6.1 无穷级数的概念及性质

§6.1 无穷级数的概念及其性质

教学目的：通过讲授，使学生理解级数、级数收敛的概念，会用级数收敛的定义判断级数的敛散性，并掌握几何级数、p －级数的敛散性和数项级数的基本性质. 教学重点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性，几何级数、p －级数的敛散性，数项级数的基本性质.

教学难点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性. 课堂安排：

复习：1. 数列的相关概念

2. 数列的前n 项和（等比数列、等差数列）

3. 数列的极限一数项级数的概念

1. 定义1 设有数列{}n u ： ,,,,21n u u u ，把它们的各项依次相加，得 ++++n u u u 21 ，

称为常数项无穷级数，简称数项级数（或级数），记为n n u ∞

=∑1，即

=∑∞

=n n u 1

++++n u u u 21 ，

其中 ,,,,21n u u u 称为级数的项，n u 称为一般项（或通项）.

2. 级数的部分和：称级数的前n 项和n n u u u S +++= 21为级数的部分和. 级数的部分和数列：部分和组成的数列{}n S ： ,,,,21n S S S

3. 定义2 若级数n n u ∞

=∑1的部分和数列{}n S 有极限，即

S u u u S n n n n =+++=∞

→∞

→ 21lim lim

则称级数n n u ∞

=∑1

收敛，S 称为级数的和，记为

++++=∑=∞

=n n n u u u u S 211

，

若{}n S 没有极限，则称级数发散.

注：只有收敛的级数才有和，发散级数不存在和.

例1 判别级数 13

127191311-+++++

n 的敛散性. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=+++++=-n n

n n S 311233

13113

1271913111 2

31123lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴∞→∞→n n n n S

∴所给级数收敛，且2

S . 例2 判别级数

()

++⋅++⋅+⋅+⋅11431321211n n 的敛散性. 解 1

1+-=

n n u n ()

11431321211+⋅++⋅+⋅+⋅=

∴n n S n 11

141313121211+-++-+-+-

=n n 1

1+-=n

1111l i m l i m =⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+-=∴∞→∞→n S n n n ∴ 所给级数收敛，且1=S . 例3 判定级数

∑∞

=+1

n n

n 的敛散性. 解 ()n n n

n u n ln 1ln 1

-+=+= n n u u u S +++=∴ 21

()()()()()n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()1ln +=n

()∞=+=∴∞

→∞

→1ln lim lim n S n n n

∴ 所给级数发散.

用定义判别级数敛散性的步骤如下：

（1）求级数的部分和n S ，方法主要有：公式求和、交叉相消、错位相减等.

（2）求n n S ∞

→lim ，用数列极限的方法. （3）得出级数敛散性的结论.

练习 217P 1、2、3 4. 两个重要的级数的敛散性（1）几何级数

∑∞

=-11

n n aq

⎩

⎨⎧≥<.11时当发散，时当收敛q q （作为作业1证明）（2）p －级数

∑∞

=11n p

n ⎩⎨⎧≤>.

11时当发散，时当收敛p p 当1=p 时，级数∑∞

=11

n n

称为调和级数.

例如：∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n 、∑∞=121n n 、∑∞=1231n n 收敛，∑∞

=⎪⎭⎫

⎝⎛135n n

、∑∞=11n n 、∑∞=14

31n n 发散.

5. 定理（级数收敛的必要条件）若级数n n u ∞

=∑1

收敛，则0lim =∞

→n n u .

证明 11

,-∞

=-=∑=n n n n n S S u u S

()0lim lim lim lim 11=-=-=-=∴-∞

→∞

→-∞

→∞

→S S S S S S u n n n n n n n n n

得证.

注：（1）定理反之不成立，即当0lim =∞

→n n u 时，级数n n u ∞

=∑1

不一定收敛.

例如 01lim =∞→n n ，但级数∑∞

=11

n n

发散. （2）若0lim

≠∞

→n n u ，则级数n n u ∞

=∑1

必发散. 例4 判别级数753

-+∑

∞

=n n n 的敛散性. 解 05

7532lim

lim ≠=-+=∞→∞→n n u n n n ∴ 该级数发散.

二数项级数的基本性质

1. 性质1 若级数n n u ∞

=∑1、n n v ∞=∑1均收敛，则()n n n v u ±∑∞

收敛，

且()n n n v u ±∑∞=1

=n n u ∞

=∑1

+n n v ∞

=∑1

即若S u n n =∑∞=1

，σ=∑∞=n n v 1

，则()σ+=±∑∞

=S v u n n n 1

例5 判别级数⎪⎭

⎫

⎝⎛+∑-∞=2

1112

n n n 的敛散性解 1212

1>=<=

p q

∑∑∞

=∞

=-∴

n n n n

均收敛 ∴ 该级数收敛.

注：（1）n n u ∞

=∑1、n n v ∞=∑1敛散性不同时，()n n n v u ±∑∞

发散.

（2）n n u ∞

=∑1、n n v ∞

=∑1均发散时，()n n n v u ±∑∞

敛散性不能确定.

（3）()n n n v u ±∑∞

=1收敛时，n n u ∞=∑1、n n v ∞

=∑1不一定都收敛.

（4）()n n n v u ±∑∞

发散时，n n u ∞

=∑1

、n n v ∞

=∑1

不一定都发散.

2. 性质2 设k 为非零常数，则n n ku ∞=∑1

与n n u ∞

=∑1

有相同的敛散性.

若S u n n =∑∞=1

，则kS ku n n =∑∞

3. 性质3 增加、去掉或改变级数的有限项不改变级数的敛散性，但改变级数的和.

因为前后级数的部分和n S 只相差一个常数.

4.性质4 收敛的级数任意加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变.

注：（1）发散的级数加括号后不一定发散.

例如 () +-+-+-=-∑+∞

=111111111n n 发散，但添括号如下时

()()()∑∞

==+-+-+-1

0111111n 收敛，0=n S

（2）添括号后的新级数发散，则原级数必发散.

练习

P 4

217

三小结

1. 数项级数的概念及敛散性的定义，

2. 两个重要的数项级数的敛散性，

3. 数项级数的基本性质.

四作业

P B 1

218

高等数学讲义-- 无穷级数(数学一和数学三)

129 第八章无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： +-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=------- 第三种设S n =+-++-+-+ 1 )1(1111 则[]S =+-+-- 11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u +++ + （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，

130 {}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2．基本性质（1）如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4）级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 当1

无穷级数(七)

第七章级数一、数项级数的基本概念设有无穷数列1u 、2u 、3u ……n u …，则+=∑∞ =11 u u n n 2u ＋3u ＋……＋n u ＋…称为常数项级数，简称为级数。其中第n 项n u 叫做级数的一般项。记常数项级数前项和为：+=1u S n 2u ＋3u ＋……＋n u 称为级数 ∑∞ =1 n n u 的n 项部分和。当n 无限增大时，n S 趋近于某一个极限，即：S S n n =∞ →lim ，则称此极限收敛（级数 ∑∞ =1 n n u 收敛），否则 ∑∞ =1 n n u 发散。例1、讨论几何级数（等比） ∑∞ =0 n n aq 的收敛性（0≠a ）（a aq +2aq +＋……＋n aq ＋……）。解：等比数列前n 项的和： q aq q a q aq a S n n n -- -=--=111 当1||q 时，∞=∞ →n n S lim 故 ∑∞ =0 n n aq 发散当1||=q 时： 1=q 时，++=a a S n ……)(∞→∞→=+n na a 故 ∑∞ =0 n n aq 发散 1-=q 时，+-=a a S n ……?? ?=--为偶数时为奇数时n n a a n ,0,) 1(1 故∑∞=0 n n aq 发散

∴综上所述：当1||+1.1 ∞=→n n n lim （发散）故级数 ∑ ∞ =1 1n n 发散。例5、判断级数 ∑∞ =+-1 )12)(12(1 n n n 的敛散性。解：+?+?+?= 751531311n S ……＋) 12)(12(1 +-n n

6.1 无穷级数的概念及性质

§6.1 无穷级数的概念及其性质教学目的：通过讲授，使学生理解级数、级数收敛的概念，会用级数收敛的定义判断级数的敛散性，并掌握几何级数、p －级数的敛散性和数项级数的基本性质. 教学重点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性，几何级数、p －级数的敛散性，数项级数的基本性质. 教学难点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性. 课堂安排：复习：1. 数列的相关概念 2. 数列的前n 项和（等比数列、等差数列） 3. 数列的极限一数项级数的概念 1. 定义1 设有数列{}n u ： ,,,,21n u u u ，把它们的各项依次相加，得 ++++n u u u 21 ，称为常数项无穷级数，简称数项级数（或级数），记为n n u ∞ =∑1，即 =∑∞ =n n u 1 ++++n u u u 21 ，其中 ,,,,21n u u u 称为级数的项，n u 称为一般项（或通项）. 2. 级数的部分和：称级数的前n 项和n n u u u S +++= 21为级数的部分和. 级数的部分和数列：部分和组成的数列{}n S ： ,,,,21n S S S 3. 定义2 若级数n n u ∞ =∑1的部分和数列{}n S 有极限，即 S u u u S n n n n =+++=∞ →∞ → 21lim lim 则称级数n n u ∞ =∑1 收敛，S 称为级数的和，记为 ++++=∑=∞ =n n n u u u u S 211 ，若{}n S 没有极限，则称级数发散. 注：只有收敛的级数才有和，发散级数不存在和.

例1 判别级数 13 127191311-+++++ n 的敛散性. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=+++++=-n n n n S 311233 13113 1271913111 2 3 31123lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴∞→∞→n n n n S ∴所给级数收敛，且2 3 = S . 例2 判别级数 () ++⋅++⋅+⋅+⋅11431321211n n 的敛散性. 解 1 1 1+-= n n u n () 11431321211+⋅++⋅+⋅+⋅= ∴n n S n 11 141313121211+-++-+-+- =n n 1 1 1+-=n 1111l i m l i m =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ +-=∴∞→∞→n S n n n ∴ 所给级数收敛，且1=S . 例3 判定级数 ∑∞ =+1 1 ln n n n 的敛散性. 解 ()n n n n u n ln 1ln 1 ln -+=+= n n u u u S +++=∴ 21 ()()()()()n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()1ln +=n ()∞=+=∴∞ →∞ →1ln lim lim n S n n n ∴ 所给级数发散. 用定义判别级数敛散性的步骤如下：

高数大一知识点无穷级数

高数大一知识点无穷级数高数大一知识点：无穷级数无穷级数是数学分析中一个重要的概念，指的是一个由无穷多个数相加或相乘而得到的数列或数列的和。在大一的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点，本文将介绍无穷级数的定义、性质以及一些常见的无穷级数。 1. 无穷级数的定义在数学中，无穷级数的定义如下：设给定一个数列{an}，则称S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...为该数列的无穷级数。其中，ai为无穷级数的通项。 2. 无穷级数的性质无穷级数具有以下几个性质： 2.1 收敛性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}存在有限极限s，即lim(n→∞)Sn = s，则称该无穷级数收敛，s为该无穷级数的和。 2.2 敛散性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n→∞)Sn不存在或为无穷大，则称该无穷级数发散。

2.3 绝对收敛性：如果无穷级数的绝对值级数收敛，则称该无穷级数绝对收敛。 2.4 条件收敛性：如果无穷级数收敛但绝对值级数发散，则称该无穷级数条件收敛。 3. 常见的无穷级数 3.1 等差数列的无穷级数等差数列的无穷级数是一类常见的无穷级数。它的通项可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差。等差数列的无穷级数可以用以下公式进行求和： Sn = n(a + a + (n-1)d)/2 3.2 等比数列的无穷级数等比数列的无穷级数也是常见的无穷级数类型。它的通项可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比（不等于0）。等比数列的无穷级数可以用以下公式进行求和： S = a/(1-r)，当|r|<1时 3.3 调和级数

无穷级数与收敛性

无穷级数与收敛性无穷级数是数学中的重要概念之一，它在数学分析、物理学等领域发挥着重要作用。无穷级数的收敛性是研究无穷级数时最为关注的问题之一，本文将对无穷级数的概念、分类以及收敛性进行详细探讨。一、无穷级数的定义无穷级数是指将一个数列的各项按一定的顺序进行求和所得到的结果。一般情况下，我们常用下面的形式来表示无穷级数： S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ... 其中，a₁、a₂、a₃、...分别表示数列的第1项、第2项、第3项等。省略号表示该数列还有更多的项。S表示无穷级数的和。二、无穷级数的分类根据数列的性质，无穷级数可以分为以下几类： 1. 收敛级数：如果一个无穷级数的部分和数列有极限，我们称该级数为收敛级数，其和为S。 2. 发散级数：如果一个无穷级数的部分和数列没有极限，我们称该级数为发散级数。 3. 条件收敛级数：对于一个收敛级数，如果将级数中的正项和负项分别合并成两个级数，其中正项级数和负项级数都是发散级数，那么我们称该收敛级数为条件收敛级数。

三、判定无穷级数收敛性的方法在研究无穷级数的收敛性时，数学家们提出了一系列的判定方法，下面将介绍其中几种常用的方法： 1. 正项级数判别法：如果一个无穷级数的各项都是非负数，并且数列的极限存在，则该级数收敛；若数列的极限为正无穷，则该级数发散。 2. 比较判别法：如果一个级数的各项和另一个级数的相应项比值的极限为正数，则两个级数的收敛性同时成立；如果两个级数的相应项比值的极限为正无穷，则两个级数的发散性同时成立。 3. 比值判别法：如果一个级数的各项之间的比值的极限存在且小于1，则该级数收敛；若比值的极限大于1或不存在，则该级数发散。四、常见的无穷级数无穷级数在数学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的无穷级数： 1. 等比级数：等比级数是指一个数列中的后一项与前一项之商为常数的级数。例如，1+2+4+8+...就是一个等比级数，其中公比为2。等比级数在物理学中经常出现。 2. 调和级数：调和级数是指级数的每一项都是其数列的倒数，例如，1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。调和级数在数学分析中具有重要的研究价值。 3. 幂级数：幂级数是指级数的每一项都是自变量的幂函数。幂级数在微积分等领域有着广泛的应用和研究。

无穷级数总结范文

无穷级数总结范文无穷级数是数列求和的一种方式，在数学中有重要的地位和应用。无穷级数的概念最早由数学家Gottfried Leibniz引入，之后被广泛研究和应用。在本文中，我们将总结无穷级数的基本概念、性质和常见的应用领域，以便读者更好地理解和应用无穷级数。一、无穷级数的基本概念无穷级数是指由无穷多个数相加得到的和。一般地，一个无穷级数可以写成以下形式： S=a1+a2+a3+... 其中，a1、a2、a3等为数列的各项。我们可以通过求无穷级数的部分和来研究其性质。对于一个无穷级数，其第n个部分和Sn定义为： Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an 二、无穷级数的收敛和发散无穷级数可能收敛（即有限）也可能发散（即无限）。为了研究无穷级数的收敛性，我们引入了极限的概念。当部分和的数列{Sn}存在有限极限s时，即lim(n->∞)Sn = s，我们称该无穷级数收敛，并且其和为s。我们用∑表示无穷级数。如果部分和的数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n->∞)Sn不存在，或者lim(n->∞)，Sn， = ∞，我们称该无穷级数发散。

无穷级数的收敛性与其各项的大小和取值有关，我们将在下一章节中讨论。三、无穷级数的性质 1.部分和的性质：对于一个无穷级数，其部分和的性质对于判断其收敛性起到重要的作用。如果一个无穷级数的部分和数列收敛，则该无穷级数收敛；如果一个无穷级数的部分和数列发散，则该无穷级数发散。 2.数项级数的性质：对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的性质也是重要的。数项级数是指将无穷级数中的各项重新排列后所得到的级数。对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的和与原级数的和相同。 3.加法运算：如果两个无穷级数都收敛，则它们的和也收敛，并且和的值等于各级数的和的和。 4.数乘运算：如果一个无穷级数收敛，则对该级数的每一项乘以同一个常数后所得到的级数也收敛，并且和的值等于常数与原级数的和的乘积。 5.绝对收敛：如果一个无穷级数的各项取绝对值后得到的级数收敛，则称该无穷级数绝对收敛。对于一个绝对收敛的无穷级数，可以按照任意顺序重新排列其各项，新得到的级数也收敛，并且其和与原级数的和相同。四、无穷级数的收敛性判断对于一个无穷级数，我们常常需要判断其收敛性。下面列举一些常见的方法和准则。 1.正项级数判别法：如果一个无穷级数的各项都是非负数，并且满足其部分和数列有界，则该级数收敛。

无穷级数的概念及基本性质

无穷级数的概念及基本性质无穷级数是数学中一个重要的概念，它描述的是无穷多个数相加的情况。无穷级数可以是无限递增的，也可以是无限递减的。在这篇文章中，我将介绍无穷级数的概念及其基本性质。首先，让我们来回顾一下有穷级数的概念。有穷级数是指有限个数相加的和。例如，1+2+3+4是一个有穷级数。而无穷级数是指无限个数相加的和。下面是一个无穷级数的例子： 1+1/2+1/4+1/8+... 在这个无穷级数中，每一项都是前一项的一半。无穷级数的和是无限的，但是有时候我们可以找到一种方法来计算无穷级数的和。接下来，让我们来讨论无穷级数的收敛性和发散性。一个无穷级数是收敛的，如果它的和是有限的；否则，它是发散的。我们用S表示一个无穷级数的和。如果无穷级数的部分和逼近某个值L，那么这个无穷级数是收敛的，且S=L。如果无穷级数的部分和趋向于无穷大，那么这个无穷级数是发散的。我们也可以通过计算部分和来判断无穷级数的收敛性。部分和是指无穷级数前n 项的和。当n趋向于无穷大时，如果部分和有一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的。否则，它是发散的。

当我们面对一个无穷级数时，我们通常会使用一些技巧来判断其收敛性。其中一种方法是使用比较判别法。比较判别法是指将一个无穷级数与另一个已知的无穷级数进行比较。如果已知的无穷级数是收敛的，并且其和大于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是收敛的。如果已知的无穷级数是发散的，并且其和小于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是发散的。另一种常用的方法是使用比值判别法。比值判别法是指计算无穷级数相邻两项的比值的绝对值的极限。如果这个极限小于1，那么无穷级数是收敛的。如果这个极限大于1或者不存在，那么无穷级数是发散的。除了收敛性与发散性外，无穷级数还具有一些其他的性质。其中一个性质是线性性质。如果两个无穷级数都是收敛的，那么它们的和与差也是收敛的。另外，如果一个无穷级数是发散的，那么它的和与差也是发散的。另一个重要的性质是柯西收敛准则。柯西收敛准则是指一个无穷级数收敛的充分必要条件是对于任意一个正数ε，存在一个正整数N，使得当n和m大于N时，部分和的绝对值之差小于ε。换句话说，如果一个无穷级数的部分和对于任意给定的精度都足够接近，那么这个无穷级数是收敛的。最后，我们还可以对收敛的无穷级数进行重排，得到一个不同的收敛无穷级数。但是对于发散的无穷级数，重排有可能改变其和。所以，在对无穷级数进行重排时，必须小心谨慎。

无穷级数的概念和性质

无穷级数的概念和性质无穷级数是数学中一个非常重要且有趣的概念。在本文中，我们将介绍无穷级数的定义、收敛性、发散性以及一些相关的性质。一、无穷级数的定义无穷级数是由无限个数相加（或相减）得到的一种数列。一般的无穷级数可以写成以下的形式： S = a₁ + a₂ + a₃ + ... 其中，a₁, a₂, a₃, ... 是数列的项。二、收敛性和发散性无穷级数可以分为收敛和发散两种情况。 1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列有极限L，即当n趋向于无穷时，Sₙ（前n项的和）趋向于L，则称该无穷级数收敛，记作S = L。 2. 发散：如果无穷级数不收敛，则称该无穷级数发散。三、收敛级数的性质 1. 加法性：如果两个收敛级数S₁和S₂都收敛，并且它们的和数列分别为S₁₀和S₂₀，则它们的和级数S = S₁ + S₂也收敛，且其和数列为S₁₀ + S₂₀。

2. 数乘性：对于一个收敛级数S，如果乘以一个常数c，则所得到的级数cS也收敛，并且其和数列为cS₀，其中S₀是级数S的和数列。 3. 子序列收敛性：如果一个级数S收敛，则它的任意子序列也收敛，且收敛于相同的极限。四、底达到性底达到性是指对于一个收敛级数S，无论收敛级数前面有多少项被去掉，剩下的级数仍然收敛，并且收敛于相同的极限。五、绝对收敛和条件收敛 1. 绝对收敛：如果级数的所有项的绝对值的和收敛，那么该级数称为绝对收敛。 2. 条件收敛：如果级数本身是收敛的，但是它的绝对值级数却是发散的，那么这个级数称为条件收敛。六、收敛判定方法 1. 正项级数判别法：如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，那么该级数收敛当且仅当它的部分和数列有界。 2. 比值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的比值aₙ₊₁/aₙ的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，比值判别法失效。

无穷级数在数学中的应用

无穷级数在数学中的应用在数学中，无穷级数是一种非常重要的概念，广泛应用于自然科学、工程学、计算机科学等多个领域。无穷级数可以用来描述物理现象、工程问题以及计算机算法的正确性等问题，因此是数学研究中不可或缺的一种工具。一、无穷级数的定义与性质在数学中，无穷级数是指一个数列的和，这个数列可以有无限多个元素。通常用S表示这个和，而a1,a2,a3…则表示该数列中的每一项。因此，如果一个数列满足： S = a1 + a2 + a3 + … + an + … 那么我们就说这个数列是一个无穷级数。无穷级数具有以下一些性质： 1. 收敛性

如果一个无穷级数的和（即S）存在，那么我们就说该级数是收敛的。如果该级数的和不存在，那么我们就说该级数是发散的。 2. 绝对收敛性如果一个无穷级数的各项之绝对值之和收敛，那么我们就说该级数是绝对收敛的。在这种情况下，级数的和一定存在。 3. 条件收敛性如果一个无穷级数是收敛的，但不是绝对收敛的，那么我们就说该级数是条件收敛的。二、无穷级数在自然科学中的应用无穷级数在自然科学中有着广泛的应用情况，其中一些典型的应用场景包括： 1. 物理中的调和级数

在物理学中，调和级数是非常重要的一个概念。一个调和级数是指一个数列，其中每一项是倒数，即a1=1，a2=1/2，a3=1/3，以此类推。因此，调和级数的一般形式可以写作： 1 + 1/ 2 + 1/ 3 + … + 1/n + … 在封闭系统的开放性条件下，通常假设在一定的时间内，状态发生了足够多次的改变。如果我们将这些状态称为事件，并将它们排成一列，那么每个事件发生的概率（p）都可以近似表示为1/n。根据这种情况下的概率论，为了充分地考虑这些状态的可能性，就需要对这个无穷级数进行求和。通过求和结果可以得到这个系统的话费耗散或熵增量，从而可以获取与热力学有关的各种物理量。 2. 经济学中的微积分方法在经济学中，微积分的应用非常广泛，尤其是在需求方面的分析中。在这种情况下，无穷级数通常被用来表示消费者的预算约束条件。例如，假设一个消费者在某个时间段内只能花费C美元的消费，那么可以用下列无穷级数描述这个约束条件：

无穷级数及其收敛性

无穷级数及其收敛性无穷级数是数学中一个非常基础的概念，它在各种分析领域和应用中都有着重要的地位。在这篇文章中，我们将探讨无穷级数的概念、性质和收敛性，希望读者通过本文的介绍，能够更加深入地理解这一重要的数学概念。一、无穷级数的概念无穷级数是由无数个数相加而成的一种数列。它的表示形式为 $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ 其中，$a_n$表示第$n$个数，而$\sum$则表示将每一个$a_n$相加得到的总和。例如，下面这个无穷级数： $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots$$

就是由所有$\dfrac{1}{n^2}$相加而成的一种数列。无穷级数的和可能是一个有限的数或者无限大。当无穷级数的和为有限数时，我们称其为收敛，反之则称其为发散。二、无穷级数的性质无穷级数有很多有趣的性质，下面我们将就一些常见的性质进行简单介绍。 1. 级数的项数可以改变，但不会改变级数的收敛性。例如，下面这个无穷级数 $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$ 虽然由无限个有理数相加而成，但对其进行有限次部分求和得到的都是有理数，因此它是收敛的。 2. 级数可以重新排列，但不会改变级数的收敛性。这个性质看似简单，但并非总是成立。事实上，当级数的各项并非绝对收敛时，该性质不成立。一个常见的反例就是下面这个级数：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$$ 这个级数是发散的，但如果将其项随意交换，则可以得到另一个级数 $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = -1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots$$ 这个级数却是收敛的。因此，当级数的各项并非绝对收敛时，级数的重新排列可能会导致收敛性发生改变，这是一个十分有意思的数学问题。 3. 如果两个级数分别是收敛的，则它们的和级数也是收敛的。这个性质看似简单，但其实涉及到了级数的加法与正负号的处理，有一定的难度。这里就不再详细讨论，感兴趣的读者可以寻找相关文献深入了解。三、无穷级数的收敛性

无穷级数与收敛判定

无穷级数与收敛判定无穷级数是数学中的一个重要概念，它由无数个数的和组成，常常涉及到收敛和发散的问题。本文将介绍无穷级数的基本概念以及如何进行收敛判定。一、无穷级数的定义及表示方式在数学中，无穷级数是由无数个数的和组成的。通常用一般项的形式表示，如下所示： S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + … 其中，a₁、a₂、a₃等表示级数的各个项。二、无穷级数的收敛与发散对于无穷级数来说，它可以收敛或发散。当无穷级数的部分和序列Sn = a₁ + a₂ + … + aₙ 随着 n 的增大逐渐趋于一个有限的数，则称该无穷级数收敛，并将其极限值记作 S。反之，如果无穷级数的部分和序列 Sn 逐渐趋于无穷大或不存在极限值，则称该无穷级数发散。三、收敛判定方法 1. 利用数列的收敛性质进行判定：对于无穷级数来说，其收敛性质与其部分和序列的收敛性质密切相关。如果部分和序列 Sn 是收敛的，则无穷级数也是收敛的。

2. 利用比较判别法进行判定：比较判别法是判断无穷级数收敛和发散的常用方法之一。其基本思想是将待判定的级数与已知的级数进行比较，通过比较两个级数的收敛性质来判定待判定级数的收敛性质。 (1) 比较判别法之大于判别法：如果存在一个级数∑bₙ，且满足对于任意 n，都有 aₙ ≥ bₙ，且∑bₙ 收敛，则可知∑aₙ 也收敛。 (2) 比较判别法之小于判别法：如果存在一个级数∑bₙ，且满足对于任意 n，都有 aₙ ≤ bₙ，且∑bₙ 发散，则可知∑aₙ 也发散。 3. 利用比值判定法进行判定：比值判定法也是判断无穷级数收敛和发散的一种常用方法。其基本思想是通过比较级数的相邻两项的比值来判断其收敛性质。 (1) 比值判定法之大于1判别法：如果存在常数 k > 1，当 n 充分大时，有 aₙ₊₁ / aₙ ≥ k，则级数∑aₙ 发散。 (2) 比值判定法之小于1判别法：如果存在常数 k < 1，当 n 充分大时，有 aₙ₊₁ / aₙ ≤ k，则级数∑aₙ 收敛。 4. 利用根值判定法进行判定：根值判定法也是判断无穷级数收敛和发散的一种重要方法。其基本思想是通过比较级数的各项与其相邻项的 n 次冥次根的大小来判断其收敛性质。 (1) 根值判定法之大于1判别法：如果存在常数 k > 1，当 n 充分大时，有 (aₙ₊₁)¹/ⁿ ≥ k，则级数∑aₙ 发散。 (2) 根值判定法之小于1判别法：如果存在常数 k < 1，当 n 充分大时，有 (aₙ₊₁)¹/ⁿ ≤ k，则级数∑aₙ 收敛。

无穷级数的性质与应用探究

无穷级数的性质与应用探究无穷级数是数学领域中一个重要的概念，它由一系列无穷个数相加或相减而成。在这篇文章中，我们将探讨无穷级数的性质以及其在实际应用中的意义。一、无穷级数的定义和收敛性无穷级数是由一系列无穷个实数（或复数）按照一定规律相加或相减得到的结果。例如，柯西列定义了无穷级数为一个数列的部分和序列，当其满足了部分和序列对于任意的正实数epsilon都收敛时，该级数就是收敛的。收敛性是无穷级数一个重要的性质。一个收敛的级数意味着它的和存在且有限。而一个发散的级数则表示其和不存在或为无穷大。我们可以通过一些常用的判别法来判断一个级数是否收敛，如比较判别法、积分判别法、根值判别法等。二、无穷级数的性质 1. 结合律：无穷级数满足结合律，即改变级数中项的顺序不会改变其和的值。这是因为级数的部分和是依次相加的，所以项的顺序不会影响最终的结果。 2. 绝对收敛与条件收敛：无穷级数可以分为绝对收敛和条件收敛两种情况。当一个级数的绝对值级数收敛时，我们称该级数是绝对收敛的；当一个级数本身收敛，但其绝对值级数发散时，我们称该级数是条件收敛的。 3. 改变级数的次序：对于条件收敛的级数，我们可以通过改变项的顺序，使其收敛于不同的值甚至发散。这一性质被称为级数项的重排。但对于绝对收敛的级数，其重排后的级数仍然收敛于相同的值。 4. 估值定理：估值定理是关于无穷级数和收敛的一个重要性质。根据估值定理，如果一个级数从某项开始的所有项都非负，并且保持递减趋势，那么该级数的和总是可以用其部分和逼近。

三、无穷级数的应用无穷级数在数学和实际应用中有着广泛的应用。下面我们介绍以下几个常见的应用领域： 1. 物理学：无穷级数在物理学中有着许多应用。例如，泰勒级数是无穷级数的一种特殊形式，将一个任意函数展开为无限项的多项式。泰勒级数在物理学中被广泛应用于函数逼近、物理量计算等方面。 2. 经济学：在经济学中，无穷级数被用来分析投资回报、利润预测、资金负债等问题。利用无穷级数的逼近性质，可以对一些经济模型进行求解和优化。 3. 概率论与统计学：无穷级数在概率论和统计学中也有重要的应用。例如，泊松分布、正态分布等常见的分布函数都可以通过无穷级数进行定义和推导。 4. 工程学：无穷级数在工程学中用于信号处理、图像处理、控制系统等方面。通过无穷级数的求和，可以得到信号的频谱分析等重要信息。总结起来，无穷级数作为数学领域中的一个重要概念，具有丰富的性质和广泛的应用。在本文中，我们探讨了无穷级数的定义和收敛性，并介绍了一些常见的级数性质。最后，我们还简要介绍了无穷级数在物理学、经济学、概率论与统计学以及工程学中的应用。无穷级数的研究和应用对于推动数学和相关学科的发展具有重要的意义。

无穷级数与收敛

无穷级数与收敛无穷级数是数学中的一个重要概念，也是数学分析的基础内容之一。在数学中，无穷级数可以理解为将一个数列的无穷多个项加在一起而形成的数列。无穷级数的收敛性质是研究无穷级数的核心问题之一。本文将介绍无穷级数的概念、性质以及一些重要的判别方法，以便更好地理解和应用无穷级数。 1. 无穷级数的概念无穷级数可以理解为将一个数列的无穷多个项加在一起所得到的结果。一个典型的无穷级数可以表示为： S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ... 其中，a₁、a₂、a₃、... 是无穷级数的各个项。无穷级数可以是无限求和的形式，也可以是一定形式的特殊数列。无穷级数的求和可以用数学符号∑ 表示，即∑aₙ。 2. 无穷级数的部分和与收敛性对于无穷级数 S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ... 定义其部分和为： Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ 当数列 {Sₙ} 在 n 趋于无穷大时有极限 L，即lim(n→∞) Sₙ = L，我们称该无穷级数收敛，并且其和为 L。否则，无穷级数称为发散。 3. 无穷级数的常见判别方法

为了判断一个无穷级数的收敛性，数学家们发展了一系列的判别方法。下面介绍几个常见的判别方法： 3.1. 比值判别法比值判别法是判别一个正项级数收敛与发散的重要方法之一。该方法利用了数列极限的性质，通过计算相邻项之间的比值的极限来判断一个无穷级数的收敛性。 3.2. 根值判别法根值判别法是另一种用来判定正项级数收敛和发散的方法。该方法是通过计算无穷级数的各个项的开 n 次方并求极限来进行判断。如果极限小于 1，则级数收敛；如果极限大于 1，则级数发散；如果极限等于 1，则该方法失效，需要采用其他方法进行判断。 3.3. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛性可以分为两类：绝对收敛和条件收敛。当无穷级数的各个项都是正数，并且级数收敛时，我们称该级数为绝对收敛。当无穷级数的各个项是有正有负，并且级数收敛时，我们称该级数为条件收敛。 4. 特殊的无穷级数在数学中，还存在一些特殊的无穷级数，具有一些特殊的收敛性质： 4.1. 调和级数

无穷级数公式

无穷级数公式无穷级数公式是数学中的一个重要概念，它描述了一个数列无限求和的结果。在数学中，无穷级数公式被广泛应用于各种领域，如微积分、概率论、统计学、物理学等。本文将介绍无穷级数公式的定义、性质、应用及相关的重要定理等内容。一、无穷级数公式的定义无穷级数公式是指一个数列的无限求和，通常表示为： $S=sum_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$ 其中，$a_n$表示数列的第n项，$S$表示无穷级数的和。如果这个无穷级数的和存在，我们就称之为收敛的无穷级数，否则称之为发散的无穷级数。二、无穷级数公式的性质 1. 无穷级数的和具有可加性，即如果有两个收敛的无穷级数$S_1$和$S_2$，那么它们的和$S=S_1+S_2$也是一个收敛的无穷级数。 2. 如果一个无穷级数收敛，那么它的每一项必须趋近于零，即$lim_{ntoinfty}a_n=0$。 3. 如果一个无穷级数收敛，那么它的任意一个部分求和必定是有界的。 4. 如果一个无穷级数发散，那么它的任意一个部分求和必定是无穷大的。 5. 如果一个无穷级数收敛，那么它的各项之和的顺序可以改变，即可以通过重新排列项的顺序得到相同的和。

三、无穷级数公式的应用无穷级数公式在数学中有着广泛的应用，下面列举一些常见的应用： 1. 微积分中的泰勒级数：泰勒级数是一种无穷级数，它可以把一个函数表示为无限项的多项式和，它在微积分中有着重要的应用。 2. 概率论中的期望：在概率论中，期望是一个随机变量的平均值，它可以通过一个无穷级数来表示。 3. 物理学中的级数电路：级数电路是一种由电阻、电容、电感等元件组成的电路，它可以通过无穷级数来描述。 4. 统计学中的正态分布：正态分布是一种常见的概率分布，它可以通过一个无穷级数来表示。四、相关的重要定理 1. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都非负，那么可以通过比较这个无穷级数与一个已知的收敛的无穷级数或发散的无穷级数来判断它的收敛性。 2. 比值判别法：如果一个无穷级数的每一项都非零，那么可以通过比较这个无穷级数的相邻两项的比值来判断它的收敛性。 3. 积分判别法：如果一个无穷级数的每一项都是正函数，那么可以通过将这个无穷级数转化为一个积分来判断它的收敛性。 4. 绝对收敛和条件收敛：如果一个无穷级数的每一项都非负，那么它的绝对值级数和原级数的收敛性相同；如果一个无穷级数的原级数收敛，但绝对值级数发散，那么它被称为条件收敛。

级数的概念及其性质(精)

级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，… 这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。例题：证明级数：的和是1. 证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1. 级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。

3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。 4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。注意：在此我们不作证明。正项级数的审敛准则准则一：设有两个正项级数及，而且a n≤b n(n=1,2,…）.如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散. 例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。关于此准则的补充问题如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，也发散. 例如：是收敛的.因为，而是收敛的.

级数知识点总结

第十二章无穷级数一、常数项级数 1、常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质：改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛；若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛⇔ {}n S 有界；比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。其他级数：；二、函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.( R 不变,收敛域可能变化).

(完整版)无穷级数总结

(完整版)无穷级数总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

无穷级数总结一、概念与性质 1. 定义：对数列12,, ,n u u u ，1 n n u ∞ =∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0≠c ，则∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n cu 有相同的敛散性； ②设有两个级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1 n n v ，若∑∞==1 n n s u ，σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =±=±1 )(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 发散；若∑∞ =1 n n u ，∑∞=1 n n v 均发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数∑∞ =1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞ →n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若0lim =∞ →n n u ，则∑∞ =1n n u 未必收敛； ③若∑∞ =1 n n u 发散，则0lim =∞ →n n u 未必成立．二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法

无穷级数

第十章无穷级数一、本章结构图 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数二、基本概念 1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ，， n u ，，则由这数列构成的表达式 12n u u u ++ ++ 称为无穷级数，简称级数，记为 1 n n u ∞ =∑，即 121 n n n u u u u ∞ ==++++ ∑ 其中n u 称为级数的一般项（或通项）， 2．级数1 n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1 n n u ∞ =∑的前n 项的和，记作n S 3．级数的和：若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞ =,则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛，S 为级数 1 n n u ∞ =∑的和，记为 121 n n n u u u u S ∞ ==++++ =∑ 如果lim n n S →∞ 不存在，则称级数 1 n n u ∞ =∑发散 4．正项级数：如果级数 1 n n u ∞ =∑的每一项都是非负数，即0(1,2, )n u n ≥=，则称此级数为正项级数 5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式 1234u u u u -+-+- 或 1234u u u u -+- + 其中1u ，2u ，都是正数，则称此级数为交错级数

6．绝对收敛：如果级数 1 n n u ∞ =∑各项的绝对值所构成的正项级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则称级数 1 n n u ∞ =∑绝对收敛 7．条件收敛：如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，而级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(), n u x u x u x ，则称有这个函数列构成的表达式 121 ()()()n n n u u x u x u x ∞ ==++++ ∑ （1）为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数 9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑，若此常数项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点 10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域 11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++ ++ 12．幂级数：形如2 012n n a a x a x a x +++++ 的级数称为幂级数，记作 n n n a x ∞ =∑，其中012,,, ,, n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数 13．幂级数收敛半径：对于幂级数 n n n a x ∞ =∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散，这个正数R 称为幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间 ),R R -（称为幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛区间 14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，