高数下册第11章复习题与答案
高数下册第11章复习题与答案
第十一章-无穷级数练习题
（一）. 基本概念
1.设∑∞
=1n n U 为正项级数，下列四个命题
（1）若,0lim =∞
→n n U 则∑∞
=1
n n U 收敛；
（2）若∑∞=1
n n U 收敛，则∑∞
=+1
100n n U 收敛；
（3）若,1lim 1>+∞→n
n n U U 则∑∞
=1n n U 发散；（4）若∑∞
=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→n
n n U U ．
中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);
C ．(3)与(4);
D ．(4)与(1)．
2.下列级数中，收敛的是（）． A ．∑∞=1
1
n n ； B ．∑∞
=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． + +??? ??+??? ??+4
3243434343． 3.在下列级数中，发散的是（）． A ．∑∞=-11
)1(n n n ；
B ．∑∞
=+11n n n
； C ．∑
∞
=1
3
1n n
n
;
D ． +-+-44
33224
3434343．
4.条件（）满足时，任意项级数1
n
n u
∞
=∑一定
收敛.
A. 级数1
||n n u ∞
=∑收敛；
B. 极限lim 0n n u →∞
=；
C ．极限1
lim
1n n n
u r u +→∞=<；
D. 部分和数列1
n n k k S u ==∑有界.
5.下列级数中条件收敛的是（）．
A . ∑∞
=1
1
cos n n ; B. ∑∞
=1
1n n ;
C. ∑∞=-1
1)1(n n n ; D. ∑∞
=-1
1
)1(n n n n ．
6.下列级数中绝对收敛的是（）．
A . ∑∞
=-1
1)1(n n n ; B. ∑∞
=-1
21)1(n n n ; C. ∑∞
=+-1
1)1(n n n n ; D. ∑∞
=11sin n n ．（二）. 求等比级数的和或和函数。提示：注意首项 7.幂级数 102
1+∞
=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数∑∞
=-0
4)1(n n n
n
x 在)4,4(-上的和函数
=)(x s ．
9.无穷级数1
n n ∞
=∑的和S = .
（三）. 判定正项级数的敛散性。
10.判别级数∑∞
=12
!
)2()!(n n n 的敛散性．
解
11.判别级数的敛散性．
1n ∞
=, 211
1n n n ∞
=++∑ ,
1
ln(1n ∞
=∑, 1
3sin
4
n
n
n π
∞
=?∑,
1
(1cos )n n π
∞
12.判别级数的敛散性．
1
3!n n n n n ∞
=?∑ ,
2341
33333234......44444n
n n ∞=++++=? ? ? ? ?∑
（四）. 判定交错级数是否收敛，如果收敛，
是绝对收敛还是条件收敛。提示：分三步，先判断是否绝对收敛，然后用莱布尼兹判
别法
n u ，最后结论为条件收敛。
13.判定级数 )11ln()
1(1
1
∑∞
=-+
-n n n
是否收敛?
如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解：
14.判定级数 (
)
∑∞
=--+-1
1
1)1(n n n n 是否收
敛? 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解：
15.判别级数)1
1ln()1(1n
n n +
-∑∞
=的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（要求说明理由）.
解
16.判别级数∑∞
=---11
1
32)1(n n n n
的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.
解
（五）. 求幂
级数
200
; ()∞
∞
==-∑∑n
n n
n n n a x
a x x 的收敛区
间。提示：变量代换，区间不要端点
18. 求幂级数21
1
(3)+∞
=-∑n n n x n 的收敛半径和收敛
区间
解
19.求幂级数11(1)(2)(1)3n n
n
n x n -∞
=--+∑的收敛半径和收敛区间解
20.求幂级数n n n x n
)12(3
1+∑
∞
=的收敛区间．解：
（六）. 将函数展开成x 的幂级数，指出收敛
区间（提示：间接展开法，记展开式） 21.将函数 )2)(1()(+-=x x
e e x
f 展开为x 的幂级数（指出收敛区间）．解：
22.将函数21
()ln(1)x f x xe
x -+=++展开为x 的幂级数，并指出收敛区间．解
23.将函数)2ln()(x x f +=展开成)1(+x 的幂级数，并写出收敛域.
解（七）.
求幂级数的和函数
25.利用幂级数和函数求数项级数
1
1
21-∞
=
∑
n n n 的和．
解：
26.求幂级数∑∞
=+13
)1(n n
n
n x 的和函数并写出收敛区间．
解： .
（八）. 相关证明
29.设0>n a ，且}{n a n 为有界数列．证明：无穷级数2 /31n
n a ∑∞
=收敛．
证
30.设级数2
1
n n u ∑∞
=与2
1
n n v ∑∞
=都收敛，证明级数
21
)(n n n v u +∑
∞
=也收敛．
证
31.设),2,1( =≤≤n c b a n n n ，且级数∑∞
=1n n a ，
∑∞
=1
n n
c
都收敛，试证明：
级数∑∞
=1n n b 收敛.
证：
34.设2
n
n n u u p +=
，2
n
n n u u q -=
，试证明
级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛的充分必要条件是∑∞=1
n n p ，
∑∞
=1
n n
q
都收敛．
证：
35.设级数)(11
-∞=∑-n n n a a 收敛，又∑∞
=1
n n b 是收敛
的正项级数，证明级数n n n b a ∑∞=1
绝对收敛．
证：
第十一章-无穷级数练习题答案
1. ( B ) ；
2.（ D ）；
3.（ B ）；
4.（ A ）；
5.（ C ）．
6.（ B ）；
7. =)(x s x x -22； 8. =)(x s 4
4
+x ；9. S = 10 .
10.判别级数∑∞
=1
2
!)2()!(n n n 的敛散性．
解 212[(1)!](2)!
lim lim [2(1)]!(!)n n n n
U n n U n n +→∞→∞+=?+
)
22)(12()
1)(1(lim ++++=∞→n n n n n
14
1
<= ∴原级数收敛 11.判别级数的敛散性．（比较法）1n ∞
=收敛,
2
1
1
1n n n ∞
=++∑ 发散,
1ln(1n ∞
=∑发散, 1
3sin
4n n
n π
∞
=?∑收敛,
1
(1cos )n n π
∞
=-∑收敛
12.判别级数的敛散性（比值法）．
1
3!n n n n n ∞
=?∑收
敛
,
2
3
4
1
33333234......44444n
n n ∞=++++=? ? ?? ?????????∑收敛
13.判定级数 )11ln()1(1
1∑∞
=-+
-n n n
是否收敛?
如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解：∞→n ， n n u n 1~)11ln(+=，因为∑∞
=11n n 发散，所以∑∞
=+111n n 发散；又 )11ln(n u n += 单调递减，且0l i m =∞
→n n u ，因此∑∞
=-+-11)11l n ()1(n n n 收敛，且为条件收敛． 14.判定级数 ( )
∑∞
=--+-11
1)1(n n n n 是否收
敛? 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解
：
∞→n ,
n
n
n n n u n 21
~
111++=
-+=，
所以
(
)
∑∞=-+1
1n n n 发
散;
又n
n u n ++=
11单调递
减，且0lim =∞
→n n u ，
因此
(
)
=--+-1
1
1)1(n n n n 收敛，且为
条件收敛．
15.判别级数)1
1ln()1(1
n
n n +
-∑∞
=的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（要求说明理由）.
解 )11l n ()11l n ()1(1
1n n n n
n +=+-∑∑∞
=∞=, 则
因 1ln(1)lim
11
n n n →∞+= )11l n (1
n n +∴∑∞
=发散，原级数不绝对收敛；又1)1
1
1ln()11ln(+=++
≥+=n n u n n u 且0)11ln(lim lim =+=∞→∞→n
u n n n ∴ )11ln()1(1
n n n +-∑∞=收敛。
所以1
1ln()1(1
n
n n +-∑
=为条件收敛。
16.判别级数∑∞
=---1
1
1
32)1(n n n n
的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.
解 132-=n n n
u
131233)1(2lim lim 11<=?+=-∞→+∞→n n u u n n n n n n
∴级数∑∞
=---11
1
3
2)1(n n n n
收敛且是绝对收敛.
18. P283例3 19.求幂级数11
(1)(2)
(1)3n n
n
n x n -∞=--+∑的收敛半径和收敛区间
解 31
3)2(3)1(l i m l i m 11=
++=+∞→+∞→n n n n n n n n a a 3=∴R
23x -<，所以收敛区间为(1,5)-
20.求幂级数n
n n
x n )12(3
1
+∑
∞
=的收敛区间．解：
31
3
3)1(l i m
l i m 11=??+==+∞→+∞→n n
n n
n n n n a a
ρ， 31
==
ρ
R ， 312<+x ，所以收敛区间为)1,2(-．
21.将函数 )2)(1()(+-=x x e e x f 展开为x 的幂级数（指出收敛区间）．
解： 2)(2-+=x x e e x f
)(2!
!)2(00+∞<<-∞-+=∑∑∞=∞
=x n x n x n n n n
2!120-+=∑∞
=x n n n n 或
)(!121
+∞<<-∞+=∑∞
=x x n n
n n 22.将函数21
()ln(1)x f x xe
x -+=++展开为x 的幂级数，并指出收敛区间．解
2()ln(1)x f x exe x -=++
100
(2)(1),(11)!1n n n n n x x ex x n n +∞
∞
==-=+--<<+∑∑
1100
(2)(1),
(11)!1n n n n n n e x x x n n ++∞
∞
==-=+--<<+∑∑
10
(2)1
(1),(11!
1n n n n e x
x n n ∞
+=??-=+--<
23.将函数)2ln(
)(x x f +=展开成)1(+x 的幂级数，并写出收敛域. 解
)
2l n ()(x x f +=
∑∞
=+++-=++=0
1
1)1()
1()11ln(n n n
n x x 收敛域为 ]0,2(-
25.利用幂级数和函数求数项级数1121-∞
=
∑n n n 的和．解：作级数11
-∞
=∑n n x n
①
11
lim lim
1=+=∞→+∞→n n a a n n
n n 1=∴R
当1=x 时，n n ∑∞
=1
发散；当1
-=x 时，n n n 11
)1(-∞
=-∑发散.
所以收敛域为 )1,1(-∈x ②
x x x dx x n dx x n dx x S n n n x n n n x x -====∑?∑∑??∞=-∞=-∞=1)(1
10
11100 ③ (-1,1) )1(1
)1()(2
∈-='-=x x x x x S ④ 当21
=x 时，421)21(1
1=
=-∞=∑n n n S 26.求幂级数∑∞
=+13
)1(n n
n
n x 的和函数并写出收敛区间．
解：设111
()(),(1)3
n n
n x S x S x n x ∞
===+∑ 其中1
11()(1)3n n
n x S x n +∞
==+∑，逐项求导得： 111()()
33n n
n n n x x S x ∞∞=='==∑∑3,313
x
x
x x =
=
--
（13
x <）故
10()3x
x
S x dx x
=-?
3ln 33ln3x x =---+ 所以 113ln(3)3ln 3()()1x S x S x x
--+==-，.
29.设0>n a ，且}{n a n 为有界数列．证明：无穷级数2/31 n n a ∑∞=收敛．
证因为0>n a ，且}{n a n 为有界数列，所
以
,0..0M na t s M n ≤<>?
,0n M a n
≤<∴ 故,102/32/32/3n M a n ≤< 因为正项级数2/311n n ∞=∑收敛，由比较审敛法得知2
/31
n n a ∑∞
=收敛. 30.设级数2
1n n u ∑∞=与21
n n v ∑∞
=都收敛，证明级数21
)(n n n v u +∑∞
=也收敛．证
,222)(022222n n n n n n n n v u v v u u v u +≤++≤+≤ 因为21n n u ∑∞
=与21n n v ∑∞=都收敛，所以)22(2
21n n n v u +∑∞
=收敛，因此，级数21
)(n n n v u +∑∞
=收敛．
31.设),2,1( =≤≤n c b a n n n ，且级数∑∞
=1
n n a ，
∑∞
=1
n n
c
都收敛，试证明：
级数∑∞
=1n n b 收敛.
证
：
),2,1(0 =-≤-≤n a c a b n n n n 由)(1
∑∞
=-n n n a c 收敛，知
)(1
∑∞
=-n n n
a b
收敛，
所以
级
数
)]([1
1
∑∑∞
=∞=-+=n n n n
n n a b a
b 收敛.
34.设2
n
n n u u p +=
，2
n
n n u u q -=
，试证明
级数∑∞
=1
高等数学 习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).
第十一章曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于 x 轴对称, 1L 表示 L 在 x 轴上侧的部分,当 (y x f , 关于 y 是偶函数时, (=?L ds y x f , (?1 , L ds y x f C. (?-1 , 2L ds y x f D.ABC都不对 2、设 L 是以点 ((((1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1--D C B A 为顶点的正方形边界 , 则 +L y x ds = 24 D. 22 3、有物质沿曲线 L :(103 , 2, 3 2≤≤===t t z t y t x 分布,其线密度为, 2y =μ,则它 =m
++1 42dt t t t B.?++1 422dt t t t C.?++1 42dt t t D.?++1 42dt t t 4.求 , ?L xds 其中 L 为由 2, x y x y ==所围区域的整个边界解:( 2 2 155121241 1 1 + -= + +?
? xdx dy y y 5. , ds y L ?其中 L 为双纽线 0(( (222222>-=+a y x a y x 解:原积分 =(( 22sin 4sin 4420 2 2' 21 -==+=? ??a d a d r r r ds y L χπ π θθθθθ 6. ?+L ds y x , 22 其中 L 为 (022>=+a ax y x 原积分 =222 2cos 2a adt t a ==?π 7. , 2?L
ds x 其中 L 为球面 2222a z y x =++与平面 0=-y x 的交线 解:将 y x =代入方程 2222a z y x =++得 2222a z x =+于是 L 的参数方程:t a z t a y t a x sin , sin 2 , cos 2 == = ,又 adt ds = 原积分 =? =π π20 3222 cos 2a adt t a 8、求均匀弧(0, sin , cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标3, 0 == =? ∞ -dt e M dt e ds t t , 52cos 10
高数下册第11章复习题与答案
第十一章-无穷级数练习题 （一）.基本概念 收敛. Q Q 1.设v U n 为正项级数，下列四个命题 n -1 (1) (2) 若limU n =0,则「U n 收敛； 若v U n 收敛，贝U v U n 100收敛; n =1 n W A.级数X |U n |收敛； n =1 B.极限 lim Un =0 ; C. 极限 lim Un ^ = r ::: 1 ; F U n n D. 部分和数列Sn =?'.： Uk 有界. k 4 5.下列级数中条件收敛的是（ ). (3)若 lim U n 1 n Y U n Q Q (4)若v U n 收敛，则 n -1 中，正确的是( ) A . (1)与 (2)； C . (3)与(4)； Q Q 1,则v U n 发散; n =1 lim 5^ ::: 1 . n 匚U n ■■ 1 ' 1 ； 厂 ' n= - n cos 1 ; n 4 tn B . B .⑵与(3)； D . (4)与(1). C. 2.下列级数中，收敛的是（ 1 )? oO q ' (-1)n 1 ; n 吕 .n 1 00 1 A. ' -； n ￡ n □0 B .、 n ； n 壬 2n +1 Q Q D. ' （-1）n n 4 n, n 6.下列级数中绝对收敛的是 ). 8 1 、(-1)n — n=1 n C . 0.001 一 0.001 3 0.001 ; 1 B. ' — nw n D . 4 32 43 44 3?在下列级数中，发散的是（ ). Q Q C. (-1)n nM n 旳 1 D.二.sin . n 吕 n QO *; （二）.求等比级数的和或和函数。提示：注 意首项 C . —1—； n - n 3 n 1 7.幕级数 n x n 1在(-2, 2)上的和函数 n=0 2 s(x) = ___________ . 八2 八3 八4 3 3 3 ... 2 3 ' 4 4 4 4 oO 8.幕级数(-1)n n=0 4n s(x)= --------------- 4.条件 （ ）满足时，任意项级数 U n 定 n =1 在（-4 , 4）上的和函数 9 .无穷级数：］旳的和S =— （三）■判定正项级数的敛散 性。
高等数学下册第十一章习题答案详解
高等数学下册第十一章习题答案详解 1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0L P x y x =? ,其中(),P x y 在L 上 连续. 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段， 则 L ：12x a b t b y t =?≤≤?=? ，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ??=?=?= ??? ??? 2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明： (,)d (,0)d b L a P x y x P x x =? ?, 其中(),P x y 在L 上连续. 证：L ：0x x a x b y =?≤≤?=? ，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d b L a P x y x P x x =?? 3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）2 2()d L x y x -?,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） d L xy x ? ，其中L 为圆周()2 22x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内 的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （3） d d L y x x y +?,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π 2 的一段弧； （4） 22()d ()d L x y x x y y x y +--+?,其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5） 2d d d x x z y y z +-?Γ ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0 到π的一段弧； （6） 322 d 3d ()d x x zy y x y z ++-?Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线； （7） d d d x y y z -+?Γ,其中Γ 为有向闭折线ABCA ，这里A B C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)， ，；
高数期末复习题 第十一章 曲线积分与曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分试题 一．填空题（规范分值3分） 11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。ds y x y L ),(2μ? 11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。 x =??L L ds y x ds y x x ),(),(μμ；y =??L L ds y x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。d z y x L ??),,( 11.1.4.2 有向曲线L 的方程为???≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连 续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有： []ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P L L ??+=+βαcos ),(cos ),(),(),(， 那么αcos =；βcos =。 αcos = [][] 2 2 )()() (t y t x t x '+''βcos = [][] 2 2 )()() (t y t x t y '+'' 11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分?L dx y x P ),(=。0 11.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。dy y Q b a ),0(? 11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L ?+)(22的积分值为。其中曲线L 为圆周 ?? ?≤≤==)20(sin cos πt t a y t a x 32a π 11.1.8.3 第二类曲线积分z d x dy zy dx x ?-+2233的积分值为。其中空间曲线L 是从点A(3,2,1)到点O(0,0,0)的线段AO 。4 87 - 11.1.9.3 第一类曲面积分ds z ??∑ 1 的积分值为。
高等数学第3版(张卓奎 王金金)第十一章习题解答
第十一章 微分方程 习题11－1 1．说出下列各微分方程的阶数： （1）2 0dy dy x y dx dx ?? +-= ??? ； （2）220d Q dQ Q L R dt dt C -+=； （3）220xy y x y '''''++= ； （4）()d (76)0x y y x y dx ++-=； （5）2sin y y y x '''++= ； （6）2d sin .d ρ ρθθ += 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1）22 , 5;xy y y x '== （2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==- （3）221 , ;y x y y x ''=+= （4）21221 , sin cos .2 x x d y y e y C x C x e dx +==++ 解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ?=? ∴25y x =是方程的解． （2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得 ()()3sin 4cos 3sin 4cos 0y y x x x x ''+=-++-= ∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解． （3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 2 32 21x x x ≠+ ∴1 y x = 是方程的解． （4）∵ 21212211 cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程， 得 121sin cos 2x C x C x e ? ?--++ ?? ?121sin cos 2x x C x C x e e ??++= ???
无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十一章无穷级数 一、选择题 1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ） （A）∑∞ =+ 11 2 1 n n(B) ()()2311n n n ∑∞ = - (C) () ∑-- n n 3 11 1 (D) () n n n n1 1 1 - - ∑∞ = 2. () ∑∞ = - 2 ! 1 n n n n x 在-∞ 7.级数 () () n x n n n 5 1 1 1 1 - ∑- ∞ = - 的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2] 8. () +∞ < < ∞ - ∑∞ = x n n n x 1 !的和函数是（ B ） （A）e x(B) 1 - e x (C) 1 + e x(D) x - 1 1 9.下列级数中发散的是（ A ） （A）∑ ∞ =12 sin n nπ (B) () ∑- ∞ = - 1 1 1 1 n n n (C) ∑? ? ? ? ? ∞ =14 3 n n (D) ∑? ? ? ? ? ∞ =1 3 1 n n 10.幂级数 () ∑∞ = - 1 3 n n x 的收敛区间是（ B ） （A）()1,1- (B) ()4,2 (C) [)4,2 (D) (]4,2 11.在下列级数中发散的是（ D ） （A）∑∞ =12 3 n n (B) () n n n1 1 1 1 ∑∞ = - - (C) ∑∞ =+ 1 3 1 2 n n n (D) ∑∞ = + 1 3)1 ( 1 n n n 12.幂级数 () ()x n n n n 1 2 0! 1 2 1 + ∞ = ∑ + - 的和函数是（ D ） （A）e x(B) x cos (C) ()x+1 ln(D) x sin 第八章 多元函数微分法及其应用 8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内： （1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是 ()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。 （2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件； )y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存的充 分条件。 （3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条 件。 （4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z 2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶 混合偏导数在D 内相等的充 分条件。 8.02求函数 ()() 2 2 2 y x 1ln y x 4y ,x f ---= 的定义域，并求() y ,x f lim 0 y 2 1x →→ 。 解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x 4y 1y x 01y x 10y x 10y x 4222222 22，定义域：(){} x 4y ,1y x 0y ,x D 2 22≤<+<= 2)由初等函数的连续性知： 4 3ln 2 0211ln 02 14)0,21 (f )y ,x (f lim 2220 y 21x = ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯ ==→→ + 8.03 证明极限 422 y 0x y x xy lim +→→不存在。 证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有 2 22220x 4220 x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的， 故：极限422 y 0x y x xy lim +→→+不存在。 8.04 设 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x ,00 y x ,y x y x y ,x f 22222 22 求 ()y ,x f x 及 ()y ,x f y 习题十一 1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0 L P x y x =?其中P (x ,y )在L 上连续． 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段， 则 L ：12 x a b t b y t =?≤≤? =?，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221 d ,d d 0d 0 d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ?? = ?= ?= ??? ? ? ? 2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b L a P x y x P x,x = ?? ， 其中P (x ,y )在L 上连续． 证：L ：0 x x a x b y =?≤≤? =?，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d b L a P x y x P x x =?? 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)( )2 2 d -?L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (3)d d L y x x y +?，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π 2的一段弧； (4) ()()2 2 d d L x y x x y y x y +--+? ，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)； (5)2 d d d x x z y y z Γ+-?，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧； (6)()3 2 2 d 3d ++-?x x zy x y z Γ ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； (7)d d d L x y y z -+? ，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)， (0,0,1)； (8)( )()2 2 2d 2d L x xy x y xy y -+-?，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧． 解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2， ()()2 22 2 2 4 350 01 156d d 3 515L x y x x x x x x ??-=-=-=- ?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为 图11-1 第十一章 无穷级数 § 1 常数项级数的概念和性质 1C,2D,3C 4、若+∞=∞ →n n b lim ，0≠n b ,求 )11( 1 1 +∞ =-∑n n n b b 的值 解： (=n S 1 1143322111)11......()11()11()11( ++-=-+-+-+-n n n b b b b b b b b b b 所以 1 1 lim b S n n = ∞ → 5、若级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，问数列{n a }是否有界 解：由于0lim =∞ →n n a ，故收敛数列必有界。 6、若a a n n =∞ →lim ，求级数)(1 1∑∞ =+-n n n a a 的值 解：=n S 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a 故 a a a a a a n n n n n -=-=-+∞ →∞ =+∑1111 1)(lim )( 7、求 )( 121 21-+∞ =-∑n n n a a 的值 解：=n S +-)(3a a a a a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()( 故 )( 121 21 -+∞ =-∑n n n a a =a a a n n -=-=+∞ →1)(lim 12 8、求 ∑ ∞ =++1) 2)(1(1n n n n 的和 ()41 § 2 常数项级数的审敛法 一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性 1、 判定级数 ∑∞ =+-1 ) 13)(23(1 n n n 的敛散性 解：由于)13)(23(1 +-n n <2 1n ,而∑∞ =12 1 n n 收敛，故 ∑∞ =+-1) 13)(23(1 n n n 收敛 2、 判定敛散性 ∑∞ =1 1 n n n n 解： n n = 21 21).1(1.....1.1.<-=-+< n n n n n n n 故n n n 1>n 21,而级数∑∞=121n n 发散，故∑∞ =11 n n n n 发散 3、 判定敛散性 ∑ ∞ =+111 n n a )0(>a 习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分： （1） 22 x y L e ds +? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） 2x yzds Γ ? ，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） 2L y ds ? ，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤. 2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。 解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤ ds ad ??= = 依题意(),x y y ρ=，所求质量22 sin 2L M yds a d a π ??= ==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 2()L x y dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） 22()()L x y dx x y dy x y +--+?，其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （3） (1)xdx ydy x y dz Γ +++-? ，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4） dx dy ydz Γ -+? ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、 (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ()()L x y dx y x dy ++-?，其中L 是： （1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线； 第十一章 级 数 §1 常数项级数 1. 根据定义判断级数的敛散性，若级数收敛，求出级数的和. （1 ） 1 n ∞ =∑ 解：1 1n n k S == =∑ ，故lim 1]n n n S →∞ →∞ ==∞ 故级数发散。 （2）1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑ 解： 111111111111 ()()(1)(21)(21)221 2122121221n n n n k k k S k k k k k k n =====-=-=--+-+-++∑∑∑， 故111 lim lim (1)2212 n n n S n →∞ →∞=-=+，故级数收敛。 （3）1 11(1)2 n n n -∞ -=-∑ 解： 1 1111()(1)2121()12 321()2 n k n n n k k S --=---??= ==--????--∑， 故212lim lim 1()323n n n n S →∞ →∞??=--=??? ?，故级数收敛。 （4）1 1 1(1)5n n n -∞ =+-∑ 解 ： 1 1 111 111()1()1(1)1(1)11111155[1()][1()]55555456511()55 n n k k n n n n n n k k k k k k S --===---+--==+=+=-+-----∑∑∑故11115 lim lim [1()][1()]456512 n n n n n S →∞→∞=-+--=，故级数收敛。 2．判断下列级数的敛散性： （1） 1 1 4(1) 5 n n n n ∞ -=-∑ 解：该级数为公比45- 的等比级数，又4 15 -<，故级数收敛。 （2） 1 51( )23 n n n ∞ =+∑ 解：因为1115151()2323n n n n n n n ∞ ∞∞===+=+∑∑∑，又1151 ,23 n n n n ∞ ∞==∑∑是公比绝对值小于1的等比级数 收敛，故 1 51( )23 n n n ∞ =+∑收敛。 （3） 1 1 1(1)n n n ∞ =+∑ 解：因为11 lim 01 (1)n n e n →∞=≠+，所以级数发散。 （4） 1 51( )32n n n ∞ =+∑ 解：因为1115151()2323n n n n n n n ∞ ∞∞===+=+∑∑∑，又15 2n n ∞ =∑是公比绝对值小于1的等比级数收敛， 113n n ∞ =∑与11n n ∞=∑同敛散，故113n n ∞=∑发散，故151()23n n n ∞ =+∑发散。 3．判断下列级数的敛散性： （1） 11 21 n n ∞ =-∑ 解：112n n ∞ =∑与发散级数1 1 n n ∞=∑同敛散，又11212n n >-，所以1121n n ∞ =-∑发散 （或1 121lim 2n n n →∞-=，故1121n n ∞=-∑与发散级数11n n ∞=∑同敛散，所以1121n n ∞ =-∑发散） （2） 2 1 21n n n ∞ =++∑ 解：112n n ∞ =∑与发散级数11 n n ∞=∑同敛散，又22221122n n n n n ++>>+，故2 121n n n ∞ =++∑发散。 第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题: 1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ，则Ｌ的质量Ｍ=_______________； 2、 ⎰L ds =_______________； 3、对________的曲线积分与曲线的方向无关； 4、 ⎰ L ds y x f ),(=⎰'+'β α φϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求α________β . 5、计算下列求弧长的曲线积分： 1、 ⎰+L y x ds e 22，其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、⎰Γ yzds x 2 ，其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ，这里Ａ,Ｂ,Ｃ，Ｄ依次为点(0，0，0），（0,0,2），（1，0,2）,（1，3，2)； 3、⎰+L ds y x )(2 2 ，其中Ｌ为曲线⎩ ⎨⎧-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ； 4、计算⎰L ds y ，其中Ｌ为双纽线 )0()()(2 22222>-=+a y x a y x 。 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =,kt z =，其中π 20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ； 2、它的重心 。 答案一、1、⎰L ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长; 4、 〈。 二、1、2)4 2(-+ a e a π ；2、9;3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a 。 三、)43(322 22222k a k a a I z ππ++=；2 222436k a ak x π+=; 2222 436k a ak y ππ+-= ； 2 2222243) 2(3k a k a k z πππ++=. 第二节对坐标的曲线积分习题 一、填空题: 1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关; 2、设0),(),(≠+⎰dy y x Q dx y x P L ，则 =++⎰⎰-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+⎰dy y x Q dx y x P L ),(),(⎰'+'β α φφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应 于L 的____点; 4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________。 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、⎰ L xydx ,其中L 为圆周)0() (222 >=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） ； 2、⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(，其中L 为圆周2 22a y x =+（按逆时针方向饶行）; 3、⎰Γ +-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1，0,0)， （0，1,0），(0，0,1）； 4、 ⎰++ABCDA y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ，)0,1(-C ，)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 。 三、设z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0，0）到点(1，1） ；2、沿抛物线2x y =从点(0，0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x 222=+从点（0，0)到点(1,1）. 答案 一、1、坐标； 2、—1; 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ⎰Γ ++ds R Q P )cos cos cos (γβα⎰Γ ++=. 二、1、;2 3a π - 2、π 2-；3、 2 1 ； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==. 参考答案与提示 第11章 无穷级数 §11.1 常数项级数的概念与性质 1.(1) ⋅⋅⋅++ + + 7 5 3 !71 !51 !31 x x x x (2) ⋅⋅⋅+-+-4 32413121x x x x 2(1) n 2 1 (2) n n 1)1(1-- 3(1)发散 (2) 收敛 4(1)收敛 (2)发散 (3) 收敛 §11.2 正项级数及其审敛法 1.(1) 1 5. 26, )4)(3 12 1( 1 1 -<<-+- ∑∞ =++x x n n n n 6. ∑∞ =++- ++-0 21 2])! 2() 3(3 )! 12() 3([ )1(2 1 n n n n n x n x π π ,+∞<<∞-x 总习题十一 1.(1) ) 1(2+n n ,收敛,2 (2)3- (3)DFI (4)8 (5)2 (6) e 2 2(1)A (2)C (3)C (4)B (5)C 3(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散 (5)时且10≠>a a ,级数收敛;时1=a ，级数发散. (6)当0< a <1时级数收敛; 当a >1时级数发散; 当a =1时，s > 1级数收敛，0< s ≤1级数发散. 4(1)绝对收敛 (2)条件收敛 (3)条件收敛 (4)发散 (5)时1>a ,级数绝对收敛；时1=a ，级数条件收敛； 当0< a <1时级数发散. (6)条件收敛 5(1)]21 ,21[- (2))2 1,21(- 6(1) )1ln(122 2 2x x x +++, )1,1(-∈x (2) 3 ) 1(2x x -, )1,1(-∈x 7. 2ln 4 385- 8(1) ∑∞ =-+ 1 2)! 2(2) 2() 1(1n n n n x , +∞<<∞-x (2)⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+ - ++1 2) 1(5 13 14 1 253 n x x x x n n π , 11<<-x (3)∑ ∞ =---1 1 1 2)1(n n n n x n , 2 12 1≤<- x 9(1) 53,) 1() 1(4 1) 1(4ln 01 1 ≤<--+-+ ∑∞ =++x x n n n n n (2) 31, )1)(2 12 1( )1(0 3 22 <<--- -∑∞ =++x x n n n n n 10.提示：利用不等式)1(2 102 2 2 λ λ ++ ≤ +≤ n a n a n n 11.提示：利用不等式n n n n a c a b -≤-≤0 D. j V/ Jl + =J &卜 扫+J yds = 4J 4 第十一章 曲线积分与曲面积分(09级下学期用)§ 1对弧长的曲线积分 1设厶关于x 轴对称，厶表示丄在x 轴上侧的部分，当/(x,y)关于y 是偶函数时, 如 (B) L 2J/(x,y)ds C. -2jf(x,y)ds 都不对 厶 厶 2、设厶是以点A(l,0> 3(0.1), C(70)Q(0.-l)为顶点的正方形边界，则f 尚 =(C ) A. 4 直 4^2 D. 2^2 2 3 — 3、有物质沿曲线厶：x = f,y = ?,z = 】(0GSl)分布，其线密度为“=庙「贝 9它 3 的质量〃心(A ) 1 ___________ 1 ___________________ 1 _________________ [A IJrVl + /2 ^t 4dt B. J/2\/l + /2 ^t 4dt C ・ J J1 + , +/% 0 0 0 4・求卜血其中/.为由y = x,y = x 2所围区域的整个边界 解： L 5. J \y\ds,其中 L 为双纽线(x 2 +y 2)2 = a 2(x 2-y 2)(a>0) L 解：原积分=4j 厶 6. [ y]x 2 + y 2ds,其中[为x 2 + y 2 = ax (ci > 0) L n 2 原积分=2j a\cost\adt = 2a 2 o 7. \x 2ds,其中L 为球面，+y2 +才与平面x_y = 0的交线 解：将代入方程*+护+/=/得2X2+Z2=“2于是 L 的参数方程: cos/, y = 乂 ds = —\e ‘ co sine'di = 二, / = J" 原积分T 分S2"d,于 8、求均匀弧x = e l cosr, y = R sin r, z = e z (- oo < r < 0)的重心坐标 o ds = W ，dt 、M =、忑e'dr = J^, -X §2对坐标的曲线积分 一. 选择题 1•设厶关于X 轴对称，b 表示L 在X 轴上侧的部分，当p(x,y)关于y 是偶函数 时，J P(x, y)dx = ( D) B. 2 J P(x, y)dx C. - 2 J P(x, y\ix []都不对 L 厶 厶 2. 设厶为|时+卜| =]的正向，则{器畔字=(A) D .4 C 1111 { H+|y| u 3. L 为宀尸―的正向，{(-吧7「'M V =(B )”国2兀D.” 二、 计算 1. j(x 2 + y 2 (^r 2 -y 2)dy ,其中厶由曲线y = l-|l-x|(0 《高数》下册第十一章练习题 第十一章曲线积分与曲面积分 习题11-1 1.设在某Oy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（某,y）处它的线密度为（某,y）。用对弧长的曲线积分分别表达： （1）这曲线弧对某轴,对y轴的转动惯量I某Iy ,（2）这曲线弧的质心坐标某,y 2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3 3.计算下列对弧长的曲线积分：（1）（2） (某L2y)d，其中L为圆周某acot,yaint(0t2) 2nL(某y)d，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段 2某d，其中L为由直线y=某及抛物线y某（3）L所围成的区域的整个边界 e（4）L某2y2d，其中L为圆周某2y2a2，直线y=某及某轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界 1tttd某ecot,yeint,ze222（5）某yz，其中为曲线上相应于t从0变到2 的这段弧（6） 某2yzd，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0） ，（0,0,2），（1,0,2），y2d， ，其中L为摆线的一拱某a(tint),ya(1cot)(0t2) （1,3,2）（7）（8） LL(某2y2)d，其中L为曲线某a(cottint),ya(inttcot)(0t2) 4.求半径为ａ，中心角为 2的均匀圆弧（线密度1）的质心 0t2，它的线密度 5.设螺旋形弹簧一圈的方程为某acot,yaint,zkt，其中 (某,y,z)某2y2z2．求： I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z （２）它的质心。 习题11-2 1.设L为某Oy面内直线某a上的一段，证明： LP(某,y)d某0 2.设L为某Oy面内某轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明： LP(某,y)d某P(某,0)d某ab 3.计算下列对坐标的积分：（1）(某L2y2)d某，其中L是抛物线 y某2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧 高数下十一章重点总结+例题 第十一章曲线积分与曲面积分 【教学目标与要求】 1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法。 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法， 了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5.知道散度与旋度的概念，并会计算。 6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 【教学重点】 1.两类曲线积分的计算方法； 2.格林公式及其应用； 3.两类曲面积分的计算方法； 4.高斯公式、斯托克斯公式； 5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 【教学难点】 1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系； 7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系； 9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积 分； 10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用； 11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 【教学课时分配】(14学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 §11.1 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长); 任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i n i s M ?≈=∑),(1ηξμ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为 i i i n i s M ?==→∑),(lim 1 0ηξμλ. 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和 i i i n i s f ?=∑),(1高等数学(下册)各章总复习试题和答案及解析
高等数学 课后习题答案第十一章
第十一章青岛理工大学高数练习册答案
高数同济第六版下高等数学2第十一章答案[1]
同济六版高数练习册答案 第11章 级 数
高数第十一章习题
《高数B》同步练习册(下)答案(第11章及后)
p ,1≤p 2(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4)收敛 (5)发散 3(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 4(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 §11.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 1.(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛 (4)条件收敛 (5)条件收敛 §11.4 泰勒级数与幂级数 1.(1)A (2)C (3)D (4)A 2(1)),(+∞-∞ (2))3,3[- (3))0,2[- (4)]1,1[- 3(1))1,1(,)1(22 2 -∈-x x x (2))1,1(,11ln 4 1arctan 2 1-∈--++ x x x x x 4(1) ∑∞ =+++-01 21 22 )!12() 1(n n n n n x ,+∞<<∞-x (2) ∑ ∞ =++0 1 2)! 12(n n n x ,+∞<<∞-x (3) ∑∞ =--+ 2 )1() 1(n n n n n x x ,11≤<-x (4) ∑∞ =+-0 )1()1(n n n x n ,11<<-x
高数答案第11章
《高数》下册第十一章练习题
高数下十一章重点总结+例题