高中数学小专题(精品)81

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数学方法极值问题高中数学

专题一数学方法极值问题求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法。

物理方法即用临界条件求极值。

数学方法主要有:三角函数极值法、二次函数极值法、不等式极值法、一元二次方程判别式法等.其它还有如导数法求解。

一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。

1.利用三角函数求极值(1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y= 2sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max = 2.(2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过和差角公式转化为y=22b a +sin(θ+φ),当θ+φ=90°时,y 有最大值,y max =22b a +.2.利用二次函数求极值二次函数y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 为常数且a ≠0),当x=- 2 时,y 有极值(a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值).3.利用均值不等式求极值对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和a+b 有极小值.【例题1】重为G 的木块与水平面间动摩擦因数为μ,要用最小的作用力F 使木块沿地面匀速运动,则此最小作用力的大小和方向如何?【例题2】如图所示，质量为kg M 2=的木块与水平地面的动摩擦因数4.0=μ，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N 的恒力F ，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度cm h 10=，木块M 离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？【例题3】在场强为E的水平匀强电场中以初速度v0竖直向上发射一个质量为m、带电荷量为+q的小球,求小球在运动过程中具有的最小速度.(重力加速度为g)【例题4】一轻绳一端固定在O点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度释放小球,小球在运动至轻绳到达竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取最大值?【例题5】如图所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。

高中数学竞赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)

高中数学比赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)v1.0 可编写可改正同余的见解与应用见解与性质1. 定义：若整数 a,b 被整数 m(m ≥1) 除的余数同样 , 则称 a 同余于 b 模 m,或 a,b 对模 m 同余 . 记为 a ≡b(modm). 余数 r:0 ≤r<1.2. 性质： ( ⅰ)a ≡b(modm)m|a-b, 即 a=b+mk,k ∈Z.( ⅱ) 若 a ≡b(modm),b ≡c(modm),则a ≡c(modm).( ⅲ) 若 a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则 a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm);nnn-1 x n-110n nn-1 x n-110是两个整系数多项式 i≡( ⅳ) 设 f(x)=a x +a+ +a x+a ,g(x)=bx +b+ +b x+b , 知足 ab (modm)(0≤i ≤n). 若 a ≡b(modm),则 f(a) ≡f(b)(modm).( ⅴ)ac ≡bc(modm)a ≡b(modm ),i(c, m)( ⅵ) 若 m ≥1,(a,m)=1, 则存在整数c 使得 ac ≡1(modm).称 c 为 a 对模 m 的逆或倒数 , 记为 c=a -1 (modm);a b(mod m 1 ) ab (mod[m 1,m 2]); ( ⅷ) 若 a ≡b(modm 1),a ≡b(modm 2), 且(m 1,m 2)=( ⅶ)同时建立a b(mod m 2 )1, 则 a ≡b(modm 1m 2).3. 节余类：设 m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分红 m 类，相应 m 个会合记为： K 0,K 1 , ,K m-1, 此中 K r ={qm+r|q ∈Z,0 ≤余数 r ≤m -1} 称为模 m 的一个节余类。

高中数学小问题集中营之高三：三角函数与解三角形：专题六正弦定理、余弦定理与不等式(含答案解析)

正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发.1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤ (,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理略一、面积的范围问题例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ；（2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值．解：（1）原式化为22222222a c b b c a cabc abc a+-+-+=，解得1a =（2）因为1cos 3A =，所以222sin 13bc A b c =+-=，所以34bc ≤（当且仅当2b c ==，从而1sin 24ABC S bc A ∆=≤（当且仅当2b c ==，即ABC ∆面积的最大值为4．【评注】解三角形问题是高考考查三角函数常见的题目，在解答次类题目的时候，主要是利用三个基础知识（正余弦定理、三角形面积公式、三角形内角和定理）和两种转化方式（角化边、边化角），所以解题时必须认真体会，灵活运用，尤其注意余弦定理中基本不等式的应用。

二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积；（2）求ABC ∆周长的最大值；解（1）由()2sin2sin2sin A B C C ++=得()()4sin cos sin sin A A B A A B +-=+得2sin cos sin cos A A B A =，当cos 0A =时，2A π=，3B π=，3a =3b =，当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =b =故三角形的面积为1sin 23ABC S ab C ∆==；（2）由余弦定理及已知条件可得：224a b ab +-=，由22()()43434a b a b ab ++=+≤+得4a b +≤，故ABC ∆周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到．【评注】除了利用余弦定理、基本不等式、方程与不等式思想外，还可以利用正弦定理将a 和b 用角A 、B 表示，利用消元思想，转化为三角函数求值域问题处理。

高中数学《数列》100题(问题+答案)

数列一、单选题1．在ABC 中，AB，45C =︒，O 是ABC 的外心，若OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-2．将等比数列{}n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，新数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则S 200=（）A ．3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭3．在ABC 中，AB =，45C =︒，O 是ABC 的外心，若21OC AC ⋅-的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）．A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-4．设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos 1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（）A ．60-B ．120-C ．180D ．2405．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（）A ．9B ．10C ．19D ．206．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -7．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a使得14a =，则122n m n+++的最小值为（）A．118+B ．2615C ．74D ．28159．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，则下列说法正确的是（）A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C．2022a <-D．2022a >10．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122015111a a a +++= （）A ．10071008B ．20151008C ．1007504D ．2015201611．在数列{}n a 中，12a =，22a =且21(1)(N )nn n a a n ++-=+-∈，100S =（）A ．0B ．1300C ．2600D ．265012．童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（）A ．96B ．144C ．192D ．23113．已知无穷等比数列{}n a 中12a =，22a <，它的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n S 是递增数列B ．数列{}n S 是递减数列C ．数列{}n S 存在最小项D ．数列{}n S 存在最大项14．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（）A ．100B ．23C ．21D ．1715．已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（）A ．54-或54B ．54-C ．45D ．5416．在等比数列{}n a 中，已知对*n N ∈有1221n n a a a ++⋯+=-，那么22212n a a a ++⋯+=（）A ．2(21)n -B ．21(21)3n -C ．41n -D ．1(41)3n-17．设等比数列{}n a 的各项均为正数，已知237881a a a a =，则267a a a +的最小值为（）AB．C．D．18．已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（）A ．12B ．36C ．78D ．15619．设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a Ω=（）A ．21B ．20C ．41D ．4020．已知数列1，12-，14，18-，…．则该数列的第10项为（）A ．1512-B ．1512C ．11024-D ．1102421．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式．某数学探究小组为了探究调和数列的性质，仿照“杨辉三角”．将1，12，13，14， (1)，…作为第一行，相邻两个数相减得到第二行，依次类推，得到如图所示的三角形差数列，则第2行的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．99200D ．5010122．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，2020a 满足12020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC边BC 上任意一点，则2020S =（）．A ．2020B ．1010C ．1020D ．223．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（）A ．1B ．6C ．10D ．2024．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（）A ．121n -B ．121n +C ．131n -D ．131n +25．已知数列1，3-，5，7-，9，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．19-C ．19D ．2126．在等差数列{}n a 中，若47101102a a a ++=，则311a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．827．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）A ．10B ．12C ．14D ．22二、多选题28．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等差数列D ．()152210n n S n +=--29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若10911S S S <<，则（）A ．0d >B ．10a >C ．200S <D ．210S >31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知342,14a S ==，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．18a =C ．523S a a =D ．n S 的最小值为332．已知数列{}n a 中，13a =，()1*11N n na n a +=∈-，下列选项中能使3n a =的n 有（）A ．22B ．24C ．26D ．2833．对任意数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等比数列B ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等比数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等差数列三、填空题34．在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2018项和为_________35．已知数列{}n a 的通项为21n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =，则123...n b b b b ++++=________.36．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为{}n F .利用下图所揭示的{}n F 的性质，则在等式()222220221220212022m F F F F F F -++⋅⋅⋅+=⋅中，m =______.37．将公差不为零的等差数列1a ，2a ，3a 调整顺序后构成一个新的等比数列i a ，j a ，k a ，其中{,,}{1,2,3}i j k =，试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比：_____．（写出一个即可）．38．已知()f x 为R 上单调递增的奇函数，在数列{}n a 中，120a =，对任意正整数n ，()()130n n f a f a ++-=，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为___________.39．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ，当1n a +=________时，1221n n n y a a a +++=+++ 取得最大值．40．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当n 依次取0、1、2、3、L 时()na b +展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ，例11a =，211a =+，312a =+，L ，设数列{}n a 的前n 项和为n S .若20243a m =+，则2022S =___________.41．已知数列{}n a 的前n 项和343n n nS -=，记n b =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.42．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的13，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的13，则第5天截取的长度是______米.43．已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________44．已知等差数列的前n 项和为n S ，且13140,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为__________．45．在等差数列{}n a 中，710132a a =+，则该数列的前7项和为_________．46．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q >，且21a +为1a 与3a 的等差中项，314S =.若数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T ，则n T =_________.47．已知数列{}n a 是递增数列，且满足121n n a a +=+，且1a 的取值范围是___________.48．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则lim nn nS a →∞=__________．49．已知数列{}n a 的首项12a =，且对任意的*n N ∈，都有122nn n a a a +=+，则lim n n a →+∞=______．50．数列{}n a 满足12a =，2111a a =-，若对于大于2的正整数n ，111n n a a -=-，则102a =__________.51．若n a 为()1nx +的二项展开式中2x 项的系数，则2limnn a n →+∞=_________.52．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长.53．已知数列{}n a 满足11n nna a +=+，且46a =，则1a =___________.54．已知无穷数列{}n a 满足12a =，25a =，318a =，写出{}n a 的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）55．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．56．若等差数列{}n a 满足202220221a a a =+=，则1a 的值为___________.57．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________．58．已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=-，则5S =_________四、解答题59．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12311111n n S S S S n +++⋯+=+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22na nb =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，()x Ω表示x 除以3的余数，求()21n T +Ω．60．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．61．若有穷数列A ：1a ，2a ，…，()*,3n a n n ∈≥N ，满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++-≤-=- ，则称数列A 为M 数列．(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1(2)已知M 数列A ：1a ，2a ，…，9a ，其中14a =，27a =，求349a a a +++ 的最小值．(3)已知M 数列A 是1，2，…，n 的一个排列．若1112n k k k a a n -+=-=+∑，求n 的所有取值．62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211122n S n n =++，*N n ∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．63．已知数列{}n a 满足12a =，{}n a 的前n 项和为n S ，()()121n n a S n n ++=++∈N ，令1n n b a =+．(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求证：123111156n a a a a ++++<L ．64．对于有限数列()12:3n A a a a n ≥ ，，，，如果()12121ni a a a a i n n +++<=- ，，，，则称数列A 具有性质P .(1)判断数列1:2323A ，，，和2:3456A ，，，是否具有性质P ，并说明理由;(2)求证：若数列12:n A a a a ，，，具有性质P ，则对任意互不相等的{}12i j k n ∈ ，，，，，，有i j k a a a +>;(3)设数列122022:A a a a ，，，具有性质P ，每一项均为整数，()1122021i i a a i +≠= ，，，，求122022a a a +++ 的最小值.65．已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n n a n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)令2n n b a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .66．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列．(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列；(3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k = 是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值67．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +-=+（N n *∈），且11a =.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若()22log 1nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT 68．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n a a +=，且3431S S +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()311log 3n n n b a n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T．69．（1）已知数列{}n a 是正项数列，12a =，且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+．求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式．70．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式：21n a n =-，2n n b =(1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．(2)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．71．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．72．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()647n n n S a a =-+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1133nn nn n n a a b a a ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .73．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==．数列{}n n a b +是公差为q 的等差数列，数列{}n n a b 是公比为q 的等比数列，,n n a b n *≥∈N ．(1)若1q =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若01q <<，证明：12231,1n n qa b a b a b n q*++++<∈-N ．74．已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ++++= ．(1)求数列{an }的通项公式；(2)令bn ＝3413431log log n n a a -+，求数列{bn }的前n 项和为Tn ．75．已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23333123123()n n a a a a a a a a ++++=++++ .(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；(2)是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20172016a =-？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；(3)记n a 的所有取值构成的集合为n A ，求集合n A 中所有元素之和．（结论不要求证明）76．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．77．设各项均不等于零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1114,42n n n a S a a a +=+=.(1)求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：1211121n nS S S a +++<- .78．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =．(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =；数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=- ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记tan()n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和．80．已知数列{an }的前n 项和为n S ，*1(N )22n n a n S -∈=，数列{bn }满足b 1＝1，点P（bn ，bn +1）在直线x ﹣y +2＝0上．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和Tn ；(3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立的k 的取值范围．81．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且45656a a a ++=，54a +是4a ，6a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若()*21n n S n =-∈N ，求实数λ的值．82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++= ，求1a .83．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()221n n n S S S n N *++<∈；(3)对任意的正整数n ，设()21132,,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．84．在数列{}n a 中，()*112,21n n a a a n n +==-+∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S ．85．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有23n n S a n =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{(1)}n n a +⋅的前n 项和n T ．86．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，322b b =，441a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．87．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．88．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.(1)求,n n a b ；(2)设22121n n n n n c b a a ++=+⋅，求{}n c 的前n 项和n S .89．治理垃圾是改善环境的重要举措．A 地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）.(1)写出A 地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*n n N∈的表达式；(2)设n A 为从2020年开始n 年内需要焚烧垃圾量的年平均值．．．．，证明数列{}n A 为递减数列．90．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列111a b ==，22a b =，3342a b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .91．已知{}n a 是递增的等差数列，13a =，且13a ，4a ，1a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：11156n T ≤<.92．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且126a =-，1215S S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2nn a -的前n 项和n T .93．设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S .(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{}n a 的通项公式；①{}11,2n a S =-是等比数列；②233421,61S a S a =+=+.(2)在（1）的条件下，若31n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.94．已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．95．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．96．设{}{}n n a b 、是两个数列，()()12122n n n n M A a B n n -⎛⎫⎪⎝⎭,,,,，为直角坐标平面上的点.对*N n n n M A B ∈，、、三点共线.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:1122212log n nn na b a b a b c a a a +++=+++ ，其中{}n c 是第三项为8，公比为4的等比数列.求证:点列()()()11221,2,,n n P b P b P n b 、、、在同一条直线上;(3)记数列{}{}n n a b 、的前m 项和分别为m A 和m B ，对任意自然数n ，是否总存在与n 相关的自然数m ，使得n m n m a B b A =若存在，求出m 与n 的关系，若不存在，请说明理由.97．已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．98．在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．五、双空题99．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为1S ，在图①中取CB 的中点1C ，以1CC 为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为2S ，以此类推，则3S =___________；1nii iS==∑___________.100．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.72-=-．在数列{}n a 中，[]lg n a n =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2022a =______；2022S =______．参考答案：1．A 【解析】【分析】先由正弦定理得到2sin b B =，02b <≤2211122a b =+-，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅= ，22122CB OC CB a ⋅=-=- ，进而计算出3m =，再使用构造法求解通项公式【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，则在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=及c 45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，∴0sin 1B <≤，∴02b <≤.在ABC 中，由余弦定理及2222cos c a b ab C =+-及c =45C =︒，2211122a b =+-.因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅=，22122CBOC CB a ⋅=-=- ，()OC AB CA CB OC AC CB CA CB OC AC OC CB CA CB⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ 222222211111111222222b a b a a b b =-+=-++-=-.∵02b <≤，∴2113b -<-≤，所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-.故选：A 【点睛】构造法求解数列的通项公式，是经常考查的知识点，要结合递推数列的结构特点，选择合适的方法进行构造，常见的构造类型有()11n n a pa q p +=+≠和()11nn n a pa q p +=+≠等.2．A 【解析】【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解：由已知得11b =，12a =，2331214b c S c c ==--=，等比数列{}n b 的公比14q =．令21122221nn n T -=++++=- ，则663T =，7127T =，8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，故()()20012181292S b b b a a a =+++++++ 1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯．故选：A ．3．A 【解析】【分析】设AC b =，AB c =，由正余弦定理可得2sin b B =，结合三角形外心性质、向量数量积的几何意义求得21OC AC ⋅-的最大值为3，进而可得()1131n n a a ++=+，利用等比数列的定义写出通项公式.【详解】设AC b =，AB c =，在ABC 中，由sin sin c bC B=及c =45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，则0sin 1B <≤，∴02b <≤．因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得222111OC AC AC b ⋅-=-=- ，而2113b -<-≤，所以21OC AC ⋅-的最大值为3．即3m =．由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+．所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列．所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-．故选：A 4．D 【解析】【分析】分别取43n k =-，42k -，41k -和4k ，*k N ∈，可验证出43424148k k k k a a a a ---+++=，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，431k a -=；当42n k =-，*N k ∈时，1os 2c n π=-，()()4224211186k a k k -=⨯--⨯-+=-+⎡⎤⎣⎦；当41n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，411k a -=；当4n k =，*N k ∈时，cos12n π=，424118k a k k =⨯-+=.()4342414186188k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，12012082404S ∴=⨯=.故选：D 5．B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的前n 项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1191910191902a a S a +=⨯=>，有100a >，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<，有11100a a <-<，显然数列{}n a 是递减的，且10110a a ⋅<，因10m m a a +⋅<，所以10m =.故选：B 6．C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a .【详解】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列.7．B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.8．B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B 9．A 【解析】【分析】根据()2*1n n na S n N a +=∈求出1a 的值，判断数列{}2n S 是等差数列，求出n S 的通项公式，再求出n a ，然后逐个分析判断即可【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，所以当1n =时，()211*112a S n N a +=∈，解得11a =或11a =-，当2n ≥时，()2111112n n n n n n n n n a S a S S a a S S --+==+=-+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2nS 是以1为公差的等差数列，当11a =±时，21(1)n S n n =+-=，所以=n S 或n S=所以1-=-=n n n a S S 11a =满足此式，或1n n n a S S -=-=11a =-满足此式，所以2022a =或2022a =，所以CD 错误，当=n a20212022a a ⋅=1<，当n a =20212022a a ⋅=1<，所以A 正确，B 错误，故选：A 10．B 【解析】【分析】先利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法去求122015111a a a +++ 的值.【详解】由11a =，11n n a a a n +=++，可得11n n a a n +-=+则2n ≥时，()()11232211()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()1321(1)2nn n n =+-++++=+ 又11122a ==⨯，则数列{}n a 的通项公式为(1)2n n a n =+则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则122015111a a a +++ 1111111201522112232015201620161008⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣=⎭⎦ 故选：B 11．D 【解析】【分析】分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，再利用分组求和法及等差数列前n 项和的公式，即可得出答案.【详解】解：当n 为奇数时，20n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项是以0为公差的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，所以2,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()10050210025024610010026502S +=⨯+++++=+=L .故选：D.12．C 【解析】【分析】由条件可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，由条件列方程求玲珑塔的顶层灯的盏数.【详解】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，设其首层为1a ，公比q ，顶层为n a ，前n 项和为n S 由已知可得13a =，2q =，381n S =，由等比数列的前n 项和公式可得132********n nn a a q a a q --==-=--，所以192n a =．故玲珑塔的顶层灯的盏数为192，故选：C.13．C 【解析】【分析】对AB ，举公比为负数的反例判断即可对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，分0q >和0q <两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB ，当公比为12-时，2311,,2a a =-=此时12332,1,2S S S ===，此时{}n S 既不是递增也不是递减数列；对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，当0q >时，因为22a <，故22q <，故01q <<，此时()2122111n nn q q S qq q-==----，易得n S 随n 的增大而增大，故{}n S 存在最小项1S ，不存在最大项；当0q <时，因为22a <，故22q -<，故10q -<<，2211nn q S q q =---，因为1q <，故当n 为偶数时，2211nn q S q q =---，随着n 的增大而增大，此时222111nn q S q q q =-<---无最大值，当2n =时有最小值222S q =+；当n 为奇数时，2211nn q S q q=+--，随着n 的增大而减小，故222111nn q S q q q=+>---无最小值，有最大值12S =.综上，当0q <时，因为22221q q +<<-，故当2n =时有最小值222S q =+，当1n =时有最大值12S =综上所述，数列{}n S 存在最小项，不一定有最大项，故C 正确；D 错误故选：C 14．A 【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+=.故选：A.15．D 【解析】【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果.【详解】由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =，设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b =故选：D 16．D 【解析】【分析】利用“1n =时，11a S =；当2n时，1n n n a S S -=-”即可得到n a ，进而得到数列2{}n a 是等比数列，求出公比和首项，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，1221n n n S a a a =++⋯+=- ，∴当2n 时，1112121n n n S a a a ---=++⋯+=-，111222n n n n n n a S S ---∴=-=-=．∴2122221(2)4(2)n n n n a a ---==，当1n =时，11211a =-=，21221a a +=-，解得22a =，22214a a =．也符合2214n n a a -=，∴数列2{}n a 是等比数列，首项为1，公比为4．∴22212411(41)413n n na a a -++⋯+==--．故选：D 17．C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，根据题意得到2673339q a a qa +=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为23784581a a a a a ==，所以53a =，又因为235553326739,a a a a a q a q q q q===⋅=，所以3267339q a a q a +=+≥=当且仅当3339q q =时，即613q =时，等号成立，所以267a a a +的最小值为.故选：C.18．C 【解析】【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ，由等差数列求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，13512a a a ++= ，10111224a a a ++=，()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==，解得：12d =，135********a a a a d a ∴++=+=+=，解得：13a =，{}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=.故选：C.19．C 【解析】【分析】设{}n a n -的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果.【详解】设{}n a n -的公比为q ，则2121123141a q a --===--，所以111(1)(41)33n n n n a n a q---=-⋅=-⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=.故选：C 20．A 【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为()1112n n n a +--=，所以()11109112512a -==-．故选：A 21．A 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可；【详解】解：由题可知，第2行的前100项和10011111261210012010S +++++⨯= 1111111100122334100101101=-+-+-++-= ．故选：A 22．B 【解析】【分析】根据三点共线可得120201a a +=，结合等差数列的前n 项和公式求解．∵,,A B C 三点共线且12020OA a OB a OC =+，则120201a a +=∴()120202020202010102a a S +==故选：B ．23．C 【解析】【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C 24．C 【解析】【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -；故选:C 25．B 【解析】【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-，所以1019a =-.故选：B 26．D 【解析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．故选：D ．27．B 【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.28．BD 【解析】【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE = 1233BA BC +，结合()()1122n n n n BD a BA a BC --=-++ ，推出1122(2)n n n n a a --+=-，11222nn n n a a ---=-，求出232nn a n =-+，(23)2n n a n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断C ，根据数列的单调性可判断B ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E ，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t--=-++ ，()()1111231223n n n na t a t--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以当2n ≥时，恒有1122(2)n n n n a a --+=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n n n a a ---=-，又12a =，所以112a =，所以12(1)232nn a n n =--=-+，所以(23)2n n a n =-+⋅，因为11(21)242(23)223n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为11(21)(23)2022n n n n a a n n ++-=-+--+=-<，即1122n n n n a a ++<，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，故B 正确；因为1n n a a +-=1(21)2(23)2n n n n +-+⋅--+⋅=(21)2n n --⋅不是常数，所以{}n a 不为等差数列，故C 不正确；因为12312(1)2(3)2(23)2nn S n =⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以2341212(1)2(3)2(23)2n n S n +=⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以12341122(2222)(23)2n n n S n +-=⨯-++++--+⋅ ，所以114(12)22(23)212n n n S n -+--=-⨯--+⋅-110(52)2n n +=--⋅，所以1(52)210n n S n +=-⋅-，故D 正确.故选：BD 29．BCD【解析】【分析】由题知121n n a a +=+，进而得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.【详解】由121n n n S S a +=++得1121n n n n a S S a ++=-=+，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，所以22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故D 正确.故选：BCD 30．AD 【解析】【分析】对AB ，根据通项n a 与n S 的关系可得100a <，110a >即可判断；对CD ，根据等差数列前n 项和的公式，结合等差数列的性质判断即可【详解】因为109S S <，1011S S <，所以109100S S a -=<，1110110a S S =>-，故等差数列首项为负，公差为正，所以0d >，10a <，故A 正确，B 错误；由911S S <，可知11910110S S a a -=+>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 错误；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 正确．故选：AD 31．BCD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，再根据n S 与n a 的公式可得d ，进而求得n S 与n a 的通项公式，再逐个判定即可【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11224614a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得183a d =⎧⎨=-⎩，故311n a n =-+，()()311819232n n n S n n ==-+-.故{}n a 是递减数列，A 错误；18a =，B 正确；()535191250S -⨯==，235210a a =⨯=，故C 正确；()1932n n n S =-，当1,2,3...6n =时，()1932n n n S -=，因为函数()193y x x =-的对称轴为196x =，开口向下，故当6n =时，n S 取得最小值()66193632S -⨯==；当7,8,9...n =时，()3192n n n S -=，函数()319y x x =-的对称轴为196x =，开口向上，故当7n =时，nS 取得最小值()77371972S ⨯-==，综上有n S 的最小值为3，故D 正确；故选：BCD 32．AD 【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】解：因为13a =，()1*11N n na n a +=∈-，所以23412,,323a a a =-==，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以132(N )n a a n *-=∈，故122283a a a ===.故选：AD.33．AD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.【详解】。

高中数学数列通项公式专题(含详细答案)

B.
㘴 ‸㘴
D.
㘴 t㘴
24. 数列满足
，
t
‴
，则使得
的最大正整数为
‴
A. ‸
B.
25. 已知数列，如果，
，
列，那么等于
A.
B.
C. 晦，，
D. ‴ ，是首项为，公比为的等比数
C.
D.
26. 数列则晦 A. ‴
的首项为，为等差数列，且 B.
t
C. 晦
．若则 D.
，‸ ，
27. 等比数列 A.
65. 已知的前项和
t ，则 t t t ‴
A.
B. ‸
C.
D. ‸
66. 已知
log t t ，我们把使乘积
间 ‴㘴 ‴ 内所有的劣数的个数为
A.
B. 晦
t t 为整数的数称为“劣数”，则在区
C. 晦
D. ‴
67. 已知数列 A.
满足
，
‴t t t
B. t
C.
，则当
时，等于 D.
68. 已知数列的前项和为，且
，且
A.
B.
C.
的前项的“均倒数”为 D.
π，则 tan D.
95. 设数列 A. ‴㘴
的前项和为，且满足 t B. ‴㘴 t
，则的取值范围是
C. 㘴
D. 㘴 t
96. 已知函数
log t t 㘴
D. 的通项公式
等于
A.
B.
C.
D.
72. 设数列 A.
73. 设数列 A.
的前项和为．若
B.
t

高中数学阿波罗尼斯圆与圆锥曲线应用

阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与圆锥曲线专题阿波罗尼斯圆及其应用微点阿波罗尼斯圆与圆锥曲线【微点综述】有些涉及圆锥曲线与圆的综合题，其中已知条件含有阿波罗尼斯圆的背景，可以结合阿波罗尼斯圆以及圆锥曲线的几何性质解决问题．【典例刨析】1.设双曲线x216-y2b2=1的左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线上任意一点，过F1的直线与∠F1PF2的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程；M在曲线E上，点A(8,0)，B(5,6)，则12AM+BM的最小值.2.(2022·广东梅州·高二月考)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A-2,1，B-2,4，点P是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E:y2=4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则PA+PQ+QH的最小值为．3.(2022安徽黄山·一模)在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA||PB|=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足|PB||PA|=2，△PAB面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线QM和QN的斜率满足k QM⋅k QN=3，则双曲线方程是；过F2的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点M､N分别为△CF1F2､△DF1F2的内心，则MN的范围是 .4.(2022吉林·梅河口五中学高三期末)古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，A0,1、B0,4，则点P满足λ=12所得P点轨迹就是阿氏圆；已知点C -2,4 ，Q 为抛物线y 2=8x 上的动点，点Q 在直线x =-2上的射影为H ，M 为曲线x +2 2+y 2=4上的动点，则12MC +QH +QM 的最小值为．则MC +QH +QM 的最小值为．5.(2022湖北·武汉新洲区城关高中高二开学考试)阿波罗尼斯(古希腊数学家，公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为6，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的方程为6.(2022·河北·衡水二中高二期中)公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P (不同于A ，B )作长轴AB 的垂线，垂足为Q ，则PQ2AQ ⋅BQ为常数k ．若k =14，则该椭圆的离心率为．7.(2022江苏·高二单元测试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．【针对训练】8.(2022·安徽皖北联盟高二联考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，下列选项中满足题意的方程为()A.x 264+y 216=1B.x 216+y 264=1C.x 2256+y 216=1D.x 264+y 232=19.(2022·河南·新蔡一中高二月考)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),A ,B 为椭圆T 长轴的端点，C ,D 为椭圆T 短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点M 满足ME MF=2,△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.3210.(2022北京八一中学高三期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0，A、B为椭圆Γ长轴的端点，C、D为椭圆Γ短轴的端点，动点M满足MAMB=2，△MAB的面积的最大值为8，△MCD的面积的最小值为1，则椭圆Γ的离心率为.11.(2022·广东广州·高二期末)在平面上给定相异两点A，B，点P满足|PA||PB|=λ，则当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足|PA||PB|=3，若△PAB的面积的最大值为3，则△PCD面积的最小值为.12.(2022湖南·益阳箴言中学高二月考)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，BC =6，sin B=12sin C，则△ABC的面积最大值为，此时AC的长为.13.(2022·浙江·高三开学考试)公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆(或圆)上任意一点P(不同于A，B)作长轴(或直径)AB的一条垂线段，垂足为Q，则PQ2AQ⋅BQ为常数k．若此图形为圆，则k=；若k=12，则此图形的离心率为．14.(2022·湖北·荆门龙泉中学二模)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l 表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)，由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：(1)椭圆C 的离心率为．(2)点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l ,F 2在l 上的射影H 在圆x 2+y 2=8上，则椭圆C 的方程为．15.(2022·北京朝阳·高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点A (-1,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA ||MB |=12，记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 的方程为(x +2)2+y 2=4；②曲线W 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为6；③曲线W 上存在点E ，使得E 到点A 的距离大于到直线x =1的距离；④曲线W 上存在点F ，使得F 到点B 与点(-2,0)的距离之和为8.其中所有正确结论的序号是.参考答案：1. x 2+y 2=16 35【解析】延长F 1Q 与PF 2的延长线交于点M ，计算OQ =12PF 1-PF 2 =4得到轨迹方程，取点C 2,0 ，12AM +BM =MC +BM ≤BC ，解得答案.【详解】如图所示：延长F 1Q 与PF 2的延长线交于点M ，则OQ =12MF 2=12PM -PF 2 =12PF 1-PF 2 =a =4，故轨迹方程为x 2+y 2=16.取点C 2,0 ，则OC OM =OM OA=12，ΔMOC ∼ΔMOA ，故MC =12PA ，12AM +BM =MC +BM ≤BC =35，当BMC 共线时等号成立.故答案为：x 2+y 2=16；35【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点C 2,0 证明相似是解题的关键.2. x +2 2+y 2=410-1##-1+10【分析】设点P 坐标，根据题意写出关于x 与y 的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知QH =QF -1，进而可得PA +PQ +QH min =AF -1，即得.【详解】设点P (x ,y )，∵λ=12，∴PA PB=12⇒(x +2)2+(y -1)2(x +2)2+(y -4)2=12∴x +2 2+y 2=4.抛物线的焦点为点F ，由题意知F 1,0 ，QH =QF -1，∴PA +PQ +QH min =PA +PQ +QF -1 min =AF -1=-2-12+12-1=10-1.故答案为：x +2 2+y 2=4；10-1.3. x 2-y 23=1 2,433【解析】设A (0,b ),B (0,-b ),P (x ,y )，根据|PB ||PA |=2，求得x 2+y -5b 3 2=4b 3 2，结合△PAB 的最大面积得到b 2=3，再根据k QM ⋅k QN =3，得出x 2-y 23=1，设边CF 1,CF 2,F 1F 2上的切点分别为R ,S ,T ，根据内心的性质，得到MN ⊥x 轴，设直线CD 的倾斜角为θ，在△MF 2N 中，得到MN =2sin θ，进而求得MN 的取值范围.【详解】设A (0,b ),B (0,-b ),P (x ,y )，由题意知|PB ||PA |=2，可得PB =2PA ，即x 2+(y +b )2=2x 2+(y -b )2，整理得x 2+y -5b 3 2=4b 3 2，可得圆心为0,5b 3 ，半径r =4b3，所以△PAB 的最大面积为12×2b ×4b 3=4，解得b 2=3，即x 2a 2+y 23=1，设Q (x ,y ),M (x 1,y 1)，则N (-x 1,-y 1)，则x 21a 2+y 213=1，可得y 21=3(a 2-x 21)a 2，同理y 2=3(a 2-x 2)a 2则k QM =y -y 1x -x 1,k QN =y +y 2x +x 2，则k QM ⋅k QN =y 2-y 21x 2-x 21=3(a 2-x 2)a 2-3(a 2-x 21)a2x 2-x21=3，整理得a 2=1，所以双曲线的方程为x 2-y 23=1.如图所示，设边CF 1,CF 2,F 1F 2上的切点分别为R ,S ,T ，则M ,T 横坐标相等，则CR =CS ,F 1M =F 1T ,F 2S =F 2T ，由CF 1 -AF 2=2，即CR +RF 1 -CS +SF 2 =2，即RF 1 -SF 2 =2，即F 1T -F 2T =2，即点M 的横坐标为x 0，则T (x 0,0)，于是x 0+c -(c -x 0)=2，可得x 0=1，同样内心N 的横坐标也为1，则MN ⊥x 轴，设直线CD 的倾斜角为θ，则∠OF 2N =θ2,∠MF 2O =90°-θ2，在△MF 2N 中，MN =(c -a )tan θ2+tan 90°-θ2 =(c -a )sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=(c -a )⋅sin 2θ2+cos 2θ2sin θ2cos θ2=(c -a )⋅2sin θ，由双曲线的方程，可得a =1,b =3，则c =a 2+b 2=2，可得MN =2sin θ，又由直线CD 为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，可得60°<θ≤90°，即32<sin θ≤1，可得MN 的取值范围是2,433.故答案为：x 2-y 23=1；2,433.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：(1)几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；(2)函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)，常用方法：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)单调性法；(4)三角换元法；(5)导数法等，要特别注意自变量的取值范围.4. 17； 45-22【分析】(1)先利用阿氏圆的定义将12|MC |转化为M 点到另一个定点D 的距离，然后结合抛物线的定义容易求得12|MC |+|QH |+|QM |的最小值；(2)由(1)知MC +QH +QM =MC +QF +QM ≥MC +MF ，又当过点M 的圆的切线与直线FC 平行且离直线FC 近时，MC +MF 取得最小值即可求解.【详解】解：设P (x ,y )，由题意PA PB=12，即x 2+(y -1)2x 2+(y -4)2=12，整理得x 2+y 2=4．因为圆x +2 2+y 2=4可以看作把圆x 2+y 2=4向左平移两个单位得到的，那么A 点平移后变为D -2,1 ，所以根据阿氏圆的定义，M 满足MD =12MC ，结合抛物线定义|QH |=|QF |，∴12|MC |+|QH |+|QM =|MD |+|QM |+|QF |≥|FD |(当且仅当D ，M ，Q ，F 四点共线，且Q ，M 在D ，F 之间时取等号)，此时|FD |=(-2-2)2+(1-0)2=17，故12|MC |+|QH |+|QM |的最小值为17．MC +QH +QM =MC +QF +QM ≥MC +MF (当且仅当M ，Q ，F 三点共线时等号成立)，根据光学的最短光程原理，我们从C 点发出一束光，想让光再经过F 点，光所用的时间一定是最短的，由于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。

高中数学《导数》压轴小题精练100(含答案)

A. 22-1 , 1
C.
-
∞，
1-2 2
∪
2-1 2
，
+
∞
B.
-1
，
1-2 2
D. - ∞ , -1 ∪ 1, + ∞
（
）
答案 D
-1 -2 + 22
≤∃
kl2
<
0
试题6.12 【导数的切线法】已知实数，则
满足
，实数
的最小值为（
满足）
A. 1
B. 2
C. 3
试题25.11 【图像法 + 转化法 + 零点】函数 f x
= l-nx- xx>x0≤ 0
与 gx
=
1 2
x
+
a
+1
的图象
上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是
A. - ∞ , 3 - 2ln2 B. 3 - 2ln2, + ∞ C. e , + ∞
D. - ∞ , -e
（
）
B
画出
D. 0
B
试题12.12 【利用对称中心破题】已知函数 f x
=
x+12+ln1+9x2 -3xcosx x2+ 1
，且
f
2017
=
2016，则 f -2017 =
（2015
C. -2016
D. -2017
A
试题13.12 【利用对称中心破题】已知函数 f x
= lnx - x2与 gx
D. 4
A 【距离模型 + 转化法】

高中数学优秀讲义微专题82 求二项式的展开项

微专题82 求二项式展开后的某项一、基础知识： 1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。

指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。

如果是()n a b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C L 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。

对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n rr ab - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有rn C 种。

所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。

而二项式系数便是这个组合问题的结果。

3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。

二项式系数是展开式通项公式中的r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。

而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。

高中数学解题模板专题训练：数列通项公式的求解策略高中数学黄金解题模板

第二步，使用数学归纳法证明通项公式是成立的.学&科网
【变式演练 1】已知数列{an}满足 an+1 = an + (2n +81()n2 (+21n)+ 3)2 ，a1 = 98 ，求数列{an}的通项公式。
由此可知，当 n= k +1 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何 n ∈ N * 都成立。
第三步，根据 a1 = S1 求出 a1 ，并代入{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据 a1 和{an}的递推公式求出 an .学/科网
【变式演练 2】已知数列{an} 的前 n 项和= Sn
1 3
an
+
2 3
，则
{an} 的通项公式 an
=（
）
A．
an =
【答案】
an
=
n2
−n 2
+
2
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方法四累乘法
使用情景：型如 an+1 an
=
f (n) 或 an+=1
an × f (n)
解题模板：第一步将递推公式写成 an+1 = f (n) ； an
第二步依次写出 an ,⋅⋅⋅, a2 ，并将它们累加起来；
an−1
a1
第三步
得到 an a1
的值，解出 an ；
an
满足 a1
=
1 2
，且 an+1
=
2an 2 + an
.
1
（1）求证：数列
an
是等差数列；
{ } （2）若 b=n an ⋅ an+1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .

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微专题81 排列组合——寻找合适的模型在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题一、典型例题：例1：设集合A由n个元素构成，即12,,,nAaaaL，则A所有子集的个数为_______ 思路：可将组成子集的过程视为A中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a开始，有两种选择，同样后面的23,,,naaaL都有两种选择，所以总数2222nnNL1442443

个个

答案：2n 例2：已知1,2,3,,40SL，AS且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（）个 A. 460 B. 760 C. 380 D. 190 思路：设A中构成等差数列的元素为,,abc，则有2bac，由此可得,ac应该同奇同偶，而当,ac同奇同偶时，则必存在中间项b，所以问题转变为只需在140中寻找同奇同偶数的情况。,ac同为奇数的可能的情况为220C，同为偶数的可能的情况为220C，所以一共有2202380C

种

答案：C 例3：设集合12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为（） A. 60 B. 90 C. 120 D. 130 思路：因为0ix或1ix，所以若1234513xxxxx，则在1,2,3,4,5ixi

中至少有一个1ix，且不多于3个。所以可根据ix中含0的个数进行分类讨论。 ① 五个数中有2个0，则另外3个从1,1中取，共有方法数为23152NC ② 五个数中有3个0，则另外2个从1,1中取，共有方法数为32252NC 数学小专题第 - 2 - 页共 9 页数学小专题

③ 五个数中有4个0，则另外1个从1,1中取，共有方法数为4352NC 所以共有23324555222130NCCC种答案：D 例4：设集合{1,2,3,,10}AL，设A的三元素子集中，三个元素的和分别为12,,,naaaL，求12naaaL的值思路：A的三元子集共有310C个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的1,2,,10L各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这310C个子集中共含有多少个1,2,,10L。以1为例，含1的子集可视为集合中有元素1，剩下两个元素从9个数中任取，不同的选取构成不同的含1的子集，共有29C个，所以和为291C，同理，含2的集合有29C，其和为292C……，含10的集合有29C个，其和为2910C所以2

12912101980naaaCLL

答案：1980 例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而

将问题转化为分组问题。则222364233390CCCNAA（种）答案：90 例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（）对异面直线 A. 450 B. 441 C. 432 D. 423 思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有46460C，每条棱与对棱中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点共数学小专题第 - 3 - 页共 9 页数学小专题

面的情况共有4646369C种，所以四点不共面的情况有41069141C种，从而异面直线的对数为1413423N种答案：D 小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而将所考虑的问题简单化例7：设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA且1kA，那么称k是集合A的一个“孤立元”，给定1,2,3,4,5,6,7,8S，则S的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（） A. 6 B. 15 C. 20 D. 25 思路：首先要理解“kA，则1kA且1kA”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C种答案：C 例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可组成多少个四边形的问题，所以共有4204845C个答案：4845个例9：一个含有10项的数列na满足：11010,5,1,(1,2,,9)kkaaaakL，则符合这样条件的数列na有（）个 A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 思路：以11kkaa为入手点可得：11kkaa，即可视为在数轴上，ka向左或向右移动一个单位即可得到1ka，则问题转化为从10a开始，点向左或向右移动，总共9次达到105a，所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。所以

不同的走法共有2936C种，即构成36种不同的数列数学小专题第 - 4 - 页共 9 页数学小专题

答案：36种例10：方程10xyzw的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,xyzw相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：10111114xyzwxyzw，则1,1,1,1xyzw这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：313286C种

答案：正整数解有84种，非负整数解有286种二、历年好题精选 1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（） A．144种 B．96种 C．48种 D．34种 2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（） A. 232 B. 252 C.472 D. 484 3、在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（） A. 16个 B. 18个 C.19个 D.21个 4、把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（） A．96 B．240 C．48 D．40 5、某班组织文艺晚会，准备从,AB等8个节目中选出4个节目演出，要求：,AB两个节目至少有一个选中，且,AB同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（） A．1860 B．1320 C．1140 D．1020 6、某班一天中有6节课，上午3节课，下午3节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、物理、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为数学小专题第 - 5 - 页共 9 页数学小专题

（） A．72 B．216 C．320 D．720 7、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（） A．48 B．36 C．28 D．12 8、某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种 A．24 B ．48 C．96 D．114 9、（2014重庆八中一月考，2）要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 A．2539CC B．25310CC C．25310AA D．25410CC 10、（2015，广东文），若集合： ,,,|04,04,04,,,,EpqrspsqsrspqrsN ，

,,,|04,04,,,,FtuvwtuvwtuvwN，用cardX表示集合X中的元

素个数，则cardEcardF（） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 11、（2014，浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种 12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 13、（2014，重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 B．120 C．144 D．168

14、（2014，广东）设集合12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为（）