高中求函数解析式方法

高中求函数解析式方法

高中求函数解析式的方法有以下几种:

1. 列方程法:根据已知条件设置等式,然后解方程得到函数解析式。这种方法适用于一些简单的函数问题,如线性函数、二次函数等。

2. 求导法:如果已知函数的导函数和一个点上的函数值,可以通过求导得到函数解析式。这种方法适用于一些需要通过求导来确定函数解析式的问题,如最小值、最大值等。

3. 已知特殊点法:如果已知函数经过某个特殊点,可以通过该特殊点的信息来确定函数解析式。例如,如果已知函数经过原点,则可以确定函数的截距。

4. 已知导函数法:如果已知函数的导函数,可以通过积分来确定函数解析式。这种方法适用于一些需要通过积分来确定函数解析式的问题,如定积分、不定积分等。

总之,求函数解析式的方法取决于已知条件和问题的性质,需要根据具体情况选择合适的方法。

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g (x )]的解析式,求原函数f (x )的解析式.令g (x )= t ,求f (t )的解析式,再把t 换为x 即可. 例1 已知f (x x 1+)= x x x 1122++,求f (x )的解析式. 解: 设x x 1+= t ,则 x= 1 1-t (t ≠1), ∴f (t )= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(t -1)= t 2-t+1 故 f (x )=x 2-x+1 (x ≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f (x +1)= x+2 x ,求f (x )的解析式. 解: f (x +1)= 2)(x +2 x +1-1=2)1(+x -1, ∴ f (x +1)= 2)1(+x -1 (x +1≥1),将x +1视为自变量x , 则有 f (x )= x 2-1 (x ≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2)1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f (x )= x 2+7x. 评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式.

函数解析式的七种求法

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 解:设b ax x f +=)( )0(≠a ,则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴? ???? ?=-===32 12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用 配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式 解:2)1()1(2-+=+ x x x x f , 21 ≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的 变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 解:令1+= x t ,则1≥t ,2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例4已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

求函数解析式的几种方法

求函数解析式的几种方法 函数的表示方法有三种:解析式法、图像法、列表法,其中最常用的是解析式法,下面介绍几种求函数解析式的方法。 一、利用换元法求函数的解析式。 例1、已知函数f(ex)=x2+1,求函数f(x)的解析式。 解:设ex=t,t>0,则x=㏑t, f(t)=㏑2t+1.则f(x)=㏑2x+1 (x>0). 注:已知f[g(x)]是关于x的函数即f[g(x)]=F(x) 求函数f(x)的解析式。通常令g(x)=t,解出x=φ将x=φ代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t) 的解析式,再用x替换t便得f(x) 的解析式。 用换元法求函数解析式时,如果所求函数的定义域不是全体实数,需要根据实际情况标明函数的定义域. 二、根据函数的奇偶性求函数的解析式。 例2、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,﹢∞)时f(x)=x2+lg(1+x), 求函数f(x)的解析式。 解:设x∈(-∞,0),则-x∈(0,﹢∞)。f(x)=-f(-x)=-x-lg(1-x) 则当x∈(0,﹢∞),f(x)=x2+lg(1+x),x=0时,f(x)=0 x∈(-∞,0),f(x)=-x2-lg(1-x) 三、消元法求函数的解析式。 例3、已知函数f(x)满足3f(x)+2f()=4x, 求函数f(x)的解析式. 解:用代换x,列方程组解f(x)3f(x)+2f()=4x, 3f()+2f(x)=解得f(x)=x- 。 注:此题是利用消元法和函数奇偶性求函数的解析式. 四、根据对称性求函数的解析式。 例4、已知函数f(x)=x2-2x, x∈[2,3],且f(x)关于(2,0)中心对称,求x∈[1,2]上的解析式。 解:设p(x,y)是x∈[1,2]图像上的点,则其关于(2,0)的对称点为Q(4-x,-y),则-f(x)=(4-x)2-2(4-x) f(x)=-(4-x)2+2(4-x)。

高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习

高中数学求函数解析式解题方法大全 及配套练习 一、定义法: 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】

二、待定系数法:(主要用于二次函数) 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 【解析】 【例2】已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求 f(x)的解析式. 解:设二次函数f(x)= ax2+bx+c,则f(0)= c= 0 ① f(x+1)(x+1)= ax2+(2a+b)x+a+b ② 由f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、②得 解得 故f(x)= x2+7x. 【例3 】

三、换元(或代换)法: 道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 如:已知复合函数f [g(x)]的解析式,求原函数f(x)的解析式,把g(x)看成一个整体t,进行换元,从而求出f(x)的方法。实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域. 【例1】 【解析】 【例2】 【例3】 【例4】

(1) 在(1 (2) 1 (3) 【例5】 (1(2)由 【例6】 四、代入法:

求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 【例1】 解 则 解得 , 上, (五 )配凑法 【例1】: 当然,上例也可直接使用换元法

(完整版)求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g (x )]的解析式,求原函数f (x )的解析式, 把g (x )看成一个整体t ,进行换元,从而求出f (x )的方法。 例1 已知f (x x 1+)= x x x 1122++,求f (x )的解析式. 解: 设x x 1+= t ,则 x= 1 1-t (t ≠1), ∴f (t )= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(t -1)= t 2-t+1 故 f (x )=x 2-x+1 (x ≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f (x +1)= x+2x ,求f (x )的解析式. 解: f (x +1)= 2)(x +2x +1-1=2)1(+x -1, ∴ f (x +1)= 2)1(+x -1 (x +1≥1),将x +1视为自变量x ,则有 f (x )= x 2-1 (x ≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2 )1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ? ??=++=+822b a b b a 解得 ???==.7,1b a 故f (x )= x 2+7x. 评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式.

求函数的解析式的几种常见方法

求函数的解析式的几种常见方法 求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多, 若在考试的时候方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,起到事半功倍的作用。下面就对一些常用的方法举例如下. 一.换元法:已知f (g(x)),求f(x)的解析式,一般的可用换元法,具体为:令t=g(x),在求出f(t)可得f (x )的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。 例题1.已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 令t=3x+1, x=3 1-t 354)(3314)(-=?+-?=?t t f t t f 3 54)(-=?x x f 二.配凑法:把形如f(g(x))内的g(x)当做整体,在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式,再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式 例题2.已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 2)(2)1()1(22+=?+-=-?x x f x x x x f 三.待定系数法:已知函数模型(如:一次函数,二次函数,指数函数等)求解析式,首先设出函数解析式,根据已知条件代入求系数 例题3.设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x x g x g x ?=-++, 求)(x f 与)(x g . 解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2 +bx+c) 四.构造法:求抽象函数的解析式,往往通过变换变量构造一个方程,组成方程组,利用消元法求f (x )的解析式 例题4.设函数)(x f 是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=,x x f x f 14)(2)1(3?=+ 联立方程,得: ??? ????=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 , 解得x x x f 58512)(-= 五.利用给定的特性求解析式;一般为已知x>0时, f(x)的解析式,求x<0时,f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式,根据f (x )=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)

求函数解析式的常用方法

求函数解析式的常用方法 求函数解析式是中学数学的重要内容,是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法,现总结如下: 一、待定系数法 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。 例1. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ,且不等式x 2)x (f ->的解集为(1, 3),方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根,求)x (f 的解析式。 解:因为的0x 2)x (f >+解集为(1,3), 设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且, 所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---= a 3x )a 42(ax 2++-= ① 由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ② 因为方程②有两个相等的实根, 所以0a 9a 4)] a 42([2=?-+-=?, 即,01a 4a 52=-- 解得51 a 1a -==或 又51 a ,0a -=<所以, 将5 1 a -=①得 53 x 56 x 51 )x (f 2---=。 练习:已知实系数的一次函数)(x f 满足[()]43f f x x =+,求)(x f 。

) 1x (1x )x (f ,11x ,1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以 二、换元法 已知([()])()f g x x j =,求)(x f 的解析式。 例2 若函数)(x f 满足12)1(2+=-x x f ,求)(x f 的解析式。 解析:学生思考函数的解析式表达的含义。设t x =-1,利用换元法,转化为求()f t 。利用整体思想把1x -看成一个整体,即可得到函数的解析式。注意)(x f 与()f t 是表示同一个函数。 解:令t x =-1,则1+=t x ,∴3421)1(2)(22++=++=t t t t f , 即342)(2++=x x x f 。 点评:已知([()])()f g x x j =,求)(x f 的解析式,通常用换元法,其步骤是:⑴ 设()g x t =,确定t 的取值范围;⑵ 把t 看成常数,解关于x 的方程()g x t =得到()x h t =;⑶ 将()x h t =代入()x j ,得到函数()f t 的解析式;⑷ 再用x 替换()f t 中的t 得函数)(x f 的解析式。 注意:利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围,即)x (f 的定义域。 练习:已知x 2x )1x (f +=+,求)x (f 。 三、凑配法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例1. 已知x 2x )1x ( f +=+,求)x (f 。 解:因为 练习: 已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 四、方程组法 根据题意,通过建立方程组求函数解析式的方法。 例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-,求)x (f 的解析式。 解:1x )x (f 2)x (f +=+- , ①

高中数学-求函数解析式的方法

求函数解析式的方法 求函数解析式常用的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 (一)待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例1:已知()f x 是二次函数,若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析:设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式,设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时,可设f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数时,可设f(x)= k x (k≠0);f(x)为

二次函数时,根据条件可设①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (二)换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 :已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析: 1视为t ,那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中,用t 表示x ,将右边化为t 的表达式,问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1) x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥Q 小结:①已知f[g(x)]是关于x 的函数,即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式,通常令g(x)=t ,由此能解出x=(t),将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t)的解析式,再用x 替换t ,便得f(x)的解析式。 注意:换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法,它的基本功能是:化难为易、化繁为简,以快速实现未知向已知的转换,从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的,如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式,则可用配凑法,使用

求函数解析式的6种方法

求函数解析式的6种方法 函数解析式是描述函数行为的一种数学表示方法,可以通过不同的方 法得到。以下是六种常见的方法: 1.点斜式:如果已知函数通过一点(x1,y1)且斜率为m,则可以使 用点斜式来表示函数解析式。点斜式的一般形式为y-y1=m(x-x1)。例如,如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4,则函数解析式可以表示为y- 3=4(x-2)。 2.两点式:如果已知函数通过两个点(x1,y1)和(x2,y2),则可以 使用两点式来表示函数解析式。两点式的一般形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x- x1)/(x2-x1)。例如,如果已知函数通过点(1,2)和(3,4),则函数解析式 可以表示为(y-2)/(4-2)=(x-1)/(3-1)。 3. 斜截式:如果已知函数通过y轴截距b且斜率为m,则可以使用 斜截式来表示函数解析式。斜截式的一般形式为y = mx + b。例如,如 果已知函数通过y轴截距为2且斜率为3,则函数解析式可以表示为y = 3x + 2 4.一般式:一般式是一种通用的函数解析式表示方法,用Ax+By+C=0 的形式表示。其中A、B、C为常数。一般式的选择通常取决于特定问题或 需要。例如,已知函数为3x+2y-6=0,则可以将其表示为一般式。 5.法线式:如果已知函数通过一点(x1,y1),则可以使用法线式来 表示函数解析式。法线式与点斜式类似,但斜率的倒数与点斜式斜率相反。法线式的一般形式为y-y1=(-1/m)(x-x1),其中m为函数的斜率。例如, 如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4,则函数解析式可以表示为y-3=(- 1/4)(x-2)。

高中数学求解函数解析式方法(附例题)

求解函数解析式基本方法(附例题) 一、求解函数解析式 1、换元法 汇总,切记定义域 综上所述:新元代换旧元可化作:则取值范围换元,立刻确定新元的则令变形由解:由题意可知:的解析式 求已知1 1,1)(f t 1f(t)①1t 1,cos t 1sin cos ①cos 1)(cos )(f ,sin )(cos f 22 2222≤≤--=-=≤≤-==+-==x x x x x x x x f x x x Λ练习一: )的解析式(答案见文末求已知)(,2)1(2x f x x x f -=+ 2、凑配法 汇总,切记定义域求解定义域 又运用完全平方公式 解:的解析式 求已知2,2)(21 ,02)1()1()(,0,1)1(22 22 ≥-=∴≥+∴>-+=+>+=+x x x f x x x x x x x f x f x x x x x f Θ 练习二: 解析式求已知)(,45)2(2x f x x x f ++=+ 换元法和凑配法在实际运用过程中,以计算简单、准确为原则,根据题目恰当选择。

3、待定系数法 5 )1(5)(5 05)10()0(0,05)1()(5,15,1)()()(5,1)(2222+--=-==+-=∴+-===+-=x x f a a f x a x f h k h k x a x f x f x f 综上所述,解得:)点,代入计算 图像过(图像过原点又故值根据物理意义,直接赋)可得,由顶点为(数顶点式根据题意,选择二次函解:由题意可设:的解析式),且经过原点,求(是二次函数,其顶点为已知Θ 练习三: 的解析式 (求且是二次函数,已知),3)0(,12)()1()(x f f x x f x f x f =+=-+ 4、构造方程组法:

高中数学:求函数解析式的10种常见方法

求函数解析式的几种常用方法 一、配凑法: 例1:设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f . 练1:设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=,求()g x 。 练2:设21)]([++= x x x f f ,求)(x f . 练3:设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+ ,求)]([x g f . 二、待定系数法: 例1:如果反比例函数的图象经过点(1,2)-,那么这个反比例函数的解析式为 。

练1:在反比例函数k y x = 的图象上有一点P ,它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根,求反比例解析式。 练2:已知二次函数()x f 满足()00=f ,()()821++=+x x f x f ,求()x f 的解析式。 练3:已知1392)2(2 +-=-x x x f ,求)(x f . 三、换元(或代换)法: 例1:已知函数1()1x f x x -=+. 求:(1)(2)f 的值; (2)()f x 的表达式 练1:已知1)f x =+()f x 及2()f x ;

练2:已知22111(),x x f x x x ++=+求()f x . 四、消去法: 例1:设函数()f x 满足()x x f x f =??? ??+12,()0≠x ,求()f x . 练1:已知1()2()32f x f x x -=+,求()f x . 练2:已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12+=+-x x f x f ,()0≠x ,求()f x . 练3:已知()3()21f x f x x +-=+,求()f x .

求函数解析式的几种方法

求函数解析式的几种方法 求()f x 解析式方法多,难度大.只有正确求出函数解析式才能进一步研究函数性质,因此本文介绍几种求()f x 解析式的方法,供同学们参考. 1.配凑法 例1 已知2 (1)2f x x -=+,求()f x . 解:22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+,即2()23f x x x =++. 2.换元法 例2 若2 (1)21f x x +=+,求()f x . 解:令1t x =+,则1x t =-,22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+. 2()243f x x x ∴=-+. 3.解方程组法 若已知()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 是未知量外,还出现其他未知量(如 ()f x -,1f x ?? ??? 等).可以利用相互代换得到方程组,消去()f x -或1f x ?? ??? ,进而得到()f x 的解析式. 例3 若2()()1f x f x x --=+,求()f x . 解:Q 2()()1f x f x x --=+,用x -去替换式中的x , 得2()()1f x f x x --=-+,即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+?? --=-+?,, 解方程组消去()f x -,得 ()13 x f x =+. 4.待定系数法 当题设给出函数特征,求函数的解析式时,可用此种方法,如函数为一次函数,可设()(0)f x ax b a =+≠,再利用恒等原理确定其系数.

例4 设方程210x x -+=的两根为αβ,,试求满足()f αβ=,()f βα=,(1)1f = 的二次函数()f x 的解析式. 解:由已知条件,可得1αβ+=,1αβ=g , 显然αβ≠,即0αβ-≠. 设二次函数2 ()(1)f x a x x bx c =-+++. αβQ ,为方程210x x -+=的两根, 210αα∴-+=且210ββ-+=. 222()(1)()(1)(1)(111)1f a b c f a b c f a b c ααααβββββα?=-+++=?=-+++=??=-+++=? ,, , 可得1b c b c a b c αββα+=??+=??++=?,,, 故111 a b c =??=-??=?,,, 22()(1)122f x x x x x x ∴=-+-+=-+. 5.特值法 此法适用于所给的关系式中,无论自变量在定义域内取何值,关系式均成立,通过取某些特殊值代入题设的等式中,有时能使问题具体化、简单化,顺利找出规律,求出解析式. 例5 已知(0)1f =,()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ,,求()f x . 解法1:令0p =,得(0)(0)(1)f q f q q -=--+,即()1(1)f q q q -=--+. 又令q x -=,代入上式,得2 ()1()(1)1f x x x x x =--+=++, 2()1f x x x ∴=++. 解法2:令p q =,得(0)()(1)f f p p p =-+, 即2 ()1(1)1f p p p p p =++=++, 2()1f x x x ∴=++.

高考求函数解析式方法及例题

函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 f(x)的解析式。 ,∴f(x)=2x+7 待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1,在轴截得的线段长为,求的解析式。 x y ()f x 例题:

解法一、 1222x x a ∆ -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得 解法二、 (0)1f =41 a k ∴+=12 22x x -=222k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-22 1 ()(2)121212 f x x x x ∴= +-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设 二 【换元法】(注意新元的取值范围) 已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f ,我们常设)(x g t =,从而求得)(1t g x -=,然后代入 ))((x g f 的表达式,从而得到)(t f 的表达式,即为)(x f 的表达式。 三【配凑法(整体代换法)】 若已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f 的表达式,用换元法有困难时,(如)(x g 不存在反函数)可把)(x g 看成一个整体,把右边变为由)(x g 组成的式子,再换元求出)(x f 的式子。

换元法 () f x 211 (1)(1)1 f x x +=-22 11 (2)()f x x x x +=+例题:根据条件,分别求出函数的解析式 2 2 ()(1)12f t t t t ∴=--=-1 1t x +=(1)解:令1 1t x =-1t ≠则且2 ()2f x x x =-(1) x ≠即换元法 2()2f x x ∴=-(2) x ≥凑配法 x 1x x + 用 替代式中的 1 2x x + ≥又考虑到211 ()()2f x x x x + =+-(2)解: 【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ,解方程f(x+1)=0 分析:如何由f(x-1),求出f(x+1)是解答此题的关键 解1:f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3,∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4,∴2x -4=0,x=±2 解2:f(x-1)=2x -4x ,∴f(x+1)=f[(x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4,∴2x -4=0,x=±2 解3:令x-1=t+1,则x=t+2,∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4,∴2x -4=0,∴x=±2 评注:只要抓住关键,采用不同方法都可以达到目的。 解法1,采用配凑法; 解法2,根据对应法则采用整体思想实现目的; 解法3,采用换元法, 这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

高中数学-求函数解析式的六种常用方法 求函数解析式是高中数学中的重要内容之一,常用的方法有六种。下面分别介绍这六种方法。 一、换元法 如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式,要求原函数 $f(x)$的解析式,可以令$g(x)=t$,求$f(t)$的解析式,再把 $t$换为$x$即可。例如,已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$,要求$f(x)$的解析式。设$g(x)=\frac{1}{x}$,则 $x=\frac{1}{g(x)}$,代入$f(x)$得 $f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$,再令$t=g(x)$,则 $f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$,最后把$t$换为$x$,得到 $f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。 二、配凑法

如果已知$f(x+1)=x+2x^2$,要求$f(x)$的解析式,可以使 用配凑法。首先,把$x+1$视为自变量$x$,则有$f(x)=x^2-1$,但要注意函数的定义域的变化,即$x+1\geq 1$,即$x\geq 0$。 三、待定系数法 如果已知函数类型,可以使用待定系数法求函数的解析式。例如,已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$,$f(x+1)=f(x)+2x+8$,要求$f(x)$的解析式。设$f(x)=ax^2+bx+c$,代入已知条件得 到$c=0$,$a+b=8$,$2a+b=0$,解得$a=1$,$b=7$,$c=0$, 所以$f(x)=x^2+7x$。 四、消去法 如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$,要求 $f(x)$的解析式,可以使用消去法。把已知中的 $f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来,得到 $2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$,再把$x$换成 $\frac{1}{x}$,得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$,解 得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。

求函数解析式的几种方法

求函数解析式的几种方法 作者:华腾飞 来源:《中学生理科应试》2014年第04期 函数的解析式是研究函数性质的基础,其求法也综合了代数、三角、几何的相关知识,以及相应的数学思想方法.在给定的条件下求函数的解析式f(x)是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性比较强,求解起来有相当大的难度,但是只要我们认真仔细地去探索,开拓思路,还是可以找出规律,探索出一些有效之法.下面向大家介绍求函数解析式的几种方法,希望大家能够从中得到有益的启示. 一、定义法 适用于给出满足函数定义的特殊情形,求函数的解析式. 例1设f (x)为定义在实数集R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图像是经过点(-2, 0)斜率为1的射线.又在y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0, 2),且过点(-1, 1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式(图像略). 解析当x≤-1时,设f(x)=x+b,则由0=-2+b,得b=2,从而f (x)=x+2; 当-1 当x≥1时,f(x)=-x+2. ∴f (x)=x+2(x≤-1) 2-x2(-1 -x+2(x≥1) 注意:求解析式时,要注意自变量的定义域. 二、换元法 适用于已知复合函数的解析式,求原函数的解析式. 例2已知f(x+1x)=x3+1x3,求f(x)的解析式. 解析f(x+1x)=(x+1x)(x2+1x2-1)=(x+1x)[(x+1x)2-3]=(x+1x)3-3(x+1x). 设y=x+1x的值域为:{y|y≥2或y≤-2},故f (x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).

注意:求解析式时,一定要注意复合函数中内函数的取值范围,从而限定f (x)的定义域. 例3已知f (cosx)=x2(-π 解析设cosx=u,且u∈(-1, 1),由-π 注意用换元法求解析式时,还要注意换元前后自变量的取值范围要相同. 三、消元法 适用于已知条件含有关于x与1x,x与-x的简单的函数方程,通过恰当的构造进行消元. 例4一种函数f (x)对内任意实数x有af (x)+bf (-x)=cx(| a | ≠ | b |),求函数f (x)的解析式. 解析将原方程中x换成-x,得af (-x)+bf (x)=-cx,与原方程联立消去f (-x),得f (x)=cxa-b. 例5对所有实数x,满足条件2f (x)+f (1-x)=x2,求f (x)的解析式. 解析将原方程中的变量x换成1-x,则有:2f (1-x)+f (x)=(1-x)2,与原方程联立消去f (1-x),得f (x)= 13(x2+2x-1). 注意消元法关键是构造与已知方程含有同样未知元的方程,通过解方程组进行消元. 四、配凑法 适用于通过适当地配凑,便于利用公式求出解析式的情形. 例6已知f (x+1x)=x2+x+1x2,求f (x). 解析∵f (x+1x)=x2+x+1x2=x+1x2+1=(x+1)2-x(x+1)x2+1=(x+1x)2-x+1x+1, ∴f (x)=x2-x+1. 注意配凑法运用的关键是要配凑出便于利用公式的式子,从而灵活地运用公式快速求解. 五、待定系数法 适用于已知函数的图像,确定函数的解析式;或已知函数的类型及其满足的方程时,常用待定系数法. 例7已知f (x)为二次函数,且满足f (2x+1)+f (2x-1)=16x2-4x+6,求f (x).

最新高中数学:函数解析式的十一种方法

高中数学:函数解析式的^一种方法 一、 定义法 二、 待定系数法 三、 换元(或代换)法 四、 配凑法 五、 函数方程组法 七、利用给定的特性求解析式 六、特殊值法 八、 累加法 九、 归纳法 十、递推法 十一、微积分法 亠、定义法: 2 【例 1】设 f(x+1)=x -3x+2,求 f(x). 2 2 f(x 1) -x 3x 2 -[(x 1) 1] 3[(x 1) 1] 2 2 (x 1) 5(x 1) 6 2 f (x) x 5x 6 [例 2】 设 f[f(x)]= x +1 ,求 f(x)• x +2 x +1 X +1 1 1 【解 设 -f[f(x)] - — 二 f (x) x +2 x 十1广 1 1 + x 1十x 亠1 2 丄 1 丄1 3 丄 1 [3】 设 f (X + ) =x + 2 ,g(x + )- 一 + -x 十 3,求 f [g(x)]. x x x x « 2丄1 4 1 2 2 [解析】 ■ f ( X + —) = X + -- (x +—) -2 * ■ ■ f (x)二 x - 2 x x x * 1 3 + 1 +1 3 +1 3 又.g(x 丁 )_x + 3 「-(x ")」3(x + — )- :g (x 厂 二 x (3x) x x x x 3 2 6 4 4 2 故 f[g(x)] =(x 一 3x) -2 = x - 6x 9x _2 【例 4】设 f (cosx) =cos17x,求 f (sin x). n ?! 【解析】f (sin x) f [cos(— x)] cos17 (— x) 2 2 IT 7T cos(8 — 17 x) cos(— 17 x) sin 17 x . 2 2

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