运筹学在企业投资中的应用

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2013届本科毕业论文

运筹学在企业投资中的应用

院(系)名称数学科学学院

专业名称数学与应用数学

学生姓名郭雅坤

学号110412006

指导教师张玉兰副教授

完成时间2013.5

运筹学在企业投资中的应用

郭雅坤

数学科学学院数学与应用数学学号：110412006

指导老师：张玉兰

摘要：投资决策是企业发展战略的主要组成部分．如何将有限的资本配置到市场需求的无限投资中去，满足项目投资配置的要求并取得最大的经济效益，是每个企业投资决策者必须要解决的问题．运筹学以数学为工具，寻找各种问题的最优方案，它的许多知识，例如线性规划模型、目标规划模型、动态规划模型等，在企业的投资运行中有着越来越广泛的应用．

关键词：投资决策；线性规划；动态规划；目标规划

1 现代企业投资问题分析

企业投资是指企业的决策者们为了获取更多的资产或权益，以自有的资产投入，并自愿承担相应的风险，所进行的一种很正常的经济活动．

1.1企业投资的特点[]1

(1) 投资时机的选择性

投资不是随便进行的，只有在客观上存在投资的有利条件时，企业才会根据自身的具体情况，制定合适的投资方案．

(2) 投资目的的多样性

从根本上讲，企业投资的目的都是为了获得投资收益，从而实现自己的财务目标．但是企业在投资时总是各个相对独立的项目进行的，具体投资业务的直接目的也是有区别的．总的来说，可以分为以下几种类型：

①扩充企业的规模；②控制相关子企业；③维持现有规模效益；④提高产品质量，降低生产成本；⑤承担社会义务；⑥应对经营风险．

(3) 投资收益的不确定性

投资的目标收益需要未来才能实现，最终能够收益多少，在进行投资之初是很难准确把握的．正因为如此，每项投资都存在一定的风险． (4) 投资回收的时限性

任何投资都需要有回报，但由于资金时间价值的客观存在，投资必须要及时的收回并有收益．

1.2企业投资需要考虑的因素[]2 (1) 投资风险

投资风险表现为未来收益和增值的不确定性． (2) 投资弹性

投资弹性涉及两个方面：规模弹性和结构弹性． (3) 投资管理和经营控制能力

对外投资管理与对内投资管理比较，涉及因素多、关系复杂、管理难度大． (4) 筹资能力和投资环境 (5) 投资收益

投资中考虑投资收益，要求在投资方案的选择上必须以投资收益的大小来取舍，要以投资收益具有的确定性的方案为选择对象，要分析影响投资收益的因素，并针对这些因素及其投资方案作用的方向、程度，寻求提高投资收益的有效途径． 2 运筹学应用模型介绍及案例研究 2.1 线性规划模型及案例研究[]3

线性规划模型是目前应用最广泛的一种优化方法，被广泛的应用于生产计划、物资调用、企业投资优化、资源优化配置等问题．所谓的线性规划问题即在一组线性不等式或不等式的约束之下，求一个线性函数的最大值或最小值的问题，它的一般形式为[]4：

?????+==≥+=≥+++==+++++=),...,1(,...,1,0,...,1,...,...,1,........min 2211221111n q j x q j x m p i b x a x a x a p i b x a x a x a t s x c x c z j j

i

n in i i i n in i i n

n 为自由未知量，

其中,1,j x j n =?为待定的决策变量，我们把这个已知的系数ij a 组成的矩阵

1111n m mn a a A a a ?? ?

=

? ???

称为约束矩阵．A 的列向量记为,1,;j A j n =?,A 的行向量记为.,,2,1,m i A T i =．称1122n n c x c x c x ++?+为目标函数．

企业投资决策必然要受到资源有限的约束．由于资金分配问题的影响，许多传统的选择标准将不再有效．有时企业需要考虑独立型资金分配．独立型资金分配问题运用线性规划模型进行分析，力求使投资有较好的结果．独立投资方案的特点是各方案的投资和收益具有可加性．在多个投资方案可供选择时，企业或公司在自有资金额的限定下，必须科学的确定各方案的投入比例，实现最佳的投放组合．企业在选择独立型资金分配时需要考虑以下三个方面[]5： (1) 决策变量

假设投资公司对各独立投资方案各期投入资金的百分比相同，现设投资公司对n 个独立投资方案的投资百分比分别为12,,n x x x ?． (2) 目标函数

在理想的资本市场，净现值NPV 最大等价于财富最大，净现值能比较全面的反映投资项目的经济效益情况．因此，选择n 个独立投资方案总的净现值最大作为目标函数：

.max 1i n

i i NPV x NPV ∑==

(3) 约束条件

为达到投资各期投入资金的百分比相同，须对各方案各期所需资金及公司可用于投资的资金累计处理，对于每期投资后拥有资金的余额，留作下期投资使用，资金约束的一般形式为：

m k b p x p x p x k

t t k

t tn n k

t t k

t t ,...,2,1,. (1)

1

1

221

11=≤+++∑∑∑∑====

综合以上几点，得到独立型投资方案的线性规划模型[]6为：

?????

??????????=≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============)

,...,2,1(,0...............,....

....max 1

1122111313131223111212121222111111221112211n i x b p x p x p x b p x p x p x b p x p x p x b p x p x p x t s NPV x NPV x NPV x NPV i m

t t

m t tn n m t t m

t t t t t tn n t t t t t t t tn n t t t t n n n n

案例分析一：

某房地产公司利用自有资金对三个可行投资方案进行组合投资，由于受到工程工期的和资金额的限制，只能按一定的百分比对各方案进行投资，投资分四期进行，各方案所需资金和企业各期可用于的投资资金、各方案预计净现值等资料． 如下表所示：

企业投资原始数据表（百万元）

方案要求各期的投资百分比相同，方案运行后的净现值按所投资金百分比．设对三个方案的投资百分比分别为 1,2,3x x x ，从而得到该问题的线性规划模型为：

?????

????=≥≤++≤++≤++≤++++=)

3,2,1(010

18232181519156

912113576.

.8109max 3

213213213213

21i x x x x x x x x x x x x x t s x x x NPV i

利用单纯形法求解，得到该投资方案的最优解为：%33.1315

2

1≈=

x ，,02=x %405

2

3==

x ，此时4.4max =NPV ,即投资公司每期把资金的13.33%投入方案一，40%投入方案三，方案二不投资金，这是可取得最大的净现值440万元． 2.2 动态规划模型及案例研究

动态规划是一种研究多阶段决策问题的理论和方法．我们所说的多阶段决策问题是指，一个系统，可以分成若干个阶段，任意一个阶段k ，系统的状态可以用

k x 表示（k x 可以是数量、向量、集合等）．在每一阶段k 的每一状态k x 都有一个决策集合)(k k x Q ，在)(k k x Q 中选定一个决策)(k k k x Q q ∈，状态k x 就转移到新的状态),(1k k k k q x T x =+，并且得到效益),(k k k q x R ．我们的目的就是在每一个阶段都在他的决策集合中选择一个决策，使所有阶段的总效益),(k k k

k q x R ∑达到最优，即就

是要在所有可能的策略中选取一个最优的策略，使得在预定的标准下得到最好的效果．

一般的多阶段决策问题具有这样的递推关系是：设()1n k k f x -+表示第k 个阶段的状态为k x 经过1+-k n 个阶段的最优目标函数值，则有：

{}

(){}

n n n Q q n k k n k k k Q q k k n q x R x f x f q x R x f k

k k

k ,max )()(),(max )(111∈+-∈+-=+=

根据该递推关系，从后面开始分别求出()()()1211,,n n n f x f x f x -,?，其中()1n f x 就是该多阶段决策问题的最优目标函数值．我们把这种递推关系式称为动态规划

的基本方程[]7．

我们从多阶段决策问题的数学模型可以得到，动态规划最优化原理：

对于多阶段决策问题的最优策略，如果用它的前i步策略产生的情况(加上原有的约束条件)来形成一个前i步问题，那么所给最优策略的前i阶段的策略构成这前i步问题的一个最优策略．

资源分配问题是属于线性规划、非线性规划这一类的静态问题，其主要作用是将数量一定的资源（如原材料、资金、机器设备、劳动力等）恰当的分配给若干个使用者，使总的目标函数值最优．这类问题通常与时间无关．但是，我们人为的引入时间因素，把它看做按阶段进行的一个多阶段决策问题，这就使得动态规划模型成为求解这类静态问题的有效方法[]8．

这里我们给出某总公司对子公司进行投资分配的问题．

案例分析二：

某总公司要投入600万的资金给下属的4个子公司，各个子公司所得到的利润与投资额大小的关系如下表：

表1

分析：此表表明，把600万元投入到第一、第二、第三、第四个子公司所得的利润分别为170万元、130万元、230万元、140万元；投入500万元所得的利润分别为170万元、120万元、220万元、130万元．为简化计算，本例中投资额以百万元为分配单位，并引入下面符号：

s：总公司投入的资金总量．

n ：选定的可进行投资的子公司总数．

i x ：分配给第i 个子公司的资金数量．

()i i g X ：第i 个子公司接受数量为i X 的资金后所提供的利润． ()k f X ：以数量为x 的资金跟配给K 个子公司所得的最大的总利润． 如果()i i g X 中有非线性函数，我们可以利用动态规划方法进行求解，这时我们把整个问题分成n 个阶段，构造动态模型，建立基本的方程，第一阶段讨论把资金分配给第一个子公司是的情况；第二个阶段讨论把资金分配给第一、第二个子公司时的最优分配方案，及所提供的最大利润；第K 个阶段是把资金分配给前K 个子公司时的最优方案以及提供的最大利润．根据动态规划的最优化原理，我们得到：

{}

)

,,3,2()()(max )()

()(1011n k z X f z g X f X g X f k k x

z k =-+==-≤≤ (1)

这里假设：各子公司之间进行分配时可以确定投资金额的最小分配单位，这个最小单位可以根据实际情况来确定．例如以百万元为分配单位，而X 就是按这个单位计量．这时z 仅取非负整数，即x ,...,2,1,0． {}

),,3,2()()(max

)(1,,2,1,0n k z X f z g X f k k X

z k =-+=-= (2)

解 下面我们把整个问题进行分阶段求解

第一阶段，这时第一个子公司是唯一的投资对象，显然

()()11(0,1,2,3,4,5,6)f X g X X ==

其结果可列成下表：

表2

第二阶段，这时要研究如何在第一个子公司、第二个子公司之间进行投资的最优方案，使得利润为最大，根据公式（2），当投资总额为600万元时，得：

()()(){}2210,1,6

6max 6z f g z f z =?=+-

即

240013040120100

11013010016080170

401700max )

0()6()1()5()2()4()3()3()4()2()5()1()6()0(max )6(121212*********=?

?????

?????+++++++=???????????+++++++=f g f g f g f g f g f g f g f

最优策略为（4,2）即对第一个子公司投资400万元，第二个子公司投资200万元．这时两个子公司提供的利润总额最高为240万元．

当对这两个子公司的投资额为500万元时，所能得到的最大利润为：

()()(){}2210,1,5

5max 5z f g z f z =?=+-

即

2100

120401101001001308016040170

0max )

0()5()1()4()2()3()

3()2()

4()1()

5()0(max )5(1212121212

122=????

???????++++++=??????????

?++++++=f g f g f g f g f g f g f

最优策略为（3,2），即第一个子公司投资300万元，第二个子公司投资200万元． 当对这两个子公司的投资额为400万元时，所得的最大利润为：

()()(){}2210,1,4max 4z f g z f z =?4

=+-

即

180

0110401001008013040160

0max )

0()4()1()3()2()2()3()1()4()0(max )4(12121212122=??

???

????+++++=?????????+++++=f g f g f g f g f g f 最优策略为)2,2(，即第一个子公司投资200万元，第二个子公司投资200万元．

当对这两个子公司的投资额为300万元时，所能创造的最大利润为：

()()(){}2210,1,3max 3z f g z f z =?3

=+-

即

14001004080100401300max )

0()3()1()2()2()1()3()0(max )3(12121

2122=???????++++=???????++++=f g f g f g f g f

最优策略为)1,2(，第一个子公司投资200万元，第二个子公司投资100万元．

当对这两个子公司的投资额为200万元时，所能创造的最大利润为：

()()(){}2210,1,2

2max 2z f g z f z ==+-

即

100

8040401000max )0()2()1()1()2()0(max )2(1212122=??

?

??+++=?????+++=f g f g f g f 最优策略为)0,2(即第一个子公司的投资额为200万元，第二个子公司的投资额为0. 当对这两个子公司的投资总额为100万元时，所能创造的最大利润为：

???=++=???++=40

04040

0max )0()1()1()0(max )1(12

122f g f g f

最优策略为)0,1(或)1,0(，即只对其中的任意一家投入100万元，另一家投入0万元． 很明显的我们可以得到，0)0(2=f ． 上述计算结果可以汇总成下表：

表3

第三阶段，这时要在第二阶段的基础上研究在第一、第二、第三个子公司之间进行投资的最优方案，根据公式（2）

()()(){}33

2

0,1,,max

z X

f X

g z f X z =?=+-

当6X =时，所能创造的最大利润为：

()()(){}3320,1,,6

6max 6z f g z f z =?=+-

即

310023040220100200140170180120210

502400max )0()6()1()5()2()4()3()3()4()2()5()1()6()0(max )6(23

2323232323233=?

?????

??

???+++++++=???????????+++++++=f g f g f g f g f g f g f g f

最优策略为)3,1,2(，即对第一个子公司投资200万元，第二个子公司投资100万元，第三个子公司投资300万元．

依照第二阶段的方法，当对这三家子公司的投资额分别为500万元，400万元，300万元，200万元，100万元，0万元时，所能创造的最大利润分别为：270万元，220万元，170万元，120万元，50万元，0万元． 综合本阶段的计算，最终的结果如下表：

表4

第四阶段，这时应该在第三阶段所得到的结果的基础上研究在这四个子公司之间进行投资的最优分配问题．已知能够对这四个子公司进行投资的总金额为600万元，所以，

()()(){}

4430,1,,6

6max 6z f g z f z =?=+-

即

320

01405013012012017010022080210503100max )0()6()1()5()2()4()3()3()4()2()5()1()6()0(max )6(343434343434344=?????

????????????

?????+++++++=+++++++=f g f g f g f g f g f g f g f 此时可以明显的看出，最优策略为（2,0,3,1）．这样我们就得到整个问题的最优解，即向第一个公司投资200万元，第三个公司投资300万元，第四个公司投资100万元，第二个公司不进行投资．投资600万元后该公司所能得到的最大总利润为320万元．

当投资的目标很多或者投资分配的单位较小时，计算的工作量就很大，这时必须借助Lingo,Matlab 等计算机软件来帮助完成． 2.3 目标规划模型及案例研究

目标规划是一种解决多准则问题的方法，是线性规划的特殊应用能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题．它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值，然后按目标的重要程度依次进行考虑与计算，以求得最接近各目标预定数值的方案．

在投资决策时，我们常常面临着几个方案，这些方案在技术上都是可行的，经济上也是合理的，以往的技术经济分析方法是通过对某一个经济技术指标的确定和比较来决定方案的取舍，例如通常取净现值最大的方案或者内部收益率最高的方案为最优方案，即将决策问题归结为目标问题．然而在投资选择过程中逐渐开始要求几个目标同时达到优化，既要求投资回收期短，还要求内部收益率高，又要求净现值大于零等等众多的经济指标优化．这些问题都要借助于目标规划．

一般的目标规划的模型如下[]9：