机械工程测试原理与技术(第2版)(课后习题答案)

重大&西华大学 《测试技术与信号分析》 习题与题解

适用专业: 机械类、自动化

课程代码: 学 时: 42-48 编写单位:机械工程与自动化学院

编 写 人: 余愚

审 核 人:

审 批 人:

第二章 习题解答 2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？ 2-2．信号分类的方法有哪些？ 2-3．求正弦信号tAtxsin的均方值2x。 解： 

24sin4222cos12sin2sin11222022022022022ATTATdttATtdtATdttATdttxTTTTTx







也可先求概率密度函数：221)(xAtp则：2)(222Adxxpxx。 2-4．求正弦信号)sin(tAtx的概率密度函数p(x)。 解： 2221)(111,arcsinxAAxAdxdtAxt 代入概率密度函数公式得：

2222

2200122221lim1lim)(xAxAxATTdtdxTtxxpxx









2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

解 在x(t)的一个周期中可表示为 201)(11TtTTt

tx

该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn

当n=0时，常值分量c0：

t x T1 -T1 T -T TTdtTacTT1002111 当n0时，

110110

0

11T

TtjnTTtjnneTjndteTc





最后可得



jeeTnctjntjnn22

00

0

 注意上式中的括号中的项即sin (n0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为 0)(sin2)sin(210010nTncTTnTncn，



其幅值谱为：)(sin211TncTTcon，相位谱为：,,0n。频谱图如下：

2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有 nFSctx 则 ntjFScettx000 证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为 Ttj

ndtetxTc

0

1'

令0tt，代入上式可得 

ntjTjtjTtjncedexTedexTc000000011)('







因此有 ntTjntjFScecettx000)/2(0



同理可证 ntTjntjFScecettx000)/2(0 证毕！

nCTT/21

1/T00



nCTT/21

1/T

00



n



02-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度 解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

)(sin2110110TncTTdteTCTTtjnn

则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有 )()(sin22)(0101nTncTTXn

 此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0以及所有谐频

处，其脉冲强度为01/4TT被)(sintc的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

解：符号函数为 000101)(ttttx 可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况 解 00)sgn()(tetettxatat 

fjfjfjafjadteedteedtetxfXaftjatftjataftj12121lim..lim0020202





2-9．求单位阶跃函数的频谱： 解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即







0002/101)(tttt

)sgn(121)(tt

所以：

2-10．求指数衰减振荡信号tetxat0sin的频谱。 解： )(2sinsin21sin21)(0000)(000tjtjtjatjateejttdedteteX



fjff1)(21)(202000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)(00jajjajjajdteejXtjjatjja

2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 fXtxFT

则 020ffXetxFTtfj

证明：因为 )(][020ffeFtfi 又因为 ][*00202tfiFTtfjeFfXetx 0002)(*0ffXfffXetxFTtfj



证毕！ 2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性 即：若 fXtxFT

则 fXtxFT**

式中x*(t)为x(t)的共轭。 证明： 



dfefXtxftj2)(

由于 



dtetxdtetxfXftjftj2**2*

)()(

上式两端用 -f 替代 f 得 



dtetxfXftj2**)(

上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！ 特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即 fXfX*

2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 fXtxFT

则 fxtXFT

证明： 由于 dfefXtxftj2)()(

以 -t 替换 t 得 



dfefXtxftj2)( 上式 t 与 f 互换即可得 



dtetXfxftj2)(

即 fxtX

证毕。 特殊情况,当xt为偶函数时， fxtXFT

2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下： 212ttg



且已知 2222)()(faafXetxFTta



解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2，根据傅里叶变逆换有 dfefdfefeftjftjt222222

1

2212222

等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t得 dtefeftjt2

22

1

2

2

交换变量t和f得 dteteftjf2

22

1

2

2

上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以 fFTefGttg222)(12)(

2-15．所示信号的频谱 )5.2()5.2(21)(21txtxtx 式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。

解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为 fffXsin)(1和fffX3sin)(2

根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

ffefXfj3sinsin

)(21

5

)(tx

)(1txt

tt)(2tx