函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题：
1、凑配法：
已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。（注意定义域） 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).
（2） 已知221
)1
(x
x x
x f +
=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1
(2-+=+x x x x f ， 21≥+x
x
2)(2-=∴x x f )2(≥x
2、换元法： >
已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。（注意所换元的定义域的变化）
例2
（1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
(2)如果).(,,)(x f x x
x
x f 时，求则当1011≠-=
解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2
)1(-=t x
x x x f 2)1(+=+
∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1)(2-=∴x x f )1(≥x
x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t t
t f t x t x t ）（代入已知得则
3、待定系数法: <
当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,
则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a
四、构造方程组法：
已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例4 设,)1
(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f 解 x x
f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成
x
1
，得： （
x
x f x f 1
)(2)1(=- ②
解① ②联立的方程组，得：
x
x x f 32
3)(--=
五、赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解
析式。
例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式
)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f
解
对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f
'
再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2
++=x x x f
课堂练习：
1、已知f(x+1)=x 2-2x,求f(x)及f(x-2).
2、已知f （x +1）=x+2x +1,求f(x)的解析式。
3、已知f(x)为二次函数，f(x+1)+f(x-1)=2x 2-2x+4.求f(x)的解析式。
4、已知f(x)=2x+a,ϕ(x)=4
1(x 2
+3),且ϕ[f(x)]=x 2+x+1,则a= .
5、如果函数f(x)满足方程,0,)1()(≠∈=+x R x ax x
f x af 且a 为常数，且a
≠±1,求f(x)的解析式。
解：∵af(x)+f(x 1)=ax ① 将x 换成x 1，x
1
换成x 得，
af(x 1)+f(x)=x a ② 由①、②得f(x)=).()()(011122
22
≠∈--=--x R x x
a ax a a x a
ax 且 6、已知函数f(x)对任意正数m,n 均有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且f(8)=3,试求f(2)的值。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
高考求函数解析式方法及例题
函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方 f(x)的解析式。 ，∴f(x)=2x+7 待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。 x y ()f x 例题：
解法一、 1222x x a ∆ -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得 解法二、 (0)1f =Q 41 a k ∴+=12 22x x -=Q 222k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-22 1 ()(2)121212 f x x x x ∴= +-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设 二 【换元法】（注意新元的取值范围） 已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得x =))(x 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 三【配凑法（整体代换法）】 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法试题及其答案
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴? ?????=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知2 21)1 (x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
函数解析式的求法
函数解析式的求法 1.待定系数法 例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3. 解：设f(x)=ax+b(a≠0). ∴f(f(x))==af(x)+b =a(ax+b)+b =a^2x+ab+b ∴a^2x+ab+b=4x+3 ∴a^2=4,ab+b=3 解得a=2,b=1或a=-2,b=-3. ∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3. 总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。 2.换元法 换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。 常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。 例2.已知f(1-√x)=x.求f(x). 解：设1-√x=t, 则x=(1-t)^2 ∵x≥0,∴t≤1, ∴f(t)=(1-t)^2(t≤1) ∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性) 总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。 (2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。 3.配凑法 例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x). 解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5 =(3x+1)^2-12x+4 =(3x+1)^2-4(3x+1)+8 ∴f(x)=x^2-4x+8 总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。 4.消元法（又叫解方程组法） 例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x). 分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。其实质也就是解函数方程组。 解：设1/t=x,代入f(x)+2f(1/x)=x①中得： f(1/t)+2f(t)=1/t 即：f(1/x)+2f(x)=1/x② 由②×2-①得：f(x)=(2-x^2)/3x 例5.已知2f(x)-3f(-x)=2x,求f(x). 解：用-x代替x得：2f(-x)-3f(x)=-2x①, 原条件2f(x)-3f(-x)=2x② 由①×3+②×2得： f(x)=2x/5. 5.赋值法 例6.已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x). 分析：函数f(x)在实数范围类都成立的，所以对实数范围内的某些特殊值也是成立的，我们结合题中条件的特点，可令a=0.进而求解。 解：令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b+1) ∵f(0)=1 ∴f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b^2-b 令x=-b 则：f(x)=x^2+x+1 6.图像法 例7.已知函数f(x)的图像如图所示，求出函数f(x)的解析式。 解：由图像可知，该函数是分段函数，分别对每段函数求出解析式，易得： 当-1≦x<0时，f(x)=-x; 当0≦x≦1时，f(x)=-x+1 总结：已知函数图像求函数解析式，对于这类问题我们只要能够准确的应用题中图像给出的已知条件确定解析式即可。 公司管理制度 第一章总则
(完整版)求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2 )1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ? ??=++=+822b a b b a 解得 ???==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
求函数的解析式的几种常见方法
求函数的解析式的几种常见方法 求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多, 若在考试的时候方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，起到事半功倍的作用。下面就对一些常用的方法举例如下. 一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。 例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 令t=3x+1， x=3 1-t 354)(3314)(-=?+-?=?t t f t t f 3 54)(-=?x x f 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式 例题2．已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 2)(2)1()1(22+=?+-=-?x x f x x x x f 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数 例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x x g x g x ?=-++, 求)(x f 与)(x g . 解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2 +bx+c) 四．构造法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式 例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，x x f x f 14)(2)1(3?=+ 联立方程，得： ??? ????=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 五．利用给定的特性求解析式;一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f （x ）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
求函数解析式的常用方法
求函数解析式的常用方法 求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，现总结如下： 一、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例1. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ，且不等式x 2)x (f ->的解集为（1， 3），方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根，求)x (f 的解析式。 解：因为的0x 2)x (f >+解集为（1，3）， 设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且， 所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---= a 3x )a 42(ax 2++-= ① 由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ② 因为方程②有两个相等的实根， 所以0a 9a 4)] a 42([2=?-+-=?， 即,01a 4a 52=-- 解得51 a 1a -==或 又51 a ,0a -=<所以， 将5 1 a -=①得 53 x 56 x 51 )x (f 2---=。 练习：已知实系数的一次函数)(x f 满足[()]43f f x x =+，求)(x f 。
) 1x (1x )x (f ,11x ,1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以 二、换元法 已知([()])()f g x x j =，求)(x f 的解析式。 例2 若函数)(x f 满足12)1(2+=-x x f ，求)(x f 的解析式。 解析：学生思考函数的解析式表达的含义。设t x =-1，利用换元法，转化为求()f t 。利用整体思想把1x -看成一个整体，即可得到函数的解析式。注意)(x f 与()f t 是表示同一个函数。 解：令t x =-1，则1+=t x ，∴3421)1(2)(22++=++=t t t t f ， 即342)(2++=x x x f 。 点评：已知([()])()f g x x j =，求)(x f 的解析式，通常用换元法，其步骤是：⑴ 设()g x t =，确定t 的取值范围；⑵ 把t 看成常数，解关于x 的方程()g x t =得到()x h t =；⑶ 将()x h t =代入()x j ，得到函数()f t 的解析式；⑷ 再用x 替换()f t 中的t 得函数)(x f 的解析式。 注意：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。 练习：已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。 三、凑配法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例1. 已知x 2x )1x ( f +=+，求)x (f 。 解：因为 练习： 已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 四、方程组法 根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。 例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。 解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①
(完整版)求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为
二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1) x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥Q 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法 一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。 【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=? 解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1 例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2 )()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 1 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为 22，求函数)(x f y =的解析式。 分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ② 顶点式：()为函数的顶点 点其中k h a k h x a x f ,,0)()(2 ≠++= ③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f 解法1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，则 由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2 ++=bx ax x f 由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(2 2 +--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②
求解析式的八种方法
高中函数解析式的八种方法 在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知 )]([x g f 或)]([x f g ， 求)(x f 或)(x g ，或已知)(x f 或)(x g ，求)]([x g f 或)]([x f g 等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习 中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下： 一、定义法： 例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f . 解： 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5) 1(2 ++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 例2：设 2 1 )]([++= x x x f f ，求 )(x f . 解：设x x x x x x f f ++ =+++=++= 11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 例3：设33221 )1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 解：2)(2 )1(1)1(2222 -=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)() 1(3)1(1)1(3333 -=∴+-+=+=+ 故 2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f 例4：设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 解： )2 ( 17cos )]2 [cos( )(sin x x f x f -=-=π π x x x 17sin )172 cos( )172 8cos(=-=-+ =π π π. 二、待定系数法： 例5：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f . 解：显然， )(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2≠++=a c bx ax x f
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法： 已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。（注意定义域） 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知221 )1 (x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1 (2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法： 已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。（注意所换元的定义域的变化） 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2 )1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x (2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t t t f t x t x t ） （代入已知得则
3、待定系数法: 当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪ ⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法： 已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1 ，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
求函数解析式的五种方法及其例子
求函数解析式的五种方法及其例子 在数学领域中，求解函数解析式是一项重要的任务。本文将介绍五种常用的方 法来求解函数解析式，并通过例子来展示其应用。 1. 数列法：该方法适用于已知函数的输出序列，并希望找到一个函数解析式来 描述它。通过观察函数输出值之间的规律，可以尝试找到相应的数学模式。例如，若某函数的输出序列为1，4，9，16，25，...，我们可以观察到这是个平方数序列，因此函数解析式为f(x) = x^2。 2. 经验法：该方法适用于已知函数的输入和输出值，但不清楚具体的数学关系。通过绘制出函数的散点图，可以尝试通过经验找到适合的函数类型。例如，若某函数的输入和输出值如下表所示： | x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-------|-------|-------|-------|-------|-------| | y | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 我们可以观察到y值递增2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x + 1。 3. 代数法：该方法适用于通过已知函数的性质和结构来推导函数解析式。例如，若需要求解一个线性函数，已知它通过点(1, 3)和(2, 5)，可以使用直线的斜率公式 来得到函数解析式。根据两点之间的斜率公式，我们可以得到函数解析式f(x) = 2x + 1。 4. 差分法：该方法适用于已知函数的差分序列，即函数输出值之间的差异。通 过观察差分序列之间的规律，可以尝试找到函数的解析式。例如，若某函数的输出值差分序列为1, 3, 5, 7，我们可以观察到差分序列的差值为2，因此猜测函数解析 式为f(x) = 2x。
求函数解析式的常用方法
求函数解析式的常用方法 求函数的解析式不仅是最基本的题型，而且在求解的过程中还蕴含着一些思想方法和解题技巧。 一、拼凑法 将原复合函数解析式的右边拼凑了变量，然后看成整体替换成变量x ，从而得到)(x f 的解析式。 例1 已知221)1(x x x x f + =-, 求)(x f 的解析式. 解析：等式左边是关于1x x 的函数，右边是关于x 的表达式，要想办法把右边的表达式拼凑成关于1x x 的表达式即可。 解：2)1(2121)1(22222+-=++-=+=-x x x x x x x x f ，将x x 1-看成变量x ， ∴()2f x x 2 =+。 二、换元法 解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 例2 若函数)(x f 满足12)1(2 +=-x x f ，求)(x f 的解析式。 解析：学生思考函数的解析式表达的含义。设t x =-1，利用换元法，转化为求()f t 。利用整体思想把1x 看成一个整体，即可得到函数的解析式。注意)(x f 与()f t 是表示同一个函数。 解：令t x =-1，则1+=t x ，∴3421)1(2)(22++=++=t t t t f ， 即342)(2 ++=x x x f 。
点评：已知[])()(x j x g f =，求)(x f 的解析式，通常用换元法，其步骤是：⑴ 设() g x t ，确定t 的取值范围；⑵ 把t 看成常数，解关于x 的方程()g x t 得到()x h t ；⑶ 将()x h t 代入()x ，得到函数()f t 的解析式；⑷ 再用x 替换()f t 中的t 得函数)(x f 的解析式。 三、待定系数法 我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。 例3 已知实系数的一次函数)(x f 满足[()]43f f x x ，求)(x f 。 解：设一次函数b kx x f +=)()0(≠k ，则 2[()]()f f x k kx b b k x kb b ， 又[()]43f f x x ， 比较对应的系数，得⎩⎨⎧-==⎩ ⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=32123)1(42b k b k k b k 或， 故)(x f 的解析式为()21f x x 或()23f x x 。 点评：当已知函数的类型求其解析式时，常用此法。 练习：已知()f x 是二次函数且2(1)(1)244f x f x x x ，求()f x 的解 析式。 解：由题意，设)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c 2244x x 对R x ∈恒成立， 从而有2224224a b a c =⎧⎪=-⎨⎪+=⎩ ，∴ 121a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴2()21f x x x =-+，
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法 一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法 七、利用给定的特性求解析式. 六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法 一、定义法： 【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f . 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 【例2】设2 1 )]([++= x x x f f ，求)(x f . 【解析】设x x x x x x f f ++=+++=++= 11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 【例3】设33221 )1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 【解析】2)(2)1(1)1(2222 -=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)() 1(3)1(1)1(3333 -=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 【解析】 )2 (17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=π π
x x x 17sin )172 cos()1728cos(=-=-+ =π π π. 二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩ ⎨⎧⎩⎨ ⎧=-===32 12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2 +-=-x x x f ，求)(x f . 【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2≠++=a c bx ax x f 则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又 1392)2(2+-=-x x x f 比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得：⎪⎩ ⎪⎨⎧=-==312 c b a 32)(2 +-=∴x x x f 三、换元（或代换）法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 【例1】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解析】令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x