2016-2017学年高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性课后作业新人教B版必修1(新)
2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)函数的单调性ppt课件(33张)
做一做3 函数y=x-1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是 ( ) A.6,3 B.5,2 C.9,3 D.7,4 解析:函数y=x-1在区间[3,6]上是增函数,则当3≤x≤6 时,f(3)≤f(x)≤f(6),即2≤y≤5,所以最大值和最小值分别是5,2. 答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “√”,错误的 打“×”.
C.h(x)=5
1 D.s(x)= ������
(2)证明函数f(x)=-x2+4x+1在区间(-∞,2]上是增加的. (1)答案:A (2)证明:设x1,x2是区间(-∞,2]上的任意两个实数,且x1<x2, 2 2 则 f(x1)-f(x2)=(-������1 +4x1+1)-(-������2 +4x2+1) 2 2 =(������2 − ������1 )+4(x1-x2)=(x1-x2)(4-x 1-x2). 因为x1<x2≤2, 所以x1-x2<0,4-x1-x2>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在区间(-∞,2]上是增加的.
C.f(x)=x2-2x-1 (2)已知函数 f(x)=
2������-1 . ������+1
������-1
D.f(x)=-|x|
①求 f(x)的定义域; ②证明函数 f(x)= ������+1 在[1,+∞)上是增函数.
分析:(1)根据单调性定义,并结合函数图像作答; (2)严格按照函数单调性的定义来证明.
解析:已知函数的图像判断其在定义域内的单调性,应从它的图 像是上升的还是下降的来考虑.根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数. 答案:B
人教版高中数学必修1数学第二章课后习题(共10页)Word版
新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462r t s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ;(6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R .(3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n .(2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n .点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ),2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=- 2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x-==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x=(5) 100.3x= (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4； （3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a . 3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）. （2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （ab b a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）.9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x在x ∈（-∞,+∞）上是增函数.证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x . 因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）, 所以.012.01212>+>+x x又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3。
高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性课时作业 北师大版必修1(2021年最新整理)
2016-2017学年高中数学第二章函数2.3 函数的单调性课时作业北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章函数2.3 函数的单调性课时作业北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3 函数的单调性时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题:（每小题5分，共5×6＝30分）1．下列函数中，在区间(0，2）上为增函数的是( )A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3答案:B解析:（排除法)选项A，y＝3－x在R上是减函数;选项C，y＝－x2在(0，＋∞）上是减函数,选项D，y＝x2－2x－3＝（x－1)2－4，当x≤1时y是x的减函数，当x≥1时，y是x的增函数，而在（0,2）上并不严格单调．故选B。
2．如图是函数y＝f（x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案:B解析：由图象，可知函数y＝f（x）的单调递减区间有2个．故选B。
3．下列函数中,在区间（0，k)(k∈（0，＋∞）)上单调递增的是( )A．y＝4－3x B．y＝2x2＋1C．y＝－5x2 D．y＝x2－2x＋2答案:B解析：因为y＝4－3x在（0，k）上单调递减，故A不满足题意；y＝2x2＋1在（0，＋∞)上单调递增，则在区间(0，k）（k∈（0，＋∞））上也单调递增，故B满足题意；y＝－5x2在(0，k）上单调递减，故C不满足题意；y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1在（0，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增,故D不满足题意．故选B。
高中数学2.1.3函数的单调性教学设计新人教B版必修1
函数的单调性（教学设计）一、教材分析：《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。
在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
二、学情分析：按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。
所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。
在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。
三、教学目标依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2016-2017学年人教A版必修一1.3.1(1)函数的单调性学案
1.3.1（1）函数的单调性（学生学案）例1：（课本P29例1）图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y =f(x)的图象，根据图象说出x=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数．变式训练1：如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32︒C ），观察这张气温变化图：例2 证明函数f(x)=3x+2在R 上是增函数． 归纳：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．变式训练2：（1）证明函数y=1x在(0,+∞)上为减函数。
（2）证明函数x x y 1+=在（1，+∞）上为增函数．课堂练习：（课本P32练习NO ：1；2；3；4）布置作业：A 组：1、（课本P39习题1.3A 组NO ：1）2、（课本P39习题1.3A 组NO ：2）3、（课本P39习题1.3A 组NO ：3）4、证明函数x x y 1+=在（0，1）上为减函数．B 组：1、作出函数y =－x 2 +2|x|+3的图象并指出它的的单调区间。
（提示：可以看作y=f(|x|)的图象的作法）2、(tb0109105)已知函数f(x)是区间(0,+∞)上的减函数，那么(1)f(3)与f(2)的大小关系是_____________； (2)f(a 2-a+1)与f(43)的大小关系是____________ C 组：1． 设f(x)是定义在R 上的增函数，f (xy)=f(x)+f(y)，○1 求f(0)、f(1)的值； ○2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．。
20162017学年人教版高中数学必修一1.3.1单调性与最大
单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①概念及判定方式 函数的性 质定义图象判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数②在公共概念域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③关于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，假设()y f u =为增，()u g x =为增，那么[()]y f g x =为增；假设()y f u =为减，()u g x =为减，那么[()]y f g x =为增；假设()y f u =为增，()u g x =为减，那么[()]y f g x =为减；假设()y f u =为减，()u g x =为增，那么[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质yxo()f x别离在(,]a-∞-、[,)a+∞上为增函数，别离在[,0)a-、(0,]a上为减函数．（3）最大（小）值概念①一样地，设函数()y f x=的概念域为I，若是存在实数M知足：（1）关于任意的x I∈，都有()f x M≤；（2）存在x I∈，使得()f x M=．那么，咱们称M是函数()f x的最大值，记作max()f x M=．②一样地，设函数()y f x=的概念域为I，若是存在实数m知足：（1）关于任意的x I∈，都有()f x m≥；（2）存在x I∈，使得()f x m=．那么，咱们称m是函数()f x的最小值，记作max()f x m=．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①概念及判定方式函数的性质定义图象判定方法函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②假设函数()f x 为奇函数，且在0x =处有概念，那么(0)0f =．③奇函数在y 轴双侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴双侧相对称的区间增减性相反．④在公共概念域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确信函数的概念域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用大体函数图象的变换作图：要准确经历一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各类大体初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图关于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下别离范围、转变趋势、对称性等方面研究函数的概念域、值域、单调性、奇偶性，注用意象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，取得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方式。
人教高中数学必修一B版《函数的单调性》函数的概念与性质说课教学课件复习(单调性的定义与证明)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
D.12，2
C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2) ＝－1.]
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4．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． (－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数， 其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
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利用定义证明函数单调性的步骤 1取值：设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1＞x2. 2作差变形：作差 fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、 有理化等手段，转化为易判断正负的式子. 3定号：确定 fx1－fx2的符号. 4结论：根据 fx1－fx2的符号及定义判断单调性.
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(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53， 最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
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1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)．
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求函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间 上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝25x－＋x1，，x<x≥1；1， (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
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[解]
(1)函数f(x)＝－
【函数单调性(2)·必修一·人教B版·文库整理版】
四 另起一节课
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思考： 思考： f(x) 为某区间上单调函数，判 为某区间上单调函数， 断下面函数单调性？ 断下面函数单调性？
f (x) (f (x)≥0)
引出：复合函数单调性
1 f (x)
( f ( x) > 0)
三 复合函数的单调性
问题： f(x),g(x)是区间D上的增函数， 求证f(g(x))在D上是增函数
1）f(x)+g(x)为增（减）函数. 2）f(x).g(x)为增（减）函数. (f(x)>0,g(x)>0) 3）kf(x) ,k>0,单调性不变.k<0,改变 特别的-f(x) 为减（增）函数.
小探究：
由对 号函 数的单调性 ， 引申 得到耐克函数 ： b f (x) = ax + (a, b为正常数 的单 ) 调性 x
一 平均变化率
x y < 0, 单减 x
y y2 y1 = x x2 x1
过曲线上两点的直线 的斜率
1） y > 0, 单增 2） 几何意义
3）均变化率的大小和函数值
变化快慢的关系
说明： 画几组常见函数图象，观察直线斜率
可分析直线的倾斜程度和其斜 率之间的变化情况
此部分为以后学习导数和直线方程做铺垫
二 常用结论
f ( x), g ( x)在公共区间上具有相同的单调性
思考：以下函数的单调性如何？
1) f ( x) + a, kf ( x) 尤其：当k=-1时 2) f ( x) + g ( x), f ( x) g ( x)
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3 函数的单调性》教学设计(表格式)
§2.1.3函数的单调性
一、教学目标
1.知识与技能目标
使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法;
2.过程与方法目标
引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
3.情感态度与价值观目标
在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.
二、教学重点与难点
重点：函数单调性的概念形成和初步运用．
难点：函数单调性的概念形成．
三、教法与学法
（一）教法
在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法，通过“提出问题、思考问题、解决问题”的教学过程，借助实物试验、多媒体课件引导学生进行试验探究、观察类比、概括归纳出增函数和减函数的定义,再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
（二）学法
学生通过“试验观察、思考探究、归纳总结”的自主学习解惑过程，体验从特殊到一般的数学思维过程，体会学以致用和数学的严谨之美，增强学习的兴趣和信心。
四、教学教具
多媒体课件
五、教学过程设计。
高中数学 第二章 函数 2.函数的单调性课件 b必修1b高一必修1数学课件
12/13/2021
第二十页，共三十六页。
【解析】 (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3． 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]． ①由 f(x)在(－∞，3]上是增函数知 3≤－a－1， 即 a≤－4． ②由题意得－a－1＝3，a＝－4． (2)因为函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且 f(2x－3)>f(5x－6)，所以 2x－3>5x－6， 解之得 x<1，即实数 x 的取值范围为(－∞，1)． 【答案】 (1)①a≤－4 ②－4 (2)(－∞，1)
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则Δx＝x2－x1>0， Δy＝y2－y1＝(－x32＋1)－(－x31＋1) ＝x31－x32＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22) ＝(x1－x2)[(x1＋12x2)2＋34x22]． 因为 x1－x2＝－Δx<0，(x1＋12x2)2＋34x22>0， 所以Δy＝y2－y1<0． 所以函数 y＝－x3＋1 在定义域(－∞，＋∞)上是减函数．
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画出函数 f(x)＝x2－2|x|－3 的图象，并指出函 数的单调区间． 解：f(x)＝x2－2|x|－3 ＝xx22＋－22xx－－33，，xx<≥00，. 画出函数 f(x)的图象如图所示， 由图可知函数 f(x)在区间(－∞，－1]和 [0，1]上是减函数，在区间(－1，0)和(1，＋∞)上是增函数．
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利用定义证明函数单调性的步骤
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2.1.3 函数的单调性
2.有下列说法:
①若x1,x2∈I,当x1<x2时,f(x1)<f(x2),则y=f(x)在I上是增函数
②函数y=x2在R上是增函数;
③函数y=-在定义域上是增函数.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:①中没强调x1,x2是区间I上的任意两个数,故不正确;②y=x2在x≥0时是增函数,在x<0时是减函数,从而y=x2在整个定义域上不具有单调性,故不正确;③y=-在整个定义域内不具有单调性,故不正确.
答案:A
3.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C. D.
解析:由已知得2x<1,解得x<.
答案:D
4.定义在R上的函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数,则下列关系成立的是( )
A.f(3)<f(-4)<f(-π)
B.f(-π)<f(-4)<f(3)
C.f(-4)<f(-π)<f(3)
D.f(3)<f(-π)<f(-4)
解析:由于f(x)在R上的图象关于y轴对称,
因此f(-4)=f(4),f(-π)=f(π).
∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴由3<π<4,得f(3)<f(π)<f(4),
即f(3)<f(-π)<f(-4).
答案:D
5.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.
解析:由题意,知f(x)是R上的增函数,
又∵-3>-π,∴f(-3)>f(-π).
答案:f(-3)>f(-π)
6.函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.
解析:当a=0时,f(x)=x,显然f(x)在[1,+∞)上是增函数;
当a≠0时,所以0<a≤1.
综上所述,0≤a≤1.
答案:0≤a≤1
7.已知f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.
解析:设x1,x2是(-2,+∞)上的任意两个不相等的实数,且-2<x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=.
∵-2<x1<x2,∴x2-x1>0,(x1+2)(x2+2)>0.
∴>0.
又∵f(x)在(-2,+∞)上为增函数
∴f(x2)-f(x1)>0,∴2a-1>0,即a>.即实数a的取值范围是.
答案:
8.证明函数y=x+在区间(0,3]上是减函数
证明:任取0<x1<x2≤3,则有Δx=x2-x1>0,
Δy=y2-y1=
=(x2-x1)-=(x2-x1).
∵0<x1<x2≤3,
∴x2-x1>0,>1,即1-<0.
∴Δy=y2-y1<0,
∴函数y=x+在(0,3]上是减函数.
9.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(a2-1),求a的取值范围.
分析:由于函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(a2-1),所以由单调函数的定义可知1-a∈(-1,1),a2-1∈(-1,1),且1-a>a2-1,解此关于a的不等式组,即可求出a的取值范围.
解:由题意可得
由①,得0<a<2,由②,得0<a2<2,∴0<|a|<.
∴-<a<,且a≠0.
由③,得a2+a-2<0,即(a-1)(a+2)<0,
∴∴-2<a<1.
综上可知0<a<1,∴a的取值范围是{a|0<a<1}.
10.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(4)由以上你发现了什么结论?(不需证明)
解:(1)函数y=x2-2x的单调减区间是(-∞,1],单调增区间是[1,+∞);对称轴是直线x=1;在对称轴两侧的单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调减区间是(-∞,0],单调增区间是[0,+∞);对称轴是y轴,即直线x=0;在对称轴两侧的单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如下图所示.
函数y=f(x)的单调增区间是[-4,-1],[2,5];单调减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,单调性相反;区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧的对称区间内的单调性相反。