无穷级数复习题
无穷级数复习题
无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域
中有着广泛的应用。在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。无穷级数是由一系列无穷多个数相加
而得到的数列。通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1、a2、a3等为数列的项。如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和
数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我
们说这个无穷级数收敛，记作S = L。反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无
穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。
接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。
例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
这个级数是一个几何级数，公比为1/2。我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。因此，这个级数是收敛的。
例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
这个级数是一个等差级数，公差为1。我们知道，等差级数只有在公差小于1
时才能收敛。因此，这个级数是发散的。
例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。对于交错级数，我们可以
使用交错级数判别法来判断其收敛性。根据该定理，如果交错级数的绝对值数
列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。在这个例子中，绝
对值数列为1, 1, 1, ...，显然不满足单调递减趋于零的条件，因此这个级数是发
散的。
通过以上的例题，我们可以看到，判断一个无穷级数的收敛性需要使用不同的
方法和定理。在实际应用中，我们经常会遇到一些特殊的无穷级数，比如幂级数、傅里叶级数等，它们在数学和物理等领域中有着重要的应用。
幂级数是一个形如S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...的级数，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量。幂级数在微积分和数学物理中有着广泛的应用，比如
泰勒级数就是一种特殊的幂级数。
傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开形式。它在信号处理、图像处理等领域中有着重要的应用。傅里叶级数的收敛性和收敛速度是研究的
重点之一。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分以及其他数学领
域中有着广泛的应用。通过复习一些基本概念和性质，并通过例题来加深对无
穷级数的理解，我们可以更好地应用无穷级数解决实际问题。同时，幂级数和
傅里叶级数作为无穷级数的特殊形式，在数学和物理学中有着重要的地位。
(整理)无穷级数习题选择题
无穷级数习题一 选择题 1、若极限lim 0n n u →∞ ≠， 则级数 1 n n u ∞ =∑ ( ) A 、 收敛； B 、 发散； C 、条件收敛； D 、绝对收敛。 2、如果级数 1 n n u ∞ =∑发散，k 为常数，则级数 1 n n ku ∞ =∑ ( ) A 、 发散； B 、 可能收敛； C 、收敛； D 、无界。 3、如果级数 1 n n u ∞ =∑发散，下列结论正确的是（ ） A 、 l i m 0;n n u →∞ ≠ B 、 lim 0;n n u →∞ = C 、 n n n 1) 1(1 ∑∞ =- D 、)1 (1 n n ∑∞ =- 4、若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,n s 是它前n 项部分和,则该级数的和s =( ) A 、 n s B 、 n u C 、 l i m n x u →∞ D 、 lim n x s →∞ 5、级数2 2 2 1 111()()()2 3 4 ++++ 是( ) A 、 幂级数 B 、 调和级数 C 、p 级数 D.等比级数 6、在下列级数中,发散的是 ( ) A 、 1 n ∞ =∑ B 、 0.01+ C 、 111248+++ D 、 2343333()()()5555 -+- + 7、下列级数中,发散的是( ) A 、 2221111357 -+-+ B 、 1 1 (1)n n ∞ -=-∑
C 、 1 1 (1)n n n ∞ =-∑ D 、 2 3 1 (1)n n n ∞ - =-∑ 8、如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，且0(0,1,2,3),n u n ≠=其和为,s 则级数11 n n u ∞ =∑ （ ）； A 、收敛且其和为1 s ； B 、收敛但其和不一定为s ； C 、发散； D 、敛散性不能判定。 9、 下列级数发散的是 （ ） A 、 n n n 1) 1(1 1 ∑∞ =-- B 、 )111()1(1 1++-∑∞ =-n n n n C 、 n n n 1) 1(1 ∑∞ =- D 、)1 (1 n n ∑∞ =- 10、设常数0,a ≠几何级数 1 n n aq ∞ =∑收敛，则q 应满足( ) A 、 1;q < B 、 11;q -<< C 、1;q < D 、 1.q > 11、若p 满足条件( ),则级数 2 1 1 p n n ∞ -=∑一定收敛 ； A 、 0;p > B 、 3;p > C 、 2;p < D 、 23.p << 12、若级数 2 1 1 p n n ∞ -=∑发散，则有 （ ） ； A 、 2;p > B 、 3;p > C 、 3;p ≤ D 、 2.p ≤ 13、 下列级数绝对收敛的是（ ） A 、 ∑∞ =-2 )1(n n n n B 、 n n n 1 ) 1(2 1 ∑∞ =-- C 、 ∑∞ =-1 ln )1(n n n D 、 ∑ ∞ =--23 2 1 )1(n n n 14、下列级数收敛的是（ ） A 、 ∑∞ =+1)1 l n (1 n n B 、 ∑∞ =+-1)1ln()1(n n n C 、 ∑∞ =+-1 12)1(n n n n D 、 ∑∞ =+1 12n n n 15、下列级数中条件收敛的是（ ）
无穷级数复习题
无穷级数复习题 无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域 中有着广泛的应用。在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。 首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。无穷级数是由一系列无穷多个数相加 而得到的数列。通常表示为： S = a1 + a2 + a3 + ... 其中，a1、a2、a3等为数列的项。如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和 数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我 们说这个无穷级数收敛，记作S = L。反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无 穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。 接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。 例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 这个级数是一个几何级数，公比为1/2。我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。因此，这个级数是收敛的。 例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... 这个级数是一个等差级数，公差为1。我们知道，等差级数只有在公差小于1 时才能收敛。因此，这个级数是发散的。 例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ... 这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。对于交错级数，我们可以 使用交错级数判别法来判断其收敛性。根据该定理，如果交错级数的绝对值数 列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。在这个例子中，绝
对值数列为1, 1, 1, ...，显然不满足单调递减趋于零的条件，因此这个级数是发 散的。 通过以上的例题，我们可以看到，判断一个无穷级数的收敛性需要使用不同的 方法和定理。在实际应用中，我们经常会遇到一些特殊的无穷级数，比如幂级数、傅里叶级数等，它们在数学和物理等领域中有着重要的应用。 幂级数是一个形如S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...的级数，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量。幂级数在微积分和数学物理中有着广泛的应用，比如 泰勒级数就是一种特殊的幂级数。 傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开形式。它在信号处理、图像处理等领域中有着重要的应用。傅里叶级数的收敛性和收敛速度是研究的 重点之一。 总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分以及其他数学领 域中有着广泛的应用。通过复习一些基本概念和性质，并通过例题来加深对无 穷级数的理解，我们可以更好地应用无穷级数解决实际问题。同时，幂级数和 傅里叶级数作为无穷级数的特殊形式，在数学和物理学中有着重要的地位。
第8章 无穷级数练习题解析
第8章 无穷级数练习题 习题8.1 1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ） （2）若级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 收敛，则级数∑∞=1 n n u 与级数∑∞ =1 n n v 都收敛． （ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞ →n n u 时，级数 ∑∞ =1 n n u 不一定收敛.（ ） 2．用级数的“∑”形式填空 （1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7 1 51311 +-+- 即 ． （3） +++4 ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,6 3 524101 ++++ +-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和 （1） -+-33227 47474． （2） +++πππ5 43ln ln ln ． （3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7 4 53321．
（5）∑∞ = -+ 1 ) 1 ( n n n． 4．级数∑∞ =+ 1 ) 3 1 2 1 ( n n n 是否收敛？若收敛，求其和. 5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？ 习题8.2 1．用“收敛”或“发散”填空 （1）∑∞ =13 1 n n ．（）（2）∑∞ =1 2 2 2 ln n n ．（） （3）∑∞ =1! n n．（）（4）∑∞ =1 2.1 1 n n ．（） 2．判断下列正项级数的收敛性
无穷级数练习题word版
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4)
二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散.
高数下册第11章复习题与答案
高数下册第11章复习题与答案 第十一章-无穷级数练习题 （一）. 基本概念 1.设∑∞ =1n n U 为正项级数，下列四个命题 （1）若,0lim =∞ →n n U 则∑∞ =1 n n U 收敛； （2）若∑∞=1 n n U 收敛，则∑∞ =+1 100n n U 收敛； （3）若,1lim 1>+∞→n n n U U 则∑∞ =1n n U 发散；（4）若∑∞ =1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→n n n U U ． 中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3); C ．(3)与(4); D ．(4)与(1)． 2.下列级数中，收敛的是（）． A ．∑∞=1 1 n n ； B ．∑∞ =+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． + +??? ??+??? ??+4 3243434343． 3.在下列级数中，发散的是（）． A ．∑∞=-11 )1(n n n ；
B ．∑∞ =+11n n n ； C ．∑ ∞ =1 3 1n n n ; D ． +-+-44 33224 3434343． 4.条件（）满足时，任意项级数1 n n u ∞ =∑一定 收敛. A. 级数1 ||n n u ∞ =∑收敛； B. 极限lim 0n n u →∞ =； C ．极限1 lim 1n n n u r u +→∞=<； D. 部分和数列1 n n k k S u ==∑有界.
5.下列级数中条件收敛的是（）． A . ∑∞ =1 1 cos n n ; B. ∑∞ =1 1n n ; C. ∑∞=-1 1)1(n n n ; D. ∑∞ =-1 1 )1(n n n n ． 6.下列级数中绝对收敛的是（）． A . ∑∞ =-1 1)1(n n n ; B. ∑∞ =-1 21)1(n n n ; C. ∑∞ =+-1 1)1(n n n n ; D. ∑∞ =11sin n n ．（二）. 求等比级数的和或和函数。提示：注意首项 7.幂级数 102 1+∞ =∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数∑∞ =-0 4)1(n n n n x 在)4,4(-上的和函数 =)(x s ． 9.无穷级数1
(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十一章无穷级数 一、选择题 1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ） （A）∑∞ =+ 11 2 1 n n(B) ()()2311n n n ∑∞ = - (C) () ∑-- n n 3 11 1 (D) () n n n n1 1 1 - - ∑∞ = 2. () ∑∞ = - 2 ! 1 n n n n x 在-∞ 7.级数 ()() n x n n n 5 1 1 1 1 - ∑- ∞ = - 的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2] 8. () +∞ < < ∞ - ∑∞ = x n n n x 1 !的和函数是（ B ） （A）e x(B) 1 - e x (C) 1 + e x(D) x - 1 1 9.下列级数中发散的是（ A ） （A）∑∞ =12 sin n nπ (B) () ∑- ∞ = - 1 1 1 1 n n n (C) ∑? ? ? ? ? ∞ =14 3 n n (D) ∑? ? ? ? ? ∞ =1 3 1 n n 10.幂级数 () ∑∞ = - 1 3 n n x 的收敛区间是（ B ） （A）()1,1- (B) ()4,2 (C) [)4,2 (D) (]4,2 11.在下列级数中发散的是（ D ） （A）∑∞ =12 3 n n (B) () n n n1 1 1 1 ∑∞ = - - (C) ∑∞ =+ 1 31 2 n n n (D) ∑∞ =+ 1 3)1 ( 1 n n n 12.幂级数 () ()x n n n n 1 2 0!1 2 1 + ∞ = ∑ + - 的和函数是（ D ） （A）e x(B) x cos (C) ()x+1 ln(D) x sin 无穷级数复习题 一、是非题： 1. ∑∞ =1 n n u 发散，不一定有0lim =∞ →n n u 。 是 2.若0lim =∞ →n n u ，则级数 ∑∞ =1 n n u 收敛。非 3.收敛级数与发散级数的和是发散级数。是 4.若两个级数∑∞=1 n n a ,∑∞ =1 n n b 满足n n b a ≤（ ,2,1=n ）,且 ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =1 n n a 收敛。非 5.若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则∑∞ =1 ||n n u 收敛。 非 6.级数∑∞ =1 1 n n 是发是 7.若幂级数n n n x a ∑∞ =1 满足0lim ≠∞ →n n a ，则 n n n x a ∑∞ =1 的收敛半径为零。非 8.若()x f 可以展成幂级数 n n n x a ∑∞ =0 ，则对于()x f 的定义域内的任一点0x ，有 ()0x f n n n x a 00 ∑∞ ==。 非 9.∑∞ =-=111n n x x )11(<<-x 。非 10.若幂级数n n n x a ∑∞ =0 的系数满足1 lim +∞ →n n n a a 存在，则这个极限就是 n n n x a ∑∞ =0 的收敛半径。是 二、填空： 1.若级数 ∑∞=1 n n a 收敛，则=∞ →n n a lim （ 0 ）。 2.常数项级数∑∞ =1 3 1n n =（ 2 1 ）。 3.常数项级数)12 1(1∑∞ =+n n n 是（发散 ）级数。 4.级数∑∞ =--1 11)1(n p n n 的收敛范围是（ 0>p ）。 5.若已知幂级数n n n y a ∑∞ =0 的收敛域为(]9,9-，则幂级数n n n x a )3(0 -∑∞ =的收敛域为（(]126,- ）. 6.()x +1ln 的麦克劳林级数为（ ∑∞ =-?-1 11n n n x n )( ），它的收敛域是 （ 11≤<-x ）。 三、选择题： １．若常数项级数∑∞ =1n n a 收敛，n S 是此级数的部分和，则必有（ Ｃ ）。 第十二章无穷级数练习题含答案 第十二章无穷级数练习 1.判断下列数列的收敛性和发散性： n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1 2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？ （？1）n？1n？1n1；[n？] 3n2??n?1ncosn3n2?； N1（？1）n？11n？lnn 3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。 4.证明系列？N1n！NNX何时|x |？当e是绝对收敛时，当| x |？E.1n）处的散度单调增加，而limxn？E n??nn注：数列xn?(1? 5.找出区间（？1,1）中的幂级数 n?1xn?1n的和函数。 6.找到这个系列吗？N21（n？1）和22 n。 。 一 7.设a1?2,an?1?12(an?1an)（n?1,2,?）证明 1）利曼存在；2）连续剧？（n？Anan？1？1）收敛。 n?1 8.设定一个？？40? ntanxdx 1）求?n?11n(an?an?2)的值； 2）验证：对于任何常数？？0系列？N1安？汇聚 19.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问a?1?是否收敛？并说明理 N1.N1n拜拜。 1211??11?xlndx。10.已知1?2?2[参见教材246页]，计算??1?x3580x。 二 无穷级数例题选解 1.判断下列数列的收敛性和发散性： n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1 解决方案：1）？sin1n2和N11n收敛， 由比较审敛法知2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。 )~ 1n（n？？）和N1.1n散度， 由比较审敛法的极限形式知 联合国？1un？N1ln（1？1n）散度。 n3）??lim?nlim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?nlim， NN1n！Ennn？？知识收敛比1 n1n!n2收敛。 14）?? 林恩？？un4？2n？1.2n？1.N林N3n？29 3n？2.2n？1.2n？1.汇聚1.从根值收敛法，我们可以知道3n？2.N1.2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？ N1（？1）n？1n1；[n？] 3n?n?12??n?1ncosn3n2?； N1（？1）n？11n？lnn 解：1）对于级数?(?1)n?1n32n， N1人？？林？|联合国？1 | | un | n？1n13.知道进展情况吗？（？1）n？ 1.N32n绝对收敛， 无穷级数习题一 选择题 1、若极限lim 0n n u →∞ ≠， 则级数 1 n n u ∞ =∑ ( ) A 、收敛； B 、发散； C 、条件收敛； D 、绝对收敛。 2、如果级数 1 n n u ∞ =∑发散，k 为常数，则级数 1 n n ku ∞ =∑ ( ) A 、发散； B 、可能收敛； C 、收敛； D 、无界。 3、如果级数 1 n n u ∞ =∑发散，下列结论正确的是（） A 、lim 0;n n u →∞ ≠B 、lim 0;n n u →∞ =C 、n n n 1) 1(1 ∑∞ =-D 、)1 (1 n n ∑∞ =- 4、若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,n s 是它前n 项部分和,则该级数的和s =( ) A 、 n s B 、 n u C 、 lim n x u →∞ D 、 lim n x s →∞ 5、级数2 2 2 1111()()()2 3 4 ++++ 是( ) A 、 幂级数 B 、 调和级数 C 、p 6、在下列级数中,发散的是 ( ) A 、 1 n ∞ =∑B 、 0.01 C 、 111248 +++D 、 2343333()()()5555 -+- + 7、下列级数中,发散的是( ) A 、 222111 1357-+-+ B 、 1 1 (1)n n ∞ -=-∑ C 、 1 1 (1)n n n ∞ =-∑D 、 23 1 (1) n n n ∞ - =-∑ 8、如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，且0(0,1,2,3),n u n ≠=其和为,s 则级数11 n n u ∞ =∑ （ ）； A 、收敛且其和为1 s ；B 、收敛但其和不一定为s ； C 、发散；D 、敛散性不能判定。 9、下列级数发散的是（） A 、n n n 1) 1(1 1 ∑∞ =--B 、)111()1(11++-∑∞=-n n n n C 、n n n 1)1(1∑∞=-D 、)1(1 n n ∑∞ =- 10、设常数0,a ≠几何级数 1 n n aq ∞ =∑收敛，则q 应满足( ) A 、 1;q < B 、 11;q -<< C 、1;q < D 、 1.q > 11、若p 满足条件( ),则级数 2 1 1 p n n ∞ -=∑一定收敛 ； A 、 0;p > B 、 3;p > C 、 2;p < D 、 23.p << 12、若级数 2 1 1 p n n ∞ -=∑发散，则有 （ ） ； A 、 2;p > B 、 3;p > C 、 3;p ≤ D 、 2.p ≤ 13、下列级数绝对收敛的是（） A 、∑ ∞ =-2 )1(n n n n B 、n n n 1 ) 1(2 1 ∑∞ =--C 、∑∞ =-1 ln )1(n n n D 、 ∑ ∞ =--2 3 2 1 )1(n n n 14、下列级数收敛的是（） 第十二章无穷级数练习 1•判别下列级数的敛散性: 4•证明级数 n x n 当|x| e 时绝对收敛，当|x| e 时发散。 n 1 n 1 注：数列X n (1 )n 单调增加，且lim X n e 。 n n 1 X 5.在区间(1,1)内求幕级数 的和函数。 n 1 n 6•求级数 .1 sin 2 ； n 1 n ln(1 丄); n 1 n n! —； n 1 n 1 3n 1) 2n 1 2) 2•判别下列级数是绝对收敛， ( Jn ］ ； 条件收敛，还是发散? 2 n cos n n 1 3n 1)n1 丄一。 .n In n 3•求幕级 数 ( x _!2的收敛区间。 o n 1 1 的和。n 2(n21)2n 1 1 7.设a1 2, a n 1 (a n ) （n 1,2,L )证明 2 a n 1）lim a n存在；2）级数(a n 1）收敛。 n n 1 a n 1 8.设a n4 tan n xdx , n o 1 1）求（a n a n 2）的值； n 1 n a 2）试证：对任意的常数0,级数—收敛。 n 1 n n 1 —1是否收敛？并说明理 a n 1 由。 10.已知13252 L［参见教材246页］，计算 11ln1 0 x 1 dx。 9.设正项数列｛a n｝单调减少，且(1)n a n发散，试问 n 1 n 1 无穷级数例题选解 1.判别下列级数的敛散性： 1 ln(1 ) n .1 sin 2； n 1 n 解：1) sin n 1 1 ~ 2 n 由比较审敛法知 n 1 2) ln(1 ) ~ n 丄，而 n .1 sin 2 1 n -(n n (心尸 n 1 n n ‘ n 1 3 n 2 1 冷收敛， 1 n 收敛。 )，而 由比较审敛法的极限形式知 ln(1 1 -发散, n 1 n 1 丄) 发散。 n 3) ..U n 1 lim - n U n (n lim n (n 1,由比值审敛法知 1)! n n 卫收敛。 n n 4) lim n U n lim nr n 空 3n 2 1，由根值审敛法知 lim n 2n 1 3n 2 2n 1 2n 3n 2 1 收敛。 2•判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散? 2 n cos n (1)n1 厝 1 ］； n 1 3 n 3n 解：1)对于级数 n 1 1)n lim |U n 1 n 丄 ，知级数 3 易知 2) 3) 1 n_ n 1)n 绝对收敛, |U n I 1 、n 2 n 由 歹 U n ，由 1)n1 ( 1 2 n cos n | 条件收敛, 1)n 条件收敛。 1 3n 2 n cosn 绝对收敛。 n 1 3n U n f(x) x In X ， f (x) lim n U n U n 1 ，而 n 1 ，当 x 1 ，知级数 3 1 —发散, 1 n 1 时，f (x) 2 ,7收敛, U n 发散, 0,故f(x)在区间(1, )内单 第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 11 11 ! 21sin ;ln(1);;( )32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++-∑∑∑∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 21 1(1)[3n n n n ∞ -=-∑； 21cos 3n n n n ∞=∑； 1(1)n n ∞ -=-∑ 3. 求幂级数0 n n ∞ =的收敛区间。 4.证明级数1!n n n n x n ∞ =∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。 5.在区间(1,1)-求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑∞ =-222 )1(1 n n n 的和。 。 7.设1111 2,()2n n n a a a a +== + （1,2,n =）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数 1 1 (1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40 tan n n a xdx π =⎰ ， 1） 求 21 1 ()n n n a a n ∞ +=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1n n a n λ ∞ =∑收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知2 2211 135 8π+++ =[参见教材246页]，计算1 011ln 1x dx x x +-⎛⎜⎠。 第十一章 无穷级数 §11.1 常数项级数的概念与性质 一、判断题 1． ∑∞ =1 n n u 收敛，则3)3(lim 2 =+-∞ →n n n u u （ ） 2．若0lim ≠∞ →n n u ， ∑∞ =1 n n u 发散。 （ ） 3. ∑∞ =1 n n u 收敛,则 ∑∞ =+1)10(n n u 收敛。 （ ） 4． ∑∞ =1 n n u 发散， ∑∞ =1 n n v 发散，则 )(1 n n n v u -∑∞ =也发散。 （ ） 5．若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =+1 2 n n u 也收敛。 （ ） 二、填空题 1．∑∞ =⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。 2．级数⋅⋅⋅-+-+-5 64 53 42 31 2的一般项是 。 3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ ⋅⋅+⋅+8 6426424 22 2 x x x x x 的一般项为 。 4．级数)2 1 )1(1( 1 n n n n -+∑∞ =的和为 。 三、选择题 1． 下列级数中收敛的是（ ） （A ） ∑∞ =+1 884n n n （B ） ∑∞ =-1 848n n n n （C ）∑∞=+1842n n n n （D ）∑∞=⋅1842n n n n 2． 下列级数中不收敛的是（ ） （A ）)11(ln 1 n n +∑∞ = （B ）∑∞ =131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+1 4)1(3 n n n n 3． 如果∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛。 （A ） ∑∞ =+1 )001.0(n n u （B ） ∑∞ =+1 1000 n n u （C ） ∑∞ =12 n n u (D) ∑ ∞ =11000n n u 4． 设 ∑∞ =1 n n u =2，则下列级数中和不是1的为（ ） 无穷级数练习题 无穷级数题 一、填空题 1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x- 1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。 2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。 3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( - 3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。 4、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。2) \cup (2.\infty)$。 5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln 3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。 6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。 7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。 8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi 第十一章无穷级数 §级数的概念、性质一、单项选择题 1. 若级数 a n 1 q n 收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )． (A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ． 2.下列结论正确的是 ()． (A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛； n n 1 n n 1 (C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ． n 1 n n 1 n 3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )． n 1 n 1 (A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1； n 1 n 1 (C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) . n 1 n 1 v n S2 4. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )． n 1 (A) ( u n S) 收敛；(B) 1 收敛； n 1 n 1 u n (C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) . n 1 n 1 5. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )． n 1 n 1 (A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) . 6. 若级数a n发散，b n收敛则( )． n 1 n 1 (A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛； n 1 n 1 (C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) . n 1 n 1 第十一章 无穷级数 (A) 用概念判定以下级数的敛散性 1． ( ) ∑∞=+-+112n n n ；2．()∑ ∞ =+12221n n n ；3．∑∞ =⎪⎭⎫ ⎝⎛+1513 1 n n n ρ。 判定以下正项级数的敛散性 4．∑∞ =1100!n n n ；5．∑∞=1n n e e n ；6．∑∞ =+1 21 n n n ；7．()∑∞=++1332n n n n ；8．∑∞=14!n n n ； 9．n n n n ∑∞ =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+113；10．()∑∞ =-+121n n n n 。 求以下任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 11．() ∑∞ =---11 1 21n n n n ；12．() ∑∞ =-2 ln 1 1n n n ；13． +-+-0001.1001.101.11.1； 14． ++-+++-1 4413312221222； 求以下幂级数的收敛半径和收敛区间 15．∑ ∞ =13n n n x n ；16．()∑∞ =-1 1n n n n n x ；17．∑∞=1!n n x n ；18．()∑∞ =-1121n n n x n ； 19．∑ ∞ =+-1 1 21 2 1n n n x ；20．∑∞ =123 n n n x n ； 求以下级数的和函数 21．∑∞ =-11 n n nx ；22．1 21 1 2 1+∞ =+∑ n n n x ； 将以下函数展开成0x x -的幂的级数 23．2 x x e e shx -=，00=x ；24．x 2cos ，00=x ； 25．()()x x ++1ln 1，00=x ；26． x 1 ，30=x ； 将以下函数在区间[]ππ,-上展开为付里叶级数 27．()2 cos x x A =，()ππ≤≤-x 。28．()t x f 2-=，()ππ≤≤-x 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数11 (1)n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 . 2、幂级数0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数21 1(3)2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数0n n ∞ =的收敛域是 . 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 . 6、级数0 (ln3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、1 1 1( )2 n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑ 的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-⋅∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>,而级数21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑( ）。 （A)发散 (B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=, 1.2n =,则下列命题中正确的是( ）。 （A ）若1n n a ∞ =∑条件收敛,则1 n n p ∞ =∑与1 n n q ∞ =∑都收敛. （B ）若1n n a ∞ =∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若1 n n a ∞ =∑条件收敛，则1 n n p ∞ =∑与1 n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D)若1 n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1 n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若1 n n a ∞ =∑发散，11 (1)n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）. （A ）211 n N a ∞ -=∑收敛,21 n n a ∞ =∑发散。 （B ）21 n n a ∞ =∑收敛，211 n n a ∞ -=∑发散. (C ）2121 ()n n n a a ∞-=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛。 4、设α为常数, 则级数2 1 sin()( )n n n α∞ =∑是( ） (A ）绝对收敛。 （B ）条件收敛. (C ）发散. (D ）收敛性与α取值有关。 5、级数1(1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α ）是（ ） （A ）发散。 (B)条件收敛。 （C ） 绝对收敛。 （D ）收敛性与α有关。 6 、设(1)ln(1n n u =-,则级数 （A)1 n n u ∞ =∑与2 1 n n u ∞ =∑都收敛。 （B ）1 n n u ∞ =∑与2 1 n n u ∞ =∑都发散。 (C)1 n n u ∞=∑收敛而2 n n u ∞=∑发散。 (D ）1 n n u ∞=∑发散而2 1 n n u ∞ =∑收敛.无穷级数复习题
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