一类具有随机离去策略的排队系统及其在Internet拥塞控制中的应用

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第六章排队论及其应用

顾客聚顾客到达
服务机构
顾客散顾客离去
n ，
n ，
一、生灭过程的定义生灭过程的定义
若排队系统具有下列性质: (1) ( ) 顾客到达为泊松流，时间间隔服从参数为n的负指数分布; (2) 顾客服务时间服从参数为 n的负指数分布; 则排队系统的随机过程{N(t),t>=0} {N(t) t>=0}具有马尔可夫性质, 为一个生灭过程.
二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0 μ1 λ1 S1 μ2 S2 λ2 μ3 λi-2 Si-1 μi-1 μi λi-1 Si λi μi+1 λi+1 μi+2 λk-2 μk-1 λk-1 μk
S0
…
Si+1
…
Sk-1
Sk
状态
系统服务率
t→∞时，P 时 ( )趋向于常数系统达到稳定 i(t)趋向于常数：系统达到稳定
λi μi+1
Si+1
λi+1 μi+2
…
λk-2 μk-1
Sk-1
λk-1 μk
Sk
P0
P1
P2
Pi
有 ( i i ) Pi i 1Pi 1 i 1Pi 1
对于 0 对于S 对于 k 对于S
1 P1 0 P0
转入
S0 λ0 μ1 λ1 S1 μ2 S2 λ2 μ3
2、排队服务规律
先到先服务、先到后服务、优先服务、随机服务
3、服务机构

单通道多通道
1 1 2 … c 1 2 … c 1 2 … c
三排队模型三、排队模型
(一)排队模型表示方法排模型表法

《带有负顾客和Bernoulli反馈的排队系统》范文

《带有负顾客和Bernoulli反馈的排队系统》篇一一、引言排队系统作为描述服务系统中顾客行为和服务过程的数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。

近年来，随着互联网和物联网的快速发展，带有负顾客和Bernoulli反馈的排队系统成为了研究的热点。

负顾客的概念引入了服务过程中顾客离开的情景，而Bernoulli反馈则描述了顾客接受服务后可能的再反馈行为。

本文旨在探讨带有负顾客和Bernoulli反馈的排队系统的特点及其在实际服务系统中的应用。

二、带有负顾客的排队系统1. 负顾客的概念负顾客是指到达服务台后，并未接受完整服务便离开的顾客。

这种现象可能由于等待时间过长、服务体验不佳等原因导致。

在排队系统中引入负顾客的概念，能够更真实地反映服务过程中顾客的行为和选择。

2. 负顾客对排队系统的影响负顾客的存在会使得排队系统的负载能力下降，同时增加了系统的复杂性。

为了更好地理解和分析这种影响，我们可以通过数学模型和仿真实验来研究负顾客的到达率、离开率等因素对排队系统性能的影响。

三、带有Bernoulli反馈的排队系统1. Bernoulli反馈的概念Bernoulli反馈是指顾客在接受完服务后，以一定的概率决定是否再次访问该服务台。

这种反馈行为通常受到服务质量、价格、个人偏好等多种因素的影响。

在排队系统中引入Bernoulli反馈，可以更准确地描述顾客的再访问行为。

2. Bernoulli反馈对排队系统的影响Bernoulli反馈对排队系统具有显著影响。

通过调节反馈概率，可以影响系统的负载能力、顾客等待时间等关键性能指标。

因此，研究Bernoulli反馈对排队系统的影响，有助于我们更好地优化服务过程，提高服务质量。

四、带有负顾客和Bernoulli反馈的排队系统分析在带有负顾客和Bernoulli反馈的排队系统中，我们需要综合考虑这两者的相互作用。

通过建立数学模型和仿真实验，我们可以研究不同参数（如负顾客到达率、Bernoulli反馈概率等）对排队系统性能的影响。

排队模型及应用

例：某超级市场，顾客按Poisson过程到达，平均每半小时到达6人，收款台计价收费时间服从负指数分布，平均为4分钟，试求： (1)超市内顾客的平均数(4)
(2)超市内等待付款顾客的平均数(3.2)
(3)超市内顾客所花费时间的平均值(1/3)或(20)
(4)超市内顾客等待付款所花费时间的平均值(4/15) 或(16)
一. 排队系统的基本概念在日常生活中，一个服务系统在工作过程中由于拥挤而产生的排队等待现象是经常发生的。例如： 1.顾客在理发店等待理发；
2.汽车在加油站前等候加油；
3.乘客在车站前等候乘车；发生故障的机器等候修理；进入机场上空的飞机等候降落； 4.进入雷达接收机的信号等候处理；通信系统的报文在缓冲器上等候传送；多微机系统的处理机等候访问公共内存；计算机网的用户等候使用某资源；等等我们就将这种具有排队等待现象的服务系统称为排队系统
是生灭过程
可得
P0 1 1
2

n

, Pk P0 , /
k
即：
P0 1 , q EQ Pk (1 ),
k

1 ,
,
Tq T
q

1
(1 )

2
1
(1 )
二.排队系统的基本构成排队系统的概率规律与以下因素有关： 1. 顾客的到达规律
2. 顾客排队和接受服务的规则
3.服务机构的结构形式、服务员个数和服务速率
1.输入过程
输入过程是用来刻画顾客到达规律的一种数学描述。通常有以下三种随机过程：
{ M ( t ), t 0},{ s n , n 1, 2, },{ n , n 1, 2, }

排队论——精选推荐

排队论第⼀节引⾔⼀、排队系统的特征及排队论排队论（queueing theory）是研究排队系统（⼜称为随机服务系统）的数学理论和⽅法，是运筹学的⼀个重要分⽀。

在⽇常⽣活中，⼈们会遇到各种各样的排队问题。

如进餐馆就餐，到图书馆借书，在车站等车，去医院看病，去售票处购票，上⼯具房领物品等等。

在这些问题中，餐馆的服务员与顾客、公共汽车与乘客、图书馆的出纳员与借阅者、医⽣与病⼈、售票员与买票⼈、管理员与⼯⼈等，均分别构成⼀个排队系统或服务系统（见表10-1）。

排队问题的表现形式往往是拥挤现象，随着⽣产与服务的⽇益社会化，由排队引起的拥挤现象会愈来愈普遍。

表排队除了是有形的队列外，还可以是⽆形的队列。

如⼏个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站⽆⾜够车辆，则部分顾客只得在各⾃的要车处等待，他们分散在不同地⽅，却形成了⼀个⽆形队列在等待派车。

排队的可以是⼈，也可以是物。

如⽣产线上的原材料或半成品在等待加⼯；因故障⽽停⽌运转的机器在等待修理；码头上的船只等待装货或卸货；要降落的飞机因跑道被占⽤⽽在空中盘旋等等。

当然，提供服务的也可以是⼈，也可以是跑道、⾃动售货机、公共汽车等。

为了⼀致起见，下⾯将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。

因此，顾客与服务机构（服务员）的含义完全是⼴义的，可根据具体问题⽽不同。

实际的排队系统可以千差万别，但都可以⼀般地描述如下：顾客为了得到某种服务⽽到达系统，若不能⽴即获得服务⽽⼜允许排队等待，则加⼊等待队伍，待获得服务后离开系统，见图10-1⾄图10-4。

类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的系统，⽹络排队系统等。

尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可由图10-5加以描述。

图10-1 单服务台排队系统图10-2 s 个服务台，⼀个队列的排队系统图10-3 s 个服务台，s 个队列的排队系统图10-4 多个服务台得串联排队系统顾客到达顾客到达图10-5 随机服务系统通常称由10-5表⽰的系统为⼀个随机聚散服务系统，任⼀排队系统都是⼀个随机聚散服务系统。

数学建模：第五章排队论

17
令 T0 = 0 Tn ：第 n 个顾客到达时刻， Xn：第 n 个顾客与第 n-1 个顾客到达的时间间隔。则有
T0 T1 Tn
X n Tn Tn1 , n 1,2,
18
一般假定 { Xn }是独立同分布的，并记其分布函数为 A( t )。关于{ Xn }的分布，排队论中经常用到的有以下两种： ➢定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定的常数。
Wq(t)：时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间。
pn(t)：时刻 t ，系统中有 n 个顾客的概率。
44
pn(t)
过渡状态
平稳状态
t
45
上述指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量，求这些随机变量的瞬时分布一般都是很困难的。相当一部分排队系统，在运行了一定时间后，都会趋于一个平稳状态（或称平衡状态），平稳状态下这些指标和系统所处的时刻无关。
19
➢Poisson流（M）：顾客相继到达时间间隔的密度函数为：
e t
a(
2. 排队
损失制排队系统
有限排队
队长有限排队系统
排队
混合制排队系统等待时间有限排队系统
逗留时间有限排队系统无限排队（等待制排队系统）
21
（1）有限排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能进入排队系统。
顾客相继到达时间单个服务台
间隔为负指数分布
顾客源无限
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS
服务时间为负指数
分布
系统容量为无限
先到先服务
39
X/Y/Z/A/B/C
省略后三位

排队论随机服务系统

16
状态概率：用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。它是表述系统的各种性能指标的基础。状态的可能值：队长没有限制时：n=0 ，1，2，队长有限制时：n= 0，1，2，3，，N 即时制：服务台个数是c时，n=0 ，1，，c
求解状态概率Pn(t)方法：是建立含Pn(t)的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的话)：
Ë ¿ ¹ Í Ô ´
Ë ¿ ¹ Í µ ½ ´ ï
Å ¶ Ó ½ á ¹
Å ¶ Ó ¹ æ Ô ò
· þ Î ñ ¹ æ Ô ò
þ Î · ñ » ú ¹
ë È À ¥
¼ 1 Å ¶ Í Ó Ï µ Í ³ Ê ¾ Ò â Í ¼
4
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。 2）顾客是成批到达或是单个到达。 3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。 4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。 5）输入过程可以是平稳的（stationary），也可以是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。
我们研究的问题是：输入是服从某种分布，顾客的到达是相互独立到达的平稳过程；各列间不能相互转移、中途不能退出；单个单个地服务方式，服务服从某种分布， FCFS。
8
§1.2 排队系统的模型分类
最主要的、影响最大的是： •顾客相继到达的间隔时间分布 •服务时间的分布 •服务台数 D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall记号(适用于并列服务台),1971又扩展成为： [X/Y/Z/A/B/C]

建模Lec2OK

………(2)
这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process）。方程(1)、(2) 解是瞬态解,无法应用。稳态时，Pn(t)与时间无关, 可以写成Pn, 它对时间的导数为0，所以由(1)、(2)两式得：
Pn1 Pn1 ( )Pn 0
[t，t+Δ t）的变化来求解。在时刻t+Δ t，系统中有n
个顾客不外乎有下列四种情况（ [t，t+Δ t）内到达或离开2个以上没列入）。
？
情况 A B C D
时刻 t 区间(t, t+Δ t) 时刻 t+Δ t (t, t+Δ t)的概率的顾客到达离去的顾客 1-λ Δ t+O(Δ t) n n × × 1-μ Δ t+O(Δ t) 1-λ Δ t+O(Δ t) n+1 n × √ μ Δ t+O(Δ t) λ Δ t+O(Δ t) n-1 n √ × 1-μ Δ t+O(Δ t) λ Δ t+O(Δ t) n n √ √ μ Δ t+O(Δ t)
………
N
………(9)
PN P0
∵
n n P P P n 0 0 1 n 0 n 0 n 0
N 1 n
N
N
N
1 而等比数列 N 1 1 n 0
在繁忙状态下，队列中的平均顾客数Lb：
Lq Lb Ls P( N 0 )
Wq
Lb×P(N≥0)=Lq
1 Ws 顾客平均等待时间: Wb P( N 0 )
状态图和流量平衡

通信网复习整理终极版

1是一种主动队列管理算法。

通过监控路由器输出端口队列的平均长度来探测拥塞，一旦平均队列长度超过一个阈值，就以一定的概率丢包或者在分组上作标记来通知相应的连接来减小发送速率，从而缓解网络拥塞，也就是说在缓冲区满之前就按照一定的比例（即丢弃概率）随机地将缓冲区的数据丢弃或标记。

TCP拥塞控制与网络层有密切的关系。

网络层对拥塞控制的策略之一就是Drop tail尾部丢弃，缓冲区溢出时丢弃。

路由器的尾部丢弃往往会导致一连串分组的丢失，这就使得发送方出现超时重传，使TCP进入慢状态开始，即发生全局同步现象。

为了避免网络中全局同步现象，路由器采用RED措施。

即使路由器的队列维持两个参数，即队列长度最小门限THmin和最大门限THmax。

每当一个分组到达时RED组都先计算平均队列长度Lav。

RED的算法是：（1）若Lav<THmin，则把新到达的分组放入队列进行排队。

（2）若Lav>THmax，则把新到达的分组丢弃。

（3）若THmin<Lav<THmax，则按照某一概率p将新到达的分组丢弃。

RED中的随机就体现在（3）中，也就是说RED不是等到已经发生网络拥塞后才把所有在队列尾部的分组全部丢弃，而是在检测到网络拥塞的早期征兆时，就先以概率p随机丢弃个别的分组，让拥塞只在个别的TCP连接上进行，因而避免发生全局性的拥塞控制。

差错控制：自动请求重发；前向纠错控制；混合纠错控制；有四种不同形式的ARQ：停止等待（SW） ARQ、GBN ARQ、选择重发（SR）ARQ、并行等待（ARPANET）ARQ。

GBN ARQ：运用最广泛。

发信侧不用等待收信侧的应答，持续的发送多个帧，假如发现已发送的帧中有错误发生，那么从那个发生错误的帧开始及其之后所有的帧全部再重新发送，窗口越大重传帧数越多。

最大窗口值：2i-1（i通常去3或7）。

缺点：一个分组的差错可能引起大量分组的重传，这些分组可能已经被接收方正确接收了，但由于未按序到达而被丢弃。

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（ｔｒｏｕｉｇＬｂＳｈｏｆｌｃｒｎｃｎｉｅｒｇａｄＣｍｐｔｒＳｉｎｅＰｋｎｉｅｓｙＢｅｉｇ１０７）ＮｅｗｏｋＣｍｐｔａ，ｃｏｌｅｔｉＥｇｎｅｉｎｏｕｅｃｅｃ，ｅｉｇＵｎｖｒｉ，ｉｎ０８１ｎｏＥｏｓｎｔｊ
ａｃｒｉｇｔｈｅｇｈｏｈｕｕ．Ｗｅｃｌａｑｅｅｎｙｔｍｔｕｈｍｅｈｎｓ “ ｕｕｉｇｓｓｅｗｉａｄｍ — ｃｏｄｎｏｔｅｌｎｔｆｔｅｑｅｅａｌｕｕｉｇｓｓｅｗｉｓｃｃａｉｍａｑｅｅｎｙｔｍｔｒｎｏｈｈ
ＡｓｒｃＷｈｎａｃｓｍｅｒｉｅｔｕｕｉｇｓｓｅｈａｅｉｅｗｅｈｒｏｊｉｒｇｗａｎｅｅｅｕｎｂｔｄｔｅｕｔｒｒｓａａｅｅｙｔｍ，ｅｃｎｄｃｈｔｅｎｉｏｏａｙａｄｎｖｒｔｒｏａｖｑｎｄｔｏｔｒ
ｎｓｉｍ．Ｉｄｉｏ，ｓｍｅｐｒｏｍａｃｔｉｓａｅｇｖｎ，ｓｃｓｃｓｏｅｏｓｒｔ，ｓｓｅｕｉｚｔｎｈａｎｎａｄｔｎｏｅｆｒｎｅｍｅｒｒｉｅｉｃｕｈａｕｔｍｒｌｓａｅｙｔｍｔｌａｉ，ｔｅｍｅｎａｄｉｏ
ｔｉｎｎｎａｋｎｅｈｉｕｓｒｓｅｔｅｙａｄｅｔｂｉｈｔｒｅｑｅｅｎｙｔｍｓｗｉａｄｍｌｏｎｗａｃａｈｎｉｇａｄｂｌｉｇｔｃｎｑｅｅｐｃｉｌｎｓａｌｈｅｕｕｉｇｓｓｅｔｒｎｏｙｇｉｇａｙｍｅｈ — ｖｓｈ
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计算机科学２０Ｖ１３Ｎ．２０７ｏ．４ｏ１
一
类具有随机离去策略的排队系统及其在Ｉｔｒｅｎｅｎｔ拥塞控制中的应用）
汪浩李晓明严伟（北京大学信息科学技术学院网络实验室北京１０７）０８１
ｖｒａｃｆｑｅｅｌｎｔａｉｎｅｏｕｕｅｇｈ，ｔｅｍｅｎｗａｔｇｔ，ＴｈｐｌａｉｎｔｈｎｅｎｔｃｎｅｔｎｃｎｒｌｉｄｓｕｓｄｃｎｈａｉｉｉｎｍｅｅａｐｉｔｏｔｅＩｔｒｅｏｇｓｉｏｔｏｓｉｃｓｅｏ — ｃｏｏ
建立了３个具有随机离去策略的排队系统，出了这类排队系统的顾客丢失率、给系统利用率、队列长度的均值／方差、平均等待时间等性能指标。最后，讨论了这类排队系统在Ｉｔｒｅ拥塞控制中的应用。ｎｅｎｔ
关键词排队系统，入流稀疏化，入流阻行，／ｌＮ，Ｍ／／Ｉｔｒｅ，塞控制输输ＧＩＭ／／Ｇ１／１Ｎ，ｅｎｔ拥ｎ
摘
要当顾客到达一个排队系统时，以根据当前队列的长度，照一定的概率选择加入排队系统等待队列，选可按或
择离开排队系统且不再返回。这样的排队系统称为 “ 具有随机离去策略的排队系统 ” 。我们利用输入流稀疏化
（ｉｎｎｆｅｕｒｎｏ）输入流阻行（ａｉｇ两种方法分别扩充了ＧＩＭ／／和ＧＭ／／两个排队系统，Ｔｈｎｉｇｏｃｒｅｔｌｗｓ和ｒｆＢｌｎ）ｋ／ｌＮＩ／１Ｎ
ＳｍｅＱｅｅｇＳｓｍｉａｄｍｌｏｎｗｙＰｌｙａｄｉｐｉｔｎｏｕｕｉｙｔｗｔＲｎｏｙＧｉｇＡａｏｉｓｎｅｈｃｎｔＡｐｌａｉｃｏ
ｔｈｎｇｓｉｎｎｒｌｏｆｔｎｔｒｔｏｔｅＣｏｅｔｏＣｏｔｏｈｅＩｅｎｅ
ｃｒｉｇｔｅｅｑｅｅｎｙｔｍｓｅｎｎｈｓｕｕｉｇｓｓｅ．
ＫｅｗｒｓＱｅｅｇｓｓｅｙｏｄｕｕｉｙｔｍ，Ｔｉｎｎｆｒｃｒｅｔｆｗ，ＢｌｉｇＩＭ／／ｎｈｎｉｇｏｅｕｒｎｌｓａｋｎ，Ｇ／１Ｎ，ＧＩ／１Ｎ，Ｃｍｐｔｒｎｔｒ，ｏＭ／／ｏｕｅｅｗｏｋ
Ｃｏｇｓｉｎｃｎｒｌｎｅｔｏｔｏｏ
１引言
如果在ＧＩＭ／／／１Ｎ或ＧＭ／／Ｉ／１Ｎ排队系统前加一个控