《微积分初步》期末复习资料
微积分初步（12春）期末模拟试题
一、填空题
⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 62-x
． ⒉若2sin 6sin lim
0=→kx
x
x ，则=k 1 ．
⒊曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是 2
1
21+=x y ． ⒋若
x
1
是)(x f 的一个原函数，则=')(x f dx e x 2- ． ⒌x y y y 2sin ln )(4='''++'为 4 阶微分方程. 6.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 32+x ．
7.若函数??
???
=≠+=0,0
,13sin )(x k x x
x x f ,在0=x 处连续，则=k 3 ． 8.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 1 ．
9.=?-x x d e d 2
3
2
x ．
10.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 3 ．
11.函数x x x f -++=
4)2ln(1
)(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ． 12.若24sin lim 0=→kx x
x ，则=k 2 ．
13.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是
1+=x y
．
14.=+?e
1
2d )1ln(d d x x x
．
15.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 16.函数24)
1ln(1
)(x x x f -++=
的定义域是 ]2,0()0,1(?- ．
17.函数1
3
22+--=x x x y 的间断点是= 1-=x ．
18.函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是 ),1[+∞- ．
19.若?+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f =
x 2cos 2 ．
20.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ． 21.函数24)
2ln(1
)(x x x f -++=
的定义域是 ]2,1()1,2(-?-- ．
23.若函数???=≠+=0,0
,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．
24.曲线x y =在点)1,1(处的斜率是
2
1 ．
25.=?x x
d 2 c x
+2
ln 2 ．
26.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为 12+=x y ． 27.函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f
62-x
．
28.当→x 0 时，x
x x f 1
sin
)(=为无穷小量. 29.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-
．
30.=+-?-x x x d )135(1
13 2 ．
31.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .
32.函数24)
2ln(1
)(x x x f -++=
的定义域是 ]2,1()1,2(-?-- ． 33.若函数?????
=≠+=0,0
,13sin )(x k x x
x x f ,在0=x 处连续，则=k 1 ． 34.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2
1
21+=
x y ． 35.='?x x s d )in (
c x +sin ．
36.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ． 37函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f
12-x
．
38.=∞→x x x 1
sin lim 1 ．
39.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是
2
1
21+=
x y
．
40.若?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． 51.微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ． 二、单项选择题
⒈函数2
e e x
x y -=-的图形关于（B ）对称．
A 。坐标原点
B 。x 轴
C ．y 轴
D 。x y =
⒉当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0
,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 ⒊函数722++=x x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调减少 B ．单调增加 C ．先减后增 D ．先增后减 ⒋下列等式成立的是（A ）． A ．
)(d )(d d
x f x x f x =?
B ．)(d )(x f x x f ='?
C ．)(d )(d x f x x f =?
D ．)()(d x f x f =? ⒌微分方程1+='y y 的通解为（B ）
A. 1e +=x c y ；
B. 1e -=x c y ；
C. c x y +=22
1
； D. c x y +=
6.设函数2
e e x
x y +=-，则该函数是（A ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
7.已知1sin )(-=
x
x
x f ，当（ D ）时，)(x f 为无穷小量. A ．+∞→x B ．∞→x C ．0→x D ． 1→x 8.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ C ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 9.以下等式成立的是（ A ）
A ．3ln 3d d 3x x
x = B ．)1(d 1d 2
2
x x x +=+ C ．
x x
x d d = D ．)1d(d ln x x x = 10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）
A. y x x y +=d d ；
B. y xy x y +=d d ；
C. x xy x y sin d d +=；
D. )(d d x y x x
y += 11.设函数x x y sin =，则该函数是（A ）．
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
12.当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0
,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
14.下列结论中（ C ）正确．
A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.
B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.
D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 15.下列等式中正确的是（D ）．
A . )cos d(d sin x x x = B. )1
d(d ln x
x x =
C. )d(d x x a x a =
D. )d(2d 1
x x x
= 16.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（B ）
A. 2；
B. 3；
C. 4；
D. 5
⒈设函数2
1001x
x y +=-，则该函数是（B ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 17.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（C ）.
A ．
x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x
x 18.设y x =lg2，则d y =（ D ）．
A ．12d x x
B ．1d x x
C ．ln10x x d
D ．1d x x ln10
19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ C ）． A ．12+=x y B ．22+=x y
C ．y = x 2 + 3
D ． y = x 2 + 4
20.微分方程1+='y y 的通解是（A ）
A. 1e -=x C y ；
B. 1e -=Cx y ；
C. C x y +=；
D. C x y +=2
2
1 21.设32)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f （ D ）
A ．12-x
B ．22-x
C ．42-x
D ．42-x
22.若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
C ．函数f (x )在点x 0处连续
D ．函数f (x )在点x 0处可微 33.函数642-+=x x y 在区间)4,4(-是（ A ）
A ．先减后增
B ．先增后减
C ．单调减少
D ．单调增加 34.若)0()(>+=x x x x f ，则='?x x f d )(（ B ）. A. c x x ++2 B. c x x ++
C. c x x ++23
23221 D. c x x ++23
22
3
35.微分方程x y y y x y sin 4)(53''='''+'的阶数为（ C ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
36.函数)
1ln(1
)(-=x x f 的定义域是（C ）．
A ．),1(+∞
B ．),1()1,0(+∞?
C ．),2()2,1(+∞?
D ．),2()2,0(+∞?
37.曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e 38.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 39.下列无穷积分收敛的是（ A ）． A ．?
∞+-02d e
x x
B ． ?
∞
+1
d 1x x
C ． ?
∞
+1
d 1
x x
D ． ?∞+0d in x x s
40.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4
41.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x
42.若函数f (x )在点x 0处可导，则( B)是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
C ．函数f (x )在点x 0处连续
D ．函数f (x )在点x 0处可微 43.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）
A ．单调增加
B ．单调减少
C ．先增后减
D ．先减后增 44.=''?x x f x d )(（ A ）
A. c x f x f x +-')()(
B. c x f x +')(
C. c x f x +')(2
1
2 D. c x f x +'+)()1(
45.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）
A. y x x y +=d d ；
B. y xy x y +=d d ；
C. x xy x y sin d d +=；
D. )(d d x y x x
y += 46.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ d ）．
A ．非奇非偶函数
B ．既奇又偶函数
C ．偶函数
D ．奇函数 47.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ c ）. A ．
x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x
x 48.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ b ）．
A ．x cos
B ．x -5
C ．2x
D ． x 2
49.设c x x
x x f +=?ln d )(，则=)(x f （c ）．
A. x ln ln
B. x x ln
C. 2
ln 1x
x - D. x 2
ln 50.下列微分方程中，（a ）是线性微分方程． A ．x y y x y x ln e sin ='-'' B ．x xy y y e 2=+' C ．y y x y e ='+'' D ． y y yx '=+ln 2
三、计算题
⒈计算极限
1
3
2lim 221----→x x x x ．
⒉设x x y e cos ln +=，求y d .
⒊计算不定积分?
x x
x
d e
21
⒋计算定积分x x e
d ln 1?
5.计算极限4
8
6lim
22
2
-+-→x x x x ．
6.设x x x y cos ln +=，求y d .
7.计算不定积分x x x
d e
2
1?
8.计算定积分x x x d cos 20
?π
9.计算极限2
38
6lim
22
2+-+-→x x x x x ．
解：原式21
4
lim )1)(2()2)(4(lim
22-=--=----=→→x x x x x x x x 10.设x x y 3cos ln +=，求y d .
解：)sin (cos 31
2x x x y -+='
x x x x
y d )cos sin 31
(d 2-=
11.计算不定积分x x d )12(10?-
解：x x d )12(10?-= c x x x +-=--?1110
)12(221)12(d )12(21
12.计算定积分x x d ln 2
e 1
?
解：
x x d ln 2
e 1
?
-
=2
1ln e x x 1e 1e e 2d 222e 1
2
+=+-=?
x x
x
13.计算极限455
4lim 221+--+→x x x x x ．
解：原式23
6
45lim )1)(4()1)(5(lim
11-=-=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y x ln e
1
+=+，求y d .
解：x x y x 1
121e 1
++='+ 9分 x x
x y x d )1
12e (d 1++=+
15.计算不定积分x x
x d 1cos
2?
解：x x x d 1cos
2?= c x x x +-=-?1
sin 1d 1cos
16.计算定积分x x x d e 1
0?
解：x x x d e 1
0?-
=1
0x xe 1d e 10
10
=-=?
x
x e e x
17.计算极限451
lim 221+--→x x x x ．
解：原式3
2
41lim )1)(4()1)(1(lim
11-=-+=---+=→→x x x x x x x x 18.设x y x cos e 2+=-，求y d .
解：x y x sin e 22--='- x x y x d )sin e 2(d 2+-=- 19.计算不定积分x x x d cos ?
解：x x x d cos ?= c x x x x x s x x ++=-?cos sin d in sin
20.计算定积分x x
x d ln 11
3e 1
?+ 解：x x x d ln 113e 1?+2ln 12)ln 1d(ln 11
3311=+=++=?e e x x x 21.计算极限4
6
lim 222----→x x x x ． 解：4
6lim 222----→x x x x 45
23lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x 22.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .
解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+='
x x x 2cos sin 35cos 5-=
x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 23.计算不定积分?
+-x x
x
x x d sin 33 解：?
+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32
ln 323
24.计算定积分?π0d sin 2
x x x
解：?π
0d sin 2x x x
2sin 212d cos 21cos 210
00πππ
ππ=+=+-=?x x x x x
25.计算极限458
6lim 224+-+-→x x x x x ．
解：原式3
2
12lim )1)(4()2)(4(lim
44=--=----=→→x x x x x x x x 26.设x y x 3sin 2+=，求y d .
解：x y x 3cos 32ln 2+=' 9分
dx x dy x )3cos 32ln 2(+= 27.计算不定积分x x x d cos ?
解：x x x d cos ?= c x x x x x s x x ++=-?cos sin d in sin
28.计算定积分x x
x
d ln 51e
1?
+
解：x x x d ln 51e 1?+e e x x x 121)5ln (1101
)5ln )d(15ln (151+=++=?
2
7)136(101=-=
29.计算极限62
3lim 222-++-→x x x x x ．
解：原式5
1
31lim )3)(2()2)(1(lim
22=+-=+---=→→x x x x x x x x 30.设x x y 2cos +=，求y d .
解：2ln 221
sin x x x
y +-=' x x
x
y x d )2sin 2ln 2(d -
=
31.计算不定积分x x d )12(10?- 解：x x d )12(10?-=
c x x x +-=--?1110
)12(221)12(d )12(21
32.计算定积分?π20
d sin x x x
解：?20
d sin π
x x x +
-=2
cos πx
x 1sin d cos 2020
==?
π
π
x x x
四、应用题
1.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？
2.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108
,108x
h h x =
= x x x x x xh x y 432108442
2
22+=?
+=+= 令0432
22=-
='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且0432
226
3
>?+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336
108
==h 时用料最省。
4.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知2232
,32x
h h x ==
x x x
x x xh x y 128
32442222+=?+=+= 令0128
22=-='x x y ，解得4=x 是惟一驻点，易知4=x 是函数的极小值点，此
时有24
32
2==h ，所以当4=x ，2=h 时用料最省． 16分
5.用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24
x
h =
所以,16
4)(22x
x xh x x S +=+=
216
2)(x
x x S -='
令0)(='x S ，得2=x ，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）
6.用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24
x
h =
所以,16
4)(22x
x xh x x S +
=+= 2162)(x
x x S -
=' 令0)(='x S ，得2=x ，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）
7.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知2232
,32x
h h x ==
x x x
x x xh x y 128
32442222+=?+=+= 令0128
22=-='x x y ，解得4=x 是惟一驻点，易知4=x 是函数的极小值点，此
时有24
32
2==h ，所以当4=x ，2=h 时用料最省． 16分
8.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108
,108x
h h x ==
x x x
x x xh x y 432
108442222+=?+=+= 令0432
22=-='x
x y ，解得6=x 是唯一驻点，
因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当
6=x ，336
108
==h 时用料最省.
微积分初步考试仿真试题
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f
．
⒉当→x 时，x
x x f 1
sin
)(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) =
．
⒋=+-?-x x x d )135(1
1
3 ．
⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 .
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)
1ln(1
)(-=
x x f 的定义域是（ ）．
A ．),1(+∞
B ．),1()1,0(+∞?
C ．),2()2,1(+∞?
D ．),2()2,0(+∞?
⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e
⒊下列结论正确的有（ ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（ ）．
A ．?
∞
+-02d e
x x
B ． ?
∞
+1
d 1x x
C ． ?
∞
+1
d 1
x x
D ． ?∞+0d in x x s
⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（ ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限4
6
lim 222----→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y d . ⒊计算不定积分?
+-x x
x
x x d sin 33 ⒋计算定积分?π0d sin 2
x x x
四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
微积分初步模拟试题答案
（供参考）
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈62-x ⒉0 ⒊2- ⒋2 ⒌x y e =
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈C ⒉ D ⒊B ⒋A ⒌ D 三、（本题共44分，每小题11分）
⒈解：4
6lim
222----→x x x x 45
23lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ⒉解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+='
x x x 2cos sin 35cos 5-=
x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊解：?
+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 3
2
ln 323
4．解：?π
0d sin 2x x x
2sin 212d cos 21cos 210
00πππ
ππ=+=+-=?x x x x x
四、应用题（本题16分）
解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24
x
h =
所以,16
4)(22x
x xh x x S +=+=
216
2)(x
x x S -='
令0)(='x S ，得2=x ，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）
微积分初步 期末复习指导
考试方式：
闭卷笔试，90分钟。 考核形式与考核成绩确定
考核形式：作业考核和期末考试相结合。
考核成绩：满分为100分，60分为及格，其中平时作业成绩占考核成绩的30％，期末
考试成绩占考核成绩的70％。
在考题试卷中为学生提供导数与积分的基本公式。 一、函数、极限与连续考核要求
1．了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。
2．了解极限概念，会求简单极限。
3．了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。 二、 导数与微分部分考核要求
1．了解导数概念，会求曲线的切线方程。 2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数。
3．了解微分的概念，掌握求微分的方法。
4．了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。 三、导数应用考核要求
1．掌握函数单调性的判别方法。
2．了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法。 3．掌握求函数最大值和最小值的方法。
四、一元函数积分考核要求
1．理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法。
2．了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分。
3．了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
五、积分应用考核要求
1．会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。
2．了解微分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。
集合教案第1课
课题：1.1集合－集合的概念（1） 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示 一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题 在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念 集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明 教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数； 2．教材中的章头引言； 3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）； 4．“物以类聚”，“人以群分”； 5．教材中例子（P4） 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，
大学高等数学微积分教案
第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0
高等数学上册教案
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 . -可修编
. -可修编 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ?A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ：
2015年电大专科微积分初步期末考试试题及答案
2015年电大专科微积分初步期末考试试题及答案微积分初步考试试题 1、填空题 1(1)函数的定义域是 ( f(x),ln(x,2)x,2x,3答案:且. 12(2)函数的定义域是 ( f(x),，4,xln(x，2) 答案: (,2,,1),(,1,2] 2(3)函数，则 ( f(x),f(x，2),x，4x，7 2 答案: f(x),x，3 3,,xsin，1,x,0x,0k,f(x),(4)若函数在处连续，则 ( ,x ,k,x,0, k,1 答案: 2(5)函数，则 ( f(x),f(x,1),x,2x 2 答案: f(x),x,1 2x,2x,3y,(6)函数的间断点是 ( x，1 x,,1 答案: 1x,limsin (7) ( x,,x 答案:1 xsin4k,lim,2(8)若，则 ( x,0kxsin k,2 答案: (1,2)(9)曲线在点的切斜率是 ( f(x),x，11答案: 2 x(10)曲线(0,1)在点的切线方程是 ( f(x),e y,x，e答案: 3x,(11)已知，则= ( f(3)f(x),x，3
2x,答案: f(x),3x，3ln3,=27( f(3)1，ln3) ,,(12)已知，则= ( f(x),lnxf(x) 11,,,f(x),,答案:，= f(x)2xx ,x,,(13)若，则 ( f(0),f(x),xe ,x,x,,答案: f(x),,2e，xe ,,,2 f(0), 2(14)函数的单调增加区间是 ( yx,,31() 答案: (1,，,) 2(15)函数在区间内单调增加，则应满足 ( a(0,，,)f(x),ax，1a,0答案: 2lnx(16)若的一个原函数为，则 . f(x)f(x), 2答案: x f(x)dx,sin2x，c(17)若，则 ( f(x), 2cos2x答案: cosxdx,______________(18)若 , sinx，c答案: 2,xde,(19) ( , 2,xe，c答案: ,(sinx)dx,(20) ( , sinx，c答案: f(x)dx,F(x)，cf(2x,3)dx,(21)若，则 ( ,, 1答案: F(2x,3)，c2 2(22)若，则 ( f(x)dx,F(x)，cxf(1,x)dx,,, 12答案: ,F(1,x)，c2 12(23) (sinxcos2x,x，x)dx,______.,,1
定积分在几何学上的应用(比赛课教案)
教学题目： 选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用 教学目标： 一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 二、过程与方法： 1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 三、情感态度与价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点： 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 课型、课时： 新课，一课时 教学工具： 常用教具，多媒体，PPT课件 教学方法： 引导法，探究法，启示法 教学过程
积分?b a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形 的面积。 当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a 非常好的定积分与微积分基本定理复习讲 义 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下 方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x . ②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x . [探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？ 提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并 且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基 本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a ) 记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 课前预测： 1.∫421x d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( ) 微积分初步形成性考核作业（一）解答 ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 解：0 20)2ln({ >-≠-x x ， 2 3{ >≠x x 所以函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是),3()3,2(+∞? 2．函数x x f -= 51)(的定义域是 ． 解：05>-x ，5 １ 微积分初步模拟试题一 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数) 2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2(+∞? ⒉函数1 322+--=x x x y 的间断点是= ． 答案：1-=x ⒊曲线1)(+= x x f 在)1,0(点的斜率是 ． 答案： 21 ⒋若?+=c x x x f 2cos d )(，则)(x f ' ． 答案：x 2cos 4- ⒌微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 ． 答案：2 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B ⒉若函数x x x f 2sin )(= ，则=→)(lim 0x f x （ ）. A ．2 1 B ．0 C ．1 D ．不存在 答案：A ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先减后增 D ．先增后减 答案：C ⒋下列无穷积分收敛的是（ ）． A ． ?∞+0d in x x s B ．?∞+-02d e x x C ．?∞ +1d 1x x D ．?∞+1d 1x x 答案：B ⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ） ２ A. c x y += 22 1； B. c x y +=2； C.c y x +=e ； D.1e -=x c y 答案：D 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈ 计算极限1 23lim 221-+-→x x x x ． 解 2112lim )1)(1()2)(1(lim 1 23lim 11221-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⒉ 设x x y cos ln 2 3 +=，求y '. 解 )sin (cos 12321x x x y -+='x x tan 2 321 -= 3．计算不定积分x x x d e 5e ?+ 解 c x x x x x x x ++=++=+??e 52d e 5)e d(5d e 5e 4．计算定积分 ?20d sin πx x x 解 ?20d sin πx x x 1sin d cos cos 202 020==+-=?ππ πx x x x x 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸 如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h = 所以,164)(22x x xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）. 第一讲毕达哥拉斯（2课时） 一、课程目标： 1、知识与技能 a.知道毕达哥拉斯的故事，感悟数学家的人格魅力 b.了解数学家对世界数学界作出的杰出贡献 2、过程与方法 a.主要以教师讲授为主，注意引导学生积极参与 b. 初步学会运用多种手段查找资料，调查研究，运用比较、分类、归纳、概括等方法主动获取有用信息 3、情感态度与价值观 a. 培养学生对数学的兴趣，激发学生对数学的热爱 b.培养学生吃苦耐劳精神 c、培养学生的合作精神 二．重点难点 重点：毕达哥拉斯的主要数学成就 难点：毕达哥拉斯数学成就的理解 三．教学过程 1.课前准备：分小组利用书籍、报刊、网络收集毕达哥拉斯的生平以及他在数学领域的主要贡献 2. 毕达哥拉斯的生平简介 毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC—497 BC)古希腊数学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在 公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。 泰勒斯(Thales)在哲学上有个对立面，这个人就是首先提出物质运动应该符合数学规律的古希腊哲学家、数学家、天文学家——毕达哥拉斯(公元前560年～公元前480年)。3. 毕达哥拉斯的主要数学成就（详见讲义） （1）毕达哥拉斯定理——勾股定理 （2）数论 （3）整数的变化 （4）几何的其他贡献 4. 毕达哥拉斯的生平小传 四．课后作业 毕达哥拉斯的主要成就有哪些你从他身上学到了什么 第二讲欧几里德（2课时） 一、课程目标： 1、知识与技能 a.知道欧几里德的故事，感悟数学家的人格魅力 三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 微积分初步复习试题 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y ． ⒋ =+?e 12 d )1ln(d d x x x ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）． A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⒉当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0 ,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．函数的极值点一定发生在其驻点上. C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1 d(d ln x x x = C. )d(d x x a x a = D. )d(2d 1 x x x = ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限238 6lim 222+-+-→x x x x x ． 原式21 4 lim )1)(2()2)(4(lim 22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d . 电大《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案 ——函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．()()3,+∞ 2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <； 3．()(]2,11,2--?-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -； 7.1x =-； 8.1； 9.2； 10. 32 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1、1/4; 2、7/2; 3、3/2; 4、2/3; 5、2； 6、-1/2; 7、-1/8; 8/16 《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案 ——导数、微分及应用 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．12 ； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 4．1 2ln 2 x x -； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -； 8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >. 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1．解：()111 2 21221x x x y xe x e x e x ? ?'=+-=- ??? . 2．解：24cos43sin cos y x x x '=-. 3．解：1 2121 x e y x x +'=- +. 4．解：3sin 3tan 2cos 2 x y x x x x '= -=-. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得 ()()220 2222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dy x y dy dx x y +--=-=--∴= - 1.7.1定积分在几何中的应用 学习目标： 1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。 学习方法： 情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？ 问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？ 情境二：利用定积分求平面图形的面积 例1． 计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图） 问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？ 问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决） 解：解方程组?????==2 2x y x y 得到交点横坐标为0=x 或1=x x y O A B C D 2 x y =x y =2 1 1 -1 -1 4 x y O 8 4 2 2 ∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ? = 1 dx x ?-1 2 1031 0233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究： 例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题． 问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？ 问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？ 问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分） 问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去 思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差） 2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。 情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。 解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积. 1 2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12 lim 22 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A ()1sin 0x x → B ()()ln 10x x +→ C ()1 x e x →∞ D.()22 24 x x x -→- 3-1设)(x f 在点x=1处可导，则=--→h f h f h ) 1()21(lim （ D ）． A. )1(f ' B. )1(f '- C. )1(2f ' D. )1(2f '- 微积分教案Newly compiled on November 23, 2020 微积分数学模型的应用 微分模型 一、光纤收费标准模型 某地有多家有线电视公司。有线电视公司A 的光纤收费标准为14元/（月。户），目前它拥有5万个用户。某位投资顾问预测，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户。 1）请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益 2）如果公司每月每户降低一元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收 费标准 一、模型假设与符号说明 1、假设该地的用户数远远大于5万 2、假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况 3、若公司每月每户降低1元的光纤收费，可增加a 个新用户，公司每月每户降低x 的 光纤收费，公司的月收益为()P x 。 二、模型建立 ()P x =?每月每户交纳的费用总用户数，即 三、模型求解 （1）当5000a =时，2()P x =700000+20000x-5000x ，求导得 令'()0P x =，得驻点2x =。 根据实际问题的分析知道：当公司定价为12元时，公司拥有60000用户，此时公司每月的最大收益为72万元。 （2）1）当1000a =时，2100036000700000)(x x x p --=，求导得 令'()0P x =，得驻点18x =-。 根据实际问题知：0x ≥，故与实际情况不吻合 二、存贮模型 （一） 不允许缺货的存贮模型 1.问题的提出 存贮问题广泛存在于工厂的原材料贮备，商店的商品贮备、水 库蓄水等现实问题中．这里的关键是存贮量的大小，存贮量过大则需付出过高的存贮费用；存贮量不足又可能导致不能满足需求从而造成损失．因此，确定一个最优的贮存策略是具有重要意义的． 2.模型的构建 下面假定需求量是确定的，并且不允许缺货现象出现，如钢厂订购废钢供炼钢就是这种情况，因为钢生产对原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料将造成巨大的损失． 在不允许缺货的情况下我们可以考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费，货 物的贮存费．建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下制定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小． 模型假设：（1）每天货物需求量为r 吨． （2）每隔T 天订一次货（称T 为订货周期），订货量是Q 吨，当贮存量降到零 时新一批订货恰好到达． （3）每次订货费为1C （与订货量无关，也与货物本身的价格无关），每天每吨 货物贮存费为2C ． 模型建立：订货周期T 、订货量Q 与每天需求量r 之间应满足关系 rT Q = ． 订货后贮存量由Q 均匀地下降，设任意时刻的贮存量为)(t q ， 则)(t q 是t 的线性递减函数，其变化规律如图10－1． 姓名： 微积分初步 作业1 学 号： 得 分： 教师签名： ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2-ln(1)(x x f =的定义域是)∞,3(∪)3,2(+ 2．函数x x f -51)(=的定义域是)5,- 3．函数2 -4) 2ln(1 )(x x x f ++= 的定义域是]2,1-(∪)1-,2-( 4．函数72-)1-(+=x x x f ，则=)(x f 62+x 5．函数>+=0 e ≤2 )(2x x x x f x ，则=)0(f 2 ． 6．函数x x x f 2-)1-(2=，则=)(x f 1-2x 7．函数1 3 -2-2+=x x x y 的间断点是1-=x 8．=x x x 1 sin lim ∞→ 1 ． 9．若2sin 4sin lim 0→=kx x x ，则=k 2 ． 10．若23sin lim 0→=kx x x ，则=k 23 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y += ，则该函数是（B ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（A ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 3．函数2 2 2)(x x x x f +=的图形是关于（D ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（ C ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ D ） ． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 6．函数) 1-ln(1 )(x x f = 的定义域是（D ）． A ． )∞,1(+ B ．)∞,1(∪)1,0(+ C ．)∞,2(∪)2,0(+ D ．)∞,2(∪)2,1(+ 7．设1-)1(2x x f =+，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2-(x x D ．)1-)(2(x x + 8．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =， 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ． x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 10．当=k （ B ）时，函数=+= , ≠, 1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1 11．当=k （ D ）时，函数=+= , ≠, 2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. 1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差 《牛顿第一定律》教案 一、三维目标 1．知识与技能 ⑴体会伽利略的理想实验思想。 ⑵理解牛顿第一定律的内容及意义；理解力和运动的关系。 ⑶理解惯性的概念，知道质量是惯性大小的量度。 2．过程与方法 ⑴通过回顾历史探究过程理解牛顿第一定律的形成过程。 ⑵理解理想实验是科学研究的重要方法。 3．情感态度与价值观 ⑴通过运动和力的关系的历史探究过程，使学生体会规律的形成都有一个从感性到理性、从低级到高级的产生、发展和演变的过程。 ⑵通过理想斜面的教学，体会理想实验的魅力。 二、教材分析 牛顿运动定律是整个力学体系的基石，而牛顿第一定律又是这个“基石”中的“基石”，它定性地揭示了力和运动的关系，提出惯性的概念，为定量研究力和运动的关系拉开了序幕。 高中教材与初中相比，主要有四方面的不同。 一是定律内容深浅不同：初中教材叙述为“一切物体在没有受到外力作用的时候，总是保持静止状态或匀速直线运动状态”；高中教材叙述为“一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止”。高中教材中的表述具有更为丰富的内涵，它强调了力是改变物体运动状态的原因，突出了第一定律的独立性和重要意义，也为学习牛顿第二定律做了一定的铺垫。 二是惯性的认识层次不同：初中强调一切物体都有惯性，高中侧重惯性与质量的关系。 三是实验的设计、探究及思维深度不同：初中为斜面小车实验；高中为伽利略理想实验，突出了理想实验这种科学方法的价值所在。 四是情感、态度、价值观的体现不同：初中对牛顿第一定律建立的历史一语带过，高中教材回顾了历史，让学生体会一个规律的获得是一代又一代人努力的结果，能够激发学生追求科学，勇于创新的情感。 三、学情分析 经过初中的学习，学生初步知道了牛顿第一定律的内容和惯性的概念，但是缺乏对牛顿第一定律建立历史的了解，对内容也是一知半解。 学生对于“质量是惯性唯一的量度”更是缺乏认识，凭借自己的生活经验，认为速度也是惯性的量度。教师要在课堂上充分引导，配合实验、结合生活事例来澄清概念。 教学实践表明，学生在头脑中建立正确的力和运动关系的过程，并非一帆风顺，常常形成与亚里士多德相似的观点，且根深蒂固。处理具体的实际问题时，一些直觉的错误观点不时冒出来，存在着严重的"口是心非"问题。 四、教学重难点 1．教学重点：通过回顾历史探究过程理解牛顿第一定律；惯性的理解。 2．教学难点：力和运动的关系；惯性和质量的关系。 五、教学活动设计 （一）创设游戏，引入课题非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义教案资料
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