【人教A版】高中数学重点难点突破：利用导数解不等式

【人教A版】高中数学重点难点突破：利用导数解不等式（学生版）

1.（2015·全国高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）

A．B．

C．D．

2．（2019·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

3．（2011·辽宁高考真题）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）

A．B．C．D．

4．（2017·江苏高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．

5．（2020·全国高考真题（理））已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

一、考向分析：

二、考向讲解

（一）利用导数解不等式

主要考向有：1.给定函数解析式或抽象函数，通过研究函数的单调性，建立不等关系；2.通过构造函数，利用导数确定其单调性，进一步解不等式等.

【典例1】（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知函数，则使得成立的的取值范围是（）

A． B．C．D．

【典例2】（2018·北京高三专题练习（理））设函数．

①若有两个零点，则实数的取值范围是___________;

②若，则满足的的取值范围是_________________．（二）含导数不等式的求解

主要考向有：1.已知导函数的图象或导函数，解不等式；2.给出含有导数的不等关系，解不等式等.

【典例3】（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（理））已知定义在R上的可导函数

函数的导函数为，满足，且为偶函数，,则不等式的解集为（）

A．B．C．D．

【典例4】（2020·全国高三专题练习）已知定义域为的函数的导函数的图象如图所示，且，则函数的增区间为_______，若

，则不等式的解集为_________.

（三）恒成立问题中求参数的值或取值范围问题

主要考向有：1.单调性问题中求参数值（范围）；2.极值问题中恒成立问题中求参数值（范围）；3.最值问题中求参数值（范围）等；4.不等式恒成立问题中求参数值（范围）等.

【典例5】（2020·四川成都市·华阳中学高二期中（文））若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【典例6】（2016·四川高考真题（理））设函数f(x)=ax2-a-ln x，其中a ∈R.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．

题型一导数与解不等式问题

1.利用导数求函数单调区间的步骤：

（1）求函数的定义域；

（2）求导数；

（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；（4）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.

2.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．

(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．

3.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，

构造，构造，

构造，，想到构造等.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3）

，就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

【典例7】（2020·全国高二）若存在斜率为()的直线与曲线

和都相切，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．

【典例8】（2020·全国高二课时练习）已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___________．

【总结提升】1、比较大小或解不等式的思路方法

(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．

(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．

2.将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．

一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min．

题型二极值问题中恒成立求参数值或范围

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：

(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．

思路点睛：

【典例9】（2020·浙江宁波市·高三期中）已知函数（，是自然对数的底数）.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）若在内存在两个极值点，求的取值范围.

题型三最值问题中恒成立求参数值或范围

1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．

2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．

【典例10】（2020·嘉兴市第五高级中学月考）若函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.

题型四不等式恒成立问题

1.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或

恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.