构造全等三角形的方法

全等三角形的构造方法
全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。

判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。

构造方法有：
1．截长补短法。

2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。

3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。

5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。

下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．
1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等．
例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交
BC于D，求证：AB=AC+CD．
例2 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于
点D．求证：DE=DF．
(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，
且D为EF的中点．
求证：BE=CF．
例3(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC
∆是边长为1的正三角形，
BDC
∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D为顶点作一个60︒的MDN
∠，点M、N分别在
AB、AC上，求AMN
∆的周长．
N
M
D
C
B
A
E
A
B C
D
M
N
1.如图已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，
求证：AB+BE=AC．
2.(06年北京中考题)已知ABC
∆中，60
A
∠=，BD、CE分别平分ABC
∠和.ACB
∠，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．
3.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
D
O
E
C
B
A
4
3
2
1
F
D
O
E
C
B
A
F
E
D
C
B
A
如图，四边形ABPC中，，，，求证：．
2．平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．
例△ABC中，∠BAC=60°，∠C=440°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．
说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．
⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．
②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．
③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC
来解决．
④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．
（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）
3．旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形
例．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，
求∠APB的度数．
分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，
联想到构造直角三角形．
4．倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。

例1．如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．
求证：AC=BF
5．翻折法
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例1．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，
求：△ABC的面积。