控制工程基础 (3)

s

lim[
t
xi
(t
)

xo ()]
ts 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标；
td 、tr 及t p 评价系统的响应速度；
Mp和N评价系统的阻尼程度。
3 控制系统的时域分析 12
3.2 一阶系统的时间响应
3.2.1 一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其方程的一 般形式为
稳态响应是指t→∞时系统的输出状态，表征系统输
出量最终复现输入量的程度（与输入量有关）。 系统输出响应＝瞬态分量＋稳态分量
本例，第一项为输出电压的稳态分量，取决于系统的输入量； 第二项为瞬态分量，与输入量无关，即为无输入量时系统的自 由运动模态（输出量），取决于系统的极点。
(3)线性定常系统的响应特性 1）输入信号导数的时间响应等于该输入信号时间响应的导数； 2）输入信号积分的时间响应等于该输入信号时间响应的积分。
其传递函数为：
da(t) v(t), dv(t) 1(t), d1(t) (t)
dt
dt
dt
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3.1.2 时间响应及其组成
(1)时间响应：在控制系统的输入作用下，被控变量 (输出量)随时间的变化情况。下面举如图所示例分析。
建立系统的数学模型为：
ui

L di dt
iR
X 01(s) G(s) X 02 (s)
X i1(s)
X i2 (s)
可见,只要求出系统对典型输入信号的响应，就能知道系统对 其它任意输入信号的响应。典型输入信号的选取应满足以下几 个要求。
3 控制系统的时域分析 3
(1) 输人信号应反映系统工作的大部分实际情况。 (2) 输入信号的形式应尽可能简单，便于用数学式表达 及分析处理。 (3)应选取那些能使系统工作在最不利的情况下的输人信 号作为典型输入信号。 如果系统在典型输入信号下其性能满足要求，可以断言系 统在实际输入信号下的性能也令人满意。
6 振荡次数N 把过渡过程时间0≤t ≤ts范围内，x0(∞)的次数 的一半定义为振荡次数。
7 稳态误差 s 系统的期望输出量与实际输出的稳态值之差。 对于单位反馈系统，要求实际的稳态输出量无误差而准确地跟 随给定输入量（给定值）的变化，故输入量输
3 控制系统的时域分析 11
就是期望输出量，稳态误差也就等于给定输入 量与实际输出稳态值之差，即
3 控制系统的时域分析 4
常用的典型输入信号
名
称
时域表达式 复数域表达式
单位阶跃信号
1(t)，t0
单位速度(斜坡)信号 t， t0
单位加速度信号 单位脉冲信号
1 t2, t 0 2
(t)，t=0
正弦信号
Asint
1
s 1 s2 1 s3
1
A s2 2
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典型输入信号的选择原则
能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶 跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可 选速度信号。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时 域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。
常把时间很短的冲击力、脉冲信号、天线上的阵风扰动等可用 脉冲信号模拟。 各信号之间的关系
控制工程基础
主讲 曾 励
3 控制系统的时域分析
• 3.1控制系统的瞬态响应 • 3.2一阶系统的时间响应 • 3.3二阶系统的时间响应 • 3.4高阶系统的时间响应
3 控制系统的时域分析 2
3.1控制系统的瞬态响应
3.1.1典型输入信号
由于系统的输入具有多样性，所以在分析和设计系统时， 需要规定一些典型的输入信号，然后比较各系统对典型输入信 号的时间响应。尽管在实际中，输入信号很少是典型输入信号， 但由于系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意信号的时 间响应之间存在一定的关系。
式中,
n
1 LC
为系统的无阻尼固有频率；
1 R C 为系统的阻尼比。
2L
当输入电压为阶跃信号时，在 ( 0 1 )情况下系统输出响应 的拉氏变换为
Uo (s)

s(s2

n2 2ns
n2 )

1 s

(s
s n n )2 d2

(s
d n )2
3 控制系统的时域分析 9
3.1.3 控制系统的时域性能指标
xho((tt))
1 延迟时间td：
Mp超 调 量
响应曲线第一次
达到稳态值的一 半所需的时间。
1 xho(()) 0.9 xho(())
td
2 上升时间tr：
0.5 xho(()
响 应 曲 线 从 稳 态 0.1 xho()
值 的 10% 上 升 到
0 tr
90%，所需的时间。
tp
上升时间越短，
ts
允许误差 0.02或 0.05
t
响应速度越快。
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
3 峰值时间tp：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
3 控制系统的时域分析 10
1 C
idt
uo

1 C
idt
在零初始条件下，对上式进行拉氏变换后得
Ui
(s)

LsI
(s)

RI
(s)

Baidu Nhomakorabea
1 Cs
I
(s)
U o
(s)

1 Cs
I
(s)
消去中间变量I(s)得传递函数为
3 控制系统的时域分析 7
G(s) Uo (s)
1

n2
Ui (s) LCs2 RCs 1 s2 2n s n2
d2
n d
式中，d n 1 2 称为有阻尼固有频率。对上式取拉氏反变
换得
uo (t) 1
ent
1 2
sin(d t

)
(t 0)
1 2
arctg
arccos

3 控制系统的时域分析 8
(2)时间响应的组成
瞬态响应是指系统在某一输入信号的作用下， 系统输出量从初始状态到稳定状态的过渡过程；
4 超调量Mp 指响应的最大偏离量xo(tp)于终 值之差的百分比，即
Mp

xo (t p ) xo () xo ()
100%
5 调节时间ts 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差
范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取
5%或2%）表示。
xo (t) xo () xo ()