构造全等三角形五法
构造全等三角形的方法
构造全等三角形的方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法〔“SSS 〞，“SAS 〞，“ASA 〞，“AAS 〞，“HL 〞〕中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。
如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，假设找到第二组条件是对应边，那么再找这两边的夹角用“SAS 〞或再找第三组对应边用“SSS 〞；假设找到第二组条件是角，那么需找另一组角〔可能用“ASA 〞或“AAS 〞〕或夹这个角的另一组对应边用“SAS 〞；假设是判定两个直角三角形全等那么优先考虑“HL 〞 。
搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造适宜的全等三角形，把条件相对集中起来，再进展等量代换，就可以化难为易了．一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形〔可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。
〕1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。
画一画。
法一：在AB 上截取AE=AC ，连结DE 。
法二：延长AC 到F ，使AF=AB ，连结DF 。
法三：作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N 。
D C B A D C B A D C B A2、如图，DC ∥AB ，∠BAD 和∠ADC 的平分线相交于E ，过E 的直线分别交DC 、AB 于C 、B 两点. 求证：AD ＝AB ＋DC.证明：在线段AD 上取AF ＝AB ，连接EF ，∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF ＝AB AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE ，∴∠B ＝∠AFE由CD ∥AB 又可得∠C ＋∠B ＝180°，∴∠AFE ＋∠C ＝180°，又∵∠DFE ＋∠AFE ＝180°，∴∠C ＝∠DFE ，∵DE 是∠ADC 的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE ＝DE ，∴△CDE ≌△FDE ，∴DF ＝DC ，∵AD ＝DF ＋AF ，∴AD ＝AB ＋DC ．3、：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD.求证：∠A+∠C=180°ADB C法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
全等三角形综合复习1。
全等三角形的概念及性质; 2. 三角形全等的判定； 3。
角平分线的性质及判定.知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析:⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 例 1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证:ACF BDE ∆≅∆。
知识点二:构造全等三角形例 2. 如图，在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥，垂足为D 。
求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =,90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。
求证:AE CF =。
知识点三：常见辅助线的作法1。
连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =.解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2. 作垂线,利用角平分线的知识例5。
如图,,AP CP分别是ABC∆外角MAC∠和NCA∠的平分线,它们交于点P。
求证：BP 为MBN∠的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题.3. “截长补短"构造全等三角形例 6.如图，在ABC∆中,AB AC>，12∠=∠，P为AD上任意一点。
求证：AB AC PB PC->-。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
三角形全等五个判定方法的证明
三角形全等五个判定方法的证明嘿，咱今儿就来唠唠三角形全等的五个判定方法的证明，这可有意思啦！咱先说说“边边边”，就是三边对应相等的两个三角形全等。
这就好比你有两双一模一样的鞋子，从长度、宽度到材质都毫无差别，那它们不就是完全一样的嘛！你看啊，三边都相等了，那这两个三角形能不一样吗？这多明显呀！再讲讲“边角边”，两边和它们的夹角对应相等的三角形全等。
这就好像你认识一个人，知道他的身高、发型，还有他那独特的笑声，那你肯定能确定就是这个人呀！三角形也一样，两边和夹角确定了，它的形状和大小也就定了。
接着是“角边角”，两角和它们的夹边对应相等的三角形全等。
这就像你知道一个蛋糕的形状和上面的图案，还有中间那层的位置，那这个蛋糕不就确定了嘛！三角形也是这么个道理呀。
然后是“角角边”，两角和其中一角的对边对应相等的三角形全等。
就好比你知道一个房子的两个房间的布局和其中一个房间的一面墙的样子，那整个房子你也能想象出来了吧！最后是“斜边、直角边”，对于两个直角三角形，斜边和一条直角边对应相等就全等啦。
这就像是两个直角的梯子，它们的长杆子和其中一个横档一样长，那这两个梯子不就是一样的嘛！你说这些判定方法是不是很神奇呀？它们就像一把把钥匙，能帮我们打开三角形全等的大门。
证明这些方法的时候，就好像在解开一个个谜团，充满了乐趣和挑战。
我们可以通过画图、测量、推理等各种方法来验证这些判定方法的正确性。
比如画两个符合条件的三角形，然后比一比，看看它们是不是真的全等。
或者通过一些已知的定理和定义，一步步推导出它们全等的结论。
在学习这些判定方法的时候，我们要多动手、多思考。
不能只是死记硬背，要真正理解它们背后的道理。
就像走路一样，只有自己一步一步走过，才能真正知道路是怎么走的。
三角形全等的五个判定方法，是几何学中的宝贝呀！它们让我们能够准确地判断两个三角形是否全等，为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
所以呀，大家一定要好好掌握这些判定方法，多练习，多运用。
数学证明三角形全等的方法
数学证明三角形全等的方法
我们要证明两个三角形是全等的。
全等三角形意味着两个三角形的所有边和角都完全相等。
为了证明两个三角形全等，我们需要使用一些特定的方法。
这里我们介绍五种证明三角形全等的方法：
1. 边边边 (SSS)
2. 边角边 (SAS)
3. 角边角 (ASA)
4. 角角边 (AAS)
5. 角角角 (AAA)
我们将通过例子来解释如何使用这些方法。
通过解方程组，我们得到： [{a: -b - c + g + h + i, d: -e - f + g + h + i}]
但在这个问题中，我们不需要解方程组，而是要理解如何使用三角形全等的五种证明方法。
现在我们通过一个例子来解释如何使用这五种方法：
假设我们有两个三角形ABC和DEF，其中 AB=DE, BC=EF 和∠A=∠D。
根据边角边(SAS) 方法，我们可以证明三角形ABC和三角形DEF是全等的。
其他四种方法也可以通过类似的方式进行解释。
总结：
1. 边边边 (SSS)：如果两个三角形的三边都相等，则它们是全等的。
2. 边角边(SAS)：如果两个三角形的两边和一个夹角相等，则它们是全等的。
3. 角边角 (ASA)：如果两个三角形的一个角和它所夹的两边都相等，则它们是全等的。
4. 角角边 (AAS)：如果两个三角形的两个角和一个非夹的边相等，则它们是全等的。
5. 角角角 (AAA)：即使两个三角形的所有角都相等，它们也不一定全等。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。
通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。
因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。
因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。
方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。
方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。
方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。
构造全等三角形的常用方法
构造全等三角形的方法
方法一翻折法
1、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.
方法二补形法
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC=∠BDF.
方法三旋转法
3、如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE+DF=EF，求∠EAF.
方法四倍长中线法
4、如图，在△ABC中，D为BC的中点.（1）求证：AB+AC>2AD；（2）若AB=6，AC=2，求AD的取值范围.
方法五截长补短法
5、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E、F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系并证明.
方法六作垂线法
6、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
方法七作平行线法
7、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC 交AC于点Q.求证：AB+BP=BQ+AQ.。
证明全等三角形的五种方法
1.第一种方法争廊是：三组对应边分别相等的两个三角形全等。
俗称sss/边边
边。
也是最简单地证明三角形全阅巨等方法了，不过出题一般不会出此知识点。
2. 2
第二种方法是：有两边及其夹角对应相等的两个全等三角形全等，俗称SAS/边角边。
如下图三角形ABC与三角形ABD全等。
（边AB是公共角，边AC 等于边AD，角BAC=角度BAD)
3. 3
第三种方法是有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，俗称ASA/角边角
如下图：如下图三角形ACD与三角形ABE全等。
（角A是公共角，边AB 等于边AC，边AE=边AD)
4. 4
第四种方法是有两角及一角的对边对应相等的召民汽两个三角形全等，俗称边边角/AAS。
如下图三角形ACD与三角形BCD全等。
（BD是公共边，角A等于角B，角ACD=角BDC)
5. 5
第五种方法是关于直角三角形的。
直角三角形的全等条件是斜边及其一直角对应相等的两个直角三角形全等。
俗称HL/直角边。
如下图，三角形ACD与三角形BCD全等。
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构造全等三角形巧证几何题
全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。
然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。
借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。
现略举几例加以说明。
一. 证线段垂直
例1. 已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证：
图1
分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又
，得到。
则为等腰三角形。
再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。
再由，
，BD＝BD，得到。
由全等三角形的对应角相等，得到
，即。
二. 证线段的倍分
例2. 已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C 作BD的垂线交BD的延长线于E。
求证：BD＝2CE（湖北中考题）
图2
分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。
由BE平分，，得到为等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。
再由，AB＝AC，，得到
，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD＝CF＝2CE。
三. 证角相等
例3. 已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：
图3
分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。
延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。
由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。
而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。
四. 证线段相等
例4. 已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。
求证：BF＝CG。
图4
分析与证明：要证BF＝CG，显然要构造三角形找全等。
由ED垂直平分BC，连EB、EC，由垂直平分线性质可得，EB＝EC。
又AE为的平分线，且，
，根据角平分线性质可得，从而（HL）再由全等三角形的对应边相等立即可得BF＝CG。
五. 证线段和差相等
例5. 已知：如图5，在中，，CD是的平分线，求证：BC＝AD＋AC
图5
分析与证明：由CD是的平分线，可利用角平分线的对称性。
在BC上取一点E，使CE＝CA，连DE，由CA＝CE，，CD＝CD，可得。
由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AD＝ED，且，而，得到，从而，所以
从以上几例可以看出，有些比较棘手的平几证题百思不得其解时，根据图形的结构特点，添加适当的辅助线，巧构全等三角形，可迅速找到证题途径，使问题迅捷获证。
真可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。