(优选)控制工程基础第四章
控制工程基础第四章习题答案
3-18 N(s)=0时2222220()(11/)*(1/(1))/(11/(1)*1/)()[1()]*()[(1(1))/((1)1)]*()/(1)*()lim ()lim */(1)*(1/1/)0ssr s s s s s s s E s s R s s s s s s R s s s s R s e sE s s s s s s s ϕϕ→→=++++=-=++-+++=++==+++=R(S)=0时 /不受扰动的影响。
扰动作用的完全补偿 4-2⑴ G(s)=10k/(s(s+2)(s+5))=Kg/(s(s+2)(s+5)) 见例4-12 ⑵ 2()(820)KgG s s s s =++①根轨迹有三支，起点分别为0，-4±2j,终点为无穷远处 ②实轴上根轨迹区间为（-∞，0）③渐近线：180(21)/360,180k θ=±+=±042428/33a j jσ+-++-=-=-⑤与虚轴的交点 328200s s s Kg +++= 3s 1 201[11/*]*1()011/*1/(1)s s s C s s s -+==++2s 8 Kg S 20-Kg/8 0s Kg2s 的辅助方程 280s Kgp += 1.2s j j == ⑥出射角、入射角180(21)90157.48180263.563.5a k k θ=+--=--=-⑶G(s)=(1)(2)(5)Kgs s s s +++①根轨迹有4支，起点为0，-1，-2，-5，终点均在无穷远处 ②实轴上区间[-1 0].[-5 -2]③渐近线：180(21)/445,135k θ=±+=±±521024a δ+++-=-=-④分离点，会合点()N s =1, ()()()()D s s s 1s 2s 5=+++=43281710s s s +++s '()N s =0, 32'()4243410D s s s s =+++()'()'()()0N s D s N s D s -= 424243410s s s +++=0牛顿系数定理求：Kg=- ()()()s s 1s 2s 5+++dKg /ds = -(324243410s s s +++)记为P(s) 初选 s1=-0.5,-3.5,s-s1=s+0.5,s+3.5 用s+0.5,s+2.5去除p(s),Q(S)得12120.38R s s R =-=-同理2' 4.54s =- ⑤与虚轴的交点432817100s s s s Kg ++++=4s 1 17 Kg 3s 8 102s 17-5/4 Kg 10*0.5060Kg -= 19.75Kgp = S 10-0.506Kg 00s Kg辅助方程 215.80s Kgp += 1.2 1.12s j =± ⑷ ()(5)G s (1)(3)Kg s s s +=++根轨迹有2支，起点为-1，-3，终点为负无穷远处 实轴区间[-3 -1],[ -∞ -5]平面上的轨迹是圆，圆心为(-5,j0)处，圆半径为2.83 4-3 a 开环传递函数为21010(2)10(2)()*10(2)(2)10*(210)1**(2)k s s s s s s s G s s s s s k s k s k s s s ++===+++++++210()(210)10s s s k s ϕ=+++特征方程为2(210)10s s k s +++=0 用2210s s ++除特征方程得210*1210S sK s s =-++b 21010(1)(2)()(1)10210(1)1(1)(2)s s s s s s s s s s s τϕτττ++=+=++++++ 特征方程为 2210(1)s s s τ+++=0 210*1210ss s τ=-++根轨迹有2支，起点 1.22132s i -±==-±处，终点一支在零点0处，一支无限远处区间为[-∞0];分离点和会合点 ()10N s s= 2()210D s s s =++ '()10N s = '()22D s s =+210*(22)10(210)0s s s s +-++=得 1.2 3.16s ==±（3.16舍去）4-4 零点 -5 极点 0，-2 ±2ja 点(-1,j0) b(-1.5,j2) c(-6,j0) d(-4,j3) e(-1,j2.37) f(1,j1.5) a 点0(6565180)180s zi s pi ∠+-∠+=--+=-∑∑满足1544Kg ==b 点 30(012783)180-++=-满足0.5*4*2.11.103.8Kg ==C 点 180(180135135)0-+-=不满足条件 4-5 解：绘出g k 从0到无穷的根轨迹，如图所示：根轨迹有3支，起点为0，-4,-6，终点为无限远处 渐近线180(21)/360,180k θ=±+=±0461033a σ++-=-=- 分离点和会合点 32()1024D s s s s =++2'()32024D s s s =++ ()1N s = '()0N s = 由()*'()'()*()0D s N s D s N s -=得 1.2 1.57s =- -5.1（舍去）与虚轴的交点 用劳斯判据得 240g k p = 1.2s =%18%σ≤的要求，阻尼角60β≤ ，作P 60= 的径向直线交点为A,B 作为满足性能指标要求的闭环主导极点，1,2 1.2 2.1s j =-±（计算方法此点满足特征方程）|0|*||*||44g k A CA DA == /4*6 1.83g K k =≈44g k ≤ 1.83K ≤另一闭环极点为- 3(46 2.4)7.6s =-+-=-不影响系统的超调量，取 1.83K =即满足要求 4-6 (2)()(1)(4)k Kg s G s s s s +=++解：三支根轨迹：起点在0，-1，-4处，终点-2,与两支无限远处 实轴上区间[-1 0][-4 -2]处分离点和会合点()2N s s =+, 32()(1)(4)54D s s s s s s s =++=++ '()1N s = 2'()3104D s s s =++232(2)*(3104)(54)0s s s s s s +++-++=得10.6s =- 渐近线 01421.531σ++--=-=--180(21)/290,270k θ=+=与虚轴的交点 特征方程 3254(2)0g s s s k s ++++=3s 1 4+g k 2s 5 2g kS2035gk +0s 2S 行等于0 g k 是负值，无解，与虚轴不交 开环放大系数 K=g k *2/4=3 幅值条件1g k = 6g k = 3v k =设半径为r ，32(cos60sin60)5(cos60sin60)(4)(cos60sin60)20g g r r j r r j k r r j k -++-+++-++={r=2, g k =6,60β= 0.5ς= 16%δ=2wn =1.81p t s == 33.43*s t wnς==4-7 求分离点 ()1N s s =+ 232()()D s s s a s as =+=+ '()1N s = 2'()32D s s a s =+得s=0,1,2s =a>1时，若2(3)160a a +-> a>9时有2个分离点，a=9时有1个分离点且为-3，a<9无分离点a<1 无分离点4-8解：起点0，32j -±渐近线180(21)/360,180k θ=±+=±330222213a j j σ+++-=-=-与虚轴交点 用劳斯判据得 1,23s j =±027g k <<时系统稳定出射角180(21)(90125.3)35.3a k θ=+-+=-4-9 解 ⑴三支 起点为0，-2，终点为无穷远处 渐近线180(21)/360,180k θ=±+=±23a σ-=-系统不稳定⑵三支 起点为0，-2，终点一支为-3，两支为无穷远处 渐近线180(21)/290k θ=±+=±231312a σ--=-=- 系统仍不稳定⑶三支 起点为0，-2，终点一支为-1，两支为无穷远处 渐近线180(21)/290k θ=±+=±211312a σ--=-=-- 求分离点和会合点()1N s s =+ 232()(2)2D s s s s s =+=+'()1N s = 2'()34D s s s =+由()*'()'()*()0D s N s D s N s -=得10,,22s s s ==-=-无分离点 系统稳定 20c z -<-<时，系统稳定4-10内环特征方程为：2200Ts s ++= 2*120s T s =-+作根轨迹，两个零点为原点，极点一个为无穷远处，一个为-20。
控制工程基础提纲
二. Bode稳定性判据：利用系统开环Bode图判断 闭环系统稳定性
在对数相频特性曲线 0 处补画一条从相角 0 900 0 的线条，然后计算
R , R , R R R , Z P 2R
Bode判据：在Bode图上，开环对数相频在 0 ~ c 范围内，
正穿越-180度线的次数与负穿越-180度线的次数分别为
开环极点
六.根轨迹与虚轴的交点
1. s j 代入特征方程
n
m
D s s pi K * s z j 0
i 1
j1
R jI 0
R 0
I
0
控制工程基础
2. 利用Routh表方法 七. 根轨迹的起始角和终止角
pi
m
z j pi
n
p j pi
j1
j 1
ji
zi
m
z jzi
n
pjzi
j1
j1
ji
要求熟练掌握前六条关于根轨迹的绘制法则，了 解第七条法则。
控制工程基础
Ch4.3 广义根轨迹 一. 系统的等效开环传递函数 二. 根轨迹绘制法则在广义根轨迹绘制中的应
用 三. 从根轨迹的角度，理解附加开环零点的作
用
控制工程基础
第五章 线性系统的频域分析法
60 -
40 -
1
-40dB/dec
20 -
-
0.1 1
-20 -
10
100
-40 -
-60dB/dec 2
控制工程基础
Ch5.3频率域稳定性判据 一. Nyquist稳定性判据：利用系统开环
Nyquist曲线判断闭环系统稳定性。 Z: 系统闭环在S右半平面中的极点个数 P: 系统开环在S右半平面中的极点个数 R: 开环围绕点(-1,0j)反时针的圈数 三者关系：
控制工程基础全
频率响应法和根轨迹法这两种方法设计出来的系统是稳 定的，并且或多或少能满足一些独立的性能要求，一般来 说这些系统是令人满意的，但它不是某种意义上的最佳系 统。从50年代末期，控制系统设计问题的重点就从设计可 行系统转变到设计在某种意义上的一种最佳系统。 由于具有多输入和多输出的现代设备变得愈来愈复杂， 所以需要大量方程描述控制系统，经典控制理论就无能为 力了，另外由于计算机技术日趋成熟，因此利用状态变量 基于时域分析的现代控制理论就产生了。
1、理解控制系统中的各个物理量的含义 2、理解开环控制和闭环控制的含义 3、理解反馈的含义 4、掌握基本控制系统的组成
1.1历史回顾
控制理论发展的三个时期： 第一个时期：经典控制理论时期 （40年代末到50年代） 18世纪，瓦特为自动调节蒸汽机运转速度 设计离心式调速器，是自动控制领域的第一 项重大成果。 在控制理论发展初期，作出 过重大贡献的众多学者中有
一.课程的地位与作用
该课程的开设培养学生运用控制原理的基本方法，分析 和解决各种工程问题。 控制工程基础是工科许多专业的学科基础课，该课程在 各专业的学习过程中起着非常重要的作用。它既是前期基 础课向专业课的转折，又是后续专业课程的重要基础课。
二、课程简介
教学内容以反馈控制理论为核心，介绍 控制系统的数学模型，介绍线性系统的 时域、频域和根轨迹的分析。教学方式 以讲授为主，辅以多媒体CAI及课堂讨论。 课程的教学目标是，使学生掌握有关自 动控制的基本概念、基本理论和基本方 法，能够运用反馈原理解决实际工程中 的相关问题，进一步提高分析问题和解 决问题的能力。
0
其中L——拉氏变换符号 s ——复变数 F s 为 f t 的拉氏变换函数，即象函数 f t 原函数
二．典型时间函数的拉氏变换
控制工程基础
L[ K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K1L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )] K1F1 (s) K 2 F2 (s)
12
2、实数域位移定理（延时定理）： 若有一函数 f1（t）相当于 f（ t ）从坐标轴 右移一段时间τ，即 f1（t）= f（t-τ） ，称函数f1 （t）为f（t）的延迟函数
过程。 系统——完成一定任务的一些元、部件的有机组合。
系统是一个广义的概念。应当理解为包含了物理学，生物学和经济
学等现象的系统。 扰动 扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在 系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的 输入量。
7
术
语
反馈——一个系统的输出部分或全部反用于系统输入。
统的基本任务，是要在存在扰动的情况下，将实际的输出量保持在希
望的数值上。 用恒温器作为控制器的室内加温系统，就是一种自动调整系统，系统 中恒温器的温度给定值（即希望的温度值），用来与室内的实际温度 进行比较。室外温度变化是该系统的扰动。调整系统的任务，是保持 所要求的室内温度不受室外温度变化的影响。 压力的自动控制以及电压、电流、流量和频率等电学量的自动控制。
眼球聚集系统等等，从肾脏、肝肺功能。
5
在日常生活中，自动电扶梯、空调、冰箱，导航控制系
统使汽车自动保持在设定车速，刹车防抱死系统 （ Antilock Brake System，简称ABS）自动防止汽车在湿滑的路面
上打滑。但大多数情况下，只有发生了故障，我们才意识到
它们是自动运行的。 科学技术的进步使大量系统的自动控制成为可能，从而
提高了生产率，促进了经济增长和改善了人们的生活质量。 高度复杂的科技社会对自动控制的需求在 21世纪将持续增长，
控制工程基础课件第4章
(t 0)
当 t 时，对稳定的系统而言，上式中的
于零。因此
css (t) c(t) ae jt ae jt
t
用部分分式法求得
es1t ，es2t ，∙∙∙，esnt 均趋近
a
G(s)
R0 s2 2
(s
j)
s j
R0G( j)
2j
a
G(s)
R0 s2 2
(s
j)
s j
R0G( j)
2j
位为rad，若化为º则为
G( j) 180 T 57.3T
π
延时环节频率特性的幅值为1，
相位57与.3T 成线性关系，故延时环节
的 Nyquist 曲线为一单位圆点。
延时环节频率特性
4.2 频率特性图形表示法
17
4.2.1 Nyquist图
例4-2 某系统的传递函数为 G(s) e s ，试绘制其 Nyquist 图。 1 Ts
4.2 频率特性图形表示法
9
前言
在相应的坐标系中将频率特性绘成曲线，可直观地看出幅值比与相位 差随频率变化的情况。
以图形来描述系统的频率特性，通常采用以下两种形式： 1) Nyquist图 2) Bode图 本节主要介绍基本环节频率特性、开环频率特性的绘制、最小相位系 统的概念及重要特性。
4.2 频率特性图形表示法
解
G( j) e j 1 jT
G( j) e j 1
1
1 jT 1 (T)2
G( j) e j 1 57.3 arctanT 1 jT
e j 1 57.3 arctanT 1 jT
0，G( j) 1，G( j) 0 ，G( j) 0，G( j)
控制工程基础
课程总复习
xo (t )
误差容充限
Mp 1
o
tr tp
ts
t
二阶系统的响应指标
ts
|0.02
4
n
ts
|0.05
3
n
tr
d
tp
d
M p e 1 2 100%
控制工程基础
第三章 控制系统的时域分析方法
课程总复习
5、闭环系统特征根与阶跃响应的关系
6、误差与偏差的定义及计算
误差： e(t) xor (t) xo (t) 偏差： (t) xi (t) b(t)
控制工程基础
课程总复习
第一章 控制系统的基本概念
一、基本概念
1、自动控制：指在没有人直接参与的情况下，利 用控制装置，使机器、设备或生产过程的某个工作 状态或参数，自动的按照预定的规律运行。
2、反馈：将系统的输出部分或全部地返回到系统 的输入端并与输入信号进行比较的过程。
控制工程基础
第一章 控制系统的基本概念
3、稳态误差和稳态响应的计算
4、稳定性分析
课程总复习
控制工程基础
第三章 控制系统的时域分析方法
1、典型输入信号
课程总复习
控制工程基础
第三章 控制系统的时域分析方法
2、一阶系统的时域响应
一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位速度响应 一阶系统的单位脉冲响应 线性定常系统时间响应的性质
课程总复习
控制工程基础
t<τ时, f (t-τ)=0
L[f
若L[f(t)]= (t-)]=e-s
FF(（(ss))，，则0）
控制工程基础
第二章 控制系统的数学模型
1、拉氏变换
《控制工程基础》电子教案
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍解释控制工程的定义强调控制工程在工程学中的重要性概述课程的目标和内容1.2 控制系统的基本概念介绍控制系统的定义解释控制系统的组成部分讨论控制系统的分类和特点1.3 控制理论的发展历程简述控制理论的发展历程强调现代控制理论的重要性第二章：数学基础2.1 线性代数基础介绍矩阵和向量的基本运算解释行列式和逆矩阵的概念讨论矩阵的秩和特征值2.2 微积分基础复习微积分的基本概念介绍导数和微分方程的概念讨论积分的概念和方法2.3 离散时间系统介绍离散时间系统的定义解释离散时间系统的差分方程讨论离散时间系统的性质和特点第三章：连续时间系统3.1 连续时间系统的描述方法介绍连续时间系统的微分方程描述解释状态空间描述的方法讨论两种描述方法的关系和转换3.2 连续时间系统的稳定性介绍连续时间系统的稳定性概念解释李雅普诺夫稳定性的判断方法讨论稳定性条件和不稳定性的原因3.3 连续时间系统的时域分析介绍连续时间系统的时域分析方法解释零输入响应和零状态响应的概念讨论时域分析的应用和意义第四章：离散时间系统4.1 离散时间系统的描述方法介绍离散时间系统的差分方程描述解释离散时间系统的状态空间描述讨论两种描述方法的关系和转换4.2 离散时间系统的稳定性介绍离散时间系统的稳定性概念解释离散时间系统的稳定性条件讨论稳定性判断方法和不稳定性的原因4.3 离散时间系统的时域分析介绍离散时间系统的时域分析方法解释离散时间系统的零输入响应和零状态响应讨论时域分析的应用和意义第五章：控制器设计5.1 概述控制器设计的目标和方法解释控制器设计的目标介绍常见的控制器设计方法5.2 PID控制器设计解释PID控制器的作用和原理介绍PID控制器的参数调整方法讨论PID控制器的应用和优点5.3 状态反馈控制器设计介绍状态反馈控制器的作用和原理解释状态反馈控制器的设计方法讨论状态反馈控制器的优点和应用第六章：频域分析6.1 频率响应分析介绍频率响应的概念和重要性解释传递函数和频率响应之间的关系讨论频率响应分析的方法和步骤6.2 传递函数的性质介绍传递函数的定义和基本性质解释传递函数的零点和极点讨论传递函数的稳定性和频率特性6.3 频域设计方法介绍频域设计方法的概念和原理解释截止频率和滤波器设计的要求讨论常用频域设计工具和技术第七章：频域设计实例7.1 低通滤波器设计介绍低通滤波器的作用和应用解释低通滤波器的设计方法和步骤讨论低通滤波器的性能指标和选择7.2 高通滤波器设计介绍高通滤波器的作用和应用解释高通滤波器的设计方法和步骤讨论高通滤波器的性能指标和选择7.3 其他类型滤波器设计介绍带通滤波器和带阻滤波器的作用和应用解释带通滤波器和带阻滤波器的设计方法讨论不同类型滤波器的性能指标和选择第八章：状态空间分析8.1 状态空间表示介绍状态空间的概念和表示方法解释状态空间矩阵和状态方程讨论状态空间表示的优点和应用8.2 状态空间稳定性和可控性介绍状态空间稳定性和可控性的概念解释李雅普诺夫稳定性和李雅普诺夫可行域讨论状态空间稳定性和可控性的判定方法8.3 状态空间最优控制介绍状态空间最优控制的概念和原理解释哈密顿-雅可比方程和解法讨论状态空间最优控制的应用和实现方法第九章：非线性控制9.1 非线性系统的定义和特点介绍非线性系统的定义和特点解释非线性系统的常见类型和行为讨论非线性系统分析和设计的方法和挑战9.2 非线性控制器设计介绍非线性控制器的设计方法和工具解释非线性PID控制器和滑模控制器的设计讨论非线性控制器的应用和效果9.3 非线性控制的应用实例介绍非线性控制在实际系统中的应用实例解释非线性控制在控制和航空航天领域的应用讨论非线性控制的优势和局限性第十章：控制系统仿真10.1 控制系统仿真概述介绍控制系统仿真的概念和重要性解释控制系统仿真的方法和工具讨论控制系统仿真的优点和局限性10.2 MATLAB控制系统仿真介绍MATLAB控制系统仿真的基本方法解释MATLAB中的仿真工具和函数讨论MATLAB控制系统仿真的应用和示例10.3 实际系统仿真案例分析介绍实际系统仿真案例的分析和实现方法解释实际系统仿真案例的仿真结果和分析讨论实际系统仿真案例的启示和应用前景第十一章：现代控制理论11.1 概述现代控制理论介绍现代控制理论的发展背景和意义解释现代控制理论的基本概念和原理讨论现代控制理论在工程应用中的重要性11.2 线性二次调节器（LQR）解释线性二次调节器的定义和特点介绍LQR控制器的设计方法和步骤讨论LQR控制器的性能分析和应用实例11.3 鲁棒控制理论介绍鲁棒控制的定义和目的解释鲁棒控制的设计方法和原理讨论鲁棒控制在系统不确定性和外部干扰下的性能第十二章：自适应控制12.1 概述自适应控制介绍自适应控制的概念和需求解释自适应控制的目标和原理讨论自适应控制在系统和环境变化中的应用12.2 自适应控制器设计介绍自适应控制器的设计方法和算法解释自适应控制器的自适应律和调整机制讨论自适应控制器的性能分析和应用实例12.3 自适应控制的应用介绍自适应控制在工业和农业领域的应用实例解释自适应控制在导航和飞行控制系统中的应用讨论自适应控制的优势和挑战第十三章：数字控制13.1 概述数字控制介绍数字控制的概念和与模拟控制的比较解释数字控制系统的组成和特点讨论数字控制在现代控制系统中的应用13.2 数字控制器设计介绍数字控制器的设计方法和算法解释数字控制器的离散化和实现方式讨论数字控制器的性能分析和优化方法13.3 数字控制的应用实例介绍数字控制在工业和家庭领域的应用实例解释数字控制在智能家居和工业自动化系统中的应用讨论数字控制的优势和局限性第十四章：控制系统实验14.1 控制系统实验概述介绍控制系统实验的目的和重要性解释控制系统实验的步骤和注意事项讨论控制系统实验在教学和研究中的应用14.2 实验设备和工具介绍控制系统实验中常用的设备和工具解释各种设备和工具的功能和操作方法讨论实验设备的选用和维护14.3 实验项目和解题方法介绍控制系统实验的项目和目标解释实验的解题方法和步骤讨论实验结果的分析和讨论第十五章：控制系统综合与应用15.1 控制系统综合概述介绍控制系统综合的目标和意义解释控制系统综合的方法和步骤讨论控制系统综合在实际应用中的挑战和解决方案15.2 控制系统应用实例介绍控制系统在工业和航空航天领域的应用实例解释控制系统在智能交通和智能中的应用讨论控制系统应用的挑战和发展方向15.3 控制系统未来的发展趋势探讨控制系统未来的发展趋势和机遇分析控制系统的创新技术和算法讨论控制系统在可持续发展和绿色能源领域的应用前景重点和难点解析本文档详细地介绍了《控制工程基础》这门课程的电子教案，内容涵盖了连续时间系统、离散时间系统、控制系统的基本概念、数学基础、控制器设计、频域分析、状态空间分析、非线性控制、仿真技术、现代控制理论、自适应控制、数字控制、实验项目和综合应用等多个方面。
控制工程基础课件,王益群,孔祥东,第三版第四章
K1 + (n m)(σ a ) s n m1 +
不难看出，此系统的根轨迹有 n-m 条分支，它们都是由(σa，j0)出 发的射线，其相角为
180 ( 2q + 1) a = ± nm
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
如果选择
n m (n m)(σ a ) = ∑ pi ∑ z j i =1 j =1
a 2 K1 却随参量a和K1的值而变化，
从而影响到系统的瞬态性能。
下面讨论a保持常数，开环增益K1改变时的情况。
当 0 ≤ K1 < a 2 时，s1和s2为互不相等的实根。而当 K1 = 0 时， 1 = 0 s 和 s 2 = 2a ，即等于系统的两个开环极点。
2 当 K1 = a 时，则两根为实数且相等，即
第四章 根轨迹法
p =0 G1( s ) =
K1 s ( s + 2a )
§4-1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的基本概念
根轨迹 是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形
成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的 影响，以及它们与系统性能的关系。
下面结合图4-1所示的二阶系统 ，介绍根轨迹的基本概念。 图4-1 二阶系统 系统开环传递函数为 G ( s ) =
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
对于无穷远处的根轨迹渐近线上的点而言，有限的开环零、极点的区别 是可以忽略的。因此上述系统等效于一个具有m个开环零点和n个开环 极点，并且所有零极点都聚集在σa点的系统。此系统的开环传递函数 P(s)可用下式表示
P( s ) =
(s σ a )
K1
nm
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Ac sin(t )
式中，稳态输出的振幅和相位分别为
Ac R | G( j) |; G( j)
➢由此可见，LTI系统在正弦输入下，输出的稳态值 是和输入同频率的正弦信号。输出振幅是输入振幅 的|G(jω)|倍，输出相位与输入相位相差∠G(jω)度。
3. 频率特性的定义
• 幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输
出振幅与输入振幅之比，用A(ω)表示。
A() Ac | G( j) | R | G( j) |
Ar
R
• 相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用
(ω)表示。
() [t G( j)] t G( j)
• 幅频A(ω)和相频 (ω)统称幅相频率特性。
A()e j() | G( j) | e jG( j) G( j)
4.1 频率特性
1. 引例——RC电路 对于图4-1所示的RC电路，其传递函数为
Uo (s) 1（Cs) 1 Ui (s) R 1 (Cs) Ts 1
式中，T=RC 。
R
+
+
ui(t)
C
uoБайду номын сангаасt)
-
-
图4-1 RC电路
设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为
ui (t) U sin t
U Ui (s) s2 2
t 趋向于零
xos (t) ae jt ae jt
a
G(s)
R s2 2
(s
j)
s j
G(
j)
(s
R j)(s
j)
(s
j)
s j
G(
j)
R 2j
(4-5)
a
G(s)
R s2 2
(s
j) s j
G( j) (s
R j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)
R 2j
G( j) 是一个复数向量，因而可表示为
所以有
U
o
(s)
1 Ts
1
U s2
2
将其进行部分分式展开后再拉氏反变换
uo (t)
T
UT 22 1
t
eT
U sin(t ) T 22 1
arctanT
• uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态 分量。显然上述RC电路的稳态响应为
lim
t
uo
(t)
U sin(t ) 1 T 22
U
A() 1 1 1 jT 1 T 22
() 1 arctanT 1 jT
• 频率特性G(jω)：上述电路的稳态响应与输入正弦信 号的复数比，且G(jω) = G(s)|s=jω 。
• 幅频特性A(ω)：输出信号幅值与输入信号幅值之比。
• 相频特性(ω)：输出信号相角与输入信号相角之差。
2. 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
2. 频率响应、频率特性和频域分析法
– 频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分 量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦 信号的合成）
– 频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系， 它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。
– 数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系 统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。
设系统的传递函数为 G(s) X o (s) U (s)
Xi (s) V (s)
已知输入 xi (t) Rsin(t) 其拉氏变换
Xi (s)
R s2 2
则系统输出为
Xo (s)
G(s)Xi (s)
U (s) V (s)
R s2 2
(s
p1)(s
U (s) p2)(s
pn
)
R s2
2
p1, p2 , pn G(s) 的极点 (4-1)
第四章 频率特性
（优选）控制工程基础第四章
引言
1. 为什么要对系统进行频域分析？ – 时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统 的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处： 计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大； 对于高阶系统十分不便，难以确定解析解； 不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确 定主要因素； 不能直观地表现出系统的主要特征。
(4-6)
j
j
G( j) G( j) e G( j) G( j) G( j) e G( j)
(4-7)
xos (t) ae jt ae jt
R | G( j) | e j(tG( j)) e j(tG( j))
2j
e j e j sin
2j
R | G( j) | sin(t G( j))
– 频域分析法:利用系统频率特性分析和综合控制系统 的方法。
3. 频域分析法的优点
(1) 物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域 性能指标和时域性能指标有明确的对应关系；对于高 阶系统，可建立近似的对应关系。 (2) 可以用试验方法求出系统的数学模型，易于研究 机理复杂或不明的系统；也适用于某些非线性系统。 (3) 可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能，无 需求解高次代数方程。 (4) 能较方便地分析系统中的参量对系统动态响应的 影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。 (5) 采用作图方法，计算量小，且非常直观。
对稳定系统
X o (s)
n i1
bi s pi
a s j
a s j
(4-2)
a, a和bi (i 1,2,n)
待定系数
n
X o (s)
n i 1
bi s pi
a s j
a s j
(4-2)
xo (t) ae jt ae jt bie pit
i1 (4-4)
因此，系统的稳态响应为：
Xo(s) G(s) 1
X i (s)
1 RCs
比较
X o ( j) G( j) 1 1
Xi ( j)
1 RCj 1 Tj
频率特性与传递函数具有十分相似的形式 G( j) G(s) s j
sp
传递 函数
微分 方程
1
1 jT
sin
t
1
1
jT
• 结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态 响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和 输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变 化取决于ω。
• 若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并
求其复数比，可以得到
G( j)
1
A()e j ()
• 式中
1 jT
– 工程方法要求： 计算量不应太大，且不因微分方程阶数的升高 而增加过多； 应 容 易 分 析 系 统 各 部 分 对 总 体 动 态 性 能 的 影 响 ， 易区分主要因素； 最好还能用作图法直观地表现出系统性能的主 要特征。
– 频域分析法:是一种间接的研究控制系统性能的工 程方法。它研究系统的依据是频率特性，频率特性 是控制系统的又一种数学模型。