初三数学三角形知识点讲解
初三数学总复习指导--第十讲 三角形
第十讲 三角形一、课标下复习指南1．三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三角形的主要线段和特殊点(1)三角形的主要线段：三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的高：三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(2)三角形的特殊点三角形的外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心(即三角形外接圆的圆心)．外心到三角形各顶点的距离相等．三角形的内心：三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心(即三角形内切圆的圆心)．内心到三角形各边的距离相等．三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的垂心：三角形的三条高相交于一点，这点称为三角形的垂心．3．三角形的边、角关系(1)关于边的关系：①三角形任意两边之和大于第三边； ②三角形任意两边之差小于第三边．(2)关于角的关系：①三角形三个内角的和等于180°； ②三角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角； ④三角形的外角和等于360°．(3)关于边、角的关系：①在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边． *②在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．4．三角形的分类(1)按边的相等关系分类如下：(2)按角的大小分类如下：5．等腰三角形(1)定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．(2)性质：①等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线．(3)判定：①根据等腰三角形的定义判定；②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．6．等边三角形(1)定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．(2)性质：①具有等腰三角形的性质； ②等边三角形的每个角都是60°，各边相等；③等边三角形的外心、内心、中心、重心互相重合成一点．若等边三角形的边长为a ，则其外接圆半径R a 33=，内切圆半径a r 63=，一边上的高a h 23=，其面积为.432a(3)判定：①根据等边三角形的定义判定；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．7．直角三角形(1)定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．(2)性质：①直角三角形中，两个锐角互余；②勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边大于直角边；④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(3)判定：①根据直角三角形的定义判定；②勾股定理的逆定理：如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．8．全等三角形(1)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．(3)全等三角形的判定：两个三角形具备以下条件之一的就全等：①三边对应相等，即SSS；②两边及其夹角对应相等，即SAS；③两角及其夹边对应相等，即ASA；④两角和其中一角的对边对应相等，即AAS．如果两个三角形都与同一个三角形全等，那么这两个三角形全等；两个直角三角形全等还可以用斜边和一条直角边对应相等(即HL)来判定．9．三角形具有稳定性10．角平分线的性质定理及逆定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上．11．线段垂直平分线性质性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．12．作图(1)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法．(2)利用基本作图法作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．13．命题与定理(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常写成“如果……那么……”的形式．(2)定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理．(3)互逆命题：两个命题，如果第一个命题的题设和结论分别是第二个命题的结论和题设，那么这两个命题叫互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．原命题成立其逆命题不一定成立．(4)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理．二、例题分析例1已知三角形的三边长分别为2，x－1，3，则x的取值范围是______．分析运用三角形三边关系定理及不等式的性质即可求出x的取值范围．例2 在△ABC中，∠A－∠B＝∠B－∠C＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数．分析巧妙变形已知的等式，结合三角形内角和定理进行计算．例3如图，在△ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边的长．分析因为AD＝DC，BD为△ABD和△BCD的公共边，所以两个三角形周长差实际上是AB－BC或BC－AB．说明①解这类题要分类讨论，不要忘记有两种情况；②要用三角形三边关系来检验，注意这也是容易忽略的地方．例4如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF ．分析 延长中线一倍长，得到一对全等三角形△BDH 和△CDA ，将证明AC ＝BF 转化为证明BH ＝BF ．说明 此题也可以将FD 延长一倍构造一对全等三角形，从而将线段集中到一个三角形中．因此，“倍长中线”或“倍长过中点的线段”构造全等三角形，使问题得到转化，这是有中点条件时常做的辅助线，实际也是通过旋转变换来解决问题．例5已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝DC ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．分析 因为BD 平分∠ABC ，而其他条件偏少，联想到角平分线定理的基本图形，所以从D 点向∠ABC 的两边作垂线段．说明 (1)这一证法是利用角平分线的性质证出垂线段相等，这种添辅助线的方法要熟练掌握．(2)这道题还可以围绕AD ＝DC 这一条件添辅助线，线段相等就考虑等腰三角形、平行四边形等．考虑等腰三角形有以下两种方法：①如图10－4，在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，可证△ABD ≌△EBD ．②如图10－5，延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连接ED ，可证△BDE ≌△BDC例6 如图，∠BAC ＝∠ABD ，AC ＝BD ，点O 是AD ，BC 的交点，E 是AB 的中点，试判断OE 与AB 的位置关系，并给出证明．例7 如图10－7，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ．(1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3) 若O 为AB 的中点，求证：.21BE OF 例8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF ＝∠AFE ．求证：EF ⊥BC ．分析 要证EF ⊥BC ，而图中EF 与BC 没有直接联系，而已知条件主要是两个等腰三角形，与BC 垂直的是△ABC 中BC 边上的高，与EF 垂直的是△AEF 的底边EF 上的高．说明 ①在同一三角形中，有边相等，要联想到角相等；有角相等，要联想到边相等；②牢记“等腰三角形底边上三线合一”这条性质，这条辅助线的作用很大；③本题提供了证明垂直的一种思考方法：若a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ． 说明 证法三至证法五运用了证明垂直的常用方法，即要证垂直，就是要证它们的夹角为90°，可通过计算来证得．例9 已知：如图10－13，点B ，C ，D 三点在一条直线上，且△ABC 与△ECD 都为等边三角形，连接BE 交AC 于M ，连接AD 交EC 于N ．(1)试比较BE 与AD 的大小，并证明你的结论；(2)连接MN ，试确定MN 与BD 的位置关系，并说明理由．分析 (1)只需证明△BCE ≌△ACD 即可；:(2)可由△BCM ≌△ACN 得MC ＝NC ，再由∠3＝60°推出△MCN 是等边三角形，则∠6＝∠2＝60°，从而MN ∥BD ．三、课标下新题展示例10.数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答以下问题：(1)已知：如图10－19(a)，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；(2)在证明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形如图10－19(b)、10－19(c)也具有这种特性．请你在图10－19(b)、图10－19(c)中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；(3)接着，小颖又发现：一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．四、课标考试达标题(一)选择题1．下面四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是( )．2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )．A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm3．如图10－22，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于( )．A ．44°B ．68°C ．46°D ．22°4．如图10－23，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于O 点，那么∠AOB ＋∠DOC 的度数为( )．A ．120B ．180C ．130D ．无法计算5．如果等边三角形的边长为4，那么连接其各边中点所组成的三角形的周长为( )．A ．2B ．6C ．8D ．126．等腰三角形的一个角是20°，那么另外两个角分别是( )．A ．140°和20°B ．80°和80°C ．140°和20°或80°和80°D ．以上都不对7．如图10－24，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为( )．A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米(二)填空题8．如图10－25，在△ABC 中，AD 是中线，则△ABD 的面积______△ACD 的面积．9．如图10－26，在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝∠72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ，则∠CDF ＝______°．10．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BC ＝10cm ，BD ＝6cm ，则点D 到AB 的距离为______cm ．11．如图，∠1＝∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加的一个条件是______12．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为______．13．如图10－30，在△ABC 中，BC ＝5cm ，BP ，CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，且PD ∥AB 交BC 于D ，PE ∥AC 交BC 于E ，则△PDE 的周长是______cm ．(三)解答与证明题14．如图10－31，□ABCD 中，直线MQ 分别交DA ，AB ，BD ，DC ，BC 或其延长线于M ，N ，E ，P ，Q ，且MN ＝PQ 求证：DE ＝BE ．15．如图10－32，已知AD 、BE 是△ABC 的高，AD 和EB 的延长线相交于H ，且BH ＝AC ． 求∠ABC 的度数．16．如图10－33，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ．求证：BC ＝DC ．17．如图10－34，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且.41BC EC 求证：∠EF A ＝90°．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠CDA＝∠FDB．。
初三数学三角形知识点总结归纳
初三数学三角形知识点总结归纳三角形是初中数学中的重要内容，掌握三角形的相关知识是理解和解决相关问题的基础。
在初三数学学习中，我们需要对三角形的性质、分类、定理等内容进行总结和归纳，以便更好地应对考试和日常学习中的问题。
一、三角形的基本概念三角形是由三条边和三个内角组成的图形。
常见的表示方法有三个顶点的大写字母或者使用线段AB、BC、CA表示。
三角形的顶点分别为A、B、C，三边分别为a、b、c，对应的内角为∠A、∠B、∠C。
二、三角形的分类1. 根据边的长度分类：- 等边三角形：三条边的长度相等，对应的内角也相等，记作∆ABC。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，对应的两个内角也相等，记作∆ABC。
- 普通三角形：三条边的长度均不相等，对应的内角也均不相等，记作∆ABC。
2. 根据角度的大小分类：- 直角三角形：一个内角为直角（90度角），记作∆ABC。
- 钝角三角形：一个内角大于90度，记作∆ABC。
- 锐角三角形：三个内角均小于90度，记作∆ABC。
三、三角形的性质1. 三角形内角和定理：一个三角形的内角和等于180度。
∠A + ∠B + ∠C = 180度2. 三角形的外角和定理：一个三角形的外角和等于无关角的内角和或补角。
∠D = ∠A + ∠B 或∠D = 180度 - ∠C3. 三角形的边与角关系：- 三角形两边之和大于第三边。
- 三角形两边之差小于第三边。
- 三角形内角的关系：最大的内角对应最长的边，最小的内角对应最短的边。
四、常见的三角形定理1. 直角三角形的性质：- 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
c^2 = a^2 + b^2- 余弦定理：直角三角形中，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。
a^2 = c^2 - b^2 或 b^2 = c^2 - a^22. 等腰三角形的性质：- 等腰三角形的底角相等。
∠A = ∠C- 等腰三角形的高度和斜边关系：等腰三角形的高度是斜边平分线的垂直平分线。
初三数学直角三角形性质、相关定理和推论
第2次课：直角三角形性质、相关定理和推论一、考点、热点回顾1、基本知识点：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
应用：由边的关系判定三角形是直角三角形定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL ） 应用：判定直角三角形全等的方法 2、互逆定理如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
全等三角形中相等的边所对的角相等。
全等三角形中相等的角所对的边相等。
逆命题： 互逆命题： 逆定理： 互逆定理：三角形三边长与三角形形状之间的关系设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边的长（1）若222+=a b c ，则三角形为直角三角形； （2）若222+<a b c ，则三角形为钝角三角形； （3）若222+>a b c ，则三角形为锐角三角形；二、典型例题例如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AB=5，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长。
DABC例如图,在△ABC 中,D 是BC 上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD 的长.例右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m,∠A ＝30 °, 立柱BC 、DE 要多长？例将下面的空补充完整。
如图所示，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°.求证：AB=4BD解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°∴ BC= AB ∠B=又∵△BCD 中,CD ⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即例：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果ab ＝0，那么a ＝0， b ＝0AB CD1.如图,CD ⊥AD,CB ⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.2.如图，一架2.5m 长的梯子AB ，斜靠在一坚直的墙上AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯足将向外移动多少米？3.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交高AD 于点F ，且BF=AC ，FD=CD 。
初三数学重要知识点
初三数学重要知识点初三数学知识点梳理三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。
5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
九年级下册数学复习计划一、紧扣大纲，精心编制复习教案初中数学内容多而杂，其基础知识和基本技能又分散覆盖在三年的教科书中，学生往往学了新的，忘了旧的。
因此，必须依据大纲规定的内容和系统化的知识要点，精心编制复习计划。
计划的编写必须切合学生实际。
可采用基础知识习题化的方法，根据平时教学中掌握的学生应用知识的实际，编制一份渗透主要知识点的测试题，让学生在规定时间内独立完成。
初三数学提高(内容：全等三角形 相似三角形 三个二次：二次根式 一元二次方程 二次函数)
内容：全等三角形 相似三角形 三个二次：二次根式 一元二次方程 二次函数 考点一、全等三角形 （3~8分） 1、全等三角形的概念能够 的两个图形叫做全等形。
能够 的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
就是三角形中相邻两角的公共边， 就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示 写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定（1SAS ”） （2ASA ”） （3”）。
4（1（2（3基础1. ∴AB ＝DE （ ）2.如图, 已知AB=AC, BE ⊥AC 于E, CF ⊥AB 于F, BE 、CF 交于点D. 求证: (1)△ABE ≌△ACF; (2)点D 在∠BAC 的平分线上.3. 已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF求证：AC 与BD 互相平分A BEO F巩固如图∠ABC=900，AB=BC ，AE 是角平分线，CD ⊥AE 于D 。
求证：CD = 21AE 提高１.如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边①DFE △③DE A ．①②③２.３. （1） （2）FDECB AC４.如图甲，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．如果AB AC =，90BAC =∠，解答下列问题：①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF BD ，之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线时，请画出图形，①中的结论是否仍然成立，为什么？1234512、计算： (1) 25341122÷⨯3．2(-C（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22(0)(0)a a a a =≥=≥与（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2a a （30,0)0,0)a b a b =≥≥≥≥（40,0)0,0)a b a b =≥>=≥>（5）(a 12、已知1（1（2A 4-≥x B 2>x C 24≠-≥x x 且 D 24≠->x x 且（3）下列各运算，正确的是（ ）A 565352=⋅B 532592519==⎪⎭⎫⎝⎛-⨯- C ()12551255-⨯-=-⨯- D y x y x y x +=+=+2222（40)y >是二次根式，化为最简二次根式是（ ）0)y >B0)y >0)y > D ．以上都不对 （5）化简2723-的结果是（）33A B C D --2、计算．(1)453227+-(3)3、已知a 1（1）=a A a,b（2A35（3）把(A B CD-2、计算： （1）5426362+-- （2） （3）22(-3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：= = (1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想1544的变化结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n 为任意自然数，且n ≥2)表示的等式并进行验证．1.通常 数项23 例如：不解方程，判断下列方程根的情况：(1) x(5x+21)=20 (2) x 2+9=6x (3)x 2—3x = —54．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2 则x 1 +x 2= ；x 1 ²x 2= ____________ 例如：方程2x 2+3x —2=0的两个根分别为x 1，x 2 则x 1+x 2= ；x 1 ²x 2= _________交流提高请形成本章的知识结构。
解直角三角形知识点总结
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
初三数学三角形知识点总结归纳
三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种;它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形;三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在;另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的;三角形中有三条边,三个角,三个顶点;三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线;这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握;并且对这三条线段必须明确三点：1三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线;2三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部;而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边;3在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点;在以后我们可以给出具体证明;今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心;三角形的按边分类三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等;所以三角形按的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例;判定三条边能否构成三角形的依据△ ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”;可知：△③a+b＞c,①a+c＞b,②b+c＞a△定理：三角形任意两边的和大于第三边;△由②、③得b―a＜c,且b―a＞―c△故|a―b|＜c,同理可得|b―c|＜a,|a―c|＜b;从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边;上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理;另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据;如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形;判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|＜a＜b+c,则可构成三角形;这是因为|b-c|＜a,即b-c＜a,且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c,再加上b+c＞a,便满足任意两边之和大于第三边的条件;反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|＜a＜b+c;在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形;同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|＜a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形;证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路：方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,运用平行线的性质,可得∠B＝∠2,∠C＝∠1,从而证得三角形的内角和等于平角∠DAE;方法2 如图,在△ABC的边BC上任取一点D,过D作DE‖AB,DF‖AC,分别交AC、AB于E、F,再运用平行线的性质可证得△ABC的内角和等于平角∠BDC;三角形按角分类根据三角形的内角和定理可知,三角形的任一个内角都小于180°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角;三角形按角可分类如下：根据三角形的内角和定理可有如下推论：推论1 直角三角形的两个锐角互余;推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;同时我们还很容易得到如下几条结论：1一个三角形最多有一个直角或钝角;2一个三角形至少有两个内角是锐角;3一个三角形至少有一个角等于或小于60°否则,若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°,这与定理矛盾;4 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于360°;全等三角形的性质全等三角形的两个基本性质1全等三角形的对应边相等;2全等三角形的对应角相等;确定两个全等三角形的对应边和对应角怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角其方法主要可归结为：1若两个角相等,这两个角就是对应角,对应角的对边是对应边;2若两条边相等,这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角;3两个对应角所夹的边是对应边;4两个对应边所夹的角是对应角;由全等三角形的定义判定三角形全等由全等三角形的定义知,要判定两个三角形全等,需要知道三条边,三个角对应相等,但在应用中,利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的,因而需要找到能完全确定一个三角形的条件,以便用较少的条件,简便的方法来判定两个三角形的全等;判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即SAS;这个判定方法是以公理形式给出的,我们可以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明,这点要区分开来;公理中的题设条件是三个元素：边、角、边,意指两条边和这两条边所夹的角对应相等;不能理解成两边和其中一个角相等;否则,这两个三角形就不一定全等;例如在△ABC和△A′B′C′中,如右图,AB=A′B′,∠A=∠A′,BC=A′C′,但是△ABC不全等于△A′B′C′;又如,右图,在△ABC和△A′B′C′中,AB＝A′B′,∠B=∠B′,AC＝A′C′,但△ABC和△A′B′C′不全等;原因就在于两边和一角对应相等不是公理中所要求的两边和这两条边的夹角对应相等的条件;说明：从以上两例可以看出,SAS≠SSA;判定两个三角形全等的第二个公理内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等即ASA;这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它;公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个顺序关系;千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边;如右图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB＝A′C′,但这两个三角形显然不全等;原因就是没有注意公理中“对应”二字;公理一中的边、角、边,其顺序是不能改变的,即SAS不能改为SSA或ASS;而ASA 公理却能改变其顺序,可改变为AAS或SAA,但两个三角形之间的“对应”二字不能变;同时这个公理反映出有两个角对应相等,实质上是在两个三角形中有三个角对应相等,故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了;由公理二可知,有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等判定两个三角形全等的边、边、边公理公理：三条边对应相等的两个三角形全等即边、边、边公理;边、边、边公理在判定两个三角形全等时,其对应边就是相等的两条边;这个公理告诉我们,只要一个三角形的三边长度确定了,则这个三角形的形状就完全确定了;这就是三角形的稳定性;判定两个三角形全等通过以上三个公理的学习,可以知道,在判定两个三角形全等时,无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等,而只需要其中三对条件;三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合;无非有如下情况：1三边对应相等;2两边和一角对应相等;3一边和两角对应相等;4三角对应相等;HL公理我们知道,满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等;但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却一定成立;斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简写为HL;这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等;这种边、边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件;由于直角三角形是一种特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用;角平分线的性质定理和逆定理性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;逆定理：到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上;点在角平分线上点到这个角的两边距离相等;用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理性质定理：∵P在∠AOB的平分线上PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE逆定理：∵PD＝PE,PD⊥OA,PE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上;角平分线定义如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线; 角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合;三角形角平分线性质三角形三条平分线交于一点,并且交点到三边距离相等;互逆命题在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题;原命题和逆命题的真假性每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,而它的逆命题不一定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真;互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理;每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理尺规作图限定用直尺没有刻度和圆规的作图方法叫尺规作图;基本作图最基本最常见的尺规作图称之为基本作图,主要有以下几种：1作一个角等于已知角；2平分已知角；3过一点作已知直线的垂线；4作已知线段的垂直平分线；5过直线外一点作已知直线的平行线;有关概念有两边相等的三角形称为等腰三角形;三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形;有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形;等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例;等腰三角形的有关概念等腰三角形中,相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个角称为底角;等腰三角形的主要性质两底角相等;如图,ΔABC中AB＝AC,取BC中点D,连结AD,容易证明：ΔABD≌ΔACD,∴∠B＝∠C;如图,ΔABC中为等边三角形,那么,由AB＝AC,得∠B＝∠C,由CA＝CB,得∠A＝∠B,于是∠A＝∠B＝∠C,但∠A＋∠B＋∠C＝180°,∴∠A＝∠B＝∠C＝60°如图,ΔABC中AB＝AC,且AD平分∠BAC,那么由ΔABD≌ΔACD,可得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC,但∠ADB＋∠ADC＝180°,∴∠ADB＝90°,从而AD⊥BC,由此又可得到另外两个重要推论;两个重要推论等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边；等边三角形各内角相等,且都等于60°;等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法三角形中,相等的边所对的角相等;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一;等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边;它们都是证明两条线段相等的重要方法;推论3在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 容易证明：这个推论的逆命题也是正确的;即：在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°;运用利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论：“在一个三角形内,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角也较大；反过来,在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大;”对称轴及中心线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分;线段的中点就是它的中心,今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”;线段是以它的中垂线为对称轴的图形;三线合一的定理的逆定理如图所示,线段中垂线的性质定理的几何语言为：,于是可以用来判定等腰三角形,其定理实质上是三线合一定理的逆定理;“距离”不同,“心”也不同“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”,而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”;三角形三条角平分线相交于一点,这点到三边的距离相等这点称为三角形的内心;三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等这点称为三角形的外心;重要的轨迹图A所示;到角的两边OA、OB的距离相等的点P1、P2,P3…组成一条射线OP,即点的集合;如图B所示,到线段AB的两端点的距离相等的所有点P1、P2、P3…组成一条直线P1P2,因此这条直线可以看成动点形成的“轨迹”;第十三节轴线称和轴对称图形轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形叫做关于这条直线对称,也称轴对称;根据定义,两个图形和如果关于直线l轴对称,则：1和这两个图形的大小及形状完全相同;2把其中一个图形沿l翻折后,和应完全重合,自然两个图形中的有关对应点也应重合;事实上,直线l是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线;所以容易得到如下性质：性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等形;性质2 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; 性质3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点必在对称轴上;不难看出,如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称;轴对称图形如果一个图形沿着一条直线翻折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形;轴对称和轴对称图形的区别和联系区别①轴对称是指两个图形关于某条直线对称,而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称;②轴对称的对应点分别在两个图形上,而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上;③轴对称中的对称轴可能在两个图形的外边,而轴对称图形中的对称轴一定过这个图形;联系①都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合;②如果把轴对称的两个图形看成是一个整体,那么这个整体反映出的图形便是一个轴对称图形；反过来,如果把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个图形,那么这两部分对应的两个图形则关于这条对称轴而成轴对称;第十四节勾股定理直角三角形直角三角形中,两锐角互余,夹直角的两边叫直角边,直角的对边叫斜边,斜边最长;等腰直角三角形等腰直角三角形是直角三角形中的特例;也是等腰三角形中的特例;等腰直角三角形的两个底角都等于45°,顶角等于90°,相等的两条直角边是腰;勾股定理直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即,这就是勾股定理; 判定直角三角形如果ΔABC的三边长为a、b、c,且满足,那么ΔABC是直角三角形,其中∠C＝90°;第十五节勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理;即：在△ABC中,若a2＋b2＝c2,则△ABC为Rt△;如何判定一个三角形是否是直角三角形首先求出最大边如c;验证c2与a2＋b2是否具有相等关系;若c2＝a2＋b2,则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形;若c2≠a2＋b2,则△ABC不是直角三角形;攻关秘技方法1：证明“文字叙述的几何命题”的方法这类题目证明起来较一般几何题要难,但还是有一定的思路和方法,一般先对题目进行总体分析,分析内容大致分为以下四点,然后逐步解决;1分析命题的题设和结论；2结合题设和结论画出图形；3综合题设结论和图形写出已知、求证；4进行证题分析;方法2：等腰三角形的边角求值法在解等腰三角形的边角求值题时,应考虑到各种可能的情况,还要排除不能构成三角形的情形;特别在解决线段或角的和差倍半关系时,常利用合成法或分解法,借助添加辅助线来完成;方法3：判定一个三角形是直角三角形的方法判定一个直角三角形可利用勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线性质或直角三角形的定义等,这些方法都要求掌握并能灵活运用;方法4：作图题几何作图题的每一步都必须有根有据,所以就要求我们掌握好已学过的公理、定理等;要掌握好尺规作图,还要多画多练;知识点：全等三角形的判定与性质方法：分析法能力：分析与解决问题的能力难度：中等知识点：全等三角形；角平分线方法：合成法；分解法能力：分析与解决问题的能力；逻辑推理能力难度：中等偏难知识点：等腰直角三角形的性质；线段的垂直平分线性质；勾股定理方法：综合法能力：分析与解决问题的能力难度：中等偏难知识点：线段的性质方法：数形结合法能力：空间想象能力；分析与解决问题的能力难度：中等偏难专题1：一题多问、一题多图和多题一解提高分析问题和解决问题能力的方法是多种多样的,而认真的设计课本中例题、习题的变式,挖掘其潜能也是方法之一;课本中的例题、习题为中考命题提供了丰富的源泉,它们具有丰富的内涵,在由知识转化为能力上具有示范性和启发性,在解题思路和方法上具有典型性和代表性;如果我们不以得到解答为满足,而是在解完之后,深入其中作进一步的挖掘和多方位探索,不仅可得到一系列的新命题,也可从“题海”中解脱出来,达到事半功倍的效果;而且通过不同角度、不同方位去思考问题,探索不同的解答方案,从而拓宽了思路,培养了思维的灵活性和应变能力;专题2：利用扩、剖、串、改提高解题能力学习几何时,感到例题好学易懂,但对稍加变化拓宽引申的问题束手无策,原因是把例题的学习看成是孤立的学一道题,学完就了事,致使解题时缺乏应变能力,但如果平时能重视对题目的扩充、剖解、串联和改编,就能较好地解决这一问题; 1．扩充：将原题条件拓展,使结论更加丰富充分;2．剖解：分析原题,将较复杂的图形肢解为若干个基本图形,使问题化隐为显; 3．串联：由例题的形式条件、结论等,联想与它相似、相近、相反的问题; 4．改编：改变原题的条件形式,探索结论是否成立专题3：分析、综合、辅助线我们研究不等式的有关问题时,会发现很多巧妙的方法,还会不断学习掌握类比的数学思想,形数结合的思想,从未知向已知转化的化归思想,通过研究这些不断变化的问题,全面把握不等式及不等式组的解法,从而提高我们分析问题、解决问题的能力;专题4：不等式的若干应用在平面几何里,证题思路主要有：1分析法,即从结论入手,逐步逆推,直至达到已知事实后为止;2综合法,先从已知条件入手,运用已学过的公式、定理、性质等推出证明的结论;3两头凑,就是将综合法和分析法有机地结合起来思考：一方面“从已知推可知”,从已知看可以推出哪些结论；另一方面“由未知看需知”,从所求结论逆推看需要什么条件,一旦可知与需知沟通,证题思路即有了;添加辅助线是证明几何题的重要手段,也是学习中的难点之一;专题5：几何证题的基本方法有两种：一种是从条件出发,通过一系列已确立的命题逐步向前推演,直到达到证题目的,简言之,这是由因导果的方法,我们称之为直接证法或综合法,综合法证题的程序如下：欲证AB,由于AC,CD,…,x,而xB,故AB.另一种则反过来,先假定命题的结论成立,考虑达到目的需具备什么条件,通过一系列的逆推直到回朔到已知条件为止;简言之,这是执果索因的方法,我们称之为分析法,分析法证题的程序如下：欲证“AB”,也就是BA,若能分析出BC,CD, (x)而xA,则断言BA,也就是AB;在实际操作上,往往把这两种方法结合起来,先分析探求铺路,再综合解题成功,简言之就是“倒着推,顺着走”;—平移、旋转、对称在几何证题中,常需要将一个图形进行适当的变换,常见的几何变换有全等变换,等积变换和相似变换;本章只讲全等变换,也就是不改变图形的形状和大小,只改变图形位置的变换;常见的全等变换的形式有三：1．平移：将图形中的某些线段乃至整个图形平行移动到某一适当位置,作出辅助图形,使问题得到解决;平移的基本特点是：任一线段在平移过程中,其长度保持不变;2．旋转：将平面图形绕平面内一定点M旋转一个定角α得到与原来形状和大小相同的图形,这样的变换叫做旋转变换,M叫旋转中心,α角叫旋转角;旋转变换的主要性质：1变换后的图形与原图形全等；2原图中任一线段与旋转后的对应线段所成的角等于旋转角;3．对称：将一个图形或它的一部分绕着一条直线翻转180°,得一个与原来形状、大小完全相同的图形,这种变换称为轴对称变换,轴对称变换的主要特点是：对称轴是一切翻转前后对应点连线的垂直平分线;除轴对称外,还有中心对称,这一点我们将在下一章四边形中讲到;方法总结：复杂的图形都是由较简单的基本图形组成,故可将复杂的图形分解成几个基本图形这样使问题显而易见;当直接证题有困难时,常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的;综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法;分析法是从结论出发,用倒推来寻找证明思路的方法;两头“凑”的方法,也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路;又叫分析――综合法;转化思想就是将复杂问题转化、分解为简单的问题；或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想;。
初三数学直角三角形三角函数
精品文档、一周知识概述(3)三个三角函数之间的关系:① 互余关系 sinA=cos(90 ° — A)、cosA=sin(90 ° — A)② 平方关系：处「= ■sin AtarM = -------③ 商数关系： ■-亠■■-2、注意两个转化(1)把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画 出图形•(2)若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角 形，找当0°WaW 90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但 tan90°的值不存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小. 5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念COSJ 4 =—(2)三个锐角三角函数:a c tan .4 = —i ；cot 卫=—Jba■视有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面 AB 与地面BC 的倾斜程度，有时用坡角a 的大小来反映。
当a( 0°<a< 90°)较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面 AB 的 铅垂高度h 和水平宽度f 的比叫做坡度，用字母i 表示..(2) 0°、90° 的特殊情况：sinO ° =0, cosO ° =1, tan0 ° =0，sin90 ° =1，cos90° =0， tan90 °不存在.(3)已知锐角a ，则可求出sin a ,cos a ,ta n a 的值，当a 是0°〜90°中一般角时,可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出 0° ~90°间的角. (4) 利用直角三角形中的边角关系，解决实际冋题 2、难点将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。
一般 来说，辅助线不要破坏所给的特殊角. 一、周知识概述1、从实际问题出发一一梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通 过学习发现：把这一问题tan A =转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定山的对起B乙扛的对边BCA人_____________ CC小旳邻边AC显然，梯子的倾斜程度与tanA 的值的大小有关，当0° <A° <90 °，若/ A 逐渐增大，则tanA 的值逐渐增大 ，梯子越陡•..乙4的对边.山的邻边sin A = -------- cos >1= ----------2、相应地规定正弦：斜边料边BBBC'ACCABAB 322 312 1sin atan a2ABM 6(P= — AS^AB2昱~2~60°30°45° 3、关于30°, 45°, 60°的正弦，余弦、正切值，可由直角二角形来确定，与直角二 角形大小无关，而与两锐 角大小有关•当/ A=30°时当/ A=45时 当/ A=60°时则EU ^-AB2AC=^-AB1—击4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把/ A 的邻边与/ A 的对边之比起名为余 切，即卩则紀=• —2AB ABABBCtaL6(F = —AC ^AB将它们的特殊值列表如下：三角函数 角a 的度数 COSamtA=山的邻边显然cot虫-------- .匕1的对边tan』5、在Rt△ ABC中，由锐角A (0° vA<90°)的特点，可得到0<sinA<1,0<cosA<1，由定义：2 2 2sin A= —r cos =—T(sm 乂〕卞 + (co务妊尸=—y ■—= —— \. 2 2芒芒可得出疋匸' 芒即sin A+ cos A=1.6除特殊角30°, 45°, 60°的三角函数值外，还有0°, 90°的极端情况规定：stnO°= _ = H = o?co s0D= —= - - l r tan 0° = —= - = 0c c e c b b(b^0)，而sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90。
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初三数学三角形知识点讲解
三角形知识点：
三角形三边的关系：三角形中任意两边之和大于第三边。
由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。
初中生学习方法
初中阶段的学习主要还是基础知识、基本能力的学习和培养，虽然智力在学习中的作用日益明显，但非智力因素依然发挥着十分重要的作用，影响初中生学习的非智力因素主要有学习的习惯、兴趣、动机、情感、意志等。
俗话说，“习惯成自然”，良好的学习习惯对学习有着重要的促进作用。
比如：课前预习新课的习惯，可以在教师教授新课之前大致了解课程内容，有助于把握重点带着问题听课，从而提高课堂学习的质量;作业认真书写的习惯，不仅可以保证作业的美观整洁，提高作业的质量，还能够培养一丝不苟的严谨作风。
反之，不良的习惯也会成为学习进步的绊脚石，不少成绩比较差的学生，脑子都不笨，但往往上课心不在焉、作业马马虎虎、做事丢三拉四。
1、抓住课堂四十五分钟，学会听课
听课也有不少学问。
学会听课，对初中生的学习进步至关重要
课堂学习是学习的最主要环节，四十五分钟课堂学习效益的高低，某种程度上决定着学生学习成绩的好坏。
也许有的家长和学生会想，每个人都有一双耳朵，听课谁不会呀。
其实不然，听课也有不少学问呢。
学会听课，对初中生的学习进步至关重要。
首先，要集中注意听。
心理学研究表明：注意能够帮助我们从周围环境所提供的大量信息中，选择对当前活动最有意义的信息;同时，使心理活动维持在所选择的对象上，还能使心理活动根据当前活动的需要作适当的分配和调整。
所以，注意对于学习尤为重要。
集中注意、专心致志才能学有所得;心不在焉、心猿意马往往一无所获。
其次，要带着问题、开动脑子听。
有些同学听课不善于开动脑子积极思维，看似目不转睛，但一堂课下来心中却不留痕迹。
俗话说：疑是一切学习的开始。
带着问题听课，就能使听课有比较明确的目标和重点，增强听课的针对性，从而提高课堂学习效率;带着问题听课，还能促使自己积极动脑，紧跟老师的教学节奏，及时理解和消化教学内容。
再次，要积极举手发言，认真做好笔记。
教与学应是双向交流、互相促进的。
学生在课堂中，应该积极主动地参与教学。
积极举手发言就是一种参与，它既能较好的促使自
己专心听课、动脑思维，还能锻炼语言表达能力。
“不动笔墨不读书”、”好记性不如烂笔头”，都是说边学习边动笔的好处。
笔记不仅是学习新知识的方法，也是复习旧知识的依据，同时我们还可以从笔记中发现新的问题。
很多家长感到对孩子在学校里的学习无从了解和把握，其实，每天查看一下他们的课本和笔记，就是一种好方法。
2、合理安排时间，有计划地进行学习
时间是个常量，需要合理安排;学习是艰苦的劳动，也是有规律可循的。
(1)几个需要家长引导孩子处理好的关系
玩与学的关系，主与次的关系，发展兴趣和打好基础的关系
这里，家长必须帮助指导孩子处理好以下几个关系：
首先是处理好玩和学的关系。
学习是初中学生的主要任务，主要的时间和精力自然应该花在学习上。
但是，学习又不是初中学生生活的全部，初中学生精力充沛、兴趣广泛，适当和有益的活动(包括“玩”)也是他们生活的重要组成
部分。
有些家长只注重孩子的学习，把孩子的闲暇时间安排得严严实实，不让孩子有娱乐和活动的时间;有些家长却对孩子的课余活动放任自流，这都不利于学生的学习进步和全面发展。
要指导学生学会劳逸结合，学习时专心致志、静得下心来;活动时生龙活虎、放得开来。
学习和玩不仅是不矛
盾的，而且可以相得益彰。
其次是处理好主和次的关系。
初中阶段学习知识的密度大大增加、学习知识的广度也大大增加，这就需要学生能够处理好各种知识内容之间的主次关系。
学科之间有差异，基础学科、工具学科是初中学习的重中之重，直接影响其他学科的学习，一定要学得扎实。
学科内容本身也有主次，概念、原理及其形成是主，知识的灵活运用是主，自己学习的薄弱环节是主，在学习的过程中应该花更多的时间和精力。
再次是处理好发展兴趣和打好基础的关系。
兴趣是学习动力产生的直接原因，孩子对哪一门功课感兴趣，这门学科也就往往能够取得比较好的成绩。
但是，初中学生思想和心理还不够成熟，兴趣也往往不够稳定，有些孩子对兴趣的理解也比较片面。
表现在学习方面主要有以下情况：一会儿喜欢这，一会儿喜欢那，见异思迁，结果什么也没学好;光凭兴趣学习，自己认为不感兴趣的就敬而远之，结果就成了“跛脚”。
其实，初中的学习是整个人生学习的基础，首先要学好每一门功课，初中学习过了关，高中阶段就可能比较顺利;即便是通常被认为是“副课”的历史、地理、生物等学科，实际上都是将来社会生活中必不可少的。
所以，培养兴趣必须以打好基础为前提。
(2)遵循记忆规律安排学习
遗忘呈现出“先快后慢”的规律。
这规律给我们指导
孩子的学习提供了重要的依据
最早用实验方法研究记忆规律的心理学家艾客浩斯
发现，学习刚结束，遗忘就相伴开始了。
第二天忘得最多最快，第二天需要复习的时间较长，如果第二天复习了，第三天就遗忘少了，需要复习的时间也较短;如果第三天复习了，第四天遗忘得就更少了……。
总之，遗忘呈现出“先快后慢”的规律。
这规律给我们指导孩子的学习提供了重要的依据。
及时复习。
初中生学习存在一种普遍的倾向，就是随学随丢，做完教师布置的作业了事。
到考试时，临时抱佛脚，从头开始复习。
要改变这种前学后忘，到后面问题成堆的现象，关键要做到“及时”，特别是对于那些字母符号、公式、外语单词等意义性不强的学习材料，一定要做到趁热打铁，及时复习。
这好比在堤坝塌方之前，及时加固，要比垮了再修，付出更小的努力。
分散学习。
“及时复习”固然重要，但也不能“一劳永逸”。
学习的规律告诉我们，分散复习比集中复习效果更好。
以学习外语单词为例，如果当天学习了20个单词，一位同学在当天晚上集中复习一小时，加以巩固;另一位同学当晚复习半小时，第二天再复习15分钟，第四天复习10分钟，一周后再复习5分钟。
结果后者记忆的效率明显高于前者。
利用分散学习的道理，家长可以指导孩子采用“卡片”
复习的方法。
例如复习英语单词，把卡片分为左右两边(或正反两面)，分别写上中文词义和英语单词，然后自制七个袋子(或信封)，每袋内放置一周中某一天应复习的卡片，复习时，用手遮住一面，回忆另一面的内容。
当天复习以后，就放入隔天的袋里，以此往复有规律地交替复习，效果十分明显。
其他如数学公式等各种知识均可用卡片来进行复习。
过度学习。
我国著名科学家茅以升在83岁高龄时，仍能熟练背诵圆周率小数点后一百位，别人问他有什么好的记忆方法，他回答说;“说起来很简单：重复!重复!再重
复!”在学习中，我们都有这样的体会，我们记忆某些内容，到刚能勉强背诵时就停止了学习，结果过了不久就不会准确回忆。
如果能“一鼓作气”，再多学几遍，效果就大大提高;而且这样熟练的记忆，保持时间也特别长久，这就是“过度学习”。
一般而言，过度学习保持在50%-100%范围内。
举例子说，背诵一首唐诗，如果用十遍刚好能基本背出，那么最好能再读3-6遍，这样就能烂熟于心，倒背如流了。
过度学习要与及时学习和分散学习有机结合起来。
3、形成适合自己的有效的各科学习方法
因“科”制宜，才能有的放夭地学好各门功课
初中阶段的学习，学科逐渐细化，各门学科都有自己明显的特点和规律。
理科类数、理、化学习重抽象思维，要善于融会贯通;文科类语、史等重知识积累，要善于联系实
际。
只有把握各学科的特点，因“科”制宜，才能有的放夭地学好各门功课。
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