初中数学反比例函数基础测试题附答案

初中数学反比例函数基础测试题附答案

一、选择题

22

1．在函数y ，y= x+ 3，y= x2的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的x

图象共有（）

A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．

【详解】

y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函2

数y 符合条件．

x

故选：B．

【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数

解析】

分析】【详解】

如图，过点C作CD⊥x 轴于点D，

D．32 C．24

答案】D

∵四边形OABC是菱形，∴点B 的坐标为（8，4）

∵点B 在反比例函数（x>0）的图象上，

∴.

故选D.

4

3．已知点A（﹣2，y1），B（a，y2），C（3，y3）都在反比例函数y 的图象上，且﹣

x

2

A．y1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据k> 0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．

【详解】

4

∵反比例函数y= 中的k=4> 0，

x

∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，∵-2< a<0，

∴0>y1>y2，∵C（3，y3）在第一象限，

∴y3> 0，

∴ y2 y1 y3 ，故选D．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．4．ABC的面积为2，边BC的长为x，边BC上的高为y，则y与x的变化规律用图象

表示大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】 A 【解析】 【分析】

根据三角形面积公式得出 y 与 x 的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可 【详解】 根据题意得

1

xy 2 2

4 ∴y

x

∵ x 0， y 0

∴ y 与 x 的变化规律用图象表示大致是

故答案为： A ． 【点睛】

本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．

5．已知点 A 1, y 1 、 B 2, y 2 都在双曲线 y

3 2m

上，且 y 1 y 2，则 x 围是（ ）

3

A ． m 0

B ． m 0

C ． m

D ． m

2

【答案】 D 【解析】 【分析】

m 的取值

范

3 2

2

S 四边形 AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形 ABDC ，

根据已知得 3+2m <0，从而得出 m 的取值范围． 【详解】

3 2m

∵点 A 1,y 1 、 B 2,y 2 两点在双曲线 y 上，且 y 1>y 2， x

∴3+2m <0， 故选： D ．

【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当 当 k < 0 时，函数图象位于第二、四象限．

4

6．如图， A ，B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点，且 A ， B 两点的横坐标

x

分别是 2 和 4，则 △OAB 的面积是（ ）

A ．4

B ． 3

C ． 2

D ． 1

【答案】 B 【解析】

【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及 A ，B 两点的横坐标，求出 A （2，2），

B （4，1）．再过 A ，B 两点分别作 A

C ⊥x 轴于 C ，B

D ⊥x 轴于 D ，根据反比例函数系数 k

1

的几何意义得出 S △AOC =S △BOD = × 4=．2 根据 S 四边形 AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形 ABDC ，得出

2

S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出 S 梯形ABDC = （BD+AC ） ?CD= ×（ 1+2） × 2=，3

从而

22

得出 S △AOB =3．

4

【详解】∵ A ，B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点，

x

且 A ， B 两点的横坐标分别是 2和 4， ∴当 x=2 时， y=2，即 A （2，2），

当 x=4 时， y=1，即 B （4， 1）， 如图，过 A ，B 两点分别作 AC ⊥x 轴于 C ，BD ⊥x 轴于

D ，

1

则 S

△AOC =S △BOD = × 4=，2

∴m

3

2

，

k >0 时，该函数图象位于第一、三象限，

∴S △AOB =S 梯形 ABDC ，

11

∵ S 梯形 ABDC = （BD+AC ）?CD= ×（1+2）× 2=，3

22

∴S

△AOB =3，

故选 B ．

k

y k 0 中 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐 x 标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴 作垂线所围成的直角三角形面积 S 与k 的关系为 S=1

|k| 是解题的关键．

2

7．在反比例函数 y ＝

9 m 3

图象上有两点

x

A （x

1， y 1）、 B （x 2， y 2）， y 1< 0< y 2，

x 1>x 2，则有

（）

1

A ． m >﹣

3

【答案】 B 1

B ．m <﹣

3

1

C ．m ≥﹣

3

1 D ．m ≤﹣

3

解析】 分析】

先根据 y 1<0< y 2，有 x 1>x 2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出 m 的取值范围即

可． 详解】

∵在反比例函数 y ＝ 9m 3

图象上有两点 A （x 1，y 1） x ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∴9m+3 < 0，解得 m <﹣ ．

3

故选： B ．

【点睛】 此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反 比例函数的性质

8．如图，在 x 轴的上方，直角∠ BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转 .若∠ BOA

的两边分别与

点睛】本题考查了反比例函数 B （x 2，y 2）， y 1<0x 2，

12

函数 y 、 y 的图象交于 B 、A 两点，则∠ OAB 大小的变化趋势为（ ）

A ．逐渐变小

B ．逐渐变大

C ．时大时小

D ．保持不变

【答案】 D 【解析】 【分析】 BE OE

1

如图，作辅助线；首先证明 △BEO ∽△ OFA ，，得到 ；设 B 为（ a ，

）， A 为

OF AF

a

2

1

2

（b ， ），得到 OE=-a ， EB= ， OF=b ， AF= ，进而得到 a 2b

2

2

，此为解决问题的关

b a b

键性结论；运用三角函数的定义证明知 tan ∠ OAB= 2

为定值，即可解决问题．

2

【详解】

解：分别过 B 和 A 作 BE ⊥x 轴于点 E ， AF ⊥x 轴于点 F ， 则△BEO ∽△ OFA ，

BE OE OF AF

12

设点 B 为（ a ， ）， A 为（ b ， 2

），

a b 12

则 OE=-a ， EB= ， OF=b ， AF= ，

a

， ，

b

2

可代入比例式求得 a 2

b 2 2 ，即 a 2

2 ， b

2

∴∠ OAB 大小是一个定值，因此∠ OAB 的大小保持不变 故选 D

根据勾股定理可得： OB= OE 2

EB

2

a

2

OB

∴tan ∠OAB=

OA

a

2

2

b

2

b

2

21

(b

42 b 2) 2

b 2

b

2

b 2

b

2

b

2

b

2

12

，OA= OF 2 AF

2

a

2

4

b

2

【答案】 A 【解析】 【分析】

根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【详解】

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．

9．如图 , 在同一坐标系中（水平方

向是 （）

k

x 轴），函数 y 和 y

kx 3 的图象大致是

A ．

k

解：A、由函数y= 的图象可知k> 0 与y=kx+3 的图象k>0 一致，正确；

x

k

B、由函数y= 的图象可知k>0 与y=kx+3的图象k>0，与3>0 矛盾，错误；

x

k

C、由函数y= 的图象可知k< 0 与y=kx+3 的图象k<0 矛盾，错误；

x

k

D、由函数y= 的图象可知k>0 与y=kx+3的图象k<0 矛盾，错误．

x

故选A．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

10．下列函数：① y= -x；② y=2x ；③ y ；④y=x2．当x<0时，y随x的增大而减小

x

的函数有( )

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

【答案】B

【解析】

【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．

【详解】

一次函数y＝－x中k<0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；

∵正比例函数y＝2x中，k＝2，∴当x<0时，y随x的增大而增大，故本选项错误；

1

∵反比例函数y＝中，k＝－1<0，∴当x<0时函数的图像在第二象限，此时y随x的x

增大而增大，故本选项错误；

∵二次函数y＝x2，中a＝1>0，∴此抛物线开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，故本选项正确．

故选B．

【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增减性．

11．函数y=1-k与y=2x的图象没有交点,则k 的取值范围是( ) x

A．k<0

B．k<1 C．k>0 D．k>1

【答案】D

【解析】

【分析】 由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出 k 的取值范 围． 【详解】

1-k

1-k

1-k

令 =2x ，化简得： x 2

=

；由于两函数无交点，因此

<0，即 k > 1．

x

2 2

故选 D ．

【点睛】 函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函 数解析式所得的方程（组）无解．

解析】 分析】

连接 OC ，根据图象先证明 △AOC 与△COB 的面积相等，再根据题意分别计算出 △AOD 与 △ODC 的面积即可得 △ABC 的面积 . 【详解】

连接 OC ，设 AC ⊥y 轴交 y 轴为点 D ， 如图，

2

∵反比例函数 y=- 为对称图形，

12．如图，在平面直角坐标系中，函数

2

y kx 与 y 的图象交于 A 、

x

B 两点，过 A 作 y

C ，连接 BC ，则 △ABC 的面积为（

C ．6

D ．

x

∴O 为AB 的中点，

∴S△AOC=S△COB，

24

∵由题意得A 点在y=- 上，B 点在y= 上，

xx

11

∴ S△AOD= × OD× AD= xy=1；

22 11

S△COD= × OC× OD=xy=2；

22

S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，

∴ S△ABC= S△AOC+S△COB=6.

故答案选C.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.

k

13．若A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在反比例函数y= （k> 0）的图象

x

上，则y1、y2、y3 的大小关系是（）

A．y1>y2>y3 B．y3>y1>y2 C．y3>y2>y1 D．y2>y1> y3

【答案】B

【解析】

【分析】

k

反比例函数y= k（k> 0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y x

随x 的增大而减小，而A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上的点，可得y2 0，于是对y1、y2、y3的大小关系做出判断．【详解】

k

∵反比例函数y= （k> 0）的图象在一、三象限，

x

∴在每个象限内y随x 的增大而减小，

∵A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上，

∴y2< y1< 0，

∵C（1，y3）在第一象限双曲线上，

∴y3> 0，

∴y3> y1> y2，

故选：B．

【点睛】

此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当 k > 0，时，在每个象限内 y 随 x 的增 大而减小；当 k <0时，y 随 x 的增大而增大，注意 “在每个象限内 ”的意义，这种类型题目 用图象法比较直观得出答案．

6

14．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠ OAB=30°，若点 A 在反比例函数 y= 6

(x

x

答案】 解析】 分析】

【详解】

过点 B 作BC ⊥ x 轴于点 C ，过点 A 作 AD ⊥x 轴于点

∵∠ BOA=90°， ∴∠ BOC+∠ AOD=90°， ∵∠ AOD+∠OAD=90°， ∴∠ BOC=∠ OAD ， 又∵∠ BCO=∠ADO=90°， ∴△ BCO ∽△ ODA ，

3

，

3

S

VBCO S

VAOD

1

∵

×AD ×DO= xy=3， 22

11

∴ S △BCO = ×BC ×CO= S △AOD =1，

B 的反比例函数解析式为(

4

B ．y=﹣

x C ．

2

y=﹣

x

2 D ．y=

x

直接利用相似三角形的判定与性质得出

S

VBCO S

VAOD

进而得出 S △AOD =3，即可得出答案．

D ， BO

=tan3

A ． y=

x

23

∵经过点B 的反比例函数图象在第二象限，

故反比例函数解析式为： y=﹣ 2

．

x

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出 S △AOD =2

是解题关键．

答案】 A 解析】

bh k 2. 根据三角形的面积公式得到

故选 A ．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图

k 1

15．如图，平行于 x 轴的直线与函数 y 1

(k 1

x A 在点 B 的右侧，

k

2

0，x 0)， y 2

(k 2 x 0， x 0) 的

VABC 的面

C ．

D ． 4

分析】设 A a,h ， B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ah k

1，

11 S VABC AB y A a 22 【详解】

QAB/ /x 轴，

A ，

B 两点纵坐标相

同， 设 A a,h

， B b,h ，则 ah Q S VABC

1 AB y A

2

A k 1 k 2 8，

1

h ah

2

k 1， bh bh

k 2 ，

1 a b h ah bh

22 1

k 1 k 2 4 ，即可求出 k 1 k 2 8 ． 2

1

2

k 1 k 2 4，

图象分别相交于 A ，B 两点，

象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键

k

16．在函数 y

k 0 的图象上有 A 1,y 1 ，B 1,y 2 ， B 2,y 3 三个点，则下列 x

各式中正确的是（ ）

A ． y 1 y 2 y 3

B ． y 1 y 3 y 2

C ． y 3 y 2

y 1 D ． y 2 y 3 y 1

【答案】 B 【解析】 【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 1 y 1 k ， 1 y 2 k ， 2 y 3 k ，然后计 算出 y 1、

y 2 、 y 3的值再比较大小即可．

【详解】

解： Qy

k

(k x 0)的图象上有 A(1, y 1 ) 、 B( 1,y 2)、C( 2, y 3 )

三个点，

1 y 1 k ， 1 y

2 k ， 2 y

3 k ，

y 1

k ， y 2

k ， y 3 1 k

， ，

而k

0，

y 1 y 3 y 2

．

故选 ：B

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数

y k

（ k 为常数，且 k 0 ）

x

的图象是双曲线，图象上的点 x,y 的横纵坐标的积是定值 k ，即 xy k ．

k 17．如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，反比例函数 y

（k x

的中点 E ，连接 DE ，若△CDE 的面积是 1，则 k 的值是（ ）

0）的图象过 D 点和边 BC

A ．3 【答

案】 B

【解析】

C ． 2 5

D ．6

B ．4

点睛】

【分析】

设E的坐标是（m，n），k mn，则C的坐标是（m，2n），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．

【详解】

设E 的坐标是m，n），mn ，

则C 的坐标是

（

m，2n），

在y mn中，令y 2n ，解得：x m x 2

∵ S

VCDE

1，

1

∴n g

m

m

1

1,即1n m1 2 2 2 2

∴ mn

4

∴k 4

故选：B

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．

k

18．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y 在第一象限

x

CE AD 3

内的图象经过点D ，交BC于点E ．若AB 4，2，，则线段BC的长

BE OA 4

A．1 B．3C．2 D．2 3

2 【答案】B

【解析】

【分析】

设OA 为4a，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a，CE=2a，BE=a，从而得出点D 和点E 的坐标（用a 表示），代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC长.

【详解】设OA=4a

CE AD 3

根据2 ，得：AD=3a，CE=2a，BE=a

BE OA 4

∴D（4a，3a），E（4a+4，a）将这两点代入解析得；

3a

4a k a 4a 4

1

解得： a=

1

2 ∴BC=AD=

3

2

故选： B 【点睛】

本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点 D 、E 的坐

标，然后代入解析式求解 .

19．已知点 （ x 1

,

y 1) （x 2, y 2 ）均在双曲

线 y

1

上， x

下列说法中错误的是（ ）

A ．若 x 1 x 2

， 则 y 1

y

2

B

． 若 x 1

x 2 ，则 y 1

y

2

C ．若 0 x

1

x 2 ，则

y 1 y 2

D ．

若 x 1 x 2 0 ，则 y 1

y

2

【答案】 D

【解析】

【分析】

先把点 A

（x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）代入双曲

线

y 1

x

用 y 1、 y 2 表示出 x 1，x 2，据此进行

判断．

【详解】

1 ∵点（ x 1， y 1），（ x 2，y 2）均在双曲线

y 上，

x

11

∴ y 1

， y 2

．

x

1

x

2

11

A 、当 x 1=x 2时， - =- ，即 y 1=y 2，故本选项说法正确；

11

B 、当 x 1=-x 2时， - = ，即 y 1=-y 2，故本选项说法正确；

1

C 、因为双曲线 y 位于第二、四象限，且在每一象限内，

y 随 x 的增大而增大，所以

x

当 0

1

D 、因为双曲线 y 位于第二、四象限，且在每一象限内， y 随 x 的增大而增大，所以 x 当 x

1y 2，故本选项说法错误；

故选： D ． 【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适 合此函数的解析式是解答此题的关键．

20．使关于 x 的分式方程 =2 的解为非负数，且使反比例函数 y= 图象过第一、三

象限时满足条件的所有整数 k 的和为（ ） .

A ．0

B ． 1

C ．2

D ． 3

【答案】 B k 的值，然后相加即可．∵关于 x 的分式方程 =2 的解为 k ≥-1，∵反比例函数 y= 图象过第一、三象限，∴ 3﹣ k > 0，解得：k <3，∴-1≤k <3，整数为-1,0,1，2，∵x ≠0或1，∴和为 -1+2=1，故选， B ． 考点：反比例函数的性质．

【解析】

试题分析：分别根据题意确定 非负数，∴ x= ≥0，解得：