=-+11
1n n
n a
a . (4)级数
∞
=1
n n （5
）级数
∞
=n
3．单项选择题
（1）下列级数中，收敛的是（ ）
（A ） ∑∞
=--11)1(n n n ； （B ） ∑∞=+-123
2)1(n n n n
； （C ） ∑∞=+115n n ； （D ）∑∞
=-+1231n n n ．
(2)下列级数中，绝对收敛的是（ ）
（A ）∑∞
=-1)1(n n n ； （B ）∑∞=++12123n n n ； （C ）∑∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1
132)1(n n
n ； （D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞
=1n n
n
x 的收敛区间是（ ）
（A ）[]1,1-； （B ）[)1,1-； （C ）(]1,1-； （D ）()1,1-． (4)函数2
)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（ ）
（A ）∑∞
=12!n n n x ； （B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ； （C ）∑∞=1
!n n n x ； （D ）∑∞
=--11!)1(n n
n n x ．
(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅
氏展开式为（ ）
（A ）∑∞
=+-11sin )1(2n n nx n ； （B ）∑∞=+-1
1
sin )1(4n n nx n ；
（C ）),)12(,(sin )1(41
1
Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞
=+π；
（D ）),)12(,(sin )1(21
1
Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞
=+π．
4．判别下列各级数的敛散性
（1）)0(11
12>+∑∞
=a a n ． （2）∑∞
=+1
12tan
n n n π．
（3）∑∞
=+1
1
2
tan
n n n π
． (4)
∑∞
=1
sin
cos n n
n π
π．
（5） ∑∞
=+112!
n n n ． (6) ∑∞
=--1
ln )1(n n n n .
（B ） 组
1．用已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数
（1）x e x x f -=3)(． （2）x x f 2cos )(2=．
（3）2
11)(x x f -=
． （4）3
21
)(2--=
x x x f ．
2．用已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数 （1）x
x f -=
41
)(． （2）x x f ln )(=．
3．将下列周期函数展开成傅里叶级数
（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为非整数的常数）．
（2）)()(2
2πππ<≤--=x x x f ．
(3) )()(3
ππ<≤-=x x x f .
4．把周期函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--=2
010
2,2)(x x x
x f 展开成傅氏级数.
5．将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤-<≤-=2
4,44
0,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．
6．将)2
1
0(1)(2
≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．
第8题图
7．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤--=ππππ
x x x f 0,4
0,4
)(展开成傅氏级数，并由它导出
（1）
+-+-
=71513114
π
． （2） ++--+-=13
1111917151163π．
8．将下面波形的函数展开成傅里叶级数
9．将下面半波整流后的周期函数)(t f 展开成傅氏级数
10．将)10()(2
≤≤=x x x f ，展开成正弦级数和余弦级数。
第9题
第8章 无穷级数练习题解析
第8章 无穷级数练习题 习题8.1 1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ） （2）若级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 收敛，则级数∑∞=1 n n u 与级数∑∞ =1 n n v 都收敛． （ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞ →n n u 时，级数 ∑∞ =1 n n u 不一定收敛.（ ） 2．用级数的“∑”形式填空 （1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7 1 51311 +-+- 即 ． （3） +++4 ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,6 3 524101 ++++ +-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和 （1） -+-33227 47474． （2） +++πππ5 43ln ln ln ． （3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7 4 53321．
（5）∑∞ = -+ 1 ) 1 ( n n n． 4．级数∑∞ =+ 1 ) 3 1 2 1 ( n n n 是否收敛？若收敛，求其和. 5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？ 习题8.2 1．用“收敛”或“发散”填空 （1）∑∞ =13 1 n n ．（）（2）∑∞ =1 2 2 2 ln n n ．（） （3）∑∞ =1! n n．（）（4）∑∞ =1 2.1 1 n n ．（） 2．判断下列正项级数的收敛性
数列与级数练习题集
数列与级数练习题集 1. 数列的定义及性质 数列是指按照一定规律排列的一组数。数列的通项公式表示为an， 其中n表示数列中的位置，an表示该位置上的数值。 数列可分为等差数列和等比数列两种常见类型。等差数列的特点是 相邻两项之差恒定，可以用通项公式an = a1 + (n - 1)d来表示，其中a1 为首项，d为公差。等比数列的特点是相邻两项之比恒定，通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。 2. 求等差数列的和 对于等差数列，可以利用求和公式来求得前n项的和Sn。求和公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中a1为首项，an为末项。 以下是一道计算等差数列和的练习题： 题目：已知等差数列的首项a1为3，公差d为2，计算该数列前10 项的和。 解析：根据公式，可得到数列的通项公式为an = 3 + (n - 1)2 = 2n + 1。将n从1到10代入通项公式，得到前10项分别为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21。将这些项相加，可得到前10项的和Sn = (3 + 21) * 10 / 2 = 120。 3. 求等比数列的和
对于等比数列，可以利用求和公式来求得前n项的和Sn。求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。 以下是一道计算等比数列和的练习题： 题目：已知等比数列的首项a1为2，公比r为0.5，计算该数列前8 项的和。 解析：根据公式，可得到数列的通项公式为an = 2 * (0.5)^(n-1)。将 n从1到8代入通项公式，得到前8项分别为2，1，0.5，0.25，0.125，0.0625，0.03125，0.015625。将这些项相加，可得到前8项的和Sn = 2 * (1 - (0.5)^8) / (1 - 0.5) = 3.9375。 4. 级数的定义及性质 级数是将数列的每一项相加得到的和。级数可以分为无穷级数和有 限级数两种类型。无穷级数的和称为发散或收敛，具体取决于其和是 否有限。 常见的无穷级数有等比级数和调和级数。等比级数的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，求和公式为Sn = a1 / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。调和级数的通项公式为an = 1/n，求和公式为Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。 5. 求等比级数的和 对于等比级数，可以利用求和公式来求得其和。求和公式为Sn = a1 / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
解析函数的级数表示(练习题)
基本要求 1． 正确理解级数收敛、发散等概念，了解无穷级数收敛的充分必要条件。 2． 了解绝对收敛及条件收敛的概念及其关系。 3． 掌握简单幂级数的收敛半径和收敛区域的求法。 4． 清楚地知道幂级数的收敛范围是圆域以及它在收敛圆内的性质、有理运算与分析运算。 5． 要求会把比较简单的解析函数用适当的方法展开成泰勒级数，并指出其收敛半径，要记住几个主要的初等函数的泰勒展开式。 6． 要求会把比较简单的函数环绕它的孤立奇点用适当的方法展开成洛朗级数。 一、填空题 1．函数131()z f z e z i -=-在0z =处泰勒展开式的收敛半径为（ 1 ）； 2．311z +的幂级数展开式为（ 30(1)n n n z ∞=-∑ ），收敛域为（ ||1z < ）； 3．函数21 ()(1)f z z =+展开成z 的幂级数，有()f z = （ 211123(1),||1n n z z nz z ---+-+-+< ）； 4．设C 为单位圆周||1z =内包围原点的任一条正向简单闭曲线，则 2()n C n z dz ∞=-=∑? （ 2i π ）； 5．若幂级数0n n n c z ∞=∑在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）。 二、计算下列各题 1． 求1()1z f z e z =-在区域（1）||1z <，（2）0|1|z <-<+∞的幂级数展开式。 解：（1）211,||11n z z z z z =++++<- ，21,2!! n z z z e z n =++++ 22()(1)(1)2!!n n z z f z z z z z n ?=+++++++++ 21111111(1)(1)(1)1!1!2!1!2!! n z z z n =++++++++++++
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛 解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛 选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关 解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑
级数练习题
题型：4月1日 1.判断下列级数的敛散性(绝对收敛和条件收敛)【正项级数、交错级数、任意数项级数】 2.求下列幂级数的收敛半径、收敛区间 3.求下列幂级数的和函数 4.将函数f(x)展成x的幂级数或者x-a（a为常数）的幂级数 内容：4月1日 一．常数项级数 1.级数的概念与性质 2.级数敛散的判别法 二．函数项级数与幂级数 1．函数项级数、收敛域、和函数的概念 2．幂级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域3．幂级数的性质 4．函数的幂级数展开 例题讲解：4月2日~5日 题型一判定级数的敛散性 题型二求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 题型三求幂级数的和函数 题型四求函数的幂级数的展开式
自测题八：4月5日 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月1日无穷级数练习题 一．选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞ =∑收敛，则级数2 1 (1)n n n a n λ ∞ =-+∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2 n n n a a q -=， 1.2n = ，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1, 2n a n >= ，若1 n n a ∞ =∑发散，11 (1)n n n a ∞ -=-∑收敛， 则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α为常数，则级数 21 sin()1 ( )n n n n α∞ =-∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关.
考研数学假期作业第七章无穷级数(数一数三必做的29题,附详解)
考研数学假期作业第七章无穷级数（数一数三必做29题，附答案） 1.判别无穷级数的收敛性. 2. ; 3.求级数的和. 4. 敛散性 5.已知，级数 收敛，证明级数也收敛. 6.判断级数 的敛散性 7.判断下列级数的敛散性 （1） （2）.（3） （4） 8.判定下列级数的收敛性. （1） （2） （3） （4） 9.判别级数 的收敛性. 10.判定下列级数的收敛性. （1） （2） 11. 判定下列级数的收敛性. ) 1(1 4 31321211???+++ ???+?+?+?n n )122( 1 ∑∞ =++-+n n n n ∑∞ =++1)2)(1(1 n n n n ∑∞ =??? ??-1 21cos 1n n n 0lim =∞ →n n nu ))(1(1 1 n n n u u n ∑∞ =+-+∑∞ =1 n n u 1 1 1n n n i n n n +∞ =??+ ?? ? ∑ n ∞ =11(1)(2)n n n ∞=++∑12(1)2n n n ∞=+-∑1 21 (2ln 1)n n n n n n -∞ =++∑ ∑∞ =1 1sin n n ∑∞ =+ 1 2 )11ln(n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n 10! 10321102110132???++???+??+?+n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n
（1）； （2）. 12.判定下列级数的收敛性 （1），（2）. 13. 判断的收敛性. 14.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛. （1） (2) 15.判别级数的收敛性. 16.已知级数 绝对收敛，级数条件收敛，则（） （A ） （B ） （C ） （D ） 17.设幂级数 在处收敛，则此级数在处（ ）. （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不能确定 18. 设幂级数 的收敛半径为3，则幂级数 的收敛区间_____. 19.求幂级数的收敛半径与收敛域. 20.求幂级数的收敛域. 21.求幂级数的收敛半径. 22.求幂级数的收敛域. 1 23 32n n n ∞ =+-∑11 (21)2n n n ∞ =-?∑∑∞ =-+1 2)1(2n n n 121n n n n ∞=?? ?+??∑∑∞ =--1 1 ln )1(n n n n ∑∞ =12 sin n n na 1 1 (1)21 n n n ∞ =--∑∑∞ =+-1 2 )11(21) 1(n n n n n 1 1(1) n n α∞ =-∑21(1)n n n α∞-=-∑102α<≤ 112α<≤312α<≤322α<<1 (1) n n n a x ∞ =-∑1x =-2x =0 n n n a x ∞ =∑1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑∑∞ =--11 ) 1(n n n n x ∑ ∞ =0 !1n n x n ∑∞ =0!n n x n ∑∞ =-12)1(n n n n x
第九章 无穷级数
第九章 无穷级数 练习题9.1 判断下列级数的敛散性 1. 1 1111567 8 9 + + + + + 发散 2. 2342 3 4 222223 3 3 3 3 n n + + + ++ + 收敛 3. 12312 3 4 5 ++++ 发散 4 0.002+ 发散 5 2 2 3 3 11111111( )( )()()232 3 2 3 2 3 n n +++ ++ +++ + 练习题9.2 1． +?+ +?+ ?+ ?n n n 2 3 2 33 2 23 2 133 32 2发散 2．∑ ∞ =+1)] 1[ln(1 n n n 收敛 3．∑∞ =1 3 sin 2n n n π 收敛 4．∑ ∞ =1 22 n n n 收敛 5. ++++ +++++++ 2 2 2 113 1312 1211n n 发散 6.11 (0)1n n a a ∞ =>+∑ 讨论1a > 收敛 01a <≤发散 7 135792 4 6 8 10 + + +++ 发散 练习题9.3 判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 1、∑∞ =---1 1 1 3 )1(n n n n ； 绝对收敛 2、 +-+ - 5 ln 14 ln 13 ln 12 ln 1；条件收敛
3、2 1 sin (1) n na n ∞ =+∑ ； 绝对收敛 4、∑∞ =++-11 )!1()1(n n n n n 绝对收敛 5. 1 (1)21 n n n n ∞ =-+∑ 发散 练习题9.4 一．求级数的收敛区间: 1、 2 224 24(2) n x x x n +++ +???? ； (,)-∞+∞ 2、 2 2 2 22 2 2 5 1 n n x x x n + ++ ++ ；11 [,]22 - 3、∑ ∞ =--1 2 22 12n n n x n ； （ ） 4、∑ ∞ =+1 ) 12(n n n x [1,0)- 5．3 5 7 11135 7 x x x x - + - + 11, arctan x x -≤≤ 6．21357122468n n nx x x x x ∞ -==++++∑ 2 2 211, (1)x x x -<<- 7．1 (1)n n n n x ∞ =+∑ 3 211, (1) x x x -<<- 练习题9.5 将下列函数展成x 的幂级数： 1、3 )(x e x f -=； 2 3 2 1(1) 3 32! 3! x n n n x x x e n - =- + ++-+? 收敛区间为),(+∞-∞ 2．()x f x a = 0 (ln ),! n n x a x n ∞ =-∞<<∞∑
高等数学(下册)各章总复习试题和答案及解析
第八章 多元函数微分法及其应用 8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内： （1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是 ()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。 （2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件； )y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存的充 分条件。 （3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条 件。 （4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z 2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶 混合偏导数在D 内相等的充 分条件。 8.02求函数 ()() 2 2 2 y x 1ln y x 4y ,x f ---= 的定义域，并求() y ,x f lim 0 y 2 1x →→ 。 解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x 4y 1y x 01y x 10y x 10y x 4222222 22，定义域：(){} x 4y ,1y x 0y ,x D 2 22≤<+<= 2)由初等函数的连续性知： 4 3ln 2 0211ln 02 14)0,21 (f )y ,x (f lim 2220 y 21x = ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯ ==→→ + 8.03 证明极限 422 y 0x y x xy lim +→→不存在。 证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有 2 22220x 4220 x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的， 故：极限422 y 0x y x xy lim +→→+不存在。 8.04 设 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x ,00 y x ,y x y x y ,x f 22222 22 求 ()y ,x f x 及 ()y ,x f y
高等数学习题详解-第9章_无穷级数
习题9-1 1. 判定下列级数的收敛性： (1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞ =+∑; (3) 1 ln 1n n n ∞ =+∑; (4) 1 (1)2n n ∞ =-∑; (5) 1 1n n n ∞ =+∑; (6) 0(1)21 n n n n ∞ =-⋅+∑． 解：（1 ）1 1n n k S ===∑，则lim lim( 11)n n n S n =+-=+?，级数 发散。 （2）由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。 （3），则lim lim[ln(1)]n n n S n =-+=-?，级数发散。 （4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2n n k S k n k ì-=-ïï==í ï=ïîL 因而lim n n S 不存在，级数发散。 （5）级数通项为1n n u n =+，由于1 lim 10n n n +=?，不满足级数收敛的必要条件， 原级数发散。 （6）级数通项为(1)21 n n n u n -=+，而lim n n S 不存在，级数发散。 2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 1112 3n n n ∞ =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) 11(1)(2) n n n n ∞ =++∑; (3) 1 πsin 2n n n ∞ =⋅∑; (4) 0 πcos 2n n ∞ =∑． 解：（1）因为 所以该级数的和为 3111 3lim lim() ,2223 2 n n n n n S S ==--? 即 （2）由于 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++，则 所以该级数的和为 1111 lim lim [],22(1)(2)4 n n n S S n n ==-=++ 即
大学第四版高等数学教材答案
大学第四版高等数学教材答案【前言】 在大学学习的过程中，高等数学是一门非常重要的课程。为了更好地帮助同学们进行学习，提供一个参考，下面是大学第四版高等数学教材的答案。 【第一章微分学】 1.1 导数与微分 练习题答案： 1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x的导数。 答：f'(x) = 6x - 2. 2. 计算函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数。 答：f'(2) = 6. 1.2 函数的凹凸性和拐点 练习题答案： 1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的凹凸性和拐点。 答：f''(x) = 6x - 6，令f''(x) = 0，解得x = 1。当x小于1时，f''(x)小于0，函数凹；当x大于1时，f''(x)大于0，函数凸。所以在x = 1处有拐点。
2. 设函数f(x) = x^4 - 8x^2 + 12x，求其在[-2, 4]上的最大值和最小值。 答：首先求f'(x) = 4x^3 - 16x + 12，求解得到导数的零点x = -2, 1, 2。然后求解f''(x) = 12x^2 - 16，代入得到f''(-2) = 20, f''(1) = -4, f''(2) = 20。通过计算得知，在x = -2处为极小值，x = 1处为极大值。所以最 小值为f(-2) = 20，最大值为f(1) = 5。 【第二章积分学】 2.1 不定积分 练习题答案： 1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。 答：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数。 2. 计算不定积分∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx。 答：∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x + C，其中C 为常数。 2.2 定积分 练习题答案： 1. 计算定积分∫[0, 1] (2x - 1)dx。 答：∫[0, 1] (2x - 1)dx = [x^2 - x]0到1 = 1 - 0 - (1 - 0) = 0。 2. 计算定积分∫[1, 2] (3x^2 - 2x + 1)dx。
高等数学黄浩教材答案详解
高等数学黄浩教材答案详解 章节一：函数与极限 1. 函数的概念与性质 在高等数学教材中，函数是一种数学映射关系，通常用f(x)或y来 表示。函数的定义域、值域以及奇偶性、周期性等性质对于理解和运 用函数具有重要意义。 2. 极限的定义与性质 极限是函数与数列中重要的概念，在数学中用来描述接近与趋势。 极限的定义涉及到函数无穷趋于某点或无穷远时的行为，同时还有函 数极限的运算法则和性质。 3. 连续与间断 在讲解函数的连续性和间断点时，黄浩教材提供了详细的答案解析。连续函数的定义和性质以及间断点的分类和判断方法是解决数学问题 的基础。 章节二：导数与微分 1. 导数的定义与几何意义 导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处 的切线斜率。导数的几何意义解释了函数变化的速度和曲线的形态。 2. 导数的计算方法
黄浩教材详细讲解了求导的基本方法，包括常用函数的求导法则、 复合函数求导和隐函数求导等。此外，还介绍了高阶导数、隐函数求 导和参数方程的求导方法。 3. 微分与近似计算 微分是导数的一种应用，通过微分可以求得函数在某一点的近似值，从而解决实际问题。黄浩教材提供了微分的定义和性质，并结合实际 应用进行练习和解答。 章节三：定积分 1. 定积分的概念与性质 定积分是函数在一定区间上的累计变化量或面积。黄浩教材详细解 释了定积分的定义、可积性和性质，包括线性性质、区间可加性和保 号性等。 2. 定积分的计算方法 定积分的计算方法包括积分的基本四则运算、换元法和分部积分法等。黄浩教材提供了大量的例题和详细解析，帮助学生掌握定积分的 计算技巧。 3. 定积分的应用 定积分的应用广泛涉及到几何、物理、经济等领域。黄浩教材通过 实际问题的解答，展示了定积分在求曲线长度、曲线面积、物体质量 等方面的应用。
高等数学北大版教材解析
高等数学北大版教材解析 高等数学是大学数学的延伸和拓展，是培养学生分析问题、解决问 题和扩展思维的重要学科。作为北大版教材的解析，旨在帮助学生更 好地理解和掌握该教材中的知识点，提升数学水平。 1. 教材结构与内容概览 高等数学北大版教材由多个章节组成，其中涵盖了微积分、无穷 级数、多元函数与偏导数、重积分等内容。每个章节都包含基本概念、定理及相关的例题和习题，以帮助学生逐步理解和掌握知识。 2. 微积分部分解析 微积分是高等数学的核心，也是最为重要的部分之一。在微积分 部分中，教材解析注重讲解概念的含义、定理的证明以及实际问题的 应用。通过具体的例题分析，学生能够更好地理解微积分的思想和方法。 3. 无穷级数部分解析 无穷级数是高等数学的重点和难点之一。教材解析在无穷级数部 分给出了一些常用的级数判别法，并通过详细的解题步骤和思路让学 生能够更好地理解和掌握判别级数散散收敛的方法。 4. 多元函数与偏导数部分解析 多元函数与偏导数的学习对于理解高等数学的整体结构具有重要 意义。教材解析在此部分对多元函数的性质、偏导数的计算以及隐函
数与显函数的关系做了详细的阐述，从而帮助学生理清思路，解决复杂的数学问题。 5. 重积分部分解析 重积分是高等数学中的一个重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。教材解析通过实例的分析说明了重积分的基本原理、计算方法和应用，让学生能够灵活地运用重积分解决实际问题。 6. 总结与展望 通过对高等数学北大版教材的解析，学生能够更好地理解教材中的知识点，掌握解题的思路和方法。同时，教材解析也为学生们提供了一些问题的拓展和练习，以提高数学水平并应对更高难度的数学挑战。 【注意】以上文字仅为示例，实际写作时需要依据实际的高等数学北大版教材内容展开解析，字数限制可适当增加或缩减以满足要求。同时，文章中的分节可以根据教材章节内容进行划分，而非使用“小节一”、“小标题”等术语。
微积分吴传生第四版无穷级数答案
微积分吴传生第四版无穷级数答案无穷级数练习和习题解答 练习10.2 1.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1)SKIPIF 1<0； 解：因为通项SKIPIF 1<0，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。 (2)SKIPIF 1<0； 解：因为SKIPIF 1<0不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。 (3)SKIPIF 1<0； 解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。 (4)SKIPIF 1<0； 解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。 (5)SKIPIF 1<0； 解：因为SKIPIF 1<0，而级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛。 (6)SKIPIF 1<0； 解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛。 (7)SKIPIF 1<0
解：因为级数SKIPIF 1<0为发散调和级数，而级数SKIPIF 1<0为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散。 2.若级数SKIPIF 1<0收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的。 (1)SKIPIF 1<0； 解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0也收敛，因此原级数也收敛。 (2)SKIPIF 1<0(SKIPIF 1<0为某一确定的自然数) 解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，而级数SKIPIF 1<0相当于级数SKIPIF 1<0去除前SKIPIF 1<0项后的新级数也收敛。 (3)SKIPIF 1<0 解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以SKIPIF 1<0，故SKIPIF 1<0，即级数SKIPIF 1<0发散。 练习10.3 1.用比较判别法判别下列级数的敛散性： (1)SKIPIF 1<0； 解：因为通项SKIPIF 1<0，而级数SKIPIF 1<0为收敛的几何级数，根据比较判别法，级数SKIPIF 1<0收敛。 (2)SKIPIF 1<0；
考研数学三(填空题)专项练习试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷20(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数an(x-3)n 的收敛域为______. 正确答案：(1,5] 涉及知识点：无穷级数 2．函数f(x)=的连续区间是______． 正确答案：(-∞，1)∪(1，+∞)． 解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．知识模块：函数、极限、连续 3．设y=aretanx，则y(4)(0)=__________． 正确答案：0 解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y’’是偶函数，y’’，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．知识模块：微积分 4．若向量组α1=(1，1，λ)T，α2=(1，λ，1)T，α3=(λ，1，1)T线性相关，则λ=_______． 正确答案：1或－2． 解析：由行列式|α1 α2 α3|=－(λ－1)2(λ+2)=0，λ=1或λ=－2．知识模块：线性代数 5．连续函数f(x)满足f(x)＝3∫0xf(x－t)dt＋2，则f(x)＝______． 正确答案：2e3x 解析：由∫0xf(x－t)dt∫x0f(u)(－du)＝∫0xf(u)du得f(x)＝3∫0xf(u)du＋2，两边对x求导得f’(x)－3f(x)＝0，解得f(x)＝＝Ce3x，取x＝0得f(0)＝2，则C ＝2，故f(x)＝2e3x．知识模块：微积分 6．=__________． 正确答案：
专升本高等数学全套讲义及真题解析：第十章-无穷级数
第十章 无穷级数 【考试要求】 1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与 p 级数的敛散性． 4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间． 6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法． 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义 一般地，如果给定一个数列 1u ，2u ，，n u ， ，则由这数列构成的表 达式123n u u u u +++++ 叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数， 记为 1 n n u ∞ =∑，即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数 的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念 作常数项级数 1 n n u ∞ =∑的前n 项和121 n n n i i s u u u u ==++ +=∑，n s 称为级 数 1 n n u ∞ =∑的部分和，当n 依次取1,2,3, 时，它们构成一个新的数列 11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++， ， 12n n s u u u =++ + ， ． 如果级数 1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞ =，则称无穷级数
1 n n u ∞ =∑收敛，这时极限 s 叫做这级数的和，并写成 123n s u u u u =+++ ++ 或者 1 n n u s ∞ ==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷 级数 1 n n u ∞ =∑发散． 3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数 1n n u ∞ =∑收敛于和s ，则级数 1 n n ku ∞ =∑也收敛，且其和为ks ．一 般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数 1 n n u ∞ =∑、1 n n v ∞ =∑分别收敛于和s 、σ，则级数 1 ()n n n u v ∞ =±∑也 收敛，且其和为s σ±． （3）在级数 1 n n u ∞ =∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． （4）如果级数1 n n u ∞ =∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收 敛，且其和不变． （5）如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞ =． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞ 不为零，则级数 1 n n u ∞ =∑一定发散． 4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数 级 数 21 n n n q q q q ∞ ==++++ ∑或 20 1n n n q q q q ∞ ==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数
无穷级数练习
无穷级数测试题解答 1．判别下列级数的敛散性： 21 21 11111!21sin ;ln(1);;()32 n n n n n n n n n n n n ∞∞ ∞∞ +====++-∑∑∑∑ 解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞ =1 21 sin n n 收敛。 2）)(1~ )11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n 发散，由极限审敛法知 ∑∞ =+1 )1 1ln(n n 发散。 3） e n n n n n n u u n n n n n n n n 11lim !)1()!1(lim lim 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅++==∞→+∞→+∞→ρ， 1<ρ ，由比值审敛法知 ∑∞ =1! n n n n 收敛。 4） 9423122312lim lim 12 =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∞→∞ →n n n n n n n n n u ρ， 1<ρ ，由根值审敛法知 ∑∞ =+⎪ ⎭⎫ ⎝⎛-+1 1 22312n n n n 收敛。 2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 21 1(1)[]3n n n n ∞ -=-∑； 21 cos 3n n n n ∞=∑； 1 1(1)n n ∞ -=-∑ 解：1）对于级数∑∞ =--1 213)1(n n n n ， 由31||||lim 1==+∞→n n n u u ρ，知级数∑∞ =--1213)1(n n n n 绝对收敛， 易知∑∞ =--11 1 )1(n n n 条件收敛，故 21 1 (1)[] 3n n n n ∞ -=-∑条件收敛。 2）n n n u n n n =≤3|3cos |22，由31lim 1==+∞→n n n u u ρ，知级数∑∞ =12 3n n n 收敛， 故21 cos 3n n n n ∞ =∑绝对收敛。 3）记n n u n ln 1-=，n u n 1≥ ，而∑∞=11 n n 发散，故∑∞ =1n n u 发散， 令x x x f ln )(-=，x x f 1 1)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),1(+∞内单 调增加，由此可知 1+>n n u u ，又0l i m =∞ →n n u ， 故1 1 (1)n n ∞ -=-∑但非绝对收敛， 即为条件收敛。
高等数学(下册)试题及详细答案(精讲版)
高等数学（下册）试题及详细答案（精讲版） 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．向量a ={1,1,2}与y 轴的夹角β为（ ） A ．6π B ．4π C ． 3 π D ． 2 π 【答案】C 【解析】本题考查了向量与坐标轴的夹角。 1 cos 2 β= = ，所以2πβ=。 【提醒】本题还可以转化为求两向量a={1,1,2}与{0,1,0}之间的夹角。 【点评】本题涉及内容是空间解析几何中的重点，考试热度：☆☆☆；大部分出现在选择题或填空题中。 2．函数f (x , y )=22y x +在点（0，0）处（ ） A ．连续 B ．间断 C ．可微 D ．偏导数存在 【答案】A. ()()() 00,00,00,0lim lim x x x x f x f f x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆ 不存在，所以函数在（0,0）处偏导数不存在，从而在该点一定不可微。故本题选A 。 【提醒】记住以下结论：（1）二元初等函数在其定义域内的每一点都连续。（2）可微必定连续且偏导数存在，连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续，连续未必可微，偏导数存在也未必可微，偏导不存在一定不可微，偏导数连续是可微的充分不必要条件。
【点评】本题涉及内容是多元函数微分学中的难点，考试热度：☆☆☆；大部分出现在选择题中。 3．设函数P （x , y ），Q （x , y ）具有连续的偏导数，且P (x ，y )dx +Q （x , y ）dy 是某函数u （x , y ）的全微分，则（ ） A ．x Q y P ∂∂= ∂∂ B ．x P y Q ∂∂= ∂∂ C ． x Q y P ∂∂- =∂∂ D ． x P y Q ∂∂- =∂∂ 【答案】A. 【解析】本题考查了二元函数的全微分求积定理：设开区域G 是一单连通域，函数P （x , y ）， 【提醒】若P （x ，y ）dx+Q （x,y ）dy=du(x,y)，则称P （x ，y ）dx+Q (x,y)dy=0为全微分方程。显然，这时该方程通解为u(x,y)=C (C 是任意常数)。 【点评】本题涉及内容是求解全微分方程的基础，大部分出现在选择、填空题中。考试热度：☆☆☆☆； 【历年考题链接】（2007，7）3．设函数),(y x f 具有连续的偏导数，且xdy y x f ydx y x f ),(),(+是某个函数),(y x u 的全微分，则),(y x f 满足（ ） A ．0=∂∂-∂∂y f x x f y B ． 0=∂∂-∂∂y f x f C ．0=∂∂-∂∂y f y x f x D ．0=∂∂+∂∂y f y x f x 答案：C 。
