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函数的连续性的例题与习题

函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第 二类是对间断点(或区间)的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质 (最值性质，零点存在性质)，进行理论分析。

下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试 着做！这是与看文学小说的最大区别。

要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？ 如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？

一.函数的连续

例1.1 (例1.20 ( —)，这个序号值的是《函数连续性(一)屮的例题号，请对照)

设f(x)满足/(x+ y) = f(x) + f(y),且f(x)在兀=0连续。证明：/(兀)在任意点兀处连续。

分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要 比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么

在本题里，要证的是“/(无)在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点兀，用函数连续的定义来证 明在

x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个？这要看己知条件，哪个容易用，就 用那一个。

在本题中，提供了条件/(X4-y) = f(x) + f(y),也就是f(x+y)-f(x) = f(y),你的脑海 里就要想到，如果设

y =心，那么就有 0 = /(x+Ar)-/(x) = /(Ar)；这个时候，你应该立即“闪 过”，要用题目给的第二个条件了：

/(兀)在x = Q 连续！它意味着：lim /(0 + ZL Y ) = /(0)O

A A ->0

证明的思路就此产生！

证明：因为 /(%+夬彷 X ，取)=0,则有 f(x) = f(x) + /(0),所以/(0) = 0o (#) 对于固定的x (任意的！)，若

取y = Ax,有

Ay = f(x +心)—/(x) = /(Ax),

(+)

在(+ )式两边取心 TO 的极限，那么

lim Ay = lim (/(x + Ax) - /(x)) = lim /(Ax),

心T O

心T O

心T O

/(兀)在x = 0连续，所以lim /(O + Ax) = /(O),代入(#)的结果，就有 心一>0

lim /(0 + Ax) = lim /(Ax) = f(0) = 0 ,

Av->0

但从(&)知，lim Ay = lim /(Ax),所以

lim Ay = 0 o

(&)

由已知条件:

根据函数连续的定义E, /（兀）在任意点兀处连续。

你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”, 所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。

2〃 + 1 * （ _ IX _ 1

例1.2 （例1.21（ —））设常数GH O, f （x ） = lim ——「—— --- ,求/（x ）的分段表达式，欲使

"一亦"一 1 /（x ）连续，试确定d 的值。

分析：首先要注意，函数/（兀）不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形 式来表示一个函数。所以它要求先写出/（X ）的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定 参数。的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。

/（兀）中出现了儿个幕函数X W

,X

2，，

,X 2，，+1

,根据幕函数的性质，兀的大小对幕函数的变化趋势有

根本性的影响，所以要分为|x|l,x = l,x = -l 进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幕函 数的认识与理解。

（1） |%|<1： ，兀2",严都趋于零（当MTOO 时），所以

/(兀)=二=1。

—1

（2） |%|>1：此时Z ；X 2

\x

2n+，

都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应

的部分，來简化函数/（X ）：

[(di) 1 )

x 2rl

'1

J _ … T — X Q a 1、

(3) "1： /(兀)=口4

-a a

九 x> 1

1 —G 1

八 --- ，x = l fM = a

1,

I 兀 1<1

X,

X<~1

欲使/（x ）连续，即使f ⑴在X = 1连续，等价于—=1,故a = ~. a 2

例1.3 （例1.22 （一））证明连续函数的局部保号性：设/（无）在兀=兀0处连续，且/（X 0）>0,那么 存在5〉0,当 \x-x Q \<3时,/（%）>0o

严I

/(X) = lim ——

X 2/7

(4) x = -l ： /⑴=lim

1 —Q (—1)"—1

lim

"TOO

—2 + (Q _1)(_1T

—0(—1)"

极限不存在。

故得

分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值 也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们 在证明极限的保号性时就已经用过。

证明：因为/（兀）在x = 处连续，所以对任给的£>0,总存在5〉0,使得当|兀—兀|<5时，恒有 1/（兀）一/（兀0）1<£'也就是 一£0）<£。（+）

若取^ = /（x 0）>0,在（+ ）式中取左边的那个不等式，就有 /（X ）> （:

若取£ =丄/（兀）>0,那么就有 /（ %）> - /（,。 （不过，此时的|x-x （） |< J 中的（5要变小）

2 2

当然，你也可以取不同的£>0,当然5要变。如果我们只需要证实/（兀）的值为正，那么取6* = /U 0）>0 就已经够了。

例1.4 （例1.23 （-））设/（兀）在区间［⑦刃上连续并大于零，证明一^在［d,b ］也连续。

fM

分析：我们需要证明的是：在［⑦⑵上任取点X 。，对任给的£〉0,存在一个〃〉0,使当|x-x 0|<^时,

/(x) /U o )

直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）:

1/（无）一/（兀）\2|/（兀）一/（兀。）1“

/（兀）/Oo ） “ 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在无的一个邻域屮有/（x ）>|/（x 0） !

至此，一个完整的证明思路就形成了。

证明：对任一兀^匕切，/（x 0） >0 ,看）是/（兀）的连续点。由局部保号性，存在兀的邻域N （x （）

Q ）,

使得/（%）>|/（x 0）o 所以在这个邻域中,

I /do ） 一 /（兀）I w 21 /（X ）一/（X 。）I

/（无）/（兀0） 严（兀0）

由/（兀）在区间［⑦洌上的连续性知，对于任给£〉0,存在Q 〉0,使得当|x-x 0|<^2时，有

I/O)-/(勺)1< 上卑 £。

我们取d = min （%爲）,那么在这个更小的邻域中,（即\X -X Q \<3）有

/（兀）/（^0）

/2

Uo)

1 ____ 1_ f(x) /(兀0)