高考考前数学120个提醒
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一、集合与逻辑
1、（Ⅰ）区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；
{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝
{}2
|1,y y x
x M =+∈，则M
N =___（答：[1,)+∞）
；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）（Ⅱ）（1）
M ={}R a x ax y a 的定义域为)lg(2+-=，求M ；（2）N ={}
R a x ax y a 的值域为)lg(2+-=。
解：（1）02
>+-a x ax 在R x ∈恒成立，①当0=a 时，0>-x 在R x ∈不恒成立；②当0≠a 时，
则???<->04102a a ???
???>-<>21210a a a 或?21>a ∴M =??? ??+∞,21；（2）a x ax +-2能取遍所有的正实数。①当0=a 时，x -R ∈；②当0≠a 时，则???≥->04102a a ??????≤≤->212
10a a ?210≤ ???21,0。 2、条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。（答：a ≤0） 3、（1）}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；}|{B x A x x B A ∈∈=或 C U A={x|x ∈U 但x ?A}；B A ??若x ∈A 则 x ∈B ；真子集怎定义？含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2；如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。（答：7）（2）从集合{}n a a a a A ,,,,321???=到集合{}m b b b b B ,,,,321???=的映射有n m 个。 （3）C U (A ∩B)=C U A ∪C U B ；C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=?（4）A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U （5）补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数 c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3 (3,)2 -） 4、充要条件与命题：（1）充要条件：①充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件。②必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件。③充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。（2）四种命题：①原命题：p q ?；②逆命题：q p ?；③否命 题：p q ???；④逆否命题：q p ???；互为逆否的两个命题是等价的。 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件）（3）若p q ?且q p ≠；则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）；（4）注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别：① 命题p q ?的否定是p q ??；②否命题是p q ???；③命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”；④“p 且q ”的否定是“┐ P 或┐Q ”。（5）注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”；否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”。 二、函数与导数 5、指数式、对数式：（1 ）m n a =1m n m n a a -=，（以上0,,a m n N *>∈，且1n >）。0 1a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，（2）b N N a a b =?=log （0>a ，1≠a ，0>N ）； （3）()N M MN a a a log log log +=；（4）N M N M a a a log log log -=； （5）log log m n a a n b b m =；（6）对数恒等式:log a N a N =；（7）对数的换底公式:log log log m a m N N a =。如2 log 1()2 的值为___(答： 164 ) 6、一次函数:y=ax+b(a ≠0) b=0时奇函数； 7、二次函数：①三种形式：一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a ≠0,顶点?)；顶点式f(x)=a(x-h)2 +k ，h ，k =？；零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)（0≠a ）(轴?)；b=0偶函数；②区间最值：配方后一看开口方向, 二讨论对称轴与区间的相对位置关系； 如：若函数 42212 +-= x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ， 则b ＝ （答：2）③实根分布：先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号； 8、反比例函数：)0x (x c y ≠=平移?b x c a y -+ =(中心为(b,a)) 9、对勾函数x a x y + =是奇函数,上为增函数，， 在区间时)0(),0(,0∞+-∞ ，递增，在),a [],a (+∞--∞ 10、单调性：（Ⅰ）定义法：设1x 、2x ∈[]b a ,，1x ≠2x ，那么 []1212()()()0x x f x f x -->? 0) ()(2 121>--x x x f x f ?)(x f 在[]b a ,上是增函数； []1212()()()0x x f x f x -- 0) ()(2 121<--x x x f x f ?)(x f 在[]b a ,上是减函数。 （Ⅱ）导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导， 如果0)(≥'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(≤'x f ，则)(x f 为减函数。 如：已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞)； 注意：（１） 0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3 )(x x f =在),(+∞-∞上单调递 增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。（2）函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若 0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：12 23 m - <<）（3）复合函数由同增异减判定；（4）图像判定；（5）作用：比大小，解证不等式。 如函数( ) 2 12 log 2y x x =-+的单调递增区间是 ________(答：（1,2）)。 11、奇偶性：(1)定义：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|)；f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)；定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。(2)奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．（3）多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性：()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系 数全为零；()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零。 12、周期性：（Ⅰ）类比“三角函数图像”得：（1）若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（2）若()y f x =图像有两个对称中心 (,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（3）如果函数()y f x =的 图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为 4||T a b =-；如：已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至 少有__________个实数根（答：5）。（Ⅱ）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：（1）函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；（2）若)(1)(x f a x f = +（0≠a ，0)(≠x f ）恒成立，则2T a =；（3）若) (1 )(x f a x f -=+（0≠a ，0)(≠x f ）恒成立，则2T a =。（4）2 1 )()(2x f x f -+=)(a x f +（)(x f []1,0∈）恒成立， 则2T a =。（5）) (1 1)(a x f x f +- =（0)(≠x f ）恒成立，则a T 3=。（6）)()()(a x f x f a x f +-=+， 则a T 6=。（7）)(21x x f += ) ()(1) ()(2121x f x f x f x f ?-+，且1)(=a f （1)()(21≠?x f x f ，<021x x -a 2<）， 则a T 4=。如：①设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；②定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答： (sin )(cos )f f αβ>)； 13、常见的图象变换：（1）函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右 )0( 再向__平移3个单位而得到(答：y ；右)；②函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有__个(答： 2)。（2）函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0( x b y ++= 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原图象关于直线x y =对称，那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)((答：C) （3）函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来 的 a 1 得到的。如：①将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图 像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为___(答：(36)f x +)；②如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是___(答：1 2 x =-)．（4）函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的。 14、对称：（Ⅰ）点、曲线的对称性：(1)点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；(2)点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；(3)点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；(4)点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称 点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程(,)0f y x =；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=。如己知函数 33 (),()232 x f x x x -= ≠-，若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是__（答：2 21x y x +=-+）；(5)曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对 称曲线的方)22(y b x a f --， = 0。如若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝___（答：276x x ---） (6)形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c -。如已知函数图象C '与 2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为___（答： 2）(7)|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然 后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如①作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；②若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 （答：y 轴）（Ⅱ）函数图像本身的对称性：（1）)(x f y =的图象关于直线a x =对称?)(x a f + =)(x a f -?)2(x a f -=)(x f ；（2）)(x f y =的图象关于直线a x =对称? )(x a f + = )(x b f -?)(x b a f -+=)(x f ；如已知二次函数)(x f =bx ax +2 (0≠a )满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝___(答：2 12 x x - +)；（3）)(x f y =的图象关于点 )0,(a 对称?)(x f =)2(x a f --?)(x a f ++)(x a f -=0；（4）)(x f y =的 图象关于点),(b a 对称?)(x f =)2(2x a f b --?++)(x a f )(x a f - b 2=；（Ⅲ）两函数图像的对称：（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称；（2）函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称；（3）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-；（4）函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式 为(2)y f a x =--；（5）函数)(x f y =和函数)(1 x f y -=的图象关于直线x y =对称。 （6）两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x= 2a b -对称。但若f(a －x)＝f(b+x)，则f(x)图像关于直线x=2 b a +对称； 提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如：已知函数)(1)(R a x a a x x f ∈--+= 。求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形。 15、求解抽象函数问题的常用方法是：借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：（1）正比例函数型：()(0)f x kx k =≠---()()()f x y f x f y ±=±，)0(f 0=，)1(f c =；（2）幂函数型： αx x f =)(---()()()f xy f x f y =，()()() x f x f y f y = ，α=)1(' f ；（3）指数函数型：()x f x a =---()()()f x y f x f y +=，() ()() f x f x y f y -= ，a f =)1(（0≠a ）； （4）对数函数型：()log a f x x =---()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y =-，且1)(=a f （0>a ，1≠a ）；（5） 三角函数型：①余弦函数)(x f =x cos ，正弦函数)(x g =x sin ，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， )0(f 0=，1)(lim =→x x g x 。 ②()tan f x x =---- ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++=-。如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=- )2 (T f __（答：0） 16、反函数：①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B, 则f[f -1(x)]=x(x ∈B),f -1 [f(x)]=x(x ∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。如：已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 17、题型方法总结 （Ⅰ）判定相同函数：定义域相同且对应法则相 （Ⅱ）求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式： 2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。如：已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2 1()212 f x x x = ++）（2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如： ①已知,si n )c o s 1(2x x f =-求()2 x f 的解析式（答：2 4 2()2,[f x x x x =-+∈）；②若 221 )1(x x x x f +=-，则函数)1(-x f =___（答：223x x -+）；③若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数， 且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_____（答：(1x ）。 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如：①已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33 f x x =--）；②已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11 -x , 则()f x = （答： 2 1 x x -）。（Ⅲ）求定义域：（1）使函数解析式有意义(如：分母？偶次根式被开方数？对数真数?底数？零指数幂的底数？)；（２）实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；（３）若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；如：①若函数)(x f y =的定义域为?? ????2,21，则)(log 2x f 的定义域为____（答：{} 42|≤≤x x ）； ②若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为____（答：[1,5]）。（Ⅳ）求值域： （1） 配方法：如：求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（２）逆求法（反求法）：如：313x x y = +通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；（３） 换元法：如：①2 2s i n 3c o s 1y x x =--的值域为___（答：17 [4, ]8 -）；②21y x =+的值域为 ____（答：[)3,+∞t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；（４）三角 有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：2sin 1 1cos y θθ -= +的值域（答： 3 (,]2 -∞）；（５）不等式法 ――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2 12 21)(b b a a +的取值范围是_____（答：(,0][4,)-∞+∞）。（６） 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求1 (19)y x x x =- <<，22 9 sin 1sin y x x =+ + ，()3log 5y x =--的值域为____（答：80(0, )9、11 [,9]2 、[)0,+∞）；（７）数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如①已知点(,)P x y 在圆221x y +=上， 求 2y x +及2y x - 的取值范围（答：[33 - 、[）；② 求函数y =的值域（答：[10,)+∞）；（８）判别式法：如①求21x y x = +的值域（答：11,22?? -???? ）；② 求函数3y x =+的值域（答：1[0,]2）如求21 1 x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞）。（９）导数法；分离参数法： 如：求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）。用2种方法求下列函数的值 域：①32([1,1])32x y x x += ∈--②（)0,(,32-∞∈+-=x x x x y ；③)0,(,1 32-∞∈-+-=x x x x y （Ⅴ）解应用题：审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证。（Ⅵ）恒成立问题：分离参数法；最值法； 化为一次或二次方程根的分布问题.a ≥f(x)恒成立?a ≥[f(x)]max,；a ≤f(x)恒成立?a ≤[f(x)]min ； （Ⅶ）任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f （x ）＝()()g x h x ＋其中g （x ）＝f x f x 2（）＋（－）是偶函数，h （x ）＝f x f x 2（）－（－）是奇函数（Ⅷ）利用一些方法 （如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如：（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x += ()f y +，则()f x 的奇偶性是____（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足 ()()f x y f x = ()f y +，则()f x 的奇偶性是___（答：偶函数）； （3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的 图像如右图 所示，那么不等式0cos )( （答： (,1)(0,1)(,3)22π π- -）；（4）设()f x 的定义域为R + ，对任意,x y R +∈，都有()()()x f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1 ()12 f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答： (][)0,14,5）． 18、（1）导数几何物理意义：k=f / (x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。V ＝s / (t)表示t 时刻即时速度，a=v ′(t)表示t 时刻加速度。如一物体的运动方程是2 1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）（2）常见函数的导数： ①0='C （C 为常数），②()1 -='n n nx x ()Q n ∈，③()x x cos sin ='，④()x x sin cos -=' ⑤()x x 1 ln = ' ，()e x x a a log 1 log ='，⑥()x x e e ='，()a a a x x ln ='. （3）可导函数四则运算的求导法则：①()v u v u '±'='±，②()v u v u uv '+'='，()u C Cu '=' ③()02 ≠'-'=' ?? ? ??v v v u v u v u 。（4）复合函数的求导法则：设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且 ''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=。 19、 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 20、导数应用：⑴过某点的切线不一定只有一条； 如：已知函数3()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线 ()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。 ⑵研究单调性步骤：分析 y=f(x)定义域；求导数；解不等式f / (x)≥0得增区间；解不等式f / (x)≤0得减区间；注意f / (x)=0的点； 如：设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围___（答：03a <≤）；⑶求极值、最值步骤：求导数；求0)(='x f 的根；检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值；若左负右正,则f(x)在该根处取极小值；把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：①函数512322 3+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是__（答：5；15-）；②已知函数32 ()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__答：大，15 2 -）③方程010962 3 =-+-x x x 的实根的个数为__（答：1） 特别提醒（Ⅰ）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。（Ⅱ）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数 ()32 21f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7）（Ⅲ）导数与函数的单 调性的关系：（1）0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。（2）0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系：)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。 21、定积分：（1）牛顿-来布尼兹公式：设)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，)(x F 是函数)(x f 在区间[]b a ,上的任一原函数，即)()(' x f x F =，则： ? b a dx x f )(= )()(a F b F -（在定积分计算时，只需写出)(x f 的 一个原函数)(x F ，不需加上任意常数C ）(2)常用的积分公式： ① )1,(1 11 111 -≠∈+-+=+= +++? n R n n a n b n x dx x n n b a n b a n ； ②a b x dx x b a b a ln ln ln 1 -==? ； ③ αβα β β α cos cos ) cos (sin -=-=?x dx x ； ④ αβα β β α sin sin sin cos -==?x dx x ； ⑤a a a a dx a x ln ln αββ α -=?；⑥a b b a x e e dx e -=?。（3）①若)(x f 是奇函数，则)0(0)(≠=?-a dx x f a a 。如： 0cos 5223 =+?-dx x x π π ；②若)(x f 是奇函数，则 )0()(2)(0 ≠=?? -a dx x f dx x f a a a 。如： ??=-20 22 c o s 2c o s π ππx d x dx =0 2sin 2π x =2； 三、立几 22、位置和符号：①空间两直线：平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α、 a ∩α=A (a ?α) 、a ?α③平面与平面:α∥β、α∩β=a 23、常用定理：①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?? ???；ααββα//a a a ??? ? ?? ?⊥⊥； ②线线平行:b a b a a ////??????=??βαβα ；b a b a //????⊥⊥αα；b a b a ////??? ???=?=?γβγαβα；b c c a b a //////?? ??； ③面面平行:βαββαα////,//,??? ? ?? =???b a O b a b a ;βαβα//????⊥⊥a a ;γαβγβα//////?? ??； ④线线垂直:b a b a ⊥?????⊥αα；所成角90 ；PA a AO a a PO ⊥??? ??? ⊥?⊥αα(三垂线逆定理？)； ⑤线面垂直:ααα⊥??? ???⊥⊥=???l b l a l O b a b a ,,；βαβαβα⊥??????⊥?=?⊥a l a a l ,；βαβα⊥?? ??⊥a a //；αα⊥????⊥b a b a //； ⑥面面垂直：二面角900 ； βααβ⊥????⊥?a a ；βααβ⊥?? ?? ⊥a a //； 24、求空间角：（Ⅰ）异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0, ]2 π θ∈；（2）求法：平移以及补形法、 向量法。如：①正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于__（答： 3 3 ）；②在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为__（答：90°）；（Ⅱ）直线和平面所成的角：（1）范围：[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如：①在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1， 则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为___（答：arcsin 4 6 ）；②正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是____（答：1 3 ）；（Ⅲ）二面角：二 面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： cos S S θ?射原＝，即 面积射影定理:' cos S S θ =(平 面多边形及其射影的面积分别是S 、' S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ) 、转化为法向量的夹角。如：①正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为___（答：60）；②正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为____ （答：）；（3）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值是___（答： 1 3 ）； 25、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)?顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cos θ=S 底；正三角形四心？内切外接圆半径？ 26、空间距离：①异面直线间距离:找公垂线；②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离：直 接法、等体积、转移法、垂面法、向量法d =.③点到线距离：用三垂线定理作垂线后再求； 27、直线AB 与平面α所成的角： = =sin β ，故 =β，其中为平面α的法向量。 28、锐二面角βα--l 的平面角： cos =θ， 故=arccos θ -=πθ其中、为平面α、β的法向量。 29、空间两点间的距离公式：若)()222111,,x B ,,z y z y x A ,则 ()()()2 12212212,z z y y x x d B A -+-+-= . ★30、点Q 到直线l 的距离：h =，点P 在直线l 上，直线l 的方向向量=,向 量=。 31、点B 到平面α的距离：d = ,为平面α的法向量，AB 是面α的一条斜线，α∈A 。 32、求球面两点A 、B 距离①求|AB|②算球心角∠AOB 弧度数③用公式L 球面距离=θ球心角 ×R ；纬线半径r ＝Rcos 纬度。S 球=4πR 2 ;V 球＝ 3 4πR 3 ； 33、平面图形翻折(展开)：注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变； 34、（1）设直线OA 为平面α的斜线，其在平面内的射影为OB ，OA 与OB 所成的角为1θ，OC 在平面 α内，且与OB 所成的角为2θ，与OA 所成的角为θ，则12cos cos cos θθθ=；(2)从点O 引射线OA 、OB 、 OC ，若∠AOB=∠AOC ，则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上； 35、常用转化思想：①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行?线面平行?面面平行⑥线线垂直?线面垂直?面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化。 36、三面角公式：AB 和平面所成角是θ，AB 在平面内射影为AO ，AC 在平面内,设∠CAO=α，∠BAC=β，则cos β=cos θ cos α；长方体:对角线长l 若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α，β，γ，则有cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1；体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α， β，γ，则cos 2α+cos 2β+cos 2 γ=2；正方体和长方体外接球直径=体对角线长； 特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 四、解几 37、倾斜角α∈[0,π]，α=900 斜率不存在；斜率k=tan α=1 21 2x x y y --，其中111(,)P x y 、222(,)P x y ；直线的方向向量()b a v ,=，则直线的斜率为k = (0)b a a ≠。 38、直线方程：点斜式： y-y 1=k(x-x 1) (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )；斜截式：y=kx+b(b 为直 线l 在y 轴上的截距)；一般式：Ax+By+C=0(其中A 、B 不同时为0)；两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (111(,)P x y 、222(,)P x y 12x x ≠，12y y ≠)；截距式： 1=+b y a x (其中a 、 b 分别为直线在x 轴、y 轴上的截距，且 0,0≠≠b a )；求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解，直线Ax+By+C=0的方向向量为 =(A,-B)。 39、两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2则l 1∥l 2?k 1∥k 2,b 1≠b 2； l 1⊥l 2?k 1k 2=-1；②若l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0 ，③若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零l 1∥l 2? 21 2121C C B B A A ≠ =；④l 1∥l 2则化为同x 、y 系数后距离d=2 221||B A C C +-。 线∥线线∥面面∥面 判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→?←→??→??←→?←→?←???←→?←→? 40、l 1到l 2的角tan θ=1 2121k k k k +-；夹角tan θ=|1 2121k k k k +-|；点线距d=2 200||B A C By Ax +++； 41、（Ⅰ）圆的方程：①标准方程：(x －a)2 +(y －b)2 =r 2 ；②一般方程：x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0(D 2 +E 2 -4F>0)③参数方程：? ? ?+=+=θθ sin r b y cos r a x ；④直径式方程(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0 (11(,)A x y 、22(,)B x y 圆的直径的 端点)。（Ⅱ）圆中有关重要结论：(1)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=上的点，则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r +=；(2)若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=上的点，则过点P(0x ,0y )的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=。(3)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点，由P(0x ,0y )向圆引两条切线， 切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为200xx yy r +=。(4)若P(0x ,0y )是圆 222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=。（Ⅲ）圆的切线方程：(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=。 ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()() 022 D x x E y y x x y y F ++++++=；当00(,)x y 圆外时, 0000()() 022 D x x E y y x x y y F ++++ ++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线。 (2)已知圆2 2 2 x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2 00x x y y r +=； ②斜率为k 的圆的切线 方程为y kx =± 42、若(x 0-a)2 +(y 0-b)2 (=r 2 ，>r 2 )，则 P(x 0,y 0)在圆(x-a)2 +(y-b)2 =r 2 内(上、外) 43、直线与圆关系，常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理，构造Rt △解决弦长问题，又：ｄ>r ?相离；d=r ?相切；d 44、圆与圆关系常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d ，两圆半径分别为r ，R 则d>r+R ?两圆相离；d ＝r+R ?两圆相外切；|R －r| 45、把两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+C 1=0与x 2+y 2 +D 2x+E 2y+C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程： (D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C 2)=0；推广：椭圆、双曲线、抛物线？过曲线f 1(x,y)=0与曲线f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0 46、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 47、椭圆①方程： 1b y a x 22 22=+(a>b>0)；参数方程?? ?==θθsin b y cos a x ②定义：相应 d |P F |=e<1；|PF 1|+|PF 2|=2a>2c ③e=2 2a b 1a c -=，a 2=b 2 +c 2 ④长轴长为2a ，短轴长为2b ⑤焦半径左PF 1=a+ex ，右PF 2=a-ex ；左焦点弦 )x x (e a 2AB B A ++=，右焦点弦)x x (e a 2AB B A +-=⑥准线x=c a 2± 、通径(最短焦点弦)a b 22 ，焦准距p=c b 2 ⑦ 21F PF S ?=2 tan b 2θ，当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大，近地a-c 远地a+c ； 48、双曲线：①方程：1b y a x 2222=-(a ，b>0)②定义：相应d |P F |=e>1；||PF 1|-|PF 2||=2a<2c ③e=22a b 1a c +=,c 2=a 2+b 2 ④四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦 点不同)；到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=c a 2±、通径(最短焦点弦)a b 22 ，焦准距p=c b 2 ⑦ 2 1F PF S ?=2cot b 2 θ ⑧渐进线0b y a x 22 22=-或x a b y ±=；焦点到渐进线距离为b ； 49、抛物线：①方程：y 2 =2px ②定义：|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点；x,y 范围?轴？焦点F( 2 p ,0)，准线x=-2p ，④焦半径2p x AF A +=；焦点弦AB ＝x 1+x 2+p ；y 1y 2=－p 2，x 1x 2=4 2 p 其中A(x 1,y 1)、 B(x 2,y 2)⑤通径2p ，焦准距p ； 50、B>0，Ax+By+C>0表示直线斜上侧区域；Ax+By+C<0表示直线斜下侧区域； A>0，Ax+By+C>0表示直线斜右侧区域；Ax+By+C<0表示直线斜左侧区域； 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系。 51、过圆x 2 +y 2 =r 2 上点P(x 0,y 0)的切线为：x 0x+y 0y=r 2 ；过圆x 2 +y 2 =r 2 外点P(x 0,y 0)作切线后切点弦方程： 200r y y x x =+；过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直x 轴. 52、对称：①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、y 轴、原点、直线y=x 、y=-x 、y=x+m 、y=-x+m 的对称点分别是 (ａ,-ｂ)，(-ａ,ｂ)，(-ａ,-ｂ)，(ｂ,ａ)，(-ｂ,-ａ)，(b-m 、a+m)，(-b+m 、-a+m)②点 (ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0；关于y=x 对称曲线为f(y,x)=0；关于轴x=a 对称曲线方程为f(2a-x,y)=0；关于轴y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0；可用于折叠(反射)问题. 53、相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意二次项系数为0的讨论；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式| a |) k 1(x x k 1AB x x 2122?+=-?+= 1 22 y y k 11-?+ =|a |)k 1 1(y y 2?+=②涉及弦中点与斜率问题 常用“点差法”。如： 曲线1b y a x 22 22 =±(a,b>0)上A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)中点为M(x 0,y 0)，则K AB K OM =22 a b ；对抛 物线y 2 =2px(p ≠0)有K AB ＝2 1y y p 2+ 54、轨迹方程：直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x 1,y 1)而变化，Q(x 1,y 1)在已知曲线上，用x 、y 表示x 1、y 1,再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等. 55、解题注意：①考虑圆锥曲线焦点位置，抛物线还应注意开口方向，以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设 技巧以简化计算。如：中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax 2+Bx 2 ＝1；共渐进线 x a b y ±=的双曲线标准方程可设为λλ(b y a x 22 22=-为参数，λ ≠0)；抛物线y 2 =2px 上点可设为(p 2y 2 ,y 0)；直线的 另一种假设为x=my+a ；⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 56、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ；（2）给出OB OA +与AB 相交，则已知OB OA +过 AB 的中点；（3）给出0 =+，则已知P 是MN 的中点；（4）给出() +=+λ, 则已知,A B 与PQ 的中点三点共线；（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数 ,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,则已知C B A ,,三点共线。（6） 给出λ λ++= 1OB OA ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即λ=。（7） 给出0=?, 则已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角；给出0<=?m MB MA ,则已知A M B ∠是钝角；给出 0>=?m MB MA ,则已知AMB ∠是锐角,（8 ） 给出MP =? ? ?+λ,则已知MP 是AMB ∠的平 分线（9）平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，则已知ABCD 是菱形：（10） 平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，则已知ABCD 是矩形：（11）在ABC ?中，给出 2 22==，则已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在ABC ?中，给出=++，则已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ?中，给出?=?=?，则已知O 是 ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（★14）A B C ?中，给出 +=( )|||| AB AC AB AC λ+)(+∈R λ，通过ABC ?的内心；（★15）在ABC ?中，给出=?+?+?c b a 则已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点）；（16） 在ABC ?中，给出() 1 2 AD AB AC = +，则已知AD 是ABC ?中BC 边的中线；（17）三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长 分别为,,a b c ，则①O 为ABC ?的外心222 O A O B O C ?==。②O 为ABC ?的重心 0O A O B O C ?++=。③O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?。④O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=。⑤O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+。 五、算法57、算法的含义、程序框图（1）了解算法的含义及思想（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环58、基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。 59、算法案例：（1）求最大公约数：辗转相除法、更相减损术。（对于两个以上的正数求最大公约数可以先求其中两个数的最大公约数，在将刚得到的最大公约数与下一数在一起求最大公约数，如此下去…………….）。（2）进制数的转化：①将()2101111011转化为十进制的数；解： () 2101111011=0 12345678212120212121212021?+?+?+?+?+?+?+?+?=379. ②将()853转化为二进制的数。解：（2）()853=0 18385?+?=()1043=43 余数 432110 52 1222222110 101 将余数从下到上的顺序改排成从左到右的顺序即可。 ∴()853=()2101011 ③已知n 次多项式1 011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++，如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…， n ）的值需要k －1次乘法，（1）计算 30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0() n P x 的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…， n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？答案：（1）(n ＋3)；（2） 2n ； ④利用秦九韶算法计算多项式1876543x f(x)2 3456++++++x x x x x ＝当x=4的值的时候，需要做乘法和 加法的次数分别为（A ）A 、6，6 B 、5，6 C 、5，5 D 、6，5 六、概率 60、⑴必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0 ,2,1(0=≥i p i …)； ②P 1+P 2+…=1。⑵等可能事件的概率（古典概率）：P(A)=m/n ，理解这里m 、ｎ的意 义。；如： 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：① 215；②1021；③44 125 ；④1021）⑶互斥事件(不可能同时发生的，这时P(A ?B)=０)：P(A+B)=P(A)+P(B)； 如：有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个黑球，从A 、B 袋中各 取两个球交换后，求A 袋中仍装有4个白球的概率。（答：8 21）；⑷对立事件(A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一发生。这时P(A ?B)=０)：P(A )+P(A )＝1；⑸独立事件(事件A 、B 的发生相互独立，互不影响)：P(A ?B)＝P(A)·P(B)；如①设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为9 1 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)是____（答： 2 3 ）；②某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为____；这名同学至少得300分的概率为______（答： 0.228；0.564）；⑹独立重复事件（贝努里概型） P n (K)=C n k p k (1－p)k 表示事件A 在n 次独立重复试验中恰．好发生了．．．．k ．次． 的概率。P 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。特殊：令k=0 得：在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为．．．．．．．．P n (０)=C n 0p 0(1－p)n =(1－p)n , 令k=n 得：在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．P n (n) =C n n p n (1－p)0 =p n 61、几何概型：)(A P = 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A 62、求事件的概率首先要正确判断属于那一种事件的概率。 63、要学会正确使用排列组合知识解决概率问题。 64、概率解答过程的书写一定要以文字为主，分步进行，尽量得分。 65、⑴随机变量ξ的所有可能取值分别为1x ，2x ，．．．．．． n x ，对应的概率分别为1p ，2p ，3p ，．．． 则离散型随机变量ξ的概率分布为 其中121=???++???++n p p p ，则（1）???+???++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望；（2） ????-+???+?-+?-=n n p x x p x x p x x D 2222121)()()(ξ为ξ的方差。其中x 为1x ，2x ，．．．．．． n x 这n 个数的算术平均数。（3）数学期望与方差的性质：()b aE b a E +=+ξξ， ()ξξD a b a D 2=+，22)()(ξξξE E D -= （4）①独立事件重复试验：())1(=+=-q p q p C k p k n k k n n 为A 在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率（记在一次试验中事件A 发生地概率为p ）。②若ξ~) ,(p n B （ξ服从二项分布），记()k n k k n n q p C p n k b k p -==),;(，数学期望是：np E =ξ，方差是：npq D =ξ。 如（1）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是_____（答：1 9 ）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为____（答： 15128 ）⑷①几何分布：在独立重复试验中，某事件A 第一次发生时所作试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散 型随机变量。②若ξ~)(p G （ξ服从几何分布），记 ()p q p k g k p k 1 );(-===ξ，数学期望是：p E 1=ξ，方差是：2 p q D =ξ。 七、统计 66、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图； （1）平均数（又称期望值）设数据n x x x x ，?,,,321，则①)(1 21n x x x n x +?++= ②设a x x -=1'1， a x x -=2' 2，………a x x n n -=' ,则a x x -=' ③n f f f x f x f x f n x i i i =+?+++?++= 212211],[1 （2）方差：衡量数据波动大小()() ???? ??-+??+-=2212 1x x x x n S n （x x i -较小） ][1222221x n x x x n n -?++=（数据较小）])()[(12'' 2''1x x x x n n -+??+-= ][12' 2'2'22'1x n x x x n n -??++= )(1)(121 221x n x n x x n n i i n i i -=-=∑∑==（数据较大） 2S ---标准差。学会用修正的样本方差])()()[(1 1222212*x x x x x x n S n -+???+-+--= 67、了解三种抽样的意义，理解样本频率分布的意义。 （Ⅰ）简单随机抽样：设一个总体的个数为N 。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。（Ⅱ）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。（Ⅲ）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。 68、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法：①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时)共同点：每个个体被抽到的概率都相等 n N 。如某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n 的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= ___（答：200）； 69、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距 的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。样本平均数： ∑==+?+++=n i i n x n x x x x n x 13211)(1 样本方差： 2 222 121 [()()()]n s x x x x x x n =-+-+ +-21 1()n i i x x n ==-∑＝n 1(x 12+x 22+ x 32+…+x n 2－n 2x )方差和标 准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。 提醒：若12,, ,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,, ,n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +，方差 为22 a s 。如数据n x x x ,,,21 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据73,,73,7321+++n x x x 的平均数和 标准差分别为A ．15，36 B ．22，6 C ．15，6 D ．22，36 （答：B ） 70、正态分布：⑴正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为R x e x f x ∈= -- ,21 )(2 22)(σμσ π， 其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～() 2 ,N μσ。()f x 的图象称为正态曲线。 ⑵正态分布的期望与方差若ξ～() 2,N μσ，则2 ,E D ξμξσ== ⑶正态曲线的 x y O ⑷在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率。即 ()()00x P x x Φ=< ⑸两个重要公式： ① ， ② ⑹() 2 ,N μσ与()0,1N 的关系： ①若ξ～() 2 ,N μσ，则ξμησ-= ～()0,1N ，有()()000x P x F x μξσ-?? <==Φ ??? ②若ξ～() 2 ,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? 【例1】以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布() 2 ,N μσ， 则概率() P ξμσ-<等于（ ） A.()()μσμσΦ+-Φ- B. ()()11Φ-Φ- C. 1μσ-?? Φ ??? D. ()2μσΦ+ 解析：考查() 2 ,N μσ与()0,1N 的关系： 若ξ～() 2 ,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? 解：)(σμξ<-P =)(σμξσμ+<<-P ) (0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ1x 2 x )(0x Φ) (10x -Φ- =)( σμσμ?-+-(σ μ σμ?--=)1(?-)1(-?，答案为：B 【例2】设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N 已知()1.960.025Φ-=，则() 1.96P ξ<= A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 解法一：∵ξ～()0,1N ()()()()()1.961.96 1.96 1.96 1.9 612 1.960.950 P P ξξ∴<=-<<=Φ-Φ-=-Φ-= 解法二：因为曲线的对称轴是直线0x =，所以由图知 ()1.96P ξ>=()1.96P ξ≤-=()1.960.025Φ-=∴()1.96P ξ<=1-0.25-0.25=0.950 故答案为：C 【例3】已知随机变量ξ服从标准正态分布() 2 2,N σ，()40.84P ξ≤= 则()0P ξ≤=（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 解法一：∵()()422440.84P F ξσσ-???? ≤==Φ=Φ= ? ????? ()()02220010.16P F ξσσσ-??????∴≤==Φ=Φ-=-Φ= ? ? ??????? 。解法二：因为曲线的对称轴是直线2x =，所以由图知 ()0P ξ≤=()4P ξ>=1-()4P ξ≤=0.16，故答案为：A 练习1、设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=， 则()10P ξ-<<=（ ） A. 2 p B. 1p - C. 12p - D. 1 2p - 71、线性回归直线方程a x b y ??+=，其中∑∑==---=n i i n i i i x x y y x x b 1 2 1 ) ()((?= 2 1 21 x n x y x n y x n i i n i i i --∑∑== x b y a ??-=,(1 1 n y y n x x n i i n i i ∑∑=== =，(y x 为样本中心点，回归直线必经过),(y x 。 72、⑴样本相关系数：) )((21 2 21 2 1 y n y x n x y x n y x r n i i n i i n i i i ---= ∑∑∑===，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度，（Ⅰ） 当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关；（Ⅱ）r 越接近于1，表示线性相 关的程度越强； r 越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系；（Ⅲ）通常r ＞75.0时认 为两个变量之间有很强的线性相关关系。 ⑵相关指数：∑∑==--- =n i i n i i i y y y y R 1 2 1 2 2 )()(1（有的用2 k 来代替2 R ）， 用来刻画回归效果，2 R 越大，意味着残差平方和 ∑=-n i i i y y 1 2 ) (（其中i y 表示i y 对线性回归方程的估计值） 越小，也就说明模型的拟合效果越好，在线性回归模型中，2 R 表示解释变量对预报变量变化的贡献率。2 R 越接近于1，表示回归的效果越好。（因为2 R 越接近于1，表示解释变量和预报变量变化的线性相关性越强）⑶独立性检验：一般地，假设两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}21,x x 和{}21,y y ，其样本频数列联表（2×2列联表）为： 随机变量：) )()()(()(2 2 d b c a d c b a bc ad n K ++++-=， 根据表中的数据利用公式) )()()(()(22 d b c a d c b a bc ad n K ++++-=计算得到2 K 的观测值k 首先、假设结论不成立，即0H ：X 和Y 没有关系； 2019届高三数学《考前指导》参考答案 专题二 函数、导数 二、考题剖析 例1．解 (1)方程f(x)＝|m|，即|x －m|＝|m|. 此方程在x ∈R 时的解为x ＝0和x ＝2m.(2分) 要使方程|x －m|＝|m|在x ∈[－4，＋∞)上有两个不同的解． ∴2m≥－4且2m≠0. 则m 的取值范围是m≥－2且m≠0.(5分) (2)原 f(x 1)min ＞g(x 2)min .(7分) 对于任意x 1∈(－∞，4]，f(x 1)min ＝? ?? ?? ， m －＞ 对于任意x 2∈[3，＋∞)，g(x 2)min ＝???? ? m 2 －10m ＋9 ＜ ， m 2 － (9分) ①当m ＜3时，0＞m 2 －10m ＋9.(11分) ∴1＜m ＜3. ②当3≤m≤4时，0＞m 2 －7m.(13分) ∴3≤m≤4. ③当m≥4时，m －4＞m 2 －7m.(15分) ∴4≤m＜4＋2 3 综上所述1＜m ＜4＋2 3.(16分) 例2．解: （I ）,2)(x a x x f - ='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ① ………………2分 又x a x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x . ∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………4分 由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………5分 （II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(x x x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 列表分析 知)(x h 在∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. …………10分 （III ）设2 ' 23 122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ??=--+ =---<则, ()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >- 所以：11≤<-b 为所求范围. …………16分 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 2010年高考数学考前提醒100条 1. 注意区分集合中元素的形式：① {}x x y x -=2 |，②{ }x x y y -=2|，③{}x x y y x -=2 |),(，④{}02 =-x x ⑤ {}0|2 =-x x x 如⑴{|3}M x y x ==+， N ＝{ }2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；⑵{|(1,2)(3,4)} M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 2. 遇到B A ?或 ?=B A 不要遗忘了?=A 的情况，如：⑴}0158|{2=+-=x x x A ，，}01|{=-=ax x B 若 A B ?，求实数a 的值.(不要遗忘a =0的情况)⑵}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。（答：a ≤ 0） ⒊ ⑴{x|x=2n-1，n ∈Z}={x|x=2n+1，n ∈Z}={x|x=4n ±1，n ∈Z}⑵{x|x=2n-1，n ∈N}≠{x|x=2n+1，n ∈N} 4. C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B 5. A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U ⒍ 原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“βα sin sin ≠”是“β α≠”的 条件。（答：充分非必要条件） ⒎ 注意命题 p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ??? 命题“p 或q ”的否定是“┐p 且┐q ”，“p 且q ”的否定是“┐p 或┐q ” ⒏ 注意下面几个命题的真假：⑴“一定是”的否定是“一定不是”（真）；⑵若|x|≤3，则x ≤3；（真）⑶若x+y ≠ 3，则x ≠1或y ≠2；（真）⑷若p 为lgx ≤1，则┐p 为lgx>1；（假）⑸若A={x|x ≠1}∪{y|y ≠2},B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假) ⒐ 在映射f ：A →B 中满足两允许，两不允许：允许B 中有剩余元素，不允许中有剩余元素A ；允许多对一，不允许一对多. 10. ⑴A={(x,y)|x=a},B={(x,y)|y=f(x)},则A ∩B 中至多有一个元素;⑵若f(x)存在反函数,则方程f(x)=a 至多有一个实根. 11. 函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关 于直线a x =对称?()y f x a =+是偶函数； ②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称；函数()x a f y -=与函数()x b f y +=的图象关于直线2 b a x -= 对称；③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的 图象关于坐标原点对称；④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是增函数；若偶函 数 ()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是减函数； 12. 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13 函数与其反函数之间的一个有用的结论： ()().b f 1a b a f =?=-原函数与反函数图象的交点不全在y=x 上，如y=1+2x-x 2 （x ≥1）和其反函数图象的交点有3个：（1，2），（2，1），（ 2 51+， 2 5 1+）. 14 原函数 ()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函 数，此函数不一定单调． 15 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？奇偶性：f(x)是偶函数 ?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x); 山东省 高三高考模拟卷（一） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间 120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若i z +=1，则(2)z z +?= A ．42i - B ．42i + C ．24i + D ．4 2．已知集合}6|{2--==x x y x A ， 集合12{|log ,1}B x x a a ==>，则 A ．}03|{<≤-x x B ．}02|{<≤-x x C ．}03|{<<-x x D ．}02|{<<-x x 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示： 若某高校A 专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 A ．10 B ．20 C ．8 D ．16 4．下列说法正确的是 A ．函数x x f 1)(=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C ．命题“R x ∈?，220130x x ++>”的否定是“R x ∈?，220130x x ++<” D ．给定命题q p 、，若q p ∧是真命题，则p ?是假命题 5．将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移 8 π个单位后得到函数)(x F 的图象，则下列说法中正确的是 A ．函数)(x F 是奇函数，最小值是2- B ．函数)(x F 是偶函数，最小值是2- 高考考前数学120个提醒 一、集合与逻辑 1、（Ⅰ）区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域； {}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝ {}2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）（Ⅱ）（1） M ={}R a x ax y a 的定义域为)lg(2+-=，求M ；（2）N ={} R a x ax y a 的值域为)lg(2+-=。 解：（1）02 >+-a x ax 在R x ∈恒成立，①当0=a 时，0>-x 在R x ∈不恒成立；②当0≠a 时， 则???<->04102a a ??? ???>-<>21210a a a 或?21>a ∴M =??? ??+∞,21；（2）a x ax +-2能取遍所有的正实数。①当0=a 时，x -R ∈；②当0≠a 时，则???≥->04102a a ??????≤≤->212 10a a ?210≤c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3 (3,)2 -） 4、充要条件与命题：（1）充要条件：①充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件。②必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件。③充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。（2）四种命题：①原命题：p q ?；②逆命题：q p ?；③否命 题：p q ???；④逆否命题：q p ???；互为逆否的两个命题是等价的。 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件）（3）若p q ?且q p ≠；则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）；（4）注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别：① 命题p q ?的否定是p q ??；②否命题是p q ???；③命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”；④“p 且q ”的否定是“┐ P 或┐Q ”。（5）注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”；否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”。 2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(三) 本试卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I 卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合( ){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ?= A. ()2,+∞ B. []2,4 C. (]1,3 D. (]2,4 2.设i 为虚数单位，给出下面四个命题： 1:342p i i +>+； ()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =； ()()2 3:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点； 41:2i p z i +=+的虚部为15 i . 其中真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概 2019年高考数学考前3小时提醒 1、相信自己，相信我们平时的复习都是很全面、很扎实的！遇到设问新颖的试题，千万不要着急， 2、开考前5分钟，全面浏览一下试卷，做到心中有数儿，然后看选择题前5道和填空题前3道，争取口算、默算出结果或者找到思路、方法，开考铃声一响就能将这8道题秒杀！！！ 3、对于第8题、第14题，读完题能够有思路就做，最多给5分钟时间，还做不出结果，一定要先放弃！赶快做前三个解答。 4、第一题无论考什么类型的题，都是第一题的难度！ 5、三角函数热点公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=-，其变形： 21cos2sin 2θθ-=，21cos2cos 2 θθ+=；注意44sin cos θθ-和44sin cos θθ+的化简， 6、三角函数图象变换：sin 2sin(2)3x x π→-如何变换：沿x 轴向右平移6π个单位， 注意：“要得到········，只需将······平移······”注意“是由谁变到谁？” 7、基本不等式链： 2 min{,}max{,}112a b a b a b a b +≤≤≤≤≤+，知道其中一个的值，就可以求其它式子的范围或最值。但凡用到均值不等式求最值，一定要写“当且仅当·····”，包括解答题中！ 想到平面向量中的两个不等式式：||||||||||-≤±≤+a b a b a b （注意等号成立的条件！） ||||||||-?≤?≤?a b a b a b （数量积小于等于模之积）注意等号成立条件！ 8、遇到函数问题，先考虑定义域； 求极值、最值、零点问题，先利用导数分析函数的单调性！ 遇到不等式恒成立问题时，要先变形不等式，再设新函数，如果参变分离时就得讨论参数范围，还不如不参变分离； 遇到证明不等式，一定要先分析后构造：“要证·····，只需证····，只需证·····” 直到能轻松构造函数为止。 9、设直线y kx m =+时，要注意斜率不存在的情况，根据问题决定“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 遇到动直线过x 轴上一点(,0)m 时，可以考虑设直线：“x h y m =+”，但是要思考该直线与 x 重合时的情形，看题目中有没有“不与x 轴重合”等字样，然后再思考“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 10、立体几何的折叠问题：一定要注意：折叠前后的“变”与“不变”都哪些位置关系和数量关系；注意求“直线与平面所成角的正弦时，要先设线面角为θ，然后有 s i n |c o s ,||||| A B n A B n A B n θ?=??=?” 对于应用题、数学文化题、创新题，一定要读题三遍！！！ 注意：做选择题的方法与技巧：排除法、特殊值特殊图形法、代入检验法！！！ 祝你成功！轻松突破130分！加油！优秀的经纶毕业生！！！2019届高三数学考前指导答案
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