和体积等问题。
2. 在物理学中，平方根和立方根常被用于计算物体的速度、加速度、压强等物理量。
平方根和立方根知识点总结及练习
【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
平方根与立方根
平方根与立方根数学中的平方根和立方根是常见的数学概念，它们在数学运算中有着广泛的应用。
本文将介绍平方根和立方根的概念、计算方法以及它们在实际生活中的应用。
一、平方根的概念和计算方法平方根是一个数的平方等于给定的数的非负实数解。
平方根的符号通常用√表示，其中√a表示a的平方根。
对于非负实数a，它的平方根有两个解，一个为正数，一个为负数。
在实际应用中，平方根经常用于计算面积、长度和体积等。
计算平方根可以使用多种方法，最常见的是通过使用计算器或数学软件进行计算。
此外，还可以使用牛顿迭代法等数值逼近方法来计算平方根。
二、立方根的概念和计算方法立方根是一个数的立方等于给定的数的实数解。
立方根的符号通常用³√表示，其中³√a表示a的立方根。
与平方根类似，对于任意实数a，它的立方根也有两个解，一个为正数，一个为负数。
计算立方根的方法与计算平方根类似。
可以使用计算器或数学软件进行计算，或者使用数值逼近方法来计算。
三、平方根和立方根的实际应用平方根和立方根在实际生活中有着广泛的应用。
以下是它们在不同领域中的一些示例：1. 几何学：平方根和立方根常用于计算图形的长度、面积和体积等。
例如，在计算一个正方形的边长时，可以使用平方根；在计算一个立方体的边长时，可以使用立方根。
2. 物理学：在物理学中，平方根和立方根被广泛应用于测量和计算。
例如，在计算速度和加速度时，使用平方根；在计算体积和密度时，使用立方根。
3. 金融学：在金融学中，平方根和立方根被用于计算利率和风险等。
例如，在计算投资回报率和波动率时，使用平方根；在计算投资组合的标准差时，使用立方根。
4. 工程学：在工程学中，平方根和立方根常用于计算电流、电压和功率等。
例如，在计算电流的均方根值时，使用平方根；在计算电压的立方平均值时，使用立方根。
总结：平方根和立方根作为数学中的重要概念，在实际生活和学科领域中有着广泛的应用。
通过了解它们的概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用它们。
平方根与立方根
平方根与立方根平方根和立方根是数学中常见的运算概念，用来表示一个数的平方和立方的根数。
平方根是指一个数的平方等于给定的数，立方根是指一个数的立方等于给定的数。
在实际生活和学术研究中，平方根和立方根都有着广泛的应用。
本文将对平方根与立方根进行详细介绍和解释。
1. 平方根是指一个数的平方等于给定的数。
例如，数学中表示平方根的符号为√，我们通常说√4 = 2，意味着2的平方等于4。
平方根是对称的，也就是说，如果一个数的平方根是 x，那么这个数的相反数的平方根也是 -x。
例如，√9 = 3，所以√(-9) = -3。
平方根可以用于解决各种问题，尤其是在几何学和物理学中。
在几何学中，平方根可以帮助我们计算直角三角形的斜边长度。
例如，如果一个直角三角形的两条边长分别为3和4，那么斜边的长度可以通过计算√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5得到。
在物理学中，平方根可以用来计算速度和加速度。
例如，当我们知道一个物体的初始速度和加速度时，可以使用平方根来计算它在特定时间内的位移。
这种应用广泛存在于运动学和动力学等领域。
2. 立方根是指一个数的立方等于给定的数。
与平方根类似，立方根可以用符号表示为^3√。
例如，^3√8 = 2，意味着2的立方等于8。
立方根的性质与平方根相似，即一个数的立方根可以为正数、负数或零。
立方根也有广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
在几何学中，立方根可以用于计算立方体的边长。
例如，如果一个立方体的体积为27，那么它的边长可以通过计算^3√27 = 3得到。
在物理学中，立方根可以用来计算物体的密度和体积。
例如，当我们知道一个物体的质量和密度时，可以使用立方根来计算它的体积。
这种应用广泛存在于材料科学和天体物理学等领域。
总结：平方根和立方根是常见的数学运算概念，在几何学、物理学以及其他领域有广泛的应用。
平方根表示一个数的平方等于给定的数，而立方根表示一个数的立方等于给定的数。
实数知识点详细总结
第4章 实数知识结构：实数1.平方根（1）定义:如果x 2=a(a ≥0),那么x 叫做a 的平方根（1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数（2）性质 （2）0的平方根是0（3）负数没有平方根 （3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方（4）算术平方根（1）定义:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根（2）规定:0的算术平方根是0（3）性质:√a 具有双重非负性,即√a ≥0,a ≥0 （5）意义:(√a )2=a(a ≥0)a(a ≥0)√a 2=∣a ∣=-a(a ＜0)2.立方根（1）定义:如果x 3=a,那么x 叫做a 的立方根（2）性质（1）正数的立方根是正数 （2）0的立方根是0 （3）负数的立方根是负数（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（4）意义√a 33=a(√a 3)3=a3.实数（1）实数的分类1.按性质 （1）正实数 （2）0 （3）负实数2.按概念（1）有理数（2）无理数-----无限不循环小数（2）实数的性质实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样 实数与数轴上的点是一一对应关系有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用 与有理数的运算法则、运算律相同4.近似数定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数 精确度：常用四舍五入法对近似数进行精确4.1平方根一、平方根的概念及表示拓展延伸：（1）由平方根的意义可知，x=±√a，把x=±√a代入x2=a，得（±√a）2=a（a≥0）.（2）当a≥0时，我们说式子√a有意义，当a＜0时，式子√a无意义。
二、平方根的性质1.正数有两个平方根，它们互为相反数。
如果a＞0，那么a的平方根为±√a2.0有一个平方根，就是0，即√0=03.负数没有平方根三、开平方注意：开平方是求一个非负数的平方根的运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是一对相反数。
平方根和立方根
七年级数学下册实数--平方根【知识点总结】1.乘方:“n a ”.乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2.平方:“2a ”，读作a 的平方或a 的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是；算术平方根概念：一般地，如果等于a ，那么这个数叫做a 的，也就是说，如果x 2=a ，（x>0）那么x 叫做a 的算术平方根.则a x =算术平方根性质：(1)非负性:(2)个数性质：的算术平方根据都只有一个;(3)还原性质：当0≥a 时，2)(a =，即非负数算术平方根的平方等于该非负数完全平方数：能够完全开方开的尽的数。
如1,4,9,16，...平方根概念：一般地,如果等于a ，那么这个数叫做a 的，也就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.则=x 开平方：求一个数．．．a 的平方根的运算．．．．．．．叫做开平方.即求a ±的运算叫开平方. 表示方法：一个正数a 的平方根表示为a ±；若x 2=a (a >0)则x=a ±。
平方根的性质：(1)个数性质：(2)还原性质：（由定义得出）当a ≥0时(a ±)2=,即：非负数的平方根的平方等于该数【经典例题】【例1】计算：12=；22=；32=；42=；52=；62=；72=；82=；92=；112=；122=；132=；142=；152=；162=；172=；182=；192=；2≈；3≈；5≈；6≈；7≈；10≈【例2】求下列各式的值：（1）144（2）-36121（3）±00001.（4）214116+ 【例3】判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。
（1）7是()-72的算术平方根；（）（2）-25的平方根是±5；（） （3）36等于±6；（）（4）16的平方根是±2；（）（5）6是()-62的平方根；（）（6）10是10的一个平方根；（）（7）正数的平方比它的算术平方根大。
(完整word版)平方根与立方根知识点
平方根与立方根知识点平方根1.概念：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号2a表示， a叫做被开方数，2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示，a的平方根合起来记作“±2a，其中“2”读作“二次根号”“2a”读作“二次根号下a ”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“±2a”读作“正、负根号a”（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号3a来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
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“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点 1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作
“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作
（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方
根，这个立方根的符号与原数相同。
3
有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴
)2=a （a ≥0）
=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2
)3(-； （3）49
15
1
； ⑷ 2
1(3)- 例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）
25
9
； （4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）49
25
±（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 10
2
27
-； ⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x
的立方根.
练习：已知,21221+-+
-=x x y 求y x 的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，
而.0)()(=-++a a
例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的
平方的相反数的立方根.
练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.
四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2
=36 （2）27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a
的非算术平方根.
练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
②已知
互为相反数，求a ，b 的值。
六、实数
1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：
①按属性分类： ②按符号分类
2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算． 3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、
等．
思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？ （2）大家都知道是一个无理数，那么
－1在哪两
个整数之间？
(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________； (5)下列各数：
3
3
5，π，0.28，04，3.14159，
0.121121112L ，3-，
22
7
．其中无理数有（ ）个 七、实数大小比较的方法 一、平方法 比较
2
3
和3的大小
二、移动因式法 比较32和23的大小
三、求差法 比较2
1
5-和1的大小
四、求商法 比较53
4
和11的大小
练习：比较下列各组数的大小： ①2-和3-；②3和23-；③15和5
4
3；
④7-
和－2.45。
八、解答题（每题4分，共8分） 1、当2
1
≤
a 时，化简|12|4412-++-a a a
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图， 化简b a ++2
)1(+-b a
b
10
a -1。