2021中考数学总复习知识点总结：第九章三角形

合集下载

河北省廊坊市廊坊四中2021年九年级中考复习全等三角形综合(含知识点、练习题、答案、作业)

三角形综合讲义全等综合知识精讲一．全等三角形的断定方法：边角边定理()SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角定理()ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．边边边定理()SSS：三边对应相等的两个三角形全等．角角边定理()AAS：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．斜边、直角边定理()HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二．全等三角形的应用：1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；2．能通过断定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的根底．1.三．全等三角形辅助线的作法2.1．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如以下图〔AD是∆底边的中线)．ABC2．角平分线类辅助线作法有以下三种作辅助线的方式：〔1〕由角平分线上的一点向角的两边作垂线；〔2〕过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；〔3〕OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．3．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长〞，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短〞，就是将一个的较短的线段延长至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进展求解．三点剖析一．考点：1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法二．重难点：1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法三．易错点：1．在使用断定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和断定定理要求的一样，对应顶点要对应．2．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；3．辅助线不是随意都可以作的，比方“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度〞这种辅助线就不一定能作出来． 1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法例题讲解一：全等与三角形综合例1.1.1把两个全等的Rt ABC ∆和Rt EFG ∆〔其直角边长均为4〕叠放在一起〔如图①〕，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转〔旋转角α满足条件：090α︒<<︒〕，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠局部〔如图②〕〔1〕在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系，四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；〔2〕连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=X ，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；〔3〕在〔2〕的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的516？假设存在，求出此时x 的值；假设不存在，说明理由．【答案】〔1〕面积是4，是一个定值，在旋转中没有变化；理由见解析；〔2〕04x <<；〔3〕存在．【解析】〔1〕在上述旋转过程中，BH =CK ，四边形CHGK 的面积不变证明：连接CG 、KH ，ABC ∆为等腰直角三角形，()O G 为其斜边中点，CG BG ∴=，CG AB ⊥45ACG B ∴∠=∠=︒ BGH ∠与CGK ∠均为旋转角，BGH CGK ∴∠=∠在BGH ∆与CGK ∆中，B KCG BG CG BGH CGK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGH CGK ASA ∴∆∆≌ BH CK ∴=，BGH CGK S S ∆∆∴=111444222CHG CGK CHG BGH ABC CHGK S S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+==⨯⨯⨯=四边形〔2〕4AC BC ==，x BH =，4CH x ∴=-，CH x = 由GHK CHK CHGK S S S ∆∆=-四边形得()1442y x x =-- 21242y x x ∴=-+ 由090α︒<<︒，得到max 4BH BC == 04x ∴<<．〔3〕存在；根据题意，得215248216x x -+=⨯ 解这个方程，得11x =，23x =即当11x =或23x =时，GHK ∆的面积均等于ABC ∆的面积的516．例1.1.2如图1所示，点E 、F 在线段AC 上，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ；DE ，BF 分别在线段AC 的两侧，且AE=CF ，AB=CD ，BD 与AC 相交于点G ．〔1〕求证：EG=GF ；〔2〕假设点E 在F 的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．〔3〕假设点E 、F 分别在线段CA 的延长线与反向延长线上，其余条件不变，〔1〕中结论是否成立？〔要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由〕【答案】〔1〕见解析〔2〕成立，见解析〔3〕成立【解析】〔1〕∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°． ∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ． ∴AF=CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE 〔HL 〕， ∴BF=DE ．在△BFG 和△DEG 中BFG DEG BGF DGE BF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG ≌△DGE 〔AAS 〕． ∴EG=FG ．〔2〕〔1〕中结论仍然成立．理由如下：∵AE=CF ， ∴AE ﹣EF=CF ﹣EF ． ∴AF=CE ．∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中AB CD AF CE =⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△CDE〔HL〕．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE〔AAS〕．∴EG=FG．〔3〕〔1〕中结论仍然成立．如下图：理由如下：∵AE=CF，∴AE+ACEF=CF+AC．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中AB CD AF CE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△CDE〔HL〕．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE〔AAS〕．∴EG=FG．例1.1.3等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF 于G，交AC于H．〔1〕如图〔1〕，延长BH到点E，连接AE，当∠EAB=90°，AE=1，F为AB的三等分点，且BF＜AF 时，求BE的长；〔2〕如图〔2〕，假设F为AB中点，连接FH，求证：BH+FH=CF；【答案】见解析【解析】〔1〕∵BH⊥CF，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CFB=∠CFB+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE与△BCF中，90EAB FBCAB BABE BCFC︒∠=∠⎧∠=∠=⎪=⎨⎪⎩，∴△ABE∽△BCF，∴BF=AE=1，∵F为AB的三等分点，且BF＜AF，∴AB=3BF=3，∴〔2〕证明：过点A 作AD ⊥AB 交BH 的延长线于点D ． ∴∠BAD=∠CBF=90°，∴∠D+∠ABD=∠CFB+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BCF ，在△ABD 与△BCF 中，DAB FBC D CFBAB BC ∠=∠⎧⎪⎨⎪=∠=⎩∠，∴Rt △BAD ≌Rt △CBF ， ∴AD=BF ，BD=CF ． ∵F 为AB 的中点， ∴AF=BF ， ∴AD=AF ，在△ADH 与△AFH 中，45AD AF AH DAH HAF AH ︒∠=∠==⎧⎪⎨⎪=⎩，∴△AHD ≌△AHF ， ∴DH=FH ．∵BD=BH+DH=BH+FH ， ∴BH+FH=CF ；例：等边ABC ∆中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上，且60MON ∠=︒．〔1〕如图1，当CM CN =时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；〔2〕如图2，当CM CN ≠时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请你加以证明；假设不成立，请说明理由；【答案】〔1〕AM CN MN =+〔2〕AM CN MN =+〔3〕MN AM CN =+ 【解析】该题考察的是等边三角形的性质和全等三角形的性质和断定．〔1〕如图1，在AM 上截取AN CN '=，连接ON '，OC ，OA ， ∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，ABC ∆是等边三角形， ∴OC OA =，O 也是等边三角形三个角的平分线交点， ∵在OCN ∆和OAN ∆'中 OCN OAN ∆∆'≌〔SAS 〕，∴60AON COM ∠'+∠=︒，即NOM N OM ∠=∠'， ∵在NOM ∆和'N OM ∆中∴'NOM N OM ∆∆≌〔SAS 〕，∴AM CN MN =+……2分〔2〕如图2，过点O 作OD AC ⊥，OE BC ⊥易得OD OE =，120DOE ∠=︒，在边AC 上截取'DN NE =，连接'ON ， ∴'DON EON ∆∆≌， ……4分易证'MON MON ∆∆≌……4分课后作业1ABC ∆，90BAC ∠=︒，等腰直角BDE ∆，90BDE ∠=︒，BD=DE ，点D 在线段AC 上．〔1〕如图1，当30ACB ∠=︒，点E 在BC 上时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明；〔2〕如图2，当45ACB ∠=︒，点E 在BC 外时，连接EC\、BD 并延长交于点F ，设ED 与BC 交于点N ，图中是否存在与BN 相等的线段？假设存在，请加以证明．假设不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：〔1〕2ED AD =．理由是：BDE ∆是等腰直角三角形 ∴45DBE DEB ∠=∠=︒ 又Rt ABC ∆中，30ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒ 604515ABD ABC DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 同理60CEP ∠=︒，180180604515PED CEP DEB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒PDE ABD ∴∠=∠ ∴在ABD ∆和PDE ∆中，90DPE A PDE ABD DE BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD PDE AAS ∴∆∆≌AD PE ∴= 又∵Rt PCE ∆中，30C ∠=︒，2CE PE ∴= 2CE AD ∴=．〔2〕BN EF =，理由是：如图2，过E 作EG AC ⊥，交AC 的延长线于G在ABD ∆和GDE ∆中，90GDE ABD G A DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD GDB AAS ∴∆∆≌ AD GE ∴=，DG AB =AB AC =，AC DG ∴= AD DG GE ∴== CGE ∴∆是等腰直角三角形 45GCE ∴∠=︒F DNB ∴∠=∠ 在FDE ∆和NDB ∆中，F DNB FDE NDB DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是锐角，点D 为射线BC 上的一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．〔1〕假如AB=AC ，90BAC ∠=︒，①当点D 在线段BC 上时〔与点B 不重合〕，如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为，线段CF 、BD 的数量关系为；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；〔2〕假如AB=AC ，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥〔点C 、F 不重合〕，并说明理由．【答案】见解析．【解析】证明：〔1〕①正方形ADEF 中，AD=AF ，90BAC DAF ∠=∠=︒ BAD CAF ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌ CF BD ∴=，B ACF ∠=∠ 90ACB ACF ∴∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，90DAF ∠=︒ 90BAC ∠=︒ DAF BAC ∴∠=∠ DAB FAC ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌90BCF ACB ACF ∴∠=∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．〔2〕当45ACB ∠=︒时，CF BD ⊥〔如图〕．理由：过点A 作AG AC ⊥交CB 的延长线于点G ，那么90GAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，90AGC ACB ∠=︒-∠，904545AGC ∴∠=︒-︒=︒ 45ACB AGC ∴∠=∠=︒，AC AG ∴= DAG FAC ∠=∠〔同角的余角相等〕，AD=AF 即CF BC ⊥．3如图1，将两个完全一样的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒．〔1〕操作发现如图2，固定ABC ∆，使DEC ∆绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是；②设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是．〔2〕猜测论证当DEC ∆绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜测〔1〕中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC ∆和AEC ∆中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜测．〔3〕拓展探究60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE//ABA 交BC 于点E 〔如图4〕．假设在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请直接写出相应的BF 的长．【答案】见解析．【解析】解：〔1〕①∵DEC ∆绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上，AC CD ∴= 90903060BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，ACD ∴∆是等边三角形，60ACD ∴∠=︒ 又60CDE BAC ∠=∠=︒ ACD CDE ∴∠=∠ //DE AC ∴．②30B ∠=︒，90C ∠=︒ 12CD AC AB ∴==BD AD AC ∴== 根据等边三角形的性质，ACD ∆的边AC 、AD 上的高相等 ∴BCD ∆的面积和AEC ∆的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕，即12S S =〔2〕如图，DEC ∆是由ABC ∆绕点C 旋转得到，BC CE ∴=，AC CD =在ACN ∆和DCM ∆中，90ACN DCM CMD N AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ACN DCM AAS ∴∆∆≌ AN DM ∴=BDC ∴∆的面积和AEC ∆的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕即12S S =；〔3〕如图，过点D 作DF 1//BE ，易求四边形BE DF 1是菱形，所以BE= DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时1DCF BDE S S ∆∆=；过点D 作2DF BD ⊥，60ABC ∠=︒，DF 1//BE ，2160F F D ABC ∴∠=∠=︒，∵B F 1=D F 1，11302F BD ABC ∠=∠=︒，290F DB ∠=︒，1260F DF ABC ∴∠=∠=︒ 12DF F ∴∆是等边三角形，12DF DF ∴=BD CD =，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，160302DBC DCB ∴∠=∠=⨯︒=︒12CDF CDF ∴∠=∠ 在1CDF ∆和2CDF ∆中，1212DF DF CDF CDF CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()12CDF CDF SAS ∴∆∆≌∴点F 2也是所求的点，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上的一点，DE //AB 160302DBC BDE ABD ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒ 又4BD =故BF．。

2021年安徽省中考一轮复习九年级数学：三角形

2021年安徽省中考一轮复习九年级数学：三角形一、选择题(每小题3分，共30分)1．若三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定2．下列事例应用了三角形稳定性的有( )①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角度的支撑起来防止倒斜；③四边形模具．A．1个B．2个C．3个D．0个3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( )A．2 B．3 C．6 D．不能确定,第3题图),第7题图) 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为( )A．45°B．135°C．45°或67.5°D．45°或135°5．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是( )A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝66．若△ABC和△DEF全等，A和E，B和D分别是对应顶点，则下列结论错误的是( ) A．BC＝EF B．∠B＝∠DC．∠C＝∠F D．AC＝EF7．如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC ＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判定△ABC 与△DEF全等的是( )A．①②⑤B．①②③C．①④⑥D．②③④8．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为( )A．80°B．100°C．60°D．45°,第8题图),第10题图) 9．已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形的周长取值范围是( )A．3＜C＜8 B．5＜C＜11C．16＜C＜22 D．11＜C＜1610．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，要使△ABE≌△ACD，则还需补充条件．,第11题图),第12题图),第13题图)12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是13．如图，点A在线段ED上，AC＝CD，BC＝CE，∠1＝∠2，如果AB＝7，AD＝5，那么AE＝14．如图，在△ABC中，点P是△ABC三条角平分线的交点，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB ＝．,第14题图,第15题图,第16题图15．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是16．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2……∠A2018BC和∠A2018CD的平分线交于点A2019，则∠A2019＝．三、解答题(共72分)17．(6分)已知：∠α.请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC＝∠α.(要求：要保留作图痕迹，不写作法．)18．(6分)在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝∠1，∠C＝65°.求∠B，∠BAC的度数．19．(6分)如图，A，B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B 出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，A，C在同一条直线上，则DE长就是A，B之间的距离，请你说明道理．20．(6分)如图：(1)在△ABC中，BC边上的高是AB；(2)在△AEC中，AE边上的高是CD；(3)在△FEC中，EC边上的高是EF；(4)若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，求△AEC的面积及CE的长．21．(8分)如图，已知AD∥CE，∠1＝∠2.(1)试说明AB∥CD；(2)若点D为线段BE中点，试说明△ABD≌△CDE.22．(8分)如图，已知AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF.试说明点O是AC的中点．23．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为BD上的一点，EG∥AD，分别交AB和CA的延长线于点F，G，∠AFG＝∠G.(1)试说明△ABD≌△ACD；(2)若∠B＝40°，求∠G和∠FAG的大小．24．(10分)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F.(1)判断FC与AD的数量关系，并说明理由；(2)若AB＝BC＋AD，则BE⊥AF吗？为什么？25．(12分)以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC，△ADE)，如图①所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE.(1)试说明：BD＝CE；(2)延长BD交CE于点F，求∠BFC的度数；(3)若如图②放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．若三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是(A)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定2．下列事例应用了三角形稳定性的有(B)①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角度的支撑起来防止倒斜；③四边形模具．A．1个B．2个C．3个D．0个3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是(A)A．2 B．3 C．6 D．不能确定,第3题图),第7题图) 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为(D)A．45°B．135°C．45°或67.5°D．45°或135°5．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是(C)A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝66．若△ABC和△DEF全等，A和E，B和D分别是对应顶点，则下列结论错误的是(A) A．BC＝EF B．∠B＝∠DC．∠C＝∠F D．AC＝EF7．如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC ＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判定△ABC 与△DEF全等的是(D)A．①②⑤B．①②③C．①④⑥D．②③④8．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为(A)A．80°B．100°C．60°D．45°,第8题图),第10题图)9．已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形的周长取值范围是(C)A．3＜C＜8 B．5＜C＜11C．16＜C＜22 D．11＜C＜1610．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF等于(B)A．1 B．2 C．3 D．4点拨：∵EC＝2BE，∴S△AEC＝23S△ABC＝23×12＝8，∵点D是AC的中点，∴S△BCD＝12S△ABC ＝12×12＝6，∴S△AEC－S△BCD＝2，即S△ADF＋S四边形CEFD－(S△BEF＋S四边形CEFD)＝2，∴S△ADF－S△BEF＝2二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，要使△ABE≌△ACD，则还需补充条件AE＝AD或∠B＝∠C等．,第11题图),第12题图),第13题图)12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是50°.13．如图，点A在线段ED上，AC＝CD，BC＝CE，∠1＝∠2，如果AB＝7，AD＝5，那么AE＝2.14．如图，在△ABC中，点P是△ABC三条角平分线的交点，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB ＝90度．,第14题图),第15题图),第16题图)15．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是4.16．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2……∠A2018BC和∠A2018CD的平分线交于点A2019，则∠A2019＝122019m度．三、解答题(共72分)17．(6分)已知：∠α.请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC＝∠α.(要求：要保留作图痕迹，不写作法．)解：如图所示，∠BAC 即为所求18．(6分)在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B ＝∠1，∠C ＝65°.求∠B ，∠BAC 的度数．解：∵AD ⊥BC ，∠B ＝∠1， ∴∠B ＝45°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－45°－65°＝70°19．(6分)如图，A ，B 两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B 出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC ＝CD ，过D 作DE ∥AB ，使E ，A ，C 在同一条直线上，则DE 长就是A ，B 之间的距离，请你说明道理．解：∵DE ∥AB ， ∴∠A ＝∠E ，在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠E ，∠ACB ＝∠ECD ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△EDC (AAS )， ∴AB ＝DE ，即DE 长就是A ，B 之间距离20．(6分)如图：(1)在△ABC 中，BC 边上的高是AB ； (2)在△AEC 中，AE 边上的高是CD ； (3)在△FEC 中，EC 边上的高是EF ；(4)若AB ＝CD ＝2 cm ，AE ＝3 cm ，求△AEC 的面积及CE 的长．解：S △AEC ＝3 cm 2，CE ＝3 cm21．(8分)如图，已知AD ∥CE ，∠1＝∠2. (1)试说明AB ∥CD ；(2)若点D 为线段BE 中点，试说明△ABD ≌△CDE.解：(1)∵AD ∥CE ，∴∠ADC ＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠ADC ＝∠1，∴AB ∥CD (2)∵AD ∥CE ，∴∠ADB ＝∠CED ， ∵D 是BE 中点，∴BD ＝DE ，在△ABD 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠ADB ＝∠CDE ，BD ＝DE ，∴△ABD ≌△CDE(AAS )22．(8分)如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF. 试说明点O 是AC 的中点．解：在△ABC 和△CDA 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BC ＝DA ，AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA(SSS )， ∴∠DAC ＝∠BCA.在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠DAC ＝∠BCA ，∠AOE ＝∠COF ，AE ＝CF ，∴△AOE ≌△COF(AAS )，∴OA ＝OC ，∴点O 是AC 的中点23．(10分)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 为BD 上的一点，EG ∥AD ，分别交AB 和CA 的延长线于点F ，G ，∠AFG ＝∠G.(1)试说明△ABD ≌△ACD ；(2)若∠B ＝40°，求∠G 和∠FAG 的大小．解：(1)∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， ∵GE ∥AD ，∴∠CAD ＝∠AGF ，∠BFE ＝∠BAD ， ∵∠BFE ＝∠AFG ，∠AFG ＝∠AGF ， ∴∠CAD ＝∠BAD ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠CDA ＝∠BDA ，AD ＝AD ，∠CAD ＝∠BAD ，∴△ABD ≌△ACD(ASA )(2)∵∠B ＝40°，∠BEG ＝90°， ∴∠BFE ＝∠AFG ＝50°， ∵∠AFG ＝∠G ，∴∠G ＝50°，∠GAF ＝180°－50°－50°＝80°24．(10分)如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)判断FC 与AD 的数量关系，并说明理由； (2)若AB ＝BC ＋AD ，则BE ⊥AF 吗？为什么？(1)解：结论：CF ＝AD.理由：∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF ， ∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EC ， ∵在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠ADC ＝∠ECF ，ED ＝EC ，∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE(ASA )，∴FC ＝AD(2)结论：BE ⊥AF.理由：由(1)知△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF ， ∵AB ＝BC ＋AD ，∴AB ＝BC ＋CF ，即AB ＝BF ，∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，∴BE ⊥AE25．(12分)以点A 为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC ，△ADE)，如图①所示放置，使得一直角边重合，连接BD ，CE.(1)试说明：BD ＝CE ；(2)延长BD 交CE 于点F ，求∠BFC 的度数；(3)若如图②放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．解：(1)易得△ADB ≌△AEC(SAS )，∴BD ＝CE (2)∵△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA ＝∠ECA ，∴∠BFC ＝180°－∠ACE －∠CDF ＝180°－∠DBA －∠BDA ＝∠DAB ＝90° (3)同样成立，BD ＝CE 且∠BFC ＝90°.理由：∵△ABC ，△ADE 是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠EAD ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ，∴BD ＝CE ，∠ABF ＝∠ACF ，∴∠BFC ＝∠BAC ＝90°。

2021年中考数学考点归类复习——专题十：三角形

2021中考数学考点归类复习——专题十：三角形一、填空题1．设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a＋b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝__________．2．比较大小：______（填“”“”）．3．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，且∠B＝∠E．则添加条件___________可得△ABC ≌△DEF．4．如图，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD＝BD，BC＝8cm，DC＝3cm，则AE＝cm．5．先将一矩形置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边，分别落在x轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若，，则图1和图2中点B点的坐标为_________，点C的坐标_________．6．如图，在中，，D是AB的中点，，交AC于E，若，则__________．7．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2.请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个条件可以是____________(不再添加辅助线和字母)．8．如图，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处．若∠B＝50°，则∠BDF＝________．二、选择题1．下列命题是真命题的是（）A．如果a2＝b2，那么a＝b B．0的平方根是0C．如果∠A与∠B是内错角，那么∠A＝∠B D．负数没有立方根2．在中，．若，，则的值为（）A．B．C．D．33．已知，则一元二次方程解的情况是（）A．有两个相同的实数根B．有两个不同的实数根C ．没有实数根D ．无法判断4．三角形按边可分为( ) A ．等腰三角形、直角三角形、锐角三角形 B ．直角三角形、不等边三角形C ．等腰三角形、不等边三角形D ．等腰三角形、等边三角形5．如图，在△ABC 中，AC ⊥CB ，CD 平分∠ACB ，点E 在AC 上，且CE ＝CB ，则下列结论：①DC 平分∠BDE ；②BD ＝DE ；③∠B ＝∠CED ；④∠A ＋∠CED ＝90°.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.如图，在△ABC 中，090= A CB ，BE 平分ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果3=AC ，那么DE AE + 等于 ( )A. 2B. 3C. 4D. 57．如图，方格纸中△DEF 的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF 全等的格点三角形有（）个A ．9B ．10C ．11D ．128．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AB=5，BC=12，则sin∠DCE的值是（）A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过矩形的顶点、，，且，点横坐标为，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形中，是边上一点，连结，取线段上点，使且，于，，，则的长（）A．4 B．5 C．D．11．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB三、解答题1．计算：（1）（2）2.如图，AB∥DP，E为DP上一动点，AB＝CB＝CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM⊥EC交直线EC于点M，若∠B＝114°，当AN﹣DM的值最大时，则∠ACE度数是多少？3.如图，点B、F、C、E存同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC ＝DF，BF＝CE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝63°，求∠AGF的度数．4.如图，A，B分别是线段OC，OD上的点，OC＝OD，OA＝OB．求证：△OAD≌△OBC．5.如图，AD＝CB，AB＝CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：（1）△ABC≌△CDA；（2）BE＝DF．6．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.试说明：AC＝DF.7．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．试说明：BD＝AE.8．如图，在中，，垂足为点，点为边上一点，，点为边上一点，，连接交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，，求的长．（1）作△ABC的角平分线BE（点E在AC上；用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数．10.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？11.在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．。

专题09 三角形(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)

专题09 三角形一、选择题1.（2021重庆A 卷第8题）若△ABC ～△DEF ，相似比为3：2，则对应高的比为（）A ．3：2B ．3：5C ．9：4D ．4：92. （2021重庆A 卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE =3米，CE =2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i =1：0.75，坡长BC =10米，则此时AB 的长约为（）（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）．A ．5.1米B ．6.3米C ．7.1米D ．9.2米3.（2021甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（）A ．115°B ．120°C ．135°D ．145°4. （2021甘肃庆阳第8题）已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a +b -c |-|c -a -b |的结果为（）A ．2a +2b -2cB ．2a +2bC ．2cD ．05.（2021广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是（）.A ．4B ．3 C.2 D ．16.（2021湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A ．4B ．5C ． 6D ．77.（2021江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（）A ．2B ．54C ．53D ．75 8.（2021甘肃兰州第3题）如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )A.513B.1213C.512D.13129. （2021甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (0.5DE BC 米，,,A B C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15CG 米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得3CG 米，小明身高 1.6EF 米，则凉亭的高度AB 约为( )A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米10.（2021贵州黔东南州第2题）如图，∠ACD =120°，∠B =20°，则∠A 的度数是（）A ．120°B ．90°C ．100°D ．30°11.（2021山东烟台第12题）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平底面A 处安置侧倾器得楼房CD 顶部点D 的仰角为045，向前走20米到达'A 处，测得点D 的仰角为05.67.已知侧倾器AB 的高度为1.6米，则楼房CD 的高度约为（）（结果精确到0.1米，414.12≈）A ．14.34米B ．1.34米 C.7.35米 D ．74.35米12.（2021四川泸州第10题）已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron ，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S =()()()p p a p b p c ---，其中p =2a b c++；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S =2222221()22a b c a b +--，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）A.3158B. 3154C. 3152D. 15213.（2021浙江嘉兴第2题）长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．9 二、填空题1.（2021浙江宁波第16题）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知500AB 米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．(参考数据：sin340.56°≈，cos340.83°≈，tan340.67°≈)2.（2021甘肃庆阳第16题）如图，一张三角形纸片ABC ，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．3.（2021广西贵港第16题）如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6,8,10PC PA PB ===，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60得到'P C ，连接'AP ，则sin 'PAP ∠的值为．4.（2021贵州安顺第13题）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于．5.（2021湖北武汉第15题）如图△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，∠DAE =60°，BD =5，CE =8，则DE 的长为．6.（2021湖南怀化第15题）如图，AC DC，BC EC，请你添加一个适当的条件：，使得ABC DEC△≌△.7.（2021江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．8.（2021江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．9.（2021甘肃兰州第17题）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，位似中心点是O，35OE OA ，则FGBC.10.（2021贵州黔东南州第12题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC ≌△DEF ．12. （2021山东烟台第16题）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.AOB ∆与''OB A ∆是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为2:3，点B A ,都在格点上，则点'B 的坐标是 .13.（2021四川泸州第16题）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD =2cm ，OE =4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．14.（2021四川自贡第14题）在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM =1，MB =2，BC =3，则MN 的长为．15.（2021新疆建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中：①∠ABC =∠ADC ；②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；④四边形ABCD 的面积S =12AC •B D ．正确的是（填写所有正确结论的序号）16.（2021江苏徐州第13题）ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，7DE =，则BC = ．17. （2021江苏徐州第18题）如图，已知1OB =，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21A AO ，如此下去，则线段n OA 的长度为．18.（2021浙江嘉兴第15题）如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BAC ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠= ，……按此规律，写出tan n BA C ∠= （用含n 的代数式表示）．三、解答题1.（2021浙江衢州第23题）问题背景如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE =∠ABF =∠BCG =∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。

中考数学知识点复习总复习资料大全(精华版)

中考数学总复习资料大全第一章实数★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 1．数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x ≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。

4．相反数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）：代数定义：几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，实数无理数(无限不循环小数)有理数正分数负分数正整数0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数分数正无理数负无理数0 实数负数整数分数无理数有理数正数整数分数无理数有理数│a │ 2a a (a ≥0) (a 为一切实数)a(a≥0)-a(a<0)│a │=只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算 1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷51×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定(二)

2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定（二）1．已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC＝OD；（2）OE是CD的垂直平分线．2．补充完成下列推理过程：．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C（）∵∠ADC＝∠B+∠（）且∠ADE＝∠B∴∠ADC＝∠ADE+∠又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE∴∠BAD＝∠CDE在△BAD和△CDE中．∠B＝∠C∠BAD＝∠CDE＝∴△BAD≌△CDE（）∴AD＝DE（）3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，过A作AC的垂线交∠BCA的角分线于点D．CD交AB于点F．（1）求证：∠ADF＝∠AFD；（2）如图2，DE⊥AF，若AC+BC＝16，DE＝4，求BC的长．4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．5．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．7．（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．8．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．9．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．10．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC ＝∠BAD ＝90°，得S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝S ABC +S ABE ＝S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG ＝FN ＝HM ＝GH +MN ＝2cm ，∠G ＝∠N ＝90°，求五边形FGHMN 的面积．参考答案1．证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，∴∠COE ＝∠DOE ，∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE ＝∠ODE ＝90°，又∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC＝OD；（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC＝OD，CE＝DE，∴OE是CD的垂直平分线．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的外角性质），且∠ADE＝∠B，∴∠ADC＝∠ADE+∠BAD，又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，在△BAD和△CDE中．，∴△BAD≌△CDE（AAS）∴AD＝DE（全等三角形的对应边相等）；故答案为：等边对等角；BAD，三角形的外角性质；BAD；BE，CE；AAS；全等三角形的对应边相等．3．证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCF，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝∠B＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠D＝∠CFB，∴∠ADF＝∠CFB＝∠AFD；（2）如图，过点D作DH⊥BC，交CB的延长线于H，在△ACD和△HCD中，，∴△ACD≌△HCD（AAS），∴AC＝CH，∵∠ABC＝∠H＝90°，DE⊥AB，∠ABH＝90°，∴AB∥DH，DE∥BH，∴DE＝BH＝4，∵AC+BC＝16，∴CH+BC＝BH+BC+BC＝4+2BC＝16，∴BC＝6．4．证明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEF＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAE＝45°＝∠ABE，∴AE＝BE，∵∠C＝90°，∠BEF＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BFE+∠DBC＝90°，∴∠BFE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ADB，∴∠ADB＝∠BFE，即∠ADE＝∠BFE，在△AED和△BEF中，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF．5．解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝40°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°；（2）AD平分∠BDE，理由是：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，即AD平分∠BDE．6．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵DE＝DF，DE＝4，∴DF＝4，∵AC＝16，∴△ADC的面积是＝＝32．7．（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．8．证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB，∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（60°+80°）＝40°，∴∠F＝∠ACB＝40°．9．证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AF⊥BE．（2）解：∵AE＝8，∴EC+AC＝8①，∵DB＝2，∴BC﹣DC＝2．∵BC＝AC，EC＝DC，∴AC﹣EC＝2②，∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．10．解：（1）由题意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：＝2（cm2），即四边形ABCD的面积为2cm2，故答案为：2；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，。

(2021年整理)中考数学知识点总结(推荐完整)

中考数学知识点总结(完整版)(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考数学知识点总结(完整版)(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为中考数学知识点总结(完整版)(推荐完整)的全部内容。

中考数学知识点总结（完整版)(推荐完整)编辑整理:张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望中考数学知识点总结(完整版）(推荐完整）这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。

同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <中考数学知识点总结（完整版）（推荐完整)〉这篇文档的全部内容。

中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点:一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征. 2、无理数：初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1。

101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

2021年中考数学专题复习：三角形基础

2021年中考数学专题复习：三角形基础一、单选题1．已知等腰△ABC ，AB =AC ，点D 是BC 上一点，若AB =10，BC =12，则△ABD 的周长可能是（）A ．15B ．20C ．28D ．36 2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 是△ABC 的外角平分线，BN ⊥AN 于点N ，且AB ＝4，MN ＝2.8，则AC 的长是（）A ．1.2B ．1.4C ．1.6D ．1.8 3．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（） A ．4cm ，6cm B ．6cm ，8cm C ．8cm ，12cm D ．20cm ，30cm 4．平面内将一副直角三角板（90A FDE ∠=∠=︒，45F ∠=︒，60C ∠=°，点D 在边AB 上）按图中所示位置摆放，两条斜边,EF BC 互相平行，则BDE ∠等于（）A ．20︒B ．15︒C ．12︒D ．10︒ 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝70°，则∠B 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70° 6．如图，已知在ABC 中，AB AC =，70ABC ∠=︒，点P 是BAC ∠的平分线AP 和CBD ∠的平分线BP 的交点，射线CP 交AB 的延长线于点D ，则D ∠的度数为（）A ．15︒B ．17.5︒C ．20︒D ．22.5︒ 7．已知一个三角形的两条边长分别是3和5，则第三条边的长度不能．．是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．将一副三角板按如图所示放置，则BFD ∠的度数为（）A ．75°B ．85°C ．95°D ．105° 9．三角形的两边长为2和4，第三边长是方程2680x x -+=的根，则这个三角形的周长是（）A ．8B ．10C ．8或10D ．不能确定 10．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边AC ，BD ，CE 的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC 的面积为（）平方厘米A ．8B ．12C ．16D ．1811．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A ．中线B ．高线C ．角平分线D ．某一边的垂直平分线 12．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AB AD DC ==，过点D 作DE AD ⊥，交AC 于点E ．设BAD ∠=α，CAD β∠=，CDE γ∠=，则（）A ．23180αβ+=︒B ．32180αβ+=︒C ．290βγ+=︒D ．290βγ+=︒二、填空题 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为_______14．如图，在ABC 中，D 是ABC 的重心，1BDE S =，则AEC 的面积是________．15．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的中点，点E 是AD 上的中点，连结BE ，若BDE S ∆=3，则ABC ∆的面积为____．16．一张小凳子的结构如图所示，12∠=∠，若3120∠=︒，则1∠的度数为________．三、解答题17．已知a ，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，且23a b +＝．（1）求a 的取值范围；（2）设32ca b +＝，求c 的取值范围18．证明：三角形内角和180 ．（画出图形，写出已知、求证，并证明）19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 至点D ，连结DC ，过点B 作BE ⊥DC 于点E ，F 为BC 上一点，FC ＝FE ．连结AF ，AE ．（1）求证：F A ＝FE ．（2）若∠D ＝60°，BC ＝10，求△AEF 的周长．20．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（1）画111A B C △，使它与ABC 关于直线l 成轴对称；（2）在直线l 上找一点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和最短；（3）在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC ，BC 的距离相等．21．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．（1）如图①，如果80A ∠=︒，求BPC ∠的度数；（2）如图②，作ABC 外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线，且交于点Q ，试探索Q ∠，A ∠之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段BP ，QC 交于点E 若BQE △中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A ∠的度数．22．已知ABC 的周长为37cm ，AD 是BC 边上的中线，23AC BC =．（1）如图，当15AB cm =时，求BD 的长．（2）若14AC cm =，能否求出DC 的长？为什么？参考答案1．C【分析】根据三角形的三边关系求出△ABD的周长的取值范围即可解答．【详解】解：如图，∵两边之和大于第三边，∴AD+DB>AB，∴AD+DB+AB>2AB，即△ABD的周长>20，当D与C重合时，△ABD周长最长，为AB+AC+BC=32，∴20<△ABD周长<32，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，注意两边之和大于第三边是解题的关键．2．C【分析】延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，可证N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，从而易得ME，由AC=2ME即可求解．【详解】解：延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，如图，∵M为BC的中点，∴ME//AC，ME12=AC∵BN⊥AN，∴ANB∆是直角三角形，∴AE=NE12=AB=2又∵AN是△ABC的外角平分线，∴EAN ENA NAD∠=∠=∠∵NEB ENA EAN EAN NAD DAE∠=∠+∠=∠+∠=∠∴NE//AC∴N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，∵NE＝2，MN＝2.8∴ME=0.8∴AC=2 ME=20.8⨯=1.6故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，得出M、N、AB的中点三点共线．3．D【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形，从而可得答案．【详解】解：由平行四边形的对角线互相平分，可得：A、∵2+3＜10，∴不能构成三角形，故A不符合题意；B、4+3＜10，∴不能构成三角形，故B不符合题意；C、4+6＝10，∴不能构成三角形，故C不符合题意；D、1010+＞15，∴能构成三角形，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边之间的关系，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．4．B【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BGD 的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠ADG 的度数，从而求解．【详解】解：如图所示，CB 与FD 交点为G ，∵90A ∠=︒，60C ∠=°∴∠B=30°，∵EF ∥BC ，∴∠F=∠BGD=45°，又∵∠ADG 是△BDG 的外角，∴∠ADG=∠B+∠BGD=30°+45°=75°，∴∠BDE=180°-∠ADG-∠EDF=180°-75°-90°=15°故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．5．A【分析】根据直角三角形的性质直接求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∵∠A＝70°，∴∠B＝20°故选：A．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．6．A【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的定义推出∠APB=12∠ACB=35°，最后用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：如图，AP与BC相交于点O，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠CAB=40°，∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，∴∠APB=12∠ACB=35°，∵AB=AC，AP是∠BAC的平分线，∴AP⊥BC，OB=OC，∴CP=BP，∴∠APC=∠APB=35°，∴∠BPC=70°，∵BP是△ABC的外角的平分线，∴∠PBD=12∠CBD=55°，∴∠D=∠BPC-∠PBD=70°-55°=15°．故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．A【分析】设第三边长为x，然后再利用三边关系列出不等式，进而可得答案．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：5-3＜x＜5+3，即：2＜x＜8，故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．8．D【分析】由∠BAC=∠ACD＝90°，∠ACB＝30°可得∠BCD＝60°，由三角形外角性质可得∠BFD 的度数．【详解】解：∵∠BAC=∠ACD＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BFD＝∠D+∠B CD＝45°+60°＝105°，故选：D．【点睛】本题考查特殊直角三角形的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．B【分析】首先解方程x2-6x+8=0得：x1=2，x2=4，再根据三角形的三边关系确定第三边长为x=4，再求出三角形的周长即可．解：解方程x 2-6x +8=0，得：x 1=2，x 2=4，∵2+2=4，∴x =2不合题意舍去，∴x =4，∴这个三角形的周长是：2+4+4=10，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，关键是正确确定三角形的第三边的长度．10．C【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可．【详解】解：∵F 是EC 的中点， ∴142AEF AFC AEC S S S ∆∆∆===， ∴8AEC S ∆=，∵ E 是BD 的中点，∴ABE AED S S ∆∆=，BEC ECD S S ∆∆=，∵8AED ECD AEC S S S ∆∆∆+==，∴8ABE BEC AEC S S S ∆∆∆+==，∴228=16ABC ABE BEC AEC AEC S S S S S ∆∆∆∆∆=++==⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．11．A根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．【详解】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．12．D【分析】先根据AB AD DC ==，得出B ADB ∠=∠，β∠=∠=C CAD ，再根据三角形的外角得出+γβ∠=AED ，再根据直角三角形的两锐角互余即可得出结论【详解】解：∵AB=AD=DC ，BAD ∠=α，∴B ADB ∠=∠，β∠=∠=C CAD ，∵DE AD ⊥，∴90ADE ∠=︒，∴+90∠∠=CAD AED∵CDE γ∠=，+∠=∠∠AED CDE C∴+γβ∠=AED∴290βγ+=故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键13．30°或60°【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．【详解】解：分两种情况：①如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=12（180°-∠A ）=60°； ②如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=12（180°-∠BAC ）=30°．故答案为：30°或60°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质．解决问题的关键是根据已知画出图形并注意要分类讨论．14．3【分析】由三角形的重心是三角形三条中线的交点可得：点E 是BC 的中点，点F 是AC 的中点，BD ∶DF=2∶1，进而根据三角形的中线与三角形面积的关系可得：11,22BFC ABC AEC ABC S S S S ==，12BEF BFC S S =，然后由1BDE S =可进行求解．【详解】解：由三角形的重心是三角形三条中线的交点可得：点E 是BC 的中点，点F 是AC 的中点，∴BD ∶DF=2∶1，∴BD ∶BF=2∶3，由三角形的中线与三角形面积的关系可得：11,22BFC ABC AEC ABC S S S S ==，12BEF BFC S S =， ∴2BFC AEC BEF SS S ==， ∵1BDE S =， ∴3322BEF BDE S S ==， ∴3232AEC S =⨯=；故答案为3．【点睛】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键．15．12【分析】根据中线的性质可得S △ABE =S △BDE =3，从而得到S △ABD =6，根据中线的性质可得S △ADC =S △ABD =6，所以可得△ABC 的面积．【详解】解：∵点E 是AD 上的中点，∴S △ABE =S △BDE =3，∴S △ABD = S △ABE +S △BDE =6，∵点D 是BC 上的中点，∴S △ADC =S △ABD =6，∴S △ABC = S △ADC +S △ABD =12．故答案为12．【点睛】本题考查了三角形中线的性质．三角形中线分三角形所得的两个三角形面积相等． 16．60°【分析】根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠1的度数．【详解】解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=120°， ∴113602∠=∠=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形外角的性质．能正确识图是解题关键．17．（1）0 1.5a <<；（2）36c <<【分析】（1）根据23a b+＝可得23b a -＝，再根据三角形三边关系得2b ＞a ，即可求出a 的取值范围；（2）用含a 的代数式表示c ，再根据a 的取值范围和不等式的性质即可求得c 的取值范围．【详解】解：（1）∵23a b+＝， ∴23b a -＝，∵a ，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，∴b+b=2b ＞a ＞0∴3a a ->＞0，解得：0 1.5a <<；（2）∵32ca b +＝，23a b +＝， ∴32c a b +＝=3323a a a +-=+∵0 1.5a <<，∴3236a <+<，即36c <<．【点睛】本题考查等式的性质、不等式的性质、解一元一次不等式、三角形的三边关系，掌握不等式的性质，以及三角形的三边关系是解答的关键．18．见解析．【分析】利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为180°，证明解题即可．【详解】已知：如图，ABC求证：180A B C ∠+∠+∠=︒证明：过点A 作//EF BC ，如图，//EF BC1,2B C ∴∠=∠∠=∠12180BAC ∠+∠+∠=︒180A B C ∴∠+∠+∠=︒∴三角形内角和180︒．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．（1）见解析；（2）15【分析】（1）证明∠EBC＝∠BEF，得出BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，即可得出结论；（2）易证∠ACD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°，则∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝75°，由（1）得F A＝FE，AF是斜边BC上的中线，得出AF⊥BC，AF＝12BC＝5，由FC＝FE，推出∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝30°，得出∠AFE＝60°，则△AEF是等边三角形，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵BE⊥DC，∴∠EBC+∠ECB＝∠CEF+∠BEF＝90°，∵FC＝FE，∴∠ECB＝∠CEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，∴F A＝FC，∴F A＝FE；（2）解：∵∠D＝60°，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝30°+45°＝75°，由（1）得：F A＝FE，AF是斜边BC上的中线，∴AF⊥BC，AF＝12BC＝5，∵FC＝FE，∴∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴△AEF 的周长＝3AF ＝3×5＝15．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明△AEF 是等边三角形是解题的关键．20．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析【分析】（1）根据轴对称的性质，在网格上分别找到点A 、点B 、点C 的对称点点1A 、点1B 、点1C ，连接11A B 、11A C 、11B C ，即可得到答案；（2）根据轴对称的性质，得1PB PB =；再根据两点之间线段最短的性质，即可得到答案；（3）结合题意，根据角平分线的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）如图所示，在网格上分别找到点A 、点B 、点C 的对称点点1A 、点1B 、点1C ，连接11A B 、11A C 、11B C；（2）根据（1）的结论，点B 、点1B 关于直线l 成轴对称∴1PB PB =∴1PA PB PA PB +=+如下图，连接1AB∴当点P 在直线l 和1AB 的交点处时，11PA PB AB +=，为最小值，∴当点P 在直线l 和1AB 的交点处时，PA PB +取最小值，即点P 到点A 、点B 的距离之和最短；（3）如图所示，连接1CC根据题意的：11ACC BCC ∠=∠∴点Q 在直线l 和1CC 的交点处时, 点Q 到边AC ，BC 的距离相等．【点睛】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、两点之间线段最短、角平分线的性质，从而完成求解．21．（1）130︒；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）A ∠的度数是90°或60°或120° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE 中，由于∠Q=90°12-∠A ，求出∠E=12∠A ，∠EBQ=90°，所以如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E ；④∠E=2∠Q ；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）∵80A ∠=︒，∴100ABC ACB ∠+∠=︒，又∵点P 是ABC ∠和ACB ∠的平分线的交点，∴50PBC PCB ∠+∠=︒，∴()180********P PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）∵外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线交于点Q ， ∴12QBC MBC ∠=∠，12QCB NCB ∠=∠， ∵180ABC MBC ∠+∠=︒，180ACB NCB ∠+∠=︒，∴180MBC ABC ∠=︒-∠，180NCB ACB ∠=︒-∠， ∴()12QBC QCB MBC NCB ∠+∠=∠+∠ ()13602ABC ACB =︒-∠-∠ ()1360180-2A =︒-︒∠⎡⎤⎣⎦ ()11802A =︒+∠ 1902A =+∠︒， ∴()180Q QBC QCB ∠=︒-∠+∠1180902A ⎛⎫=︒-︒+∠ ⎪⎝⎭ 1902A =︒-∠；（3）延长BC 至F ，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．22．（1）6cm ；（2）不能求出DC 的长，理由见解析【分析】（1）根据23AC AB =，15AB cm =及ABC 的周长为37cm ，可求得BC ，再根据三角形中线的性质解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC 的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC 不存在，进而可知没法求DC 的长．【详解】解：（1）∵23AC AB =，15AB cm =， ∴215103AC cm =⨯=，又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=，∴()3737151012BC AB AC cm =--=--=，又∵AD 是BC 边上的中线， ∴()1112622BD BC cm ==⨯=；（2）不能，理由如下： ∵23AC AB =，14AC cm =， ∴()314212AB cm =⨯=，又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=，∴()373721142BC AB AC cm =--=--=，∴BC+AC=16<AB=21，∴不能构成三角形，故不能求出DC 的长．【点睛】此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021中考数学总复习知识点总结：第九章三角形
2021中考数学总复习知识点总结：第九章三角形
第九章三角形
考点一、三角形（3~8分）
1.三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的
线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做
三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段
（1）三角形角的平分线与角的另一侧相交。

顶点和角交点之间的线段称为三角形的
角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从
三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角
形的高）。

3、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的。

三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这一性质
在生产和生活中有着广泛的应用。

需要稳定的东西通常做成三角形。

4.三角形的特征和表
示有以下三个特征：（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接
三角形符号“？”顶点为a、B和C的三角形记录为“？ABC”，读作“三角形ABC”。

5.三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：不等边三角形
底部和腰部不等长的等腰三角形
等边三角形
三角形根据角度之间的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形锐角三角形（三个角为锐角的三角形）斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
连接边和角，我们有一个特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是一个直角三角形，两
条直角边相等。

6、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两条边之和大于第三条边。

推论：三角形两边
的差值小于第三边。

（2）三角形三边关系定理和推论的功能：① 判断三条已知线段是
否能形成三角形；② 当两边都已知时，可以确定第三面的范围。

③ 证明了线段的不等式。

7.三角形内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：
① 直角三角形的两个锐角相辅相成。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任
何一个和它不相邻的内角。

注：在同一三角形中：等角到等边；等边等角；从大角到大边；从大边到大角。

8.三
角形的面积三角形的面积=
12×底×高
测试点2：全等三角形（3-8点）
1、全等三角形的概念
两个完全重合的数字称为全等数。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫
做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相
邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示
和性质
一致性由“符号”表示≌读作“人人平等”。

例如，△ 基础知识≌ △ def，读作
“三角形ABC等于三角形def”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角
形全等的判定三角形全等的判定定理：
（1）边、角和边定理：有两个三角形，其两边等于它们的夹角（可以简单地写为“边、角和边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角
边角”或“asa”）
（3）边定理：有两个三角形，其三条边对应于相同的同余（可以简单地写为“边”
或“SSS”）。

直角三角形同余的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有hl定理（斜边、直角边定理）：有
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“hl”）4、全等变换
仅改变图形位置而不改变图形形状和大小的图形变换称为全等变换。

全等变换包括以
下三种类型：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：
将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）这种旋转称为旋转到某个位置。

考点三、等腰三角形（8~10分）
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称等边等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的每个角都相等，每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他
特性：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
② 等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角（或直角），但顶角可以是钝角（或
直角）。

③ 等腰三角形的三边关系：如果腰长是a，底边长是B，那么
b2
④ 等腰三角形的三角形关系：如果顶角为∠ A底部的角度是∠ B和∠ C、然后∠
a=180°-2∠ B∠ B=∠ C=
180a2
2.等腰三角形的确定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果三角形的两个角相等，则两个角的对边相等（简称等角到等边）。

这个判
定定理经常被用来证明同一三角形中的边是相等的。

推论1：三个角相等的三角形是等边
三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果锐角等于30°，则与之相对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；中线
2.等腰三角形两腰部的中线相等，其交点与底边两端的距离相同。

等腰三角形判定
1.两边上中线相等的三角形是等腰三角形；
2.如果三角形一侧的中心线与该侧垂直（平）
分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形
1.如果三角形顶角的平分线垂直于角的对边（对边的平分线），则三角形为等腰三角形；
2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

2.如果三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；高线
2.等腰三角形的两个腰部高度相同，其交点与底边两端的距离相同。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形
是等腰三角形；
2.两个高度相等的三角形是等腰三角形。

角平分线
1.等腰三角形顶角的平分线将底边垂直平分；
角边
等边等角
底的一半
等角到等边
两边相等的三角形是等腰三角形
4.三角形中的中线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形有三条中线，它们再次形成一个新的三角形。

（2）能够区分三角形的
中线和中线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位
线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

一般结论：任何三角形都有三条中线，分别是：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条
中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个
面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中线的夹角等于夹角相对的三角形的顶角。