整式的乘除知识点归纳

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整 式 的 乘 除
知识点归纳:
1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如:bca22的 系数为2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多
项式的次数。

如：122xaba，项有2a、ab2、x、1，二次项为2a、ab2，一次项为x，常数项为1，
各项次数分别为2，2,1，0，系数分别为1，—2，1，1,叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式.也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：1223223yxyyxx

按x的升幂排列:3223221xyxxyy
按x的降幂排列:1223223yxyyxx
5、同底数幂的乘法法则：nmnmaaa•（nm,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式.
如：532)()()(bababa•

6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）
幂的乘方，底数不变,指数相乘。如：10253)3(
幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(
如：23326)4()4(4
已知:23a,326b,求3102ab的值;
7、积的乘方法则:nnnbaab)((n是正整数)
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx•••

8、同底数幂的除法法则:nmnmaaa(nma,,0都是正整数，且)nm
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同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab
9、零指数和负指数；
10a
,即任何不等于零的数的零次方等于1。

p
paa1
（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。

如:81)21(233
10、科学记数法：如：0.00000721=7.21610（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方)
11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘,对于只在一个单项
式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：•xyzyx3232
12、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即mcmbmacbam)(（cbam,,,都是单项式）
注意:
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号.
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。］

如：)(3)32(2yxyyxx
13、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：)6)(5(2)3)(23(1xxbaba、、

14、平方差公式：22))((bababa注意平方差公式展开只有两项
公式特征:左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边
是相同项的平方减去相反项的平方。

如：
（a+b－1）（a－b+1）= .计算（2x+y-z+5）(2x-y+z+5）
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15、完全平方公式：2222)(bababa
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，
而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.
注意：

abbaabbaba2)(2)(2222

abbaba4)()(22
222
)()]([)(bababa

222
)()]([)(bababa

完全平方公式的口诀：首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。
如：⑴、试说明不论x，y取何值，代数式226415xyxy的值总是正数。

⑵
、已知 2()16,4,abab求223ab与2()ab的值。
16、三项式的完全平方公式：
bcacabcbacba222)(2222
17、单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它
的指数作为商的一个因式。
注意:首先确定结果的系数（即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连
同它的指数作为商的一个因式

如：bamba242497
18、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。

即：cbamcmmbmmammcmbmam)(

方法总结：①乘法与除法互为逆运算。 ②被除式=除式×商式+余式
例如：已知一个多项式除以多项式243aa所得的商式是21a，余式是28a，求这
个多项式。
怎样熟练运用公式：
（一）、明确公式的结构特征








12223244222222222222....abababababababababababab



4

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相
乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平
方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下
正确运用公式．
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含
义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2,若视x+2y为公
式中的a，3z为b，则就可用(a－b)2=a2－2ab+b2来解了。
（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式
特征，合理调整变化，使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算
了．
2、符号变化 如（－2m－7n)（2m－7n）变为－(2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差
公式求解了（思考:不变或不这样变,可以吗？)
3、数字变化 如98×102,992，912等分别变为（100－2)(100+2），（100－1）2,（90+1）
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后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化 如（4m+2n）（2m－4n）变为2(2m+4n）（2m－4n）后即可用平方差公式

进行计算了．
5、项数变化 如（x+3y+2z)（x－3y+6z)变为（x+3y+4z－2z）(x－3y+4z+2z）后再
适当分组就可以用乘法公式来解了．
（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如
计算（a2+1）2·（a2－1)2，若分别展开后再相乘,则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再
进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）(a2－1）］2=（a4－1）2=a8－2a4+1．
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运
用．如计算（1－221）（1－231)（1－241）…（1－291)（1－2101），若分别算出各因式的值

后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用
平方差公式,则可巧解本题．