数学中考专题训练

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专题一：反比例函数

1.如图，，线段AB的两端点在函数(x＞0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，线段AC，BD相交于点E．当DO＝2CO时，图中阴影部分的面积等于________．

2. 如图，在函数(x＜0)和(x＞0)的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥

OB，，，则线段AB的长度等于________．

3. 如图，矩形ABCD的对角线AC经过原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点D(1，1)在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数的关系式；

(2)判断点B是否在的图象上；

(3)若P为x正半轴上一动点，OP＝x，过P作x轴的垂线，交的图象于Q，过Q作y轴的垂线，垂足为M．设矩形OPQM与矩形ABCD在第一象限内不重合部分的面积为S，求出S关于x的函数关系式．

4. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB

上，点B、E在反比例函数的图像上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为________．

5. 如图，已知反比例函数(x＞0，k是常数)的图象经过点A(1，4)，点B(m，n)，其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．

(1)写出反比例函数解析式；

(2)求证：△ACB∽△NOM；

(3)若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．

6. 如图①，△OAB中，A(0，2)，B(4，0)，将△AOB向右平移m个单位，得△O′A′B′．

(1)当m＝4时，如图②．若反比例函数的图象经过点A′，一次函数y＝ax＋b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；

(2)若反比例函数的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值

7. 如图，已知函数(x＞0)的图象经过点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1(点C位于点A 的下方)，过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．(1)求△OCD的面积；

(2)当时，求CE的长．

8. 如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数(x＞0)的图象上，△BOC的面积为8．

(1)求反比例函数的关系式．

(2)若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t(s)表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？

(3)当运动时间为s时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9. 如图，直线y＝x＋b(b≠0)交坐标轴于A，B两点，交双曲线于点D，过D作两坐标轴的垂线DC，DE，连接OD．

(1)求证：AD平分∠CDE；

(2)对任意的实数b(b≠0)，求证：AD·BD为定值；

(3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

10. 如图1，直线AB过点A(m，0)，B(0，n)，且m＋n＝20(其中m＞0，n＞0)．

(1)m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？

(2)如图2，在(1)的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值．

(3)在(2)的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t(秒)的函数关系式(0＜t＜10)．

11. 如图，已知函数与反比例函数(x＞0)的图象交于点A．将的图象向下平移6个单位后与双曲线

交于点B，与x轴交于点C．

(1)求点C的坐标；

(2)若，求反比例函数的解析式．

12 如图是反比例函数和(k1＜k2)在第一象限内的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2－k1的值为________．

13. 如图1，反比例函数(x＞0)的图象经过点A(，1)，射线AB与反比例函数图象交于另一点B(1，a)，射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．

(1)求k的值；

(2)求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；

(3)如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN 面积的最大值．

14．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=﹣的图象

上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（）

15. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．已知A（﹣2，m），B（n，﹣2），tan∠BOC=，则此一次函数的解析式为_________．

16. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=（x＞0）的图象于点A、B，交x轴于点C．

（1）求m的取值范围；

（2）若点A的坐标是（2，﹣4），且=，求m的值和一次函数的解析式．

17. 如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

(1)求k的值；

(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点(P点在第一象限)若由点

A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

18. 在平面直角坐标系中，函数y=m

x

（m＞0）的图象经过点A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂

线，垂足为C；过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AB、AD、BC、CD．

（1）求m的值；

（2）求证：CD∥AB；

（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

专题二：二次函数

1.（2015届光明二模第一道9分题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x 轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC．

（1）求出直线AC的函数解析式；

（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；

（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三

角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．

2. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

3.如图，已知一次函数的图象l与二次函数y2＝－x2＋mx＋b的图象C′都经过点B(0，1)和点C，且图象C′过点A(，0)．

(1)求二次函数的最大值；

(2)设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程的根，求a的值；

(3)若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG都始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求一点P，使PD＋PE最小，求出点P的坐标

4. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D 。

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

5. 如图，在平面直角坐标系中，OA ＝2，OB ＝4，将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°至△OCD ，若已知抛物线2y ax bx c

=++过点A ，D ，B .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）连接DB ，将△COD 沿射线DB .

①经过多少秒O 点平移后的O ′点落在线段AB 上？

②设DO 的中点为M ，在平移的过程中，点M 、A 、B 能否构成等腰三角形？若能，求出构成等腰三角形时M 点的坐标；若不能，请说明理由.

6. （2011•广东中考最后一题）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，

过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

7. （2015•南开一模最后一题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P作PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

9. 已知：m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)．

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；(注：抛物线

y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为

(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

10. （2012·广东最后一题）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

专题三：几何与动点

1.（2013·广东最后一题）有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,

4.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一∠FDE=90°,DF=4,DE=3

条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.

(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,

则∠EMC=______度；

(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;

(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.

2. 已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

3.（选做）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，

则矩形ABCD的面积为_____．

4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．

（1）求证：OD∥BE；

（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．

5. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；

（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．

6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．

（1）求证：∠CBP=∠ABP；

（2）若AB﹣BC=4，AC=8，求AE的长；

（3）当∠ABC=60°，BC=2时，点N为BC的中点，点M为边BP上一个动点，连接MC，MN，求MC+MN的最小值．

7. 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；

（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；

（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．

8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=4，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（1）求AC的长；

（2）求CE：AE的值；

（3）在CB的延长线上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并证明你的结论．

12．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且∠PBC=∠C．

（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC等于3，sinP=，求⊙O的直径；

（3）连接OC，取其中点M，连接AM并延长交于F，连接DF，求证：DF平分弦BC．

13. 如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，已知∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．

（1）求证：CE⊥AB；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）若BD=20D，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．

14. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，且BC2=CD•CA，，BE交AC于F，

（1）求证：BC为⊙O切线．

（2）判断△BCF形状并证明．

（3）已知BC=15，CD=9，求tan∠ADE的值．

15. 如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；

（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

16. （选做）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以cm/s

的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．

（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；

（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；

（3）当t＞8时，是否存在t使得=？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．

17.如图，正方形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，连接AM，AC交BN与点E，F，则EF: FN的值是__________．

18.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME

⊥BC于点E，AB2=AF•AC，cos∠ABD=，AD=12．

(1)求证：△ANM≌△ENM；

(2)求证：FB是⊙O的切线；

(3)证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

19. 如图，已知平面直角坐标系xoy 中，有一矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，AB x ∥轴， B （3

，现将纸片按如图折叠，AD ，DE 为折痕，30OAD ∠=︒．折叠后，点O 落在点1O ，点C 落在点1C ，并且1DO 与1DC 在同一直线上．

（1）求折痕AD 所在直线的解析式；

（2）求经过三点O ，1C ，C 的抛物线的解析式；

（3）若⊙P 的半径为R ，圆心P 在（2）的抛物线上运动， ⊙P 与两坐标轴都相切时，求⊙P 半径R 的值．

20．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=2，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作直线PQ ∥BD ，交CD 边于Q 点，再把△PQC 沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点．设CP=x ，△PQR 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ． （1）求∠CPQ 的度数．

（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的边AB 上？

（3）当点R 在矩形ABCD 外部时，求y 与x 的函数关系式．并求此时函数值y 的取值范围．

21. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为________cm2．

22. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD边上的点F 重合．

（1）求线段EF的长；

（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；

（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．

23. 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；

（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．