线性方程组求解方法

华北水利水电大学

线性方程组的求解方法

课程名称：线性代数

专业班级：

成员组成：

联系方式：

2015年1月13日

线性方程组的求解方法

摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用，线性代数的主

要研究对象是线性方程组，线性代数的基本工具是矩阵及其基本理论，线性方程组求解的的实质可以理解为矩阵的初等变换，不管是线性方程组还是矩阵，它们都来源于生产和生活实践。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组的问题，但对于十分复杂的问题，精确的求解往往是困难的，因此在线性方程组解的结构等理论性工作取得令人满意的进展的同时，线性方程组的数值解法也得到快速发展，现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。

关键字：线性方程组，增广矩阵求解，高斯消元法求解

Summary for the method of linear equations Abstract：Methods to solve the linear equations play an important role in Linear Algebra，The

main research object of linear algebra is a linear equation group，The basic tools of linear algebra is the matrix and its basic theory, the essence of the solution of linear equations can be understood as the elementary transformation of matrix, whether linear equations or matrix, they all come from the production and life practice. Many problems of the sciences and technologies, are eventually reduced to solving linear equations of the problem, but for the complicated problem, the precise solution is often difficult, therefore making satisfactory progress in linear equations solution structure of the theory of work at the same time, the numerical solution of linear equations are also obtained the fast development, now the numerical solution of linear equations, plays an important role in computational mathematics.

Key words；Linear equations，The augmented matrix solution，Gauss-elimination;

1引言：

线性方程组分为其次线性方程组和非齐次线性方程组，其解得实质又是何时有解，何时无解，有解又有多少个解。解又分为一般解（通解），零解和非零解。无论是讨论线性方程组解的结构，还是线性方程组的求解，又需要首先讨论向量组的线性相关性，即向量组的线性相关和线性无关。本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式．另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法．线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等

线性方程组求解

2.1线性方程组的概念

线性方程组的一般表示方式方法如下：

a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,

a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,

……

a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=

b m,

其中a ij（i=1,2,3,4，。。。，m：j=1,2,3，。。。，n）是方程组未知元的系数，b j（j=1,2,3，。。。，m：）为常数项，如果b=0，则方程组为齐次线性方程组，b≠0，线性方程组为非齐次先行性方程组。如果线性方程组有解，则称线性方程组相容，否则，称线性方程组不相容。

2.2线性方程组的求解

2.2.1对于2.1，如果m=n，即方程个数等于未知元个数的情形，有Cramer 法则，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式|A|=0，如果m

例如：

X1+X2+X3=0 X1=-t

有非零解X2=-t t为任意常数

X1--X2=0 X3=2t

2.2.2高斯消元法求解线性方程组

高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减进行消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵，然后，再逐一回代，解出方程组．本节将简单介绍高斯消元法的基本思想，并且运用它来解决问题，并且存在唯一解的线性方程组．

下面我们通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程

例解线性方程组

2X1+4X2-2X3=6

X1-X2+5X3=0 (方程1)

4X1+X2-2X3=2

解：首先，我们将方程组中第二个方程减去第一个方程的1/2倍，再将第三个方程减去第一个方程的2倍，则得到等价方程组

2X1+4X2-2X3=6

-3X2+6X3=-3 （方程2 ）

-7X2+2X3=-10

其中方程1中的第二，第三个方程中的X1已经消去了．类似的，我们将方程2中的第三个方程减去第二个方程的7/3倍，又可以消去第三个方程中的X2变量，最后得到与方程1等价的方程组

2X1+4X2-2X3=6