构造全等三角形的基本方法
构造全等三角形的四种技巧
构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。
理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。
以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
这个公理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。
这两个三角形的形状和大小将会完全相同。
利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。
通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。
利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。
这样，你就可以得到两个全等的三角形。
利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。
由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。
如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。
以上就是构造全等三角形的四种技巧。
理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。
已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。
两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。
已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。
构造全等三角形的方法技巧
方法1 角形
利用“角平分线”构造全等三ห้องสมุดไป่ตู้
【方法归纳】 因角平分线本身已经具备 全等的三个条件中的两个(角相等和公共 边相等)，故在处理角平分线问题时，常 作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
思1．如图，AB∥CD，BE平分 ∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD 上，求证：BC＝AB＋CD. 考
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是 ∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点 P在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA，OB交于点C，D，求证：PC＝ PD.
方法2 利用“截长补短法”构造全等 三角形
【方法归纳】 截长补短法的具体做法 ：在某一条线段上截取一条线段与特定 线段相等，或将某条线段延长，使之与 特定线段相等，再利用三角形全等的有 关性质加以说明．这种方法适用于证明 线段的和、差、倍、分等类的题目．
3．如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB， AC，CD三者之间的数量关系，并 说明理由．(想一想，你会几种方法)
方法3 利用“倍长中线法”构造全 等三角形
【方法归纳】 将中点处的线段延长 一倍，然后利用SAS证三角形全等．
6．已知：如图，AD，AE分别是 △ABC和△ABD的中线，且BA＝ BD.求证：AE＝AC.
构造全等三角形的六种常用方法课件
构造方法简介
01
02
03
04
尺规作图法
利用尺规作图工具，通过已知 条件构造全等三角形。
翻折法
将已知三角形沿某条直线翻折， 得到与原三角形全等的三角形。
平移法
将已知三角形沿某方向平移一 定距离，得到与原三角形全等
的三角形。
旋转法
将已知三角形绕某点旋转一定 角度，得到与原三角形全等的
三角形。
02 方法一：SSS全 等法
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拓展延伸：其他构造方法及应用场景
构造中位线
利用三角形中位线性质构 造全等三角形，常用于证 明线段相等或倍长中线等 问题。
构造角平分线
利用角平分线性质构造全 等三角形，常用于证明角 相等或线段成比例等问题。
构造垂直平分线
利用垂直平分线性质构造 全等三角形，常用于证明 线段相等或点共圆等问题。
THANKS
判定条件
两个三角形中，两个角及这两个角的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
构造步骤这两个角的夹边相等，最后根据ASA判定条件证明两个三角形全等。
示例
在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。根据ASA全等法，可以判定△ABC≌△ADE。
应用场景分析
1 2 3
解决角度和边长问题 当题目中给出两个角和它们的夹边相等时，可以 利用ASA全等法证明两个三角形全等，从而解决 与角度和边长相关的问题。
构造全等三角形 在几何证明题中，有时需要构造全等三角形以证 明某些线段或角度相等。ASA全等法是构造全等 三角形的常用方法之一。
辅助线策略 当遇到复杂的几何问题时，可以通过作辅助线构 造全等三角形，将问题转化为已知的全等三角形 问题，从而简化解题过程。
七年级上册构造全等三角形的方法
七年级上册构造全等三角形的方法全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
构造全等三角形是初中数学的重要内容之一。
对于七年级的学生来说，理解全等三角形的概念并掌握构造全等三角形的方法是至关重要的。
本文将详细介绍构造全等三角形的方法，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、全等三角形的概念在开始介绍构造全等三角形的方法之前，首先需要理解全等三角形的概念。
两个三角形如果它们的对应的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等三角形。
全等三角形在形状和大小上是完全一致的，只是位置或方向可能不同。
二、构造全等三角形的方法1. SSS（边边边）法则SSS法则表示如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
因此，我们可以利用这一法则来构造全等三角形。
具体步骤如下：1）首先，画出一个给定的三角形ABC；2）然后，根据题目要求，确定另一个三角形的三条边分别与已知三角形的三条边相等；3）最后，连接对应的顶点，得到全等的三角形。
例如，已知三角形ABC的三边长分别为5cm、6cm和7cm，要构造一个全等的三角形DEF，可以先画出与三角形ABC边长相同的三条线段，然后连接对应的顶点D、E、F，就可以得到全等的三角形DEF。
2. SAS（边角边）法则SAS法则表示如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
因此，我们也可以利用这一法则来构造全等三角形。
具体步骤如下：1）首先，画出一个给定的三角形ABC；2）然后，在已知角A处画一条射线，使得射线上的一点与已知边AB的长度相等；3）再确定射线上的一点到顶点B的连线与已知边BC的长度相等；4）最后，连接对应的顶点，得到全等的三角形。
例如，已知三角形ABC中，∠A=60°，AB=5cm，BC=7cm，要构造一个全等的三角形DEF，可以先在角D处画一条射线，在射线上找一点使得DE=5cm，再确定射线上的一点到顶点E的连线与已知边EF的长度相等，再画出DE与EF的连接线，这样就可以得到全等的三角形DEF。
全等三角形的构造技巧(2020版)
全等三角形的构造技巧一、利用角平分线，构造全等三角形【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；（3）延长角平分线的垂线.（一）在角两边截取相等线段例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.练习：1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。
也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。
（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.图1 图2分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P BA E F O P G AB C E DA B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。
构造全等三角形添加辅助线的方法
构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。
添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。
本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。
一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。
原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。
二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。
原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。
三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。
原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。
四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。
原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。
构造全等三角形的常用方法
构造全等三角形的方法
方法一翻折法
1、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.
方法二补形法
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC=∠BDF.
方法三旋转法
3、如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE+DF=EF，求∠EAF.
方法四倍长中线法
4、如图，在△ABC中，D为BC的中点.（1）求证：AB+AC>2AD；（2）若AB=6，AC=2，求AD的取值范围.
方法五截长补短法
5、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E、F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系并证明.
方法六作垂线法
6、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
方法七作平行线法
7、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC 交AC于点Q.求证：AB+BP=BQ+AQ.。
初中数学——构造全等三角形的五种常用方法
所以∠1＝∠2. ∠1＝∠2，
在△ACD 和△CBG 中，AC＝CB， ∠ACD＝∠CBG＝90°，
所以△ACD≌△CBG(ASA)． 所以∠ADC＝∠G，CD＝BG. 因为点 D 为 BC 的中点，所以 CD＝BD.所以 BD＝BG. 因为∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.
解：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. 因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°. 因为CE⊥AD， 所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°. 因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
在△AEH 和△AEF 中，AE＝AE， EH＝EF，
所以△AEH≌△AEF(SSS)．
所以∠EAH＝∠EAF.
所以∠EAF＝12∠HAF＝45°.
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方 法 4 倍长中线法
4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5， AC＝3，求AD长度的取值范围． 解：如图，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE. 因为D为BC的中点，所以CD＝BD.
第四章 三角形
构造全等三角形的五种常用方法
方 法 1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.
解：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻 折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)． 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠CBE. 因为BD⊥AD， 所以∠ADB＝∠FDB＝90°.
所以∠D＝∠ABH＝90°. AB＝AD，
在△ABH 和△ADF 中，∠ABH＝∠D＝90°， BH＝DF，
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构造全等三角形的基本方法
第一种：倍长中线法（利用中点、中线构造）
例题1、如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6，AD的范围是．2】
3】
第二种：利用角平分线
角平分线常见的辅助线作法：
【例1】
例题2、已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．
例题3、BE是角平分线，AD垂直BE于D，求证：∠2=∠1+∠C
第三种：截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等．
例题5：如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，
求证：AB+BE=AC．
例题6、AB//CD，BE,CE是角平分线，求证：BC=AB+CD
第四种：旋转
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形
例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数．
例4、如图，正方形ABCD中，DE=3，BF=1，∠EAF=45°，则EF= ．
例5、如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为
第五种：平行线法
例7、如图，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
练习7：(1)过D、E分别作DG⊥BC于G，EH⊥BC的延长线于H，用这种辅助线的方法是否可以证明出结论？
(2)若将条件BE=CE与结论DF与EF互换，其他条件不变，那么此题是否仍成立？
作业：
练习1、如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
练习2、练习2、练习3、
练习4、
练习5、已知：如图所示，ABC是正三角形，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．
练习6、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连接AE，则△ADE的面积为．
练习7、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；求CF，BC，CD三条线段之间的关系．。