狭义相对论4个例题

再考虑到运动物体长度缩 短，从S系测，车厢长度为
l l0 1 ( v ) 2 c

u0 v u 1 u0 v c 2

于是小球自后壁运动到前 壁所经历的时间，从S系观 测应为

所以从S系测得小球相对地 面的速度为 u v
w u v
0
1 u0 v c 2
v
u0 (1 v 2 c 2 ) 1 u0 v c 2
t t 2 t1
' t2 t1'
1
2

t ' 1 2
' t t 于是， ，这表 明S系的钟记录S′系内的 某一点发生的两个事件 的时间间隔，比S′系的钟 所记录的时间要长些， 由于S′系是相对于S系运 动的，因此，我们得到 的结论是运动着的钟走 慢了。


例题3 一固有长度（物体在相对 它为静止的惯性系内的长度） 为ι0的车厢，以速度v相对于地 面系S作匀速直线运动。在车厢 中，从后壁以速度u0向前推出一 个小球，求地面观察者测得小 球从后壁运动到前壁所经历的 时间。 解：解法一：设和车厢固连的 惯性坐标系为S′系，选地面为S 系，设在S系测得小球相对地面 的速度为u .根据速度合成公式

可见μ子能穿越大气层是一客观事实，在S系 描述为μ子的寿命延长，在S′系描述为大气层 的厚度变薄，两者得出的结论是一致的，这 一事实也说明了时钟延缓与长度缩短两种效 应的的联系。
速度合成公式

例题3 一固有长度（物 体在相对它为静止的 惯性系内的长度）为ι0 的车厢，以速度v相对 于地面系S作匀速直线 运动。在车厢中，从 后壁以速度u0向前推出 一个小球，求地面观 察者测得小球从后壁 运动到前壁所经历的 时间。

解（a）在S系中测定。由于 运动时钟延缓效应，测得μ 子的寿命为

2 10 6 1 (0.998) 2 3.16 10 5 ( s)

在S系测得μ 子能飞跃的距离 为 L v
0.998 3 108 3.16 105 9461(m)

而大气层的厚度为L0 =6000 m，则L＞L0 , 故μ 子能穿越 大气层

解：解法一：设和车 厢固连的惯性坐标系 为S′系，选地面为S系， 设在S系测得小球相对 地面的速度为u .根据 速度合成公式
u0 v u 1 u0 v c 2

所以从S系测得小球相对车 厢的速度为
w u v u0 v v 1 u0 v c 2 u0 (1 v 2 c 2 ) 1 u0 v c 2
t2
' t2

1 1 v
2
c2
c2 1 2
' x0

所以
' t2 t1'
t t 2 t1
1
2

t ' 1
2
于是，
t t '
这表明S系的钟记录S′系内 的某一点发生的两个事件 的时间间隔，比S′系的钟所 记录的时间要长些，由于S′ 系是相对于S系运动的，因 此，我们得到的结论是运 动着的钟走慢了。

（b）在S′系中测定, μ 子能 飞跃的距离为
L v 0 0.998 3 108 2 106 598.8(m)


由于长度缩短，S′系观察 者测得的大气层的厚度为
L' L0 1 ( v ) 2 c 6000 1 (0.998) 2 379(m)


l0 1 v 2 c 2 l0 1 u 0 v c 2 l t 2 2 w u0 (1 v c ) u0 1 v 2 c 2 1 u0 v c 2

再考虑到运动物体长度缩 短，从S系测，车厢长度为
l l0 1 ( v ) 2 c


解法二：从S′系观测,小球 从后壁运动到前壁所需要 的时间为 l0 t u0 由洛伦兹变换，可得在S系 观察该过程所需的时间
v t 2 x c t 1 v2 c2
相对论力学

例题4 含有3.0kg裂变物质 的原子弹在爆炸时少了1% 的静质量。求：（a）该炸 弹爆炸时释放多少能量？ （b）这些能量能烧开多少 0℃的水[水的比热容 c′=4.2J/(g· k)]？

解：（a）由式
E mc2 3.0 1% (3 108 ) 2 2.7 1015 ( J )
洛伦兹变换

解：先讨论第一种情况。 在S系中的钟记录两个事件的时刻分别 为t1 和t2 ，
例题1 有两个惯性系S和S′。在S′ 系中x0′处有一只静止的钟，用该 由式 钟记录到wenku.baidu.comt1′和t2′时刻x0′处发生 x ( x vt ) 的两个事件。在S′系中的钟记录 y y 这两个事件的时间间隔为⊿t′= z z t2′― t1′。那么，在S系中的钟记录 这两个事件的时间间隔是多少？ v ' 若在S系中x0处有一只静止的钟， t t 2 x c 用该钟记录到在t1和t2时刻x0处发 v ' 生的两个事件，则S系中的钟记 知 t1' 2 x0 c 录这两个事件的时间间隔为⊿t t1 = t2― t1。那么，在S′系中的钟记 1 2 录这两个事件的时间间隔是多少？ v
有
t
' 1
t1
v x 2 0 c 1 2

' t2
t2

所以
t t t
' ' 2 ' 1
v x0 c2 1 2
再讨论第二种情况。 在S′系中的钟记录两个 事件的时刻分别为t2′和 t1′，根据式
x vt x ( x vt) 2 1 y y z z vx t 2 vx c t 2 t 2 c 1

x l0

所以
l0 1 u 0 v c 2 t 2 2 u0 1 v 2 c 2 1 v c l0 v 2 l0 u0 c

解法二：从S′系观测小球 从后壁运动到前壁所需要 的时间为 l0 t u0 由洛伦兹变换，可得在S系 观察该过程所需的时间

两种解法结果相同，当v << c、u0 <<c时， 与经典 情况一致。
x ( x vt ) y y z z v ' t t 2 x c
' 1
1
2 v 1
c2
v ' t 2 x0 c t1 1 2 v ' ' t 2 2 x0 c t2 1 2

释放 的能量。 Q c mt （b）∵ ∴ Q E 2.7 10
m ct ct
15
2.7 1015 J
4.2 10 100
3
6.4 109 (kg)

即爆炸释放的能量能将640 万吨水从摄氏度加热到沸 腾。

于是小球自后壁运动到前 壁所经历的时间，从S系观 测应为
l0 1 v 2 c 2 l0 1 u 0 v c 2 l t 2 2 w u0 (1 v c ) u0 1 v 2 c 2 1 u0 v c 2
t
t
v x 2 c 1 v2 c2

由题意知
' t2
t2
v x 2 0 c 1 2

所以
t 2 t1 1 2 t 1 2
' t ' t 2 t1'



例题2 设在6000m高层大 气层中产生了一个固有寿 命（在相对于μ子静止的 惯性系中测得的寿命）为 0 2 106 s 的μ 子。在产生 时，该μ 子正朝地球的方 向且以v=0.998c的速度运 动，问它能否越过大气层？ 试分别就地球相对静止的 惯性系S及与μ 子相对静止 的惯性系S′进行讨论。
t 2 t1 1 2

t 1 2
于是，

有
t1'
t t
'

t1
v x 2 0 c 1 2
这表明，S′系的钟记录S系 内某一点发生的两个事件 的时间间隔，比S系的钟所 记录的时间要长些，由于S 系相对于S′系也是运动的， 因此，同样得到运动着的 钟走慢了的结论。
则L＞L′, 故μ 子能穿越大 气层
例题2 设在6000m高层大 气层中产生了一个固有寿 命（在相对于μ子静止的 惯性系中测得的寿命）为 0 2 106 s 的μ 子。在产生 时，该μ 子正朝地球的方 向且以v=0.998c的速度运 动，问它能否越过大气层？ 试分别就地球相对静止的 惯性系S及与μ 子相对静止 的惯性系S′进行讨论。

再讨论第二种情况。 在S′系中的钟记录两个 事件的时刻分别为t2′和 t1′，根据式
x vt ( x vt) x 2 1 y y z z vx t 2 vx c t t 2 2 c 1