上海傅雷中学数学 二次函数单元试卷(word版含答案)
上海傅雷中学数学 二次函数单元试卷（word 版含答案）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．
（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．
（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2x =；（2）2
122
y x x =-
+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2?
?- ??
?
【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．
（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】
解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a
a
-＝2． （2）如图1中，
对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，
∴A(4，0)，
∵四边形OMAM′是正方形，
∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，
∴M((2，﹣2)，M′(2，2)
把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，
可得﹣2＝4a﹣8a，
∴a＝1
2
，
∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1
2(x﹣2)2+2＝﹣
1
2
x2+2x．
（3）如图3中，由题意OD＝2．
当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1
2
m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣
1
2
(m﹣
2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1
2
(m+2)2+2(m+2)]，
∵PQ∥OD，
∴1
2m2﹣2m＝﹣
1
2
(m﹣2)2+2(m﹣2)或
1
2
m2﹣2m＝﹣
1
2
(m+2)2+2(m+2)，
解得m ＝3±3或1±3，
∴P (3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)， 当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣
32
)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)或(1，﹣32
)． 【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
2．在平面直角坐标系中，抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的
1
4
时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）2
2y x x =-++；（2）存在，（
23，209）或（10
3，529
-）；（3）610
2 【解析】
【分析】
（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出
∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】
解：（1）∵抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），
则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?
，
∴抛物线的解析式为2
2y x x =-++； （2）存在，理由是：
在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在2
2y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），
∴=， 在△BDE 中，有
12×BE ×OD=1
2
×BD ×EF ，
即2×EF ，解得：EF=5
，
∴5
，
∴tan ∠BDE=
EF DF =4
3， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ，
∵BE=2， 则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时，
∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，
∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，
∴tan ∠PBC=
PG BG =221
c c c -+++=4
3， 解得：c=
2
3
， ∴22c c -++=
209
， ∴点P 的坐标为（
23，209
）；
当点P 在第四象限时，
同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，
tan ∠PBC=PG BG =221
c c c --+=4
3，
解得：c=
10
3
， ∴22c c -++=529
-
， ∴点P 的坐标为（
103，529
-）， 综上：点P 的坐标为（
23，209）或（10
3，529
-）；
（3）设EF 与AD 交于点N ，
∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ， 则422m n n -=-+??
=?，解得：3
2m n =??=?
，
∴直线AD 表达式为y=3x+2， 设点M 的坐标为（s ，3s+2），
∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，
则11114202m n m n -=-+??=+?，解得：11
1
2m n =??=-?，
∴直线AC 表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2）， 可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，
∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ， 由题意可得：
当点F 在直线AC 上方时， ∴S △MNE =
14
S △AMC =12S △AME =1
2S △FME ，
即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，
∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=
12AC=22
1442
+22 ∵M （s ，3s+2）， ()
()2
2
23222s s -++=
解得：s=4
5
-
或0（舍），
∴M（
4
5
-，
2
5
-），
∴AM=
22
42
24
55
????
-++-+
? ?
????
=
610
5
，
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，∴AM=EF，
由于折叠可得：CE=EF，
∴AM=EF=CE=22，
综上：AM的长度为10
5
或22
【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
3．对于函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使得a2
x+（b+1）x0+b﹣2＝x0成立，则称x0为函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点．
（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣
b ＜0． 【解析】 【分析】
（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；
（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】
解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，
即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，
∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，
即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得，
点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），
∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣
b a
， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122
x x
+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a
-）， ∵直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线，
∴点（2b a -，2b
a -）在直线y ＝﹣x+2121
a +上， ∴2b
a -
＝21221
b a a ++
∴﹣b ＝
221
a a ≤
+4，（当a ＝2
时取等号）
∴0＜﹣b ≤
4
，
∴﹣
4
≤b ＜0，
即b b ＜0． 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．如图1，抛物线2
:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线
()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于
点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；
②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231
26
y x x =-；（3）①()2
2
12123
n n y x x n -=
-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】
（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；
（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．
②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】
解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），
由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（
12b ，12b ），D 1（12b ，12
b
-）， ∵B 1在抛物线c 上，则
12b =(12
b )2
， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），
把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1，
∴a 1=1， 故答案为1，2；
（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，
22
2,22b b B ??∴ ?
??，22
2,22b b D ??
- ???
. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴
=- ???
. 解得24b =或20b =（不合舍去），
()22,2D ∴-
2D 在抛物线2C 上，
()22224a ∴-=-.
解得21
2
a =
. 2C ∴的解析式是()2142y x x =
-，即221
22
y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.
()33,0A b ∴.
由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，
333,22b b B ??∴ ???，333,2
2b
b D ??- ???.
3B 在抛物线2C 上，
2
333122222
b b b
??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去），
()36,6D ∴-
3D 在抛物线3C 上，
()366612a ∴-=-.解得31
6
a =
. 3C ∴的解析式是()31126y x x =
-，即231
26
y x x =-.
（3）解：①n C 的解析式是()22
1
2123
n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2
201820161223y x x =
-?，220192017
1223
y x x =-?. 当0x ≠时，2
2018201920162017
111
0233y y x ＞??-=
-
???
， 20182019y y ∴＞.
【点睛】
本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．
5．在平面直角坐标系中，二次函数2
2y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，
(1,0)B ，与y 轴交于点C ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线2
2y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD
交直线AC 于点D ．
①是否存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4
5
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213
222
y x x =
+-
(2)①存在，点P 的坐标为(222,12)-+
-，(222,12)--+，(2,3)--
②1816,55Q ?
?-- ???，2(2,1)Q -，34525,Q ??-? ??，44525,Q ??-? ??
【解析】 【分析】
(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为1
22
y x =--．设点P 的横坐标为(t ,
213222t t +-)，利用21
442
???=-=?=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】
解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：
1642020a b a b --=??
+-=?，解得：12
32a b ?
=????=??
． ∴此抛物线的解析式为213
222
y x x =+-， 故答案为213
222
y x x =
+-． (2)①存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4
5
．理由如下： 作出如下所示示意图：
∵点(4,0)A -，(1,0)B ，
∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴11
52522
ABC S AB OC ?=?=??=， ∴4455
4
5PAC ABC S S ??=
=?=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，
则有402m n n -+=??=-?，解得：122
m n ?=-?
??=-?，
∴直线AC 的解析式为1
22
y x =-
-． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213
222
t t +-， 即2
1
3,22
2P t t t ??+
- ???
． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ??
-- ??
?
． ∴22131
12222222
PD t t t t t ??=
+----=+ ???． ∵22111
424222
PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ???=-=
?=??+=+． ∴2
44t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，
解得：12t =-+
22t =--32t =-．
∴点P
的坐标为(2-+-
，(2--+，(2,3)--，
故答案为：(2-+-
或(2--+或(2,3)--． ②分类讨论：
情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，
情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，
DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22??-
- ???
x x ，则EO=-x ，DE=1
22x +，
在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO2+ED2=DO2， 故2
2
1
(2)42
++=x x ，解得80(),5舍==-
x x ，此时Q 点坐标为816,5
5??-- ???，
情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：
设D 点坐标1,22??
-
- ???
m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE2+EO2=QO2，
故22
1()()42+=m m ，解得124545==m m ，此时Q 点坐标为4525??或4525? ??
， 综上所述，Q 点的坐标为18
16,5
5Q ?
?--
???，2
(2,1)Q -，3452555Q ?- ??
，4452555Q ?- ??
．
故答案为18
16,5
5Q ?
?-- ???，2(2,1)Q -，34525Q ??，44525Q ? ?
?． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
6．已知函数2222
22(0)114(0)
2
2x ax a x y x ax a x ?-+-
=?---+≥??（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，
①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．
②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．
（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点
()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．
【答案】（1）1a =或3a =-；（2
）①1x =--
1x =+；②
7
2
4m ≤<或21m -<<-；（3
）3a <--
或1a ≤<-
或a >【解析】 【分析】
（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线
y m =观察其与图像交点，即可得到答案．
（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将
2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211
422
y x ax a =---+与0比大小；第二
种为当20a -≤<，2
2
22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211
422
y x ax a =-
--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2
2
22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211
422
y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】
（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-
--+中，得211
2422
a a =---+，解得1a =或3a =-．
（2）当1a =-时，函数为2221,
(0)17
(0)
2
2x x x y x x x ?+-
=?-++≥?
?，
①令2210x x +-=
，解得1x =--
1x =- 令217
022
x x -
++=
，解得1x =+
或1x =-
综上，1x =--1x =+．
②对于函数()2
210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--；
对于函数217
(0)22
y x x x =-
++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2??
???
． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足7
2
4m ≤<或21m -<<-． （3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211
422
y x ax a =-
--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2
2
22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础
上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111
49342222
0y x ax a a a =---+=?--+<-，
解得3a >或3a <--，
综上可得：3a <--．
②当20a -≤<时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足
2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，
222
22=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，
在此基础上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111
4=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，
2221111
49342222
2y x ax a a a =---+=?--+>-；
求得21a -<<-；
综上：1a ≤<-．
③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，
22222=22y x ax a a =-+--≥且222111
4+40222
y x ax a a =---+=-<；
求解上述不等式并可得公共解集为：a >
综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则3a <--或1a ≤<-或a > 【点睛】
本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要
分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．
7．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点
F 旋转180?，得到新的抛物线'C ．
()1求抛物线C 的函数表达式:
()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线
'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．
【答案】()12
142
y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m =
【解析】 【分析】
（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；
（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；
（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH
HK ⊥于H ，利用正方形性
质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入2
1: 42
C y x =-+即可求得答案. 【详解】
解：()
142AB =
()
, 22,0)2,0(2A B ∴-
将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++
8220.8220.4a b c a b c c ?-+=??
++=??=??
解得1204a b c ?
=-??=??=??
21
42
y x ∴=-+；
()2如图21
:42
C y x =-+．
关于(),0F m 对称的抛物线为
()2
1:242
C y x m '=
-- 当C '过点()0,4D 时有()2
140242
m =-- 解得:2m =
当C '过点()2,0B 时有()
21
022242
m =- 解得:22m =
222m ∴<<；
()3四边形'PMP N 可以为正方形 由题意设(),P n n ，
P 是抛物线C 第一象限上的点
21
42
n n ∴-+=
解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH
HK ⊥于H ，
初三数学二次函数单元测试题及答案
远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩： 一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1 九上二次函数单元测试试卷28 一、选择题（共8小题；共40分） 1. 方程的根是 A. B. C. ， D. 2. 时，下列变形正确的为 A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是 A. B. C. 4. 抛物线与轴的交点坐标是 A. B. C. 和 5. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象经过点和点．关于这个二次函数的描述： ①，，；②当时，的值等于；③当时，的值小于．正确 的是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 把抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线 的函数关系式是 A. B. C. D. 8. 二次函数的顶点坐标是 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题；共30分） 9. 若二次函数的图象顶点坐标为且过点，则二次函数的解析式为． 10. 如果抛物线的对称轴是直线，那么它的顶点坐标为． 11. 若二次函数的图象最高点的纵坐标为，则的值是． 12. 已知函数的图象与轴只有一个有交点，则的值为． 13. 如图，直线与抛物线分别交于， 两点，那么当时，的取值范围是． 14. 如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是． 三、解答题（共8小题；共104分） 15. 已知抛物线过点，，求这个抛物线的解析式． 16. 试判断下列抛物线与轴的公共点的个数． （1）． （2）． （3）． 17. 已知二次函数的图象过三个点，，，求这个二次函数的解析式． 18. 当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度（）与时间（）的关系可以用公式 表示．经过多长时间，火箭到达它的最高点?最高点的高度是多少? 19. 某抛物线过点，，三点，求该抛物线的解析式． 20. 画出函数的图象，并指出函数图象的特征． 21. 某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市 进行了试销售，得知该产品每天的销售量（件）与每件销售价（元/件）之间有如下关系：． （1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润（元）与之间的函数表达式． 二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ．1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根 C ．有两个相等の实数根 D ．没有实数根 上海傅雷中学数学 二次函数单元试卷（word 版含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴． （2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式． （3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2x =；（2）2 122 y x x =- + ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2? ?- ?? ? 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴公式计算即可． （2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a a -＝2． （2）如图1中， 对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4， ∴A(4，0)， ∵四边形OMAM′是正方形， ∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2， ∴M((2，﹣2)，M′(2，2) 把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax， 可得﹣2＝4a﹣8a， ∴a＝1 2 ， ∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1 2(x﹣2)2+2＝﹣ 1 2 x2+2x． （3）如图3中，由题意OD＝2． 当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1 2 m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣ 1 2 (m﹣ 2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1 2 (m+2)2+2(m+2)]， ∵PQ∥OD， ∴1 2m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m﹣2)2+2(m﹣2)或 1 2 m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m+2)2+2(m+2)， 第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D． 7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元． 九年级数学上册二次函数单元试卷（word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值 为4；（3）Q的坐标为（5 3 ，﹣ 28 9 ）或（﹣ 11 3 ， 92 9 ）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），进而根据S ＝S△PHB+S△PHC＝1 2 PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解； （3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解． 【详解】 解：（1）对于直线y＝1 2 x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， 令y＝0，即1 2 x﹣2＝0，解得：x＝4， 故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4）， 将点C的坐标代入上式并解得：a＝1 2 ， 故抛物线的表达式为y＝ 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①； （2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H， 设点P（x， 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），则点H（x， 1 2 x﹣2）， S＝S△PHB+S△PHC＝ 1 2 PH?（x B﹣x C）＝ 1 2 ×4×（ 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4； （3）①当点Q在BC下方时，如图2， 延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形， 则点C是RQ的中点， 在△BOC中，tan∠OBC＝ OC OB ＝ 1 2 ＝tan∠ROC＝ RC BC ， 则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22 (2) x x 5＝BQ， 在△QRB中，S△RQB＝ 1 2 ×QR?BC＝ 1 2 BR?QK，即 1 2 2x?2x＝ 1 2 5， 解得：KQ 5 ∴sin∠RBQ＝ KQ BQ 5 5x ＝ 4 5 ，则tanRBH＝ 4 3 ， 二次函数单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知点 )8,a （在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（ ）。 A. 2 B. -2 C. ±2 D. 2± 2.已知二次函数的解析式为()122+-=x y ,则该二次函数图象的顶点坐标是 ( ) A. (-2,1) B. (2,1) C. (2,-1) D. (1,2) 3. 把抛物线23x y =先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式是( ) A.2)3(32-+=x y B.2)3(32++=x y C.2)3-(32-=x y D.2)3-(32+=x y 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是（ ）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 3-)2(2-=x y D. 3-)2(2+=x y 5. 函数342--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 7-)2(2-=x y D. 7)2(2++=x y 6. 抛物线322--=x x y ，则图象与x 轴交点个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 抛物线c bx x y ++-=22的顶点坐标是()21， ,则b 、c 的值分别是( ) A. 4,0 B. 4,1 C. -4,1 D. -4,0 8. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.32.02+-=x y 的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ）。 A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m 9.已知二次函数的图象)30(≤≤x ，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）。 A. 有最小值0，有最大值3 B. 最小值-1，有最大值0 C. 有最小值-1，有最大值3 D. 有最小值-1，无最大值 10.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论： ①042>-ac b ；②abc<0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0。其中，正确结论的个数是（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数3)2(2+-=x y 的一般形式为 . 12. 写出一个开口向上，顶点坐标是（-2，1）的函数解析式 . 13. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线24x y =相同,它的顶点坐标是（2,4）,求该二次函数的表达式为 . 14. 若抛物线)3(2+++=k kx x y 经过原点,则k= . 15. 已知 ),4(),,2(),1321y y y ---，（是抛物线m x x y +--=822上的点，那么321,,y y y 的大小关系是 . 16. 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是4)6(9 1 2+--=x y ，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是_________. 17. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）关于水平距离x （m ）的函数表达式为3)4(12 1 2+--=x y (如图所示)，由此可知铅球推出的距离是_____ m. 18. 二次函数23 2x y =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2017A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2017B 在二次函数2 3 2x y = 位于第一象限的图象上，若110A B A △，221A B A △，332A B A △，…，201720172016A B A △都 为等边三角形，则110A B A △的边长=________，201720172016A B A △的边长=_______． 二次函数单元试卷（ word版含答案） 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．已知，抛物线y＝- 1 2 x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A． （1）直接填写抛物线的解析式________； （2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN. 求证：MN∥y轴； （3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值. 【答案】（1）2 1 2 2 y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】 【分析】 （1）把点C、D代入y＝- 1 2 x2 +bx+c求解即可； （2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解； （3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】 详解：（1）∵y＝- 1 2 x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2）， ∴ 2 1 222 2 2 b c c ? -?++ ? ? ?= ? ＝ , 解得：1 2b c =??=? . ∴y=- 12 x 2 +x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由2 2122y kx y x x =+?? ?=-++?? 得 12 x 2 +（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =- 由2 1=22y mx y x x =???-++?? 得 12 x 2 +(m-1)x-2=0， ∴124b x x a ?=- =- 即x p?x m =-4， ∴x m =4p x -=21 k -. 由24y kx y x =+??=+? 得x N = 2 1 k -=x M , ∴MN ∥y 轴. （3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+ 第二十六章 二次函数单元测试卷 班级 姓名 座号 成绩 一、选择题(每题5分,共30 分) 1.下列各式中,y 是x 的二次函数的是( B ) A.2 1xy x += B.220x y -+= C.21y x = D.243y x -= 2.抛物线2 2(3)4y x =-+-的顶点坐标是( A ) A.(-3, -4) B.(-3, 4) C.(3, -4) D.(-4, 3) 3.把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数表达式是( D ) A.23(2)1y x =-+ B.23(2)1y x =+- C.23(2)1y x =-- D.23(2)1y x =++ 4.二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论 ①0a >,②0c >,③240b ac ->,其中正确的有( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.根据下列表格中的二次函数2(0,)y ax bx c a a b c =++≠、、为常数的自变量x 与函数y 的2C.1.44＜x ＜1.45 D.1.45＜x ＜1.46 6.在同一直角坐标系中,一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为( B ) 二、填空题(每题5分,共30分) 7.抛物线2245=++y x x 的对称轴是直线1x =-. 8.把二次函数247y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式是 2(2)3y x =-+. 9.抛物线294y x px =-+与x 轴只有一个公共点,则p 的值是12 ±. 10.汽车刹车后行驶的距离s (单位:m )与行驶的时间t (单位:s )的函数关系式是 2124s t t =-,汽车刹车后到停下来前进了9 m . 11.已知二次函数23(1)y x k =-+的图象上有三点1)A y ,2(2,)B y ,3()C y ,则1y 、 2y 、3y 的大小关系为 >> 321y y y . 12.二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B 、两点,P 为它的顶点,则PAB S ?= 8 . A B D 人教版九年级上册数学二次函数单元测试卷（解析版）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值 为4；（3）Q的坐标为（5 3 ，﹣ 28 9 ）或（﹣ 11 3 ， 92 9 ）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），进而根据S ＝S△PHB+S△PHC＝1 2 PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解； （3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解． 【详解】 解：（1）对于直线y＝1 2 x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， 令y＝0，即1 2 x﹣2＝0，解得：x＝4， 故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4）， 将点C的坐标代入上式并解得：a＝1 2 ， 故抛物线的表达式为y＝ 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①； （2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H， 设点P（x， 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），则点H（x， 1 2 x﹣2）， S＝S△PHB+S△PHC＝ 1 2 PH?（x B﹣x C）＝ 1 2 ×4×（ 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4； （3）①当点Q在BC下方时，如图2， 延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形， 则点C是RQ的中点， 在△BOC中，tan∠OBC＝ OC OB ＝ 1 2 ＝tan∠ROC＝ RC BC ， 则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22 (2) x x 5＝BQ， 在△QRB中，S△RQB＝ 1 2 ×QR?BC＝ 1 2 BR?QK，即 1 2 2x?2x＝ 1 2 5， 解得：KQ 5 ∴sin∠RBQ＝ KQ BQ 5 5x ＝ 4 5 ，则tanRBH＝ 4 3 ， 2018-2019学年第一章二次函数单元测试卷 一、选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（） A、y=（x-1）2+2 B、y=（x+1）2+2 C、y=（x-1）2-2 D、y=（x+1）2-2 2、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（） A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限 3、将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（) A、y=（x+1）2+4 B、y=（x-1）2+4 C、y=（x+1）2+2 D、y=（x-1）2+2 4、设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（） A、c=3 B、c≥3 C、1≤c≤3 D、c≤3 5、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( ) A、y3＜y2＜y1 B、y1＜y2＜y3 C、y2＜y1＜y3 D、y3＜y1＜y2 6、已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内， 下列说法正确的是（） A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0 C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值 7、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（） A、B、C、D、 8、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C 的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为 二次函数单元测试卷（解析版） 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．已知，抛物线y＝- 1 2 x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A． （1）直接填写抛物线的解析式________； （2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN. 求证：MN∥y轴； （3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值. 【答案】（1）2 1 2 2 y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】 【分析】 （1）把点C、D代入y＝- 1 2 x2 +bx+c求解即可； （2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解； （3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】 详解：（1）∵y＝- 1 2 x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2）， ∴ 2 1 222 2 2 b c c ? -?++ ? ? ?= ? ＝ , 解得：1 2b c =??=? . ∴y=- 12 x 2 +x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由2 2122y kx y x x =+?? ?=-++?? 得 12 x 2 +（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =- 由2 1=22y mx y x x =???-++?? 得 12 x 2 +(m-1)x-2=0， ∴124b x x a ?=- =- 即x p?x m =-4， ∴x m =4p x -=21 k -. 由24y kx y x =+??=+? 得x N = 2 1 k -=x M , ∴MN ∥y 轴. （3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+ 第I卷（选择题） 1．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是 。 2．二次函数图象的顶点坐标是（） A．B．C．D． 3．抛物线的顶点坐标为（） A．（5 ，2）B．（－5 ，2）C．（5，－2）D．（－5 ，－2）4．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=2，且经过点p(3?0).则a+b+c 的值为（） A、 1 B、 2 C、–1 D、 0 5．将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（） A．y=(x－2) 2+1 B．y=(x－2) 2－1 C．y=(x+2) 2+1 D．y=(x+2) 2－1 6．已知，，是抛物线上的点，则（）A． B． C． D． 7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥其中正确的个数是( ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8．二次函数的图象如图所示．当＜0时，自变量的取值范围是（ A．－1＜＜3 B．＜－1 C．＞3 D．＜－1或＞3 9．抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正 确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 10．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 A． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是( ) (A)ab＜0 (B)ac＜0 (C)当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小 (D)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c 二次函数综合测试卷 一、填空：(每空3分，共24分) 1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（?0，-?1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________． 2．抛物线y=x 2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________． 3．如果抛物线y=- 23x 2+（m+2）x+27m 的对称轴为直线x=3 2 ，则m 的值为_________． 4．将抛物线y ＝x 2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式 是 ． 5．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______. 6．开口向下的抛物线y=a （x+1）（x-4）与x 轴交于A 、B 两点，与y?轴交于点C ．?若∠ACB=90°，则a 的值为________． y B A x O 5图 二、选择题：(7～12单选，每题3分，13～15为多选，每题4分，共30分) 7．在同一直角坐标系内，函数y=ax 2+bx 与y= b x （b ≠0）的图象大致为（ ） 8．给出下列四个函数：y=-2x ，y=2x-1，y= 3 x （x>0），y=-x 2+3（x>0），其中y 随x?的增大而减小的函数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 9．若二次函数y =x 2－2x +c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ） A.－1 B.1 C. 2 1 D.2 10、把二次函数2 3x y =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ） （A ）()1232 +-=x y ; （B ）()1232 -+=x y ; （C ）()1232 --=x y （D ）()1232 ++=x y 11、.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是（ ） A. 43 B.－43 C.45 D.－4 5 12从一张矩形纸片ABCD 的较短边AD 上找一点E ，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别 是AE 、DE ，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E 应选在（ ） A ．边AD 的中点外 B ．边AD 的 13处 C ．边AD 的14处 D ．边AD 的1 5 处 13、关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的是（ ） A 、c =0时，函数的图象经过原点 B 、b =0时，函数的图象关于y 轴对称 C 、数的图象最高点的纵坐标是a b a c 442 - D 、c >0且函数的图象开口向下时，方程 ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根 14、y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; B 、a ＞0,bc ＞0 C 、2 4b ac -＞0 D 、a+b+c ＜0 15、如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ） A 、8 B 、14、 C 、15、 D 、16 三、解答题：(66分) 16、(6分)如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，直线x=t?截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y ． （1）写出以自变量为t 的函数y 的解析式；（2）画出（1）中函数y 的图象． C A y x O 九年级数学：二次函数 单元检测试卷（含答案） 一、单选题（共10题；共30分） 1.下列各点中,抛物线 y =x 2?4x ?4 经过的点是（ ） A. (0,4) B. (1, ) C. ( , ) D. (2,8) 2.若二次函数y=（a+1）x 2+3x+a 2﹣1的图象经过原点,则a 的值必为（ ）. A. 1或﹣1 B. ﹣1 C. 0 D. 1 3.二次函数 y =2x(x ?1) 的一次项系数是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.二次函数ｙ＝（2ｘ－1）2＋2的顶点的坐标是（ ） A. （1,2） B. （1,－2） C. （12,2） D. （－12,－2） 5.对于二次函数 y =(x ?3)2?4 的图像,给出下列结论:①开口向上;②对称轴是直线 x = ?3 ;③顶点坐标是 (?3,?4) ;④与 x 轴有两个交点.其中正确的结论是( ) A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ① ④ 6.若不等式组{2x?13 >1x >a 的解为x ＞2,则函数y =(6?2a )x 2?x +18图象与x 轴的交点是（ ） A. 相交于两点 B. 没有交点 C. 相交于一点 D. 没有交点或相交 于一点 7.将二次函数 y =x 2?2x +3 化为 y =(x ??)2+k 的形式,结果为（ ） A. y =(x ?1)2+4 B. y =(x ?1)2+2 C. y =(x +1)2+4 D. y = (x +1)2+2 8.将抛物线y=2x 2向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. y=2x 2﹣2 B. y=2x 2+2 C. y=2（x ﹣2）2 D. y=2（x+2）2 9.四位同学在研究函数 y =ax 2+bx +c （b,c 是常数）时,甲发现当 x =1 时,函数有最小值； 乙发现 ?1 是方程 ax 2+bx +c =0 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 x =2 时, y =4 ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 二次函数单元测试卷 一、选择题（20分） 1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是( ) A．0个B．1个C．2个D．不能确定 2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是( ) A．B．C．D． 3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( ) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，c＞0 C．b＞0，c＞0 D．a，b，c都小于0 4．若抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A． B． C． D． 5．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为( ) A．6 B．4 C．3 D．1 6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是( ) A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根D．没有实数根 7．二次函数y=4x2﹣mx+5，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为( ) A．﹣7 B．1 C．17 D．25 8．（1997?山东）若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c( ) A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴 C．开口向下，对称轴平行于y轴D．开口向上，对称轴平行于y轴 9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x2+4x+2，则水柱的最大高度是( ) A．2 B．4 C．6 D．2+ 10．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成( ) A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m 二、填空题（20分）： 11．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为__________．12．二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为__________． 13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是 __________． 14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=__________． 15．在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点B的坐标是__________． 九年级上册数学二次函数单元试卷（word版含答案） 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【解析】 试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2 ∴x1=﹣1，x2=4，九上 二次函数单元测试试卷28
二次函数单元测试卷(含答案)
上海傅雷中学数学 二次函数单元试卷(word版含答案)
二次函数单元测试题A卷(含答案)
九年级数学上册 二次函数单元试卷(word版含答案)
二次函数单元测试卷(答案)
二次函数单元试卷(word版含答案)
第26章 二次函数单元测试卷(含答案)
人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷(解析版)
浙教版初中数学第一章 二次函数单元测试卷(含答案)
二次函数单元测试卷(解析版)
二次函数单元测试题含答案-人教版
二次函数单元综合测试卷(含答案)
九年级数学：二次函数 单元检测试卷(含答案)
二次函数单元测试(附答案)
九年级上册数学 二次函数单元试卷(word版含答案)