浅析定理闭区间套的推广及简单应用

本科毕业论文 (设计) 如果写作的是论文就删设计，如果写作的是设计就删论文

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专业数学与应用数学

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班级2003级1班

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摘要(四号黑体不加粗) (Ⅰ)

Abstract(四号Times New Roman体加粗) (Ⅰ)

1引言(四号黑体不加粗) (1)

1.1(小四号黑体不加粗) (1)

1.1.1(小四号仿宋体加粗) (1)

2闭区间套定理在1R的推广 (2)

3闭区间套定理在一般度量空间上的推广 (4)

4闭区间套定理在n R上的推广 (5)

5闭区间套定理的应用举例 (6)

结束语 (8)

参考文献 (8)

致谢 (9)

（注：①目录不加页码；

②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，Ⅱ…；

③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，…．）

摘要(四号黑体不加粗)：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．结合典型例题，分析、讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．(小四号仿宋体不加粗,“摘要”字数须300字以上)关键词(四号黑体不加粗)：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用(小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个)

Abstract(四号Times New Roman体加粗):The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.(小四号Times New Roman体不加粗) Key words(四号Times New Roman体加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application(小四号Times New Roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号)

1引言

（一级标题四号黑体不加粗，段前断后空0.5行．）

1.1 小四号黑体不加粗

（二级标题小四号黑体不加粗，段前断后不空行．）

1.1.1 小四号仿宋体加粗

（三级标题小四号仿宋体加粗，段前断后不空行．）

说明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；页边距：上2.2cm、左2.5cm、右2.3cm、下1.8cm、页眉1.2cm、页脚1.5cm；页眉中，若是论文就删去“设计”二字，若是设计就删去“论文”二字．

（2）各级标题一律顶格，标题末尾不加标点符号．

（3）正文中所引用的文献应加尾注，以文献在文中出现的先后顺序依次编号为：[1]，[2]，…，某种文献中的内容被多次引用时以第一次出现时的序号为准，即一种文献只有一个序号，可以重复出现．添加尾注的格式如下：

爱因斯坦说：提出一个问题往往比解决一个问题更重要[1]．

爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”[1]．

爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要．”[1]

（4）正文中出现的图象与表格以编号（依出现的先后顺序编号）的方式分别加以命名．

图象：图1，图2，…

表格：表一，表二，…

（5）行文要符合文法格式，每段开头应空两个汉字的位置．若一行中只有符号表达式，则可以居中或居中偏左．

（6）正文中所有的标点符号，一律用全角；句号用“．”

闭区间套定理是实分析中的一个重要定理,它同聚点定、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和Cauchy收敛准则一样都反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础．由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大

等．故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值．为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理．

首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围．紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间n R 上的闭集套定理．最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数必有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，再应用闭区间套定理证明存在满足题意的点．从实际例题中还可以看出闭区间套定理反映了实数的稠密性，所以闭区间套定理连同其在一般完备度量空间上推广后的闭集套定理在证明与实数理论相关命题时发挥着重要的作用．

2 闭区间套定理在1R 的推广

康托给分析建立了严格的集合论基础．而在对实数连续性的描述中，闭区间套定理是一个基本的定理．因此，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内容．

定义2.1 设[]{},n n a b (1,2,3,n =)是R 中的闭区间列，如果满足： (1) [][]11,,n n n n a b a b ++?，1,2,3,n =；

(2) lim()0n n n b a →∞

-=；

则称[]{},n n a b 为R 中的一个闭区间套，或简称区间套．

定理 2.1[2](闭区间套定理) 若[]{},n n a b 是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，使

得

[],n n a b ξ∈(1,2,3,

n =)，

且

lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==．

推论2.1[3] 若[],n n a b ξ∈(1,2,3,n =)是区间套[]{},n n a b 确定的点，则对任意正

[](),,n n a b U ξε?．

定义2.2 设(){},n n a b (1,2,3,n =)是R 中的开区间列，如果满足：

(1) 1211n n n a a a b b b -<<

<<<<<

<，1,2,3,

n =；

(2) lim()0n n n b a →∞

-=；

则称(){},n n a b 为R 中的一个严格开区间套．

定理2.2 (严格开区间套定理) 若(){},n n a b 是R 中的一个严格开区间套，则存在惟一一点ξ，使得

(),n n a b ξ∈，1,2,3,

n =，

且

lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==．

证明 由定义2.2条件(1)，{}n a 是一个严格递增且有上界的数列．由单调有界定理，{}n a 有极限，不妨设

lim n n a ξ→∞

=，

且

n a ξ<，1,2,3,

n =．

同理严格递减有下界的数列{}n b 也有极限．由定义2.2条件(2)应有

lim lim n n n n b a ξ→∞

→∞

==，

且

n b ξ>，1,2,3,

n =．

从而存在(),n n a b ξ∈(1,2,3,

n =)．

最后证明唯一性．假如另有ζ，使得(),n n a b ζ∈，1,2,3,

n =，那么有

n n b a ζξ-<-，1,2,3,

n =．在上述不等式两边取极限，有

ζξ-≤()lim 0n n n b a →∞

-=．

故原命题成立．

定义2.3[4][5] 设[){},n n a b (1,2,3,n =)是R 中的半闭半开区间列，如果满足：

(1) 1a ≤2a ≤

≤n a ≤11n n b b b -<<<

<，1,2,3,

n =；

(2) lim()0n n n b a →∞

-=；

则称[){},n n a b 为R 中的一个严格半闭半开区间套．

注：类似可以定义严格半开半闭区间套(]{},n n a b ．

定理2.3 (严格半开半闭区间套定理) 如果(]{},n n a b 是R 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得

(],n n a b ξ∈，1,2,3,

n =，

且

lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==．

仿定理2.2的证明即可．

2 闭区间套定理在一般度量空间上的推广

完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性．具体到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间上收敛．这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广．

定义3.1 设H 是一个非空集合，在H 上定义一个双变量的实值函数(),x y ρ，对任意的,,x y z H ∈，有：

(1)(正定性)(),x y ρ≥0，并且(),0x y ρ=当且仅当x y =成立； (2)(对称性)()(),,x y y x ρρ=；

(3)(三角不等式)(),x y ρ≤()(),,x z z y ρρ+； 则称H 为一个度量空间．

定义3.2 设F 是度量空间H 中的一个子集，对于F 中的任意点列{}n x ，若当

()0x x ρ-→()n →∞，

有0x F ∈，则称F 为闭集．

定义 3.3[6] 设(),X ρ是一度量空间．X 中的一个序列{}i i z x +

∈，若对任意的实数

0ε>，存在整数0N >，使得当,i j N >时，有(,)i j x x ρε<，则称{}i i z x +

∈为一个Cauchy

序列．

定义 3.4[7] 如果对度量空间(),X ρ中X 的每一个Cauchy 序列都收敛，则称

(),X ρ是一个完备度量空间．

定理3.1[7] 设{}n F 是完备度量空间H 上的闭集列，如果满足： (1) 1n n F F +?(1,2,3,

n =)；

(2) lim ()0n n d F →∞

=,(()sup (,))n

n F d F ξζρξζ∈=；

则在H 中存在唯一一点ξ，使得

n F ξ∈，1,2,3,

n =．

证明 任意取n F 中的点列{}n x ，当m n >时，有m n F F ?，所以

,n m n x x F ∈，(),n m x x ρ≤()0(n d F n →→∞)．

即对于任意给定的实数0ε>，存在整数0N >，使得当,i j N >时，有(,)i j x x ρε<，所以{}n x 是Cauchy 序列．又因为n F 是闭集列，故{}n x 收敛于一点ξ，且有

n F ξ∈，1,2,3,

n =．

现证唯一性．如果另有一点ζ，使得n F ζ∈，1,2,3n =．则由定义3.1条件(3)，

有

(,)ρξζ≤(),(,)n n x x ρξρζ+≤2()0()n d F n →→∞，

从而ξζ=．

故在H 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,

n =．

3 闭区间套定理在n R 上的推广

进一步还可以将闭区间套定理在常用度量空间─实数空间n R 上推广．为此，先给出一个有用的概念．

定义4.1 对于任意的()12n x x x x =,,,，()12,,

,n n y y y y R =∈，令

()

,x y ρ=

则称ρ为n R 空间上的距离．

下面验证对于如上定义的ρ，n R 做成完备的度量空间． 证明 对于任意的()12n x x x x =,,,，()12,,,n y y y y =，()12,,,n n z z z z R =∈．

0≥，并且(),x y ρ=0当且仅当i

i

x y =(1,2,

i =)，即x y =．

(2)

()

,(,)x y y x ρρ=

=

=．

(3)令i i i u y x =-和i i i v z y =-由Schwarz 不等式可以得到

()2

1

n

i

i i u

v =+≤

∑21

n

i

i u

=

∑＋

21

n

i i v =∑．

则

≤

，

即

≤

所以ρ满足度量的定义，又n R 是完备的[6]，故n R 是一个完备的度量空间．

于是根据前面的论述，可以得到实数空间n R 的闭集套定理： 定理4.1 设{}n F 是n R 上的闭集列，如果：

(1) 1n n F F +?，1,2,3

n =；

则在n R 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,

n =．

4 闭区间套定理的应用举例

闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套，从而找到属于每一个区间的公共点．下面就举几个例子说明这一思路．

例1 证明：闭区间上连续函数必有界．

分析 这个命题如果从正面入手利用闭区间套定理证明比较困难，但是如果从反面着手，即假设()f x 在[],a b 上无界，即对任意M ≥0，存在[]0,x a b ∈，有0()f x M >．则等分区间后至少有一个子区间上()f x 无界，记为性质P ．继续等分那个无界的区间，可得到如上的性质P ．无限次重复上述步骤可构造一个满足题意的闭区间套，由闭区间套定理可以推出()f x ≤M ，这与假设矛盾，从而证明原命题成立．

证明 我们用反证法.设函数()f x 在[],a b 上连续，假设()f x 在闭区间[],a b 上无界．将区间二等分，即取[],a b 的中点

2a b +，则,2a b a +??????和,2a b b +??

????

中至少有一个区间使得()f x 在其上无界．(若两个都使()f x 无界，则任取其中一个)，记为11[,]a b ，且

111

()2

b a b a -=-．

再将11[,]a b 等分为两个区间，同样其中至少有一个子区间上()f x 无界，记为

22[,]a b ，且

2211[,][,]a b a b ?，2211211

()()22

b a b a b a -=-=-．

无限次重复上述步骤，便得到一个闭区间列{}[,]n n a b ，其中每一个区间[,]n n a b 有如

下特性：

1111[,][,][,][,]n n n n a b a b a b a b ++?????

，且1

()0()2

n n n b a b a n -=

-→→∞及()f x 在[,]n n a b 上无界．

由区间套定理，存在一点(),n n a b ξ∈（1,2,3,

n =），且

lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==．

又()f x 在ξ连续，则对任意的0ε>，存在0δ>，当(,)x ξδξδ∈-+时，有

()()f x f ξε-<，

即

()()()f f x f ξεξε-<<+．

令{}max (),()M f f ξεξε=-+，则

()f x ≤M ．

由推论1，取n 充分大可使[](),,n n a b ξδξδ?-+，上述不等式与()f x 在闭区间

[,]n n a b 上无界矛盾．故()f x 在闭区间[],a b 上有界．

以下内容省略……

结束语

通过对闭区间套定理的简单分析探究，掌握了该定理的结构形式，学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程，分析讨论了闭区间套定理的实际应用．

首先将闭区间套定理在R 推广，即在一维空间上将条件[][]11,,n n n n a b a b ++?减弱为

()()11,,n n n n a b a b ++?，得到严格开区间套定理．紧接着，联想到一般完备度量空间的特

性和闭区间套定理良好的构造性，从而推广得到闭集套定理．最后，应用闭区间套定理和推广后的闭集套定理证明了证明连续函数必有界、数列的单调有界定理、一个不动点问题以及n R 上的开区域套定理．

至于能否将闭区间套定理推广到空间以及能否在一般度量空间推广聚点定理、有限覆盖定理，并且运用推广得到的闭集套定理证明它们两个问题未做讨论．

参考文献

[1] 李宗铎，陈娓．再谈闭区间套定理的推广及其应用[J]．长沙大学学报，2000，14(4)：4-5． [2] 华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991，第2版． [3] 陈传璋．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983，第2版． [4] 毛一波．闭区间套定理的推广[J]．渝西学院学报，2005，14(2)：26~27． [5] 朱俊恭．关于闭区间套定理[J]．遵义师范学院学报．2002，4(1)：72-73． [6] 熊金城．点集拓扑讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003，第3版．

[7] 常进荣，王林．闭区间套定理的推广及应用[J]．石家庄职业技术学院学报，2003，15(6)：16-17．

（注：参考文献各条目用五号宋体字，各条目的序号应正文中尾注的序号相一致）

致谢

（注：①“致谢”内容单独用一个版面；

②在“致谢”中主要叙述自己写作本文的经历、感受、收获等，表达对指导老师或帮助者的感谢之意．）

注：本模版中红色字体是说明部分，在具体操作时应将其删除．

未尽事宜按《内江师范学院毕业论文（设计）指导手册》实施．