八年级数学上册第一章勾股定理基础知识复习讲义
八年级上册数学 第一章 勾股定理基本题型总结(经典全面)
CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。
（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。
例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。
技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。
例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。
例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。
八年级数学上册 第一章 勾股定理专题课堂(一)课件
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD＝3，BD＝5.求AB 的长． 解：过D作DE⊥AB于E，根据(gēnjù)AAS可得△ACD≌△AED，所以CD＝DE，AC＝ AE，在Rt△DEB中，BD2＝DE2＋BE2，解得BE＝4.在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2， 即(AE＋4)2＝AC2＋82，解得AC＝AE＝6，所以AB＝BE＋AE＝10
第一章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
专题课堂(kètáng)(一) 勾股定理
第一页，共十一页。
勾股定理与分类讨论(tǎolùn) 在涉及三角形的边和高等问题时需要分类讨论．
例1：已知直角三角形两边长分别为2和3，则第三边的平方为_______．13或5 分析：此题已知直角三角形的两边长，但未明确这两边是直角边，还是斜边，因此较 长边3既可以是直角边，也可以是斜边．
第七页，共十一页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)与折叠问题
抓住折叠前后的对应线段，对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中，用 勾股定理来解决．
第八页，共十一页。
例3：如图，在△ABC中，∠A＝90°，沿CD折叠(zhédié)△ABC，点A恰好落在BC边上 的E处，AB＝4，AC＝3，求BD的长． 分析：由折叠知道AD＝DE，∠A＝∠CED＝90°，AC＝CE. 解：在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2，得BC＝5，所以BE＝BC－CE＝BC－AC＝2， 设BD＝x，则DE＝AD＝4－x，在Rt△BED中，BD2＝DE2＋BE2，即x2＝(4－x)2＋22， 解得x＝2.5，所以BD＝2.5
第四页，共十一页。
运用勾股定理列方程பைடு நூலகம்解决非直角三角形的求值问题时，一般作垂线构造(gòuzào)直角三角形，并运用勾股 定理列方程，体现数形结合思想．
北师大版八年级数学上册知识点归纳：第一章勾股定理
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDC B A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DC B A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A。
数学八年级上册知识点第一章
数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。
例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。
二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。
这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。
三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。
记忆是理解的基础。
如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾(教案)
1.理论介绍：首先，我们要回顾勾股定理的基本概念。勾股定理表述为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形问题的重要工具，有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个实际直角三角形的斜边长度，展示勾股定理在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明方法这两个重点。对于难点部分，如面积法和相似三角形法的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
在课程结束时，我进行了总结回顾，希望学生能够对勾股定理有一个全面、系统的认识。然而，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和讨论，可能还不足以让学生深刻理解勾股定理。因此，我计划在课后布置一些相关的习题和实践作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
二、核心素养目标
1.提升学生逻辑推理与数学抽象能力，通过复习勾股定理及其证明过程，加深对数学定理的理解和运用；
2.培养学生空间观念和几何直观，通过勾股定理在实际问题中的应用，提高解决几何问题的能力；
3.增强学生数据分析与数学建模素养，让学生在实际情境中发现并运用勾股定理，培养将数学知识应用于解决实际问题的能力；
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾（教案）
一、教学内容
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的证明方法（面积法、相似三角形法等）；
3.勾股数及其性质；
4.勾股定理在实际问题中的应用，如测量距离、计算面积等；
5.勾股定理与二次方程的关系；
6.勾股定理在生活中的实例及趣味问题。
我尝试采用了分组讨论和实验操作的方式，让学生在实践中感受勾股定理的应用。这种教学方式似乎很受学生欢迎，他们积极参与，热烈讨论，展示环节也能看出他们对知识点的掌握程度。但同时我也发现，部分学生在讨论中过于依赖同伴，自己的思考不够深入。在未来的教学中，我需要引导他们独立思考，加强个体思维能力的培养。
(完整)八年级数学上册知识点复习总结(北师大版),推荐文档
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点与常见题型总结及练习 (新版)北师大版
第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bccbaE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+22b c a -，22a c b - ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+⑵228BC AB AC =- 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC -， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积BC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE + 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：DCBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
第一章+勾股定理+——勾股定理与最值问题+讲义++20232—2024学年北师大版数学八年级上册
提升课：勾股定理最值问题两点之间，线段最短轴对称与最值问题点到直线，垂线段最短二、勾股定理与几何体展开最值问题1、长方体展开：在长方体ABCD-EFGH 中，已知c AE b BC a AB ===,,，若一只蚂蚁要从E 点出发到达C 点，蚂蚁爬行的最小路程是多少？b a BC AB ACc AE +=+==,22)(c b a CE ++=c a AB AE BE b HE +=+==,22)(b c a CE ++=c b AD AE DE a CD +=+==,22)(a c b CE ++=在三种展开情况下，CE 均存在一个最小值，但这3个值中，哪一个是其中最小的呢？对于22)(c b a CE ++=，ab c b a c b a CE 2)(222222+++=++= 对于22)(b c a CE ++=，ac c b a b c a CE 2)(222222+++=++= 对于22)(a c b CE ++=，bc c b a b c b CE 2)(222222+++=++=我们发现，2CE 展开式中均存在222c b a ++，因此我们只需要比较bc ac ab 2,2,2最小值即可，进一步化简只需要判断bc ac ab ,,的最小值即可，很显然，在c b a ，，中，较小的两条边的乘积是最小。
根据以上推理，我们可以快速完成下列问题：【例题1】在长方体ABCD-EFGH 中，已知5,4,3===AE BC AB ，若一只蚂蚁要从E 点出发到达C 点，蚂蚁爬行的最小路程是 ；根据之前分析，很明显1243=⨯最小，因此最小值715)43(22=++=CE 。
【练习1】在长方体ABCD-EFGH 中，已知2,3,12===AE BC AB ，若一只蚂蚁要从H 点出发到达B 点，蚂蚁爬行的最小路程是 ；2、圆柱展开：如图所示，圆柱的高是h ，半径是r ，用一根绳子从A 沿圆柱绕一周到达C ，求绳子长度的最小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学上册第一章勾股定理基础知识复习讲义
要点回顾
知识点 1 勾股定理：_____________________________________________________________________. 基础回顾
1.在Rt △ABC 中，a ，b ，c 是三条边，∠C=90°，已知a ，b ，则c = ；已知a ，c ，则b = ．
2.在Rt △ABC 中，a ，b ，c 是三条边，∠B =90°，已知a=6，b=10，则c= ．
3.在ABC Rt ∆中，3a =cm ，4b =cm ，则=c ．
4.在Rt △ABC 中，已知两边长分别是6和8，则其面积为 ． 知识点 2 勾股数：回忆常见的勾股数 基础回顾
1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A .7,24,25a b c ===
B . 1.5,2, 2.5a b c ===
C .111
,,345
a b c =
== D .15,8,17a b c === 2. 判断a ，b ，c 是不是勾股数
（1）7,24,25a b c === （2）5,13,12a b c === （3）4,5,6a b c === （4）0.5,0.3,0.4a b c ===
知识点 3 定理与逆定理的应用 基础回顾
1.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是 ．
2. a 、b 、c 为三个正整数，若12a b c ++=，则以a 、b 、c 为边能组成的三角形是：①等腰三角形；
②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是_________（填序号）． 3. 在△ABC 中，AB=15，AD=12，BD= 9，AC=13，求△ABC 的周长和面积．
知识点 4 勾股定理与方程的综合运用 基础回顾
1.AC= 6c m ，BC = 8c m ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜 边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
A
B
C
D
A
2.在长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ， 求DE .
知识点 5 利用割补法求面积 基础回顾
如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，求图中阴影部分的面积和边长。
知识点 6 勾股定理数学图形内的应用 基础回顾
1.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，求它底边上的高.
2.如图，在△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线AD=24，求AC .
知识点 7 最近问题 基础回顾
1. 如图，在棱长为1的正方体/
/
/
/
ABCD A B C D 的表面上， 求从顶点A 到顶点/
C 的最短距离．
2.如图，有一圆柱体，它的高为20cm ，底面半径为7 cm ．在圆柱的下底面A 点 处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的 最短路径是多少？（结果用带根号和π的式子表示）．
A
B
C
D
/
A /
D /C
/B
课堂检测
1. 如图在ABC ∆中，已知o
90ACB ∠= （1）如果6a =，8b =，则_____c =；
（2）如果a :3b =:4，且5c =，则_____a =，_____b =. 2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的 三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、 2、3，则最大正方形E 的面积是_________.
3.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm AB BC =， 6c m =，则AD = cm ．
4.若ABC ∆的三条边长分别为7cm 、24cm 、25cm ，则S ABC ∆= _______
5.如图，从电线杆离地面6 m 处向地面拉一条长10 m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆 底部有 m ．
6.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实 际游了520m ，求该河流的宽度为_________。
7.如图，4AB =cm ，4AD =cm ，13BC =cm ，12CD =cm ，o
90A ∠=，求四边形ABCD 的面积．
8.如图，A 、B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1AC =km ，B 村到公路l 的距离BD=2km ，B 村在A 村的南偏东o
45方向上． （1）求出A 、B 两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在 图中作出点P 的位置（不必写作法，但要保留清晰的作图痕迹）．
北
东
B
A
C
D
l
A
C
D B
A
B C
200m
520m
第
3题图 第5题图
第6题图
b A B
C
D。