控制工程基础---第四章传递函数
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
自动控制原理--传递函数的定义及性质和表示形式
传 递 函 数的表示形式
3.时间常数形式（尾1型 ）
G(s)
bm (1s 1)( 2s2
an (T1s 1)(T2s2
22s 1)( is 1) 2T2s 1)(Tjs 1)
m
K bm K * am
(zi )
1 n
称 G(s)的开环增益。
传递函数
传递函数的定义及性质 传 递 函 数的表示形式
传 递 函 数的定义
对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：
a d n c(t) a d n1 c(t) a d c(t) a c(t)
0 dt n
dt1 n1
dt n1
n
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
另外实际系统总有惯性，因此实际系统中有n>＝m，n称 为系统的阶数
传递函数的性质
7）传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。
定义 g(t) 为系统单位脉冲作用下的系统输出：
当 r(t) (t) 时，系统的输出c(t)称为 g(t)
此时，L[r(t)] L[ (t)] 1 所以：
C(s) G(s)R(s) G(s) c(t) g(t) L1[C(s)] L1[G(s)R(s)] L1[G(s)]
( p j )
1
i ,Tj 称时间常数。
传递函数的性质
G(s)
C(s) R(s)
b0sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s an1s
bm an
5）传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一
机械工程控制基础 第四章 传递函数
第四章 传递函数第一节 传递函数的概念与性质一、传递函数的概念对于单输入、单输出的线性定常系统，传递函数定义为“当输入量和输出量的一切初始值均为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比”。
原函数描述的系统：输入x i （t ）⇒ 系统h （t ）⇒ 输出x 0（t ） 以象函数描述的系统：输入X i （s ）⇒ 系统G （s ）⇒ 输出X 0（s ）传递函数为：)()()(0s X S X s G i =传递函数是描述系统动态性能的数学模型的一种形式，是系统的复数域数学模型 二、传递函数的一般形式线性定常系统的运动微分方程式的一般形式为：imim m im inn n n x b x b x b x b x a x a x a x a ++++=++++---- 1)1(1)(01)1(01)(0......其中a 0、a 1。
a n ，b 0、b 1。
b m 均为实常数。
对上式做拉氏变换即可求得该系统的传递函数。
传递函数具有以下三种常用形式： ==)()()(0s X s X s G i nn n nmm m m a s a s a s a b s b sb sb ++++++++----11101110 (Ⅰ)型 ==)()()(0s X s X s G i ))...()(())...()((212100nma a ab b b s s s s s s a s s s s s s b ------ Ⅱ型==)()()(0s X s X s G i )12()1()12()1(2211122111++++++∏∏∏∏∏∏======s T sT s s s T sT s k al alal l all l l bl blbl l bll ll ζττζτνμλσρηⅢ其中，Ⅱ型中，s b1、s b2、s bm 是G （s ）的零根，s a1、s a2、s an 是G （s ）的极点，也是分母多项式的根。
自动控制原理传递函数
y(t) y kt
S平面 j
x(t) 1(t)
0
t
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
3/18/2024 2:47:29 AM
20
积分环节实例
积分环节实例：
①
C
R
ui
ui (s) uo (s)
R
1 Cs
uo
uo (s) 1
LCs 2
1 RCs
1
3/18/2024 2:47:28 AM
2
传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉
斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做： Y (s) G(s) 或 Y (s) G(s)U (s)
U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
3/18/2024 2:47:28 AM
R2 I2 (s) UO (s)
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
3/18/2024 2:47:28 AM
7
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT f (s) 0
控制工程基础董景新第四版
控制工程基础董景新第四版简介《控制工程基础董景新第四版》是董景新教授所著的一本控制工程入门教材，通过全面介绍控制工程的基本概念、基本理论和基本方法，帮助读者建立起对控制工程的基础知识和基本技能的理解和掌握。
内容第一章：引言本章主要介绍控制工程的基本概念和发展历程，为后续章节的学习奠定基础。
首先对控制系统和控制工程的定义进行了阐述，并介绍了控制工程的主要任务和发展方向。
其次，对控制系统的分类进行了介绍，包括开环控制系统和闭环控制系统。
最后，介绍了控制系统的相关术语和符号，为后续章节的学习做好铺垫。
第二章：数学基础本章主要介绍控制工程所需要的数学基础知识。
首先介绍了常见的数学函数和符号，包括常用数学函数、求和符号、积分符号等。
其次，介绍了常用的数学运算法则，包括加法、乘法、指数运算等。
最后，介绍了常见的数学方程和常用的数学方法，包括线性方程组、矩阵运算、微积分等。
第三章：信号与系统本章主要介绍信号与系统的基本概念和分析方法。
首先介绍了信号的定义和分类，包括连续信号和离散信号、周期信号和非周期信号。
其次，介绍了信号的表示与分解方法，包括傅里叶级数和傅里叶变换。
最后，介绍了系统的定义和分类，包括线性系统和非线性系统、因果系统和非因果系统。
同时，介绍了系统的时域分析方法和频域分析方法。
第四章：传递函数与系统响应本章主要介绍传递函数和系统的响应特性。
首先介绍了传递函数的定义和性质，包括零极点分布和传递函数的单一性。
其次，介绍了系统的稳定性和系统的稳定判据，包括极点位置的判断和Nyquist判据。
最后，介绍了系统的时域响应和频域响应，包括单位冲击响应、单位阶跃响应、频率响应等。
第五章：控制系统的稳定性分析本章主要介绍控制系统的稳定性分析方法。
首先介绍了控制系统的稳定性的概念和判据，包括极点位置的判断和Nyquist稳定性判据。
其次，介绍了控制系统的根轨迹法和频率响应法，用于稳定性分析和设计。
最后，介绍了控制系统的相角裕度和增益裕度的概念和计算方法。
控制工程基础(第四章,控制系统的时域响应分析)
2、系统稳定的充要条件
系统稳定、不稳定时根的分布
3、系统稳定性的判断 （1）稳定判断的必要条件
令系统特征方程为：
a0 s n a1s n1 an1s an 0, a0＞ 0
如果方程所有的根均位于S平面的左方，则方程中多项系 数均为正值，且无零系数。
对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值 是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统， 特征方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而 非充分条件。
s2 2knk s
2 nk
j 1
k 1
2
A0 q
Aj
r Bk
s j1 s p j k1
s knk Cknk s2 2knk s
1
2 nk
k
即：
C t
A0
q j1
Aje pjt
r
eknkt
k 1
Bk
cos
nk
1
2
t
k
r k 1
Ck
sin
nk
1
（2）系统瞬态分量的形式由极点的性质决定，调整时间的长 短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分 量幅值的大小和符号的正负。
（3）如果传递函数中有一极点距坐标原点很近，设为A，而其 余极点与虚轴距离大于5A，称为远极点，则其产生的瞬态分量 可略去不计。 （4）如果有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附近没有 零点，而其它极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以 上，则称此对极点为系统的主导极点。 （5）如果传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，称为偶 极子，则该极点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去。 （6）如果所有极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时 间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。极点均位于S左半平 面系统，称为稳定系统。
清华大学《控制工程基础》课件-4
则系统闭环传递函数为假设得到的闭环传递函数三阶特征多项式可分解为令对应项系数相等，有二、高阶系统累试法对于固有传递函数是高于二阶的高阶系统，PID校正不可能作到全部闭环极点的任意配置。
但可以控制部分极点，以达到系统预期的性能指标。
根据相位裕量的定义，有则有则由式可独立地解出比例增益，而后一式包含两个未知参数和，不是唯一解。
通常由稳态误差要求，通过开环放大倍数，先确定积分增益，然后计算出微分增益。
同时通过数字仿真，反复试探，最后确定、和三个参数。
设单位反馈的受控对象的传递函数为试设计PID控制器，实现系统剪切频率，相角裕量。
解：由式,得由式,得输入引起的系统误差象函数表达式为令单位加速度输入的稳态误差，利用上式，可得试探法采用试探法，首先仅选择比例校正，使系统闭环后满足稳定性指标。
然后，在此基础上根据稳态误差要求加入适当参数的积分校正。
积分校正的加入往往使系统稳定裕量和快速性下降，此时再加入适当参数的微分校正，保证系统的稳定性和快速性。
以上过程通常需要循环试探几次，方能使系统闭环后达到理想的性能指标。
齐格勒－尼柯尔斯法（Ziegler and Nichols ）对于受控对象比较复杂、数学模型难以建立的情况，在系统的设计和调试过程中，可以考虑借助实验方法，采用齐格勒－尼柯尔斯法对PID调节器进行设计。
用该方法系统实现所谓“四分之一衰减”响应（”quarter-decay”），即设计的调节器使系统闭环阶跃响应相临后一个周期的超调衰减为前一个周期的25%左右。
当开环受控对象阶跃响应没有超调，其响应曲线有如下图的S形状时，采用齐格勒－尼柯尔斯第一法设定PID参数。
对单位阶跃响应曲线上斜率最大的拐点作切线，得参数L 和T，则齐格勒－尼柯尔斯法参数设定如下：(a) 比例控制器：(b) 比例－积分控制器：，(c) 比例－积分－微分控制器：，对于低增益时稳定而高增益时不稳定会产生振荡发散的系统，采用齐格勒－尼柯尔斯第二法(即连续振荡法)设定参数。
控制工程基础：2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
G(s)= 1 Ts 1
•2.4.3.振荡环节（二阶）
G(s)=
1
或
2
T 2s2 2 Ts 1
s2 2s 2
（0< <1)
•2.4.4.积分环节
G(s)= k s
•2.4.5.理想微分环节 •2.4.6.近似微分环节
G(s)=ks
G(s)= kTs Ts+1
• 2.4.7.延迟环节 G(s)= e -τs
N(s) – 分母多项式，又称特征多项式，它决定着系统 响应的基本特点和动态本质。
一般情况下，要求n≥m
G(s) C(s) b0sm b1s m1 bm1s bm M (s) R(s) a0s n a1s n1 an1s an N (s)
m
(s+zi )
K*
i 1 n
于是，由定义得系统传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s bm an1s an
M (s) N(s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M(s) – 分子多项式
N (s) a0 s n a1s n1 an1s an
2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学 模型，在给定输入量和初始条件下求解微分方 程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数 变化时分析较麻烦。
传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方 程的过程中引申出来的概念。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控 制系统在复数域的数学模型－传递函数。
传递函数的局限性
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微分环节
惯性环节
一阶微分环节
振荡环节
二阶微分环节
延时环节
第三节传递函数的方块图
一、组成元素
1、方块单元：表示环节或系统的传递函数。
2、叠加点：表示信号的运算及其结果。
3、信号线：带箭头的直线或折线。箭头的方向表示信号的流向。
二、基本运算
1、串联
2、并联
3、反馈
三、等效移动原则
1、引出点的移动：保证引出信号不变
2、对于实际的物理系统，
四、概念
1、零点、极点：
零点：系统传递函数分子s多项式为零的根。
极点：系统传递函数分母s多项式为零的根。
2、传递系数： 。
3、特征方程：传递函数分母s多项式。
4、阶：系统特征方程s的最高指数。
例3、以例1、例2的结果为例。
第二节典型环节及其传递函数
名称
微分方程
传递函数
比例环节
例：系统方块图如图示，简化求传递函数。
将a点后移
五、方块图的建立
1、步骤：
建立系统微分方程组。
对微分方程图连接。
2、举例
例1：建立电路的方块图，并传递函数。
解：
例2、建立图示系统的方块图，求传递函数。
解：设中间变量为x(t)，其力平衡方程为
例3、建立直流电动机的方块图，求传递函数。
第四章传递函数
第一节传递函数
一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
二、求法：
1、由微分方程求取。
若系统的微分方程为
对微分方程的两端求拉氏变换
例1：系统微分方程为 ，求系统的传递函数。
解：由给定的微分方程，
例2：求R-C电路的传递函数。
解：
三、性质
1、系统的传递函数取决于系统的本身，与系统的输入、输出及其它外界因素无关。
（1）前移
结论：引出点前移必须在引出回路乘以其所跨跃环节的传递函数
（2）后移
结论：引出点后移必须在引出回路除以其所跨跃环节的传递函数
2、比较点的移动：保证输出信号不变
（1）前移
结论：比较点前移必须在反馈回路除以其所跨跃环节的传递函数
（2）后移
结论：比较点后移必须在反馈回路乘以其所跨跃环节的传递函数
3、相邻的比较点
解：在第三章中，建立直流电动机的微分方程为
结论：相邻的比较点的位置可互换
4、同一信号线上的引出点
结论：同一信号线上的引出点的位置可互换
5、相邻的比较点与引出点位置互换
结论：相邻的比较点与引出点位置互换使系统方块图多了一个比较点而复杂化，应尽量避免其位置互换。
四、简化方块图求系统的传递函数
建立系统的方块图，利用基本运算和等效的移动原则，对方块图简化求传递函数是实际工作中常用的方法。下面以一例子来说明简化方块图求传递函数的方法。