线性矩阵不等式在控制工程中的应用
《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
矩阵分析论文
矩阵分析在控制系统中的应用摘要:详细综述了LMI 在控制系统中的发展现状和应用,主要涉及了不确定系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性、不确定系统的鲁棒控制器设计、LMI 在时滞系统中的应用及存在的问题、不确定系统的鲁棒滤波应用状况、不确定系统的模型验证应用等,并分析了基于LMI 方法的变结构控制、极点配置、模糊控制等其它相关内容。
给出了上述控制问题的LMI 描述及相关求解方法,最后并指出了LMI 进一步的应用研究方向。
主题词: 线性; 矩阵; 控制系统; 控制器1 引言在过去的10 余年内,由于LMI 的优良性质和数学的规范以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。
研究者发现许多控制问题均可描述为LMI 问题[1～4 ] ,并呈现继续增长的趋势。
本文对LMI 在控制系统中的发展和现状进行综述,着重讨论LMI 在不确定控制系统中的应用研究成果、现状以及发展。
2 线性矩阵不等式LMI 一般形式为F ( x) ≡F0 + Σmi =1xi F i > 0 (1)其中x ∈Rm ———变量; F i = F Ti ∈Rn×n 是给定的。
显然式(1) 表明矩阵F( x) 是正定的。
式(1) 的另一个含义是集合{ x/ F( x) > 0} 是凸的。
LMI 问题可描述为:给定F( x) > 0 ,找到x,使得f ( x) > 0 ,或证明LMI F( x) 是不可解的。
动态系统分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。
1890 年Lyapunov 在出版他的被称为Lyapunov 理论的著作中,提出微分方程Ûx( t) = Ax ( t) (2)稳定,当且仅当存在对称正定矩阵P = P T > 0 ,使得下面的不等式成立A T P + PA < 0 (3)同时Lyapunov 也指出这样的LMI 可以精确求解。
20 世纪40 年代,前苏联科学家Lur’e、Postnikov 及其它学者将Lyapunov 方法应用于控制工程中的一些典型的问题,尤其是当执行机构具有非线性时的系统稳定性,虽然他们没有形成精确的矩阵不等式,但是所提出的稳定性准则具有LMI的雏形。
LMI线性矩阵不等式
线性矩阵不等式
Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿
射）的矩阵不等式.
1.1: LMI的 基 本 性 质
1
Q正定：如果 xT Qx > 0, ∀x ̸= 0 Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ∀x ̸= 0 P 负定（半负定）：如果Q = −P 正定（半正定）。
9
%可行 ( 是稳定的A) tmin
当且仅当 tmin <0
运行结果：
Lyap =
1
S o l v e r f o r LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x )
10
T h i s s o l v e r minimizes
t
subject to
只需要写出对角线上面，或下面的项。
% AP+PA’ <0 % 0 % P>0
l m i t e r m ( [ Lyap 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 1 2 0 ] , 0 ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , − 1) ; LMIsys= g e t l m i s ; [ tmin , x f e a s ] = feasp ( LMIsys ) ;
L ( x ) < R( x ) + t ∗ I
The b e s t v a l u e o f t should be n e g a t i v e f o r f e a s i b i l i t y
最优控制问题的鲁棒H∞控制
最优控制问题的鲁棒H∞控制最优控制问题是控制理论中的一个重要研究领域，其目标是设计最优的控制策略，使得系统在给定的性能指标下达到最佳的控制效果。
然而，在实际应用中，系统参数的不确定性以及外部干扰等因素往往会对控制系统产生严重影响，导致传统最优控制策略难以在这些不确定因素下取得令人满意的控制效果。
为了解决上述问题，鲁棒控制方法被引入到最优控制问题中。
鲁棒控制的主要思想是设计一个能够对系统参数不确定性和外部干扰具有抗扰能力的控制策略，以保证系统在面临这些不确定性因素时仍能保持良好的控制性能。
其中，H∞控制是鲁棒控制的一种重要方法。
H∞控制是一种基于H∞优化理论的控制方法，其目标是设计一个稳定的控制器，使得系统输出对于外部干扰和参数不确定性具有最大的衰减能力。
H∞控制方法能够针对不确定性系统进行鲁棒性分析，并在饱和脉冲干扰和噪声扰动等情况下仍能保持系统的稳定性和性能。
在具体的系统应用中，鲁棒H∞控制方法常常需要进行控制器的设计和参数调整。
控制器的设计一般采用线性矩阵不等式(LMI)方法，在满足一定约束条件的前提下求解最优的控制器参数。
参数调整则可以采用各种数学优化算法，如内点法、遗传算法等，以达到使系统的H∞控制性能最优化的目标。
鲁棒H∞控制方法在许多领域中得到了广泛应用。
例如，在机器人控制、飞行器控制、电力系统控制等领域中，鲁棒H∞控制方法能够有效地抑制参数不确定性和外部干扰，提高系统的鲁棒性和控制性能。
此外，鲁棒H∞控制方法还能够应用于网络控制系统、混合控制系统等复杂系统中，具有广泛的应用前景。
总之，最优控制问题的鲁棒H∞控制方法在解决系统参数不确定性和外部干扰等问题时具有重要的研究意义和实际应用价值。
通过设计稳定的控制器并考虑系统的鲁棒性，能够有效提高控制系统的性能和稳定性，为实际工程应用提供了可靠的控制方案。
LMS模态试验与分析_航空航天
LMS模态试验与分析_航空航天
LMS（Linear Matrix Inequality Modal Synthesis）模态试验与分
析是航空航天领域中一种常用的工程分析方法，它基于线性矩阵不等式技术，通过试验与分析实现结构动力学特性的模态参数估计和模态分解。
首先，在试验数据采集阶段，需要通过传感器对航空航天系统进行测量，并获取系统的响应数据。
传感器可以是加速度传感器、应变传感器等，用于测量系统的振动响应。
这些测量数据将被用于后续的模态参数估计和
模态分解。
然后，在模态参数估计阶段，利用LMS方法将试验数据与结构动力学
模型之间建立数学关系，通过最小二乘法估计系统的模态参数。
模态参数
包括固有频率、阻尼比和模态形态等，它们反映了系统的振动特性。
最后，在模态分解阶段，通过对估计得到的模态参数进行分解，将系
统的振动响应分解为不同的模态成分。
模态分解可以帮助工程师更好地理
解结构的振动特性，找出系统的主要振动模态。
应用LMS模态试验与分析方法可以帮助航空航天工程师进行结构设计、优化和故障诊断等工作。
例如，在航空器的振动控制中，可以通过LMS方
法估计结构的模态参数，设计并调整振动控制器来实现振动的有效控制。
在航天器的结构动力学分析中，可以通过LMS方法对结构的模态分解结果
进行分析，进一步优化结构设计，确保航天器的结构安全性和可靠性。
总结起来，LMS模态试验与分析是一种有效的航空航天工程分析方法，它通过试验数据的采集、模态参数的估计和模态分解，实现了对结构动力
学特性的全面分析和评估，为航空航天工程师提供了重要的设计和优化依据。
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式本章介绍本书中所用到的必要矩阵论方面数学知识，集中建立和证明一些常用的矩阵方程，不等式以及与线性矩阵不等式(LMI)有关的基本公式，这些公式与引理在后续各章中均有引用。
3.1 矩阵运算基础3.1.1 矩阵运算本小节给出矩阵运算中得一些基本定理和算法。
定理3.1.1 考虑一般的阶分块方阵m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A (3.1.1)式中和分别为阶和阶可逆矩阵，则有如下两个矩阵求逆公式，即11A 22A n m 111211121112122121111111211221211][][−−−−−−−−+=−A A A A A A A A A A A A A (3.1.2)和122121211221211112111212212111][][−−−−−−−=−A A A A A A A A A A A A(3.1.3)证明：略。
定理3.1.2 （矩阵求逆引理）111111][][−−−−−−+−=+CA B CA I B A A BC A(3.1.4)证明：在(3.1.2)式中，令I A C A B A A A ====22211211,,,,便得(3.1.4)式。
定理 3.1.3 如果A 是按式(3.1.1)分块划分，则有]A det[det det 21-122121122A A A A A −⋅=(3.1.5) 和]A det[det det 12-111212211A A A A A −⋅=(3.1.6)证明：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−I A A A A A A A A A IA A A A 00122122112212111222112222211211 (3.1.7)所以有]det[det det 211221211122A A A A A A −−−=⋅注意到22122det 1det A A =−，便得(3.1.5)式。
Matlab中LMI（线性矩阵不等式）工具箱使用例子
Matlab中LMI（线性矩阵不等式）⼯具箱使⽤例⼦这⼀段被⽼板逼着论⽂开题，⾃⼰找⽅向⽐较着急，最后选择了供应链控制理论的⼀个⽅向。
我要写的论⽂，⽤到了Matlab 的LMI⼯具，以及某篇论⽂中的H-inf稳定定理。
⾃⼰好好研究了好长时间，怎么也⽆法实现该论⽂当中的算例。
研究了⼀个多⽉，⾃⼰简直就快崩溃了，也搞不定问题。
我很是怀疑⾃⼰的选题是不是正确，并且怀疑⾃⼰是不是选的太难了。
如果连论⽂中的算例都⽆法实现，如何把该模型应⽤到⾃⼰论⽂当中呢？功夫不负有⼼⼈，昨⽇我加⼊了Mathworks的Matlab的Newsgroup，结果碰见⼀⽜⼈Johan，⽴即就把论⽂中的算例给写成程序。
但是他做出的结果和论⽂仍然有差别，我仍有点不⽢⼼，⼈家的论⽂发表在Automatica上，如果连这种期刊都⽔的要命，那么就没有什么学术⽔平了。
今天中午，仍然不⽢⼼，⽼爸给我打了电话让我看红场阅兵，于是我边看PPMate边漫⽆边际的核对着⾃⼰的程序。
终于做出了和算例⼀致的结果。
我搜出来的都是⼀些简单的算例，并且机会没有中⽂教程，我在这⾥就⽃胆把⾃⼰的体会写出来，试着给⼤家提供⼀点参考。
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采⽤图形界⾯的lmiedit命令，来调⽤GUI接⼝，但是我认为采⽤程序的⽅式更⽅便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可⾏性问题（feasibility problem），例如：A(x)<b(x)。
< font="">mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最⼩化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最⼩化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
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线性矩阵不等式在控制工程中的应用线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，简称LMI）是一种常见
且重要的数学工具，它在控制工程领域中得到广泛应用。
本文将着重
介绍LMI的基本概念、应用场景以及在控制工程中的具体应用。
一、LMI的基本概念
LMI是一种线性约束条件下的矩阵不等式，一般形式为：P > 0（表
示矩阵P是正定的），或F(A, B, C) > 0（表示关于矩阵A、B、C的函
数F大于零）。
LMI的解集是所有满足该矩阵不等式条件的矩阵组成
的集合。
LMI问题通常可以通过利用凸优化方法进行求解。
二、LMI的应用场景
LMI广泛应用于控制工程领域，其中最主要的应用场景包括：
1. 系统稳定性分析与设计：通过构建LMI来分析系统的稳定性，并设计稳定控制器，以确保系统在不同工况下具有良好的稳定性。
2. 鲁棒控制设计：在存在不确定性或测量噪声的情况下，通过LMI
技术设计鲁棒控制器，使系统具有鲁棒性能。
3. 最优控制设计：通过最小化LMI问题的目标函数，优化控制设计，实现系统的最优性能。
4. 过程控制与优化：利用LMI技术设计控制器，通过对系统的状态变量、输入变量进行优化，实现过程控制与优化。
5. 非线性控制器设计：通过线性化方法将非线性系统线性化，并将
其表示为LMI形式，从而设计出最优的线性控制器。
三、LMI在控制工程中的具体应用
1. 鲁棒控制：对于具有不确定性的系统，通过建立LMI，设计鲁棒
控制器，以提高系统的稳定性和鲁棒性能。
2. H∞控制：利用LMI方法设计H∞控制器，使系统对不确定性和
噪声具有良好的鲁棒性能，同时最小化系统对外界干扰的敏感度。
3. 状态反馈控制：通过LMI技术设计状态反馈控制器，实现系统状态的稳定性和快速响应。
4. 参数估计：利用LMI方法设计参数估计器，对系统的未知参数进行在线估计，以提高系统的自适应性能。
5. 面向网络控制系统的设计：通过LMI技术，设计满足网络控制系统带宽约束的控制器，以保证系统的稳定性和性能。
6. 扩展状态观测器设计：通过LMI方法，设计扩展状态观测器，对系统的未测量状态进行估计，以提高系统的控制性能。
综上所述，LMI在控制工程中具有广泛的应用。
通过建立LMI模型，可以实现系统的稳定性分析、控制器设计、最优控制和鲁棒性能等目标。
随着控制工程的发展，对LMI的研究和应用还有很大的潜力和挑战。
我们有理由相信，在不久的将来，LMI将在控制工程领域中扮演
着更加重要的角色。