全等三角形的构造技巧(2020版)

全等三角形的构造技巧一、利用角平分线，构造全等三角形【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；（3）延长角平分线的垂线.（一）在角两边截取相等线段例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.练习：1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。

也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。

（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.图1 图2分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P BA E F O P G AB C E DA B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。

如图2,因为OP 是角平分线，则∠AOP ＝∠BOP ，所以本题还可以在OF 上截取OG ，使OG ＝OE ，利用SAS 可以证明△POE ≌△POG ，所以PE ＝PG ，只要再证明△PGF 是等腰△就可以得到PE ＝PF 。

练习：1.如图1，CD 平分∠ACB,AD=DB,求证：AC=BC.分析：利用角平分线DC 和相等线段AD=DB,过点D 作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F,则△ABE ≌△BDF ，这样，角平分线DC 和AD=DB 就建立了联系。

图1 图2 图22.如图2，BD 平分∠ABC ，∠A+∠C=1800，求证:DC=DA.分析：利用角平分BD 和要证明的相等线段AD=DC,过点D 作DE 垂直BA 的延长线于E,作DF ⊥BC 于F,则△ADE ≌△CFD ，这样，∠A 与∠C 就建立了联系。

3.如图3，AD ∥BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．解：AB ＝AD ＋BC.理由：作EF ⊥AB 于F ，连接BE.∵AE 平分∠BAD ，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ，AD ∥BC ，∴EF ＝DE ，DC ⊥BC.∵DE ＝CE ，∴EC ＝EF.∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL)．∴BF ＝BC.同理可证：AF ＝AD.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC.（三）延长角平分线的垂线例1.如图，AC=BC, ∠C=900,AD 是∠CAB 的平分线交BC 于D,作BE ⊥AD 的延长线于E, 求证:AD=2BE. 分析：延长∠CAB 的平分线AD 的垂线BE,交AC 的延长线于F, 则△ABD ≌△AFE ，这样，证明AD=2BE 就转化为证明AD=BF ，同时也勾通了AC=BC 与∠C=900的联系。

练习：1.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∠C ＝300，BE ⊥AD 于点E . 求证：AC －AB ＝2BE .证明：延长BE 交AC 于点M .∵BE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEM ＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB ＝AM .AB C EFDA B C E F DG F E D C A B 图3H F E D C AB ∵BE ⊥AE ，∴BM ＝2BE .∵∠ABC ＝900，∠C ＝300，∴∠BAC ＝600 .∵AB ＝AM ，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C ，∴CM ＝BM ，∴AC －AB ＝CM ＝BM ＝2BE .二、利用相等的线段，构造全等三角形【方法剖析】全等三角形的四种判定方法有一个共同的特征，就是至少有一组边相等，利用线段相等可以构造全等三角形。

例1.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝90°,AB ＝AC, D 为AC 中点，AE ⊥BD 于点E ，延长AE 交BC 于点F,求证：∠ADB ＝∠CDF 分析：欲证∠ADB ＝∠CDF ，首先应考虑证∠ADB 与∠CDF 所在的两个三角形全等，观察图形易知，∠CDF 所在的△CDF 不可能和∠ADB 所在的△ADE 或△ADB 全等，此时，应构造全等三角形解题。

题目中出现两组相等的线段，即AB ＝AC ，AD ＝CD ，证法1：若以CD 、AD 为基础来构造，可以△CDF 为标准，去寻找一个包含AD 、∠ADB 的三角形与之全等，此时不难发现该三角形中应有一个45°的角，因此可作∠BAC 的平分线与BD 相交于G ，下面只须先证明△ABG ≌△CAF 得到AG ＝CF ，再证明△ADG ≌△CDF 即可。

证法2：如图3，若以AB 、AC 为基础来构造，可 以△ADB 为标准，去寻找一个与之全等的以AC 为直角边的直角三角形，此时可过C 点作CH ⊥AC 交 AF 的延长线于H 。

下面通过证明△BAD ≌△ACH ，从而把∠ADB 转移到∠H ，把AD 转移到CH ，再证明 △CFD ≌△CFH 可证明结论。

练习：1.如图1，△ABC 中，AB=AC,D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，且DF=EF,连接DE 交BC 于F,求证：BD=CE.分析：以DF=FE 为依托，过D 点作DG ∥AE 交BC 于G,则△CEF ≌△GDF,这样就把BD=CE 联系起来了，实际上是把CE 转移到了DG 的位置。

当然，也可以过点E 作AB 的平行线构造全等三角形，道理是一样的。

以要证明的相等线段为依托也可以构造全等三角形。

图1 图22.如图2，AD ∥BC,AE 、BE 分别是∠DAB 、∠ABC 的平分线，求证：DE=CE.分析：以要证明的线段DE=CE 为依托，即假设DE=CE,因为AD ∥BC （不必再作平行线）,所以延长AE 、BC 相交于G （也可以延长AE 后，在AE 上截取AE=EG ）,则可构造△ADE ≌△GCE ，从而把AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC 联系起来了。

依托相等线段构造全等三角形可以经过相等线段的一端作平行线，也可截取相等线段来构造.三、利用中点、中线，“倍长中线法”构造全等三角形AB CE F DG AB C E D G【方法剖析】题目的条件中常常出现中点、中线,此时可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或延长中线(将中点处的线段延长一倍)，然后利用SAS 构造全等三角形． 例1.如图，AD 是△ABC 的中线， 求证：AB+AC>2AD分析：延长中线AD 至M 点，使MD ＝AD ，则△ACD ≌△MBD(SAS)，所以AC ＝BM ，从而利用三角形三边之间的关系可解决本题。

例2.已知如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.求证：AE ＝12AC. 证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连接DF.∵AE 是△ABD 的中线，∴BE ＝DE. ∵∠AEB ＝∠FED ，∴△ABE ≌△FDE.∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF.∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF.∵∠ADF ＝∠BDA ＋∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ，∴∠ADF ＝∠ADC.∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD.∴DF ＝CD.又∵AD ＝AD ，∴△ADF ≌△ADC(SAS)．∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝12AC. 练习：1.如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM. 证明：延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN.∵点M 为BC 的中点，∴BM ＝CM.又∵∠BMN ＝∠CMA ，∴△AMC ≌△NMB(SAS)．∴AC ＝BN ，∠C ＝∠NBM ，∠ABN ＝∠ABC ＋∠C＝180°－∠BAC ＝∠EAD.又∵BN ＝AC ＝AD ，AB ＝EA ，∴△ABN ≌△EAD(SAS)．∴DE ＝NA.∴DE ＝2AM.2.如图，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上(CG>BC),取线段AE 的中点M 探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明通过观察发现，线段MD 、MF 的关系为：MD ＝MF ，MD ⊥MF分析：注意到M 是BC 的中点，延长DM 交BE 于N 点， 则构造出与△MDA 全等的△MNE(ASA)所以MD ＝MN ，即M 为DN 的中点，根据猜测的结论MD ⊥MF ，不难联想到 等腰△的“三线合一”性质，连FD 、FN ，只要证明△FDN 是等腰直角△即可解决问题。

而根据FC ＝FE 、 ∠FCD ＝∠FEN ＝45°、CD ＝NE(NE ＝AD)，这三个条件，利用SAS 可证明△FCD ≌△FEN ，可以说明△FDN 是等腰Rt △.四、利用“截长补短法”构造全等三角形【方法剖析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 具体做法：截长，指在长线端中截取一段等于与特定线段相等；补短，指将一条短线端延长部分，使之与特定线段相等. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形，再利用三角形全等的有关性质来完成证明过程明．M D B C A A N M F B DC E例1.如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .证法一，截长法：如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.又∵AE＝AC＋CE，∴AB＝AC＋CD.练习：1.如图在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD . 求∠ABC的度数 .证法一：补短法：延长AB到点E，使BE＝BD . 在△BDE中，∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E .又∵AC＝AB＋BD，∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE .∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600，∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300 .∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C .∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C .∵∠BAC＝600，∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，∴32∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .证法二：截长法在AC上取一点F，使AF＝AB，连接DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠FAD .∵AD＝AD，∴△BAD≌△FAD，∴∠B＝∠AFD，BD＝FD .∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC，∴FD＝FC ，∴∠FDC＝∠C . ∵∠AFD＝∠FDC＋∠C，∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C .∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800，∴32∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .2.如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .证法一：截长法如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC＋∠BCD＝180°， BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB ＝12×180°＝90°，∴∠BEC＝90°，∴∠4＋∠5＝90°，∠3＋∠6＝90° .∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC 证法二：补短法如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF . ∵∠ABC＋∠BCD＝180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×180°＝90°，∴∠BEC＝90°，∴∠BEF＝∠BEC＝90°，∴∠BEF＋∠BEC＝180°，∴C、E、F三点共线 . ∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD .∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .3.如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E . 求证：AD＝2DF＋CE .证明：在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG .∵CE⊥AD，∴∠AFC＝90°，∠1＋∠ACF＝90° .∵∠2＋∠ACF＝90°，∴∠1＝∠2 .∵AC＝BC，AG＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝45°，∴∠2＋∠4＝90°－∠3＝45° .∵∠2＝∠1＝12∠BAC＝22.5°，∴∠4＝45°－∠2＝22.5°，∴∠4＝∠2＝22.5° .又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF . 4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．解：BC＝BE＋CD.证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO.又∵OB ＝OB ，∴△EBO ≌△FBO.∴∠EOB ＝∠FOB.∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°. ∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°.∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO.又∵OC ＝OC ，∴△DCO ≌△FCO.∴CD ＝CF.∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.5.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .证明：如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF .∵∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＋∠ACB ＝180°－∠ABC ＝120° .∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC ＝∠OAB ＝21∠BAC ，∠OCA ＝∠OCB ＝21∠ACB ， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝21∠BAC+21∠ACB ＝60°， ∴∠AOC ＝1800－∠AOE ＝120° .∵AE ＝AF ，∠EAO ＝∠FAO ，AO ＝AO ，∴△AOE ≌△AOF （SAS ），∴∠AOF ＝∠AOE ＝60°，∴∠COF ＝∠AOC －∠AOF ＝60°，∴∠COF ＝∠COD .∵CO ＝CO ，CE 平分∠ACB ，∴△COD ≌△COF （ASA ），∴CD ＝CF .∵AC ＝AF ＋CF ，∴AC ＝AE ＋CD ，6.如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A ＝∠GBD . 求证：AO ＋BO ＝2CO .证明：在线段AO 上取一点E ，使CE ＝AC ，连接DE .∵CD ＝CD ，DC ⊥OA ，∴△ACD ≌△ECD ，∴∠A ＝∠CED .∵∠A ＝∠GBD ，∴∠CED ＝∠GBD ，∴1800－∠CED ＝180°－∠GBD ，∴∠OED ＝∠OBD . ∵OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝∠BOD .∵OD ＝OD ，∴△OED ≌△OBD ，∴OB ＝OE ，∴AO ＋BO ＝AO ＋OE ＝OE ＋2CE ＋OE ＝OE ＋CE ＋OE ＋CE ＝2（CE ＋OE ）＝2CO .五、利用全等变换，构造全等三角形【方法剖析】图形的翻折、旋转、平移这三种变换都是全等变换，即翻折、旋转、平移前后的两个图形全等，利用此性质可构造全等三角形。