人教数学反比例函数的专项培优易错试卷练习题及答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．

例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．

（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；

（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；

（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．

【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：

正方形ABCD的边长为．

（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：

设正方形边长为a，易得3a= ，

解得a= ，此时正方形的边长为．

∴所求“伴侣正方形”的边长为或

（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，

易证△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵点D的坐标为（2，m），m＜2，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=2﹣m．

∴OF=BF+OB=2，

∴点C的坐标为（2﹣m，2）．

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

∴反比例函数的解析式为y=

（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶

点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，

c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在

d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶

点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；

e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D

的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；

故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+

【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.

（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．

（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．

2．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为

s，且s=1+ ．

（1）当n=1时，求点A的坐标；

（2）若OP=AP，求k的值；

（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，

当n=1时，s= ，

∴a= = ．

（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n= ．

∴1+ = •an．

即n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n．

设△OPQ的面积为s1

则：s1= ∴•mn= （1+ ），

即：n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，

∴△OPQ∽△OAP．

设：△OPQ的面积为s1，则 =

即： = 化简得：

化简得：

2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0

（k﹣2）（2k﹣n4）=0，

∴k=2或k= （舍去），

∴当n是小于20的整数时，k=2．

∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，

∴n是大于0且小于20的整数．

当n=1时，OP2=5，

当n=2时，OP2=5，

当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，

当n是大于3且小于20的整数时，

即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：

42+ 、52+ 、62+ …192+ ，

∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，

∴OP2的最小值是5．

【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.