区间套定理在数学教学中的应用及意义

一、问题的由来

数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。然而，笔者在调研中发现无论是在教还是在学的活动中，教师和学生自觉运用数学的思想与方法去教学或解决数学问题的意识和能力都相当薄弱。这正如涂荣豹教授指出的：“在数学教学中注重知识的传授、记忆和模仿，忽视数学思想方法的渗透和教学的问题仍然比较普遍。”以至于在遇到一些重点教学内容和复杂的数学问题时往往缺少科学有效的解决办法，更难形成一类数学问题解决的思想方法。

案例1梯形中位线的性质定理是集位置关系和数量关系于一身的重要定理。然而在引导学生猜想梯形中位线性质的问题上，虽然在教学实践和相关文献中有许多方法，但绝大多数教师都因缺少恰当的数学思想方法的指导而没有较为明确的思维方向。许多教师不得不靠创设有较明显暗示的情境来引导学生思考，或者靠降低学生的思维层次让他们通过盲目地多次试验来找到解决问题的方法目。最近在全国性的一个学术活动上，上海某中学教师上的“梯形中位线”观摩课极具代表性。他在引导学生猜想梯形中位线的性质时是这样设计的：教师在黑板上画了8个全等的梯形(意为让学生逐一试验)后提出了供学生探讨的三个问题。问题一：在梯形中画出各边中点连线，并尝试分析画出的线段的情况?问题二：猜想梯形的中位线与梯形的各边有没有特殊的关系?问题三：怎样证明你的猜想?其结果，在降低了部分学生的思维层次和耗费了很多的时间后还有相当数量的学生仍没有发现结论。

案例2笔者曾对50位中学数学教师作了“用尽可能多的方法将一个正方形四等分”的能力测试，“结果能用6种以上(含6种)方法等分的教师仅占28.6％，而且这些方法几乎局限于被等分的部分是全等的图形”，其中仅有3人想出了图1的等分方法。尽管笔者作了“由图2和图3两种四等分方法你能推出第三种四等分方法吗?”的提示，仍有大部分人找不到这种等分方法。

由上述二案例不难看到，缺少数学思想方法指导的数学教学是低效的教学，即使我们通过大量的“试验”和“题海战术”获得的一些解题思路和方法也很难上升到方法论的层面，更难以形成具有宏观指导作用的数学思想。因此，用数学思想方法指导中小学数学教与学已成为提高中小学数学教学质量的一个十分重要而紧迫的课题。

二、区间套定理在中小学数学教学中的应用

例 1 用单调有界定理证明区间套定理.

例 1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）单调有界定理成立； 2 ）设为一区间套．欲证：且惟一． [ 证] 证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的．为此，可就近取数列（或）．由于因此为递增数列，且有上界（例如）．由单调有界定理，存在，且．又因，而，故；且因递减，必使．这就证得．最后，用反证法证明如此的惟一．事实上，倘若另有一个，则由，导致与相矛盾．[ 证毕] 例 2 用区间套定理证明单调有界定理．即已知： 1 ）区间套定理成立． 2 ）设为一递增且有上界M的数列．欲证：存在极限． [ 证]证明思想：设法构造一个区间套，使其公共点即为的极限．为此令。记，并取再记, 同理取如此无限进行下去，得一区间套．根据区间套定理，．下面用数列极限定义证明：，一方面，由于恒为的上界，因此

；另一方面，由；而由区间套的构造，任何不是的上界，故；再由为递增数列，当时，必有．这样，当时，就有 , 即．[ 证毕] 例3 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2 ）设为一区间套．欲证：存在惟一的点． [ 证] 证明思想：给出某一数集，有上界，使得的上确界即为所求的．为此，取，其上界存在（例如）．由确界定理，存在．首先，由为的一个上界，故．再由是的最小上界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与为区间套相矛盾（）。所以任何．这就证得．关于的惟一性，与例1中的证明相同．[ 证毕] 注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚．例4 证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和，使得． [ 证]据在连续的定义，满足．现取，相应存在，就有．[ 证毕] 注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等．例5 证明上一致连续的充要条件是：上连续，且存在． [ 证] 先证充分性：令

数学教学理论关

一、填空题（共28分） 1.三段论包括大前提、小前提、结论。 2.化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。 3.临沂市推行的小学数学“探究式”四环节教学策略中，练习课的教学策略四环节是：、、、。 4.在复习课策略中最重要的是让学生自主地对复习的数学知识进行创造性地、、后，梳理成，并初步内化为良好的认知结构。三、在下列各课题的教学中，能渗透那些数学思想？每课题至少填三项。（共21分） 1．梯形面积：S=（a+b）×h ÷2 2．抽屉原理： 3．分数乘分数： 4．圆的周长C=2∏r： 5．三角形内角和： 6．在Rt△ABC中，∠C是直角，请说明∠A一定是锐角： 7．1+（）=3：四、简答题（共50分） 1. 根据多位数的组成以及运算性质通过脱式说明用竖式计算“25.76÷ 2.3”的算理。 2.如何理解“分层练习”中的“分层”？

3. 李老师在讲37＋48时，鼓励学生动脑思考，大胆想象，学生说出了很多不同的计算方法。这体现了《数学课程标准》中所倡导的什么教学理念？ 1，算法多样化；2，数学学习是学生探索的过程 4.在数学核心素养中提到的“四基”“四能”“三用”指的是什么？四基：基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验四能：提高从数学角度发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力三用：在数学学习的过程中，逐步学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界。 5.教学片断：在解决问题“商店新进12箱饮料，每箱24瓶，问总共进了多少瓶？”时，学生列出算式：24×12 算式一出现，教师就立即组织四人小组交流算法。其中一个组，在小组交流时，由于三位同学还没有想出方法，整个合作过程只好由一位同学讲了三种方法：①24×10=240，24×2=48，240+48=288 ②12×20=240, 12×4=48, 240+48=288③用竖式，其他同学拍手表示默认而告终。请你根据上述教学片断，按教学策略的要求进行分析。（6分） 1，学生应该发挥小组优势，通过合作交流来解决问题。2，在合作交流之前一定给学生独立思考的时间。3，全班交流的是本小组的共识，不是某人的见解。

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基

闭区间套定理的证明、推广及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名姜清亭年级 2009级学号 200906034129 指导教师刘学飞 2011年5月

闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院数学与统计学院 09级数本（1）班）摘要闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。关键词开区间套定理闭区闭套定理聚点定理证明有界性定理证明 1 空间上的区间套定理定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 lim()0 n n n b a →∞ -= 则存在唯一数属于l 。。所有的闭区间（即 []1 ,n n n a b l ∞ == ），且lim lim n n n n a b l →∞ →∞ == 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ， 1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞ =l ．由条件2 有 ()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞ →∞ →∞ →∞ =-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞ →∞ ==，对任意取定的,n k N k +∈? ,有k n n k a a b b ≤≤ ，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞ →∞ ≤==≤，或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间．证明l 唯一性．假设还有一个' l 也属于所有的闭区间，从而 '',,,,n n n n n N l l a b l l b a +???∈∈-≤-?? 有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的． 2 闭区间套定理的推广定理2 （开区间套定理）若开区间列｛() ,n n a b ｝，若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 )(lim n n n a b -∞ →= n n a b 2lim -∞→=0 对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有

数学教育的基本理论

数学教育的基本理论一、 [荷]H.Freudenthal数学教育理论㈠数学教育的基本特征（现实,数学化,再创造）: 1、情景问题是教学的平台 2、数学化是数学教育的目标 3、学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分 4、“互动”是主要的学习方式 5、学科交织是数学教育内容的呈现方式㈡何谓数学教育中的现实 1、数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实” 2、数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实 3、例题生活化，问题情境化㈢运用“现实的数学”进行教学第一，数学的概念、运算、法则和命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式第三，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识㈣什么是数学化 1、人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织现实世界的过程就是数学化 2、数学教学即是数学化的教学 3、抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化 4、数学化的形式：实际问题转化为数学；从符号到概念的数学化㈤数学学习的“再创造” 1、学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学过程再现。 2、数学学习是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生理解数学的重要途径二、建构主义的数学教育理论㈠什么是数学知识对于数学知识的认识，持建构主义观的学者往往不同于绝对主义或者行为主义论者，在他们看来： 1、数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征。它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。

浅析定理闭区间套的推广及简单应用

本科毕业论文 (设计) 如果写作的是论文就删设计，如果写作的是设计就删论文题目数学课堂教学系别数学系专业数学与应用数学指导教师（姓名居中）评阅教师（姓名居中）班级2003级1班姓名（姓名居中）学号（学号居中）年月日

目录摘要(四号黑体不加粗) (Ⅰ) Abstract(四号Times New Roman体加粗) (Ⅰ) 1引言(四号黑体不加粗) (1) 1.1(小四号黑体不加粗) (1) 1.1.1(小四号仿宋体加粗) (1) 2闭区间套定理在1R的推广 (2) 3闭区间套定理在一般度量空间上的推广 (4) 4闭区间套定理在n R上的推广 (5) 5闭区间套定理的应用举例 (6) 结束语 (8) 参考文献 (8) 致谢 (9) （注：①目录不加页码； ②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，Ⅱ…； ③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，…．）

摘要(四号黑体不加粗)：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．结合典型例题，分析、讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．(小四号仿宋体不加粗,“摘要”字数须300字以上)关键词(四号黑体不加粗)：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用(小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个) Abstract(四号Times New Roman体加粗):The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.(小四号Times New Roman体不加粗) Key words(四号Times New Roman体加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application(小四号Times New Roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号)

数学教育教学理论

《数学教育教学理论》学习心得沈进随着课改的不断深化，数学教师原有的一些教学观念、教学方法和教学手段都受到了新的冲击和新的挑战，如何更好适应课改的要求，这就需要我们不断更新教学观念，不断学习总结，才能更好地服务于数学教学. 课堂教学是一种师生双边参与的动态变化的过程，每一个学生都是生动、独立的个体，是课堂上主动求知、主动探索的主体；而教师是这个变化过程的设计者、组织者、引导者和合作者，是为学生服务的。在教学过程中，真正做到“以学生为本”，提高课堂40分钟效率，我的体会是--精心的进行合理、有效的课堂教学设计，使教师的教案符合学生的实际情况，而不是学生适应教师的教案。在课堂教学进程安排上，在以“目标──策略──评价”为主线安排教学进程的同时，进行“活动──体验──表现”这一新进程。关注学生的主动参与，让学生在观察、操作、讨论、质疑、探究中，在情感的体验中学习知识，完善人格。 1.“身边的数学”与“身边的生活”的互相渗透在课堂教学过程中，我们要按照学生的认知规律，逐步展示知识的形成过程，“化简”书本知识，把“身边的数学”引入课堂，再把数学知识引入“身边的生活”，用好用活每一篇教材。（1）让生活走进数学课堂引用学生熟悉的现实生活作为一堂课的开幕式，教会学生去观察生活，领悟生活中的数学因素。例如，在初中《代数》的第一章有理数的引人。举一个事例，一辆汽车从车站出发，沿公路向东行驶10千米，接着掉转车头向北行驶10千米，问这辆汽车在什么位置？对于这个简单问题，当然学生不难作出回答，但问及如何用数学式了表达这辆汽车的位置变化过程，学生就感到茫然了，趁学生构成忌于求知的心理状态之时机切人新裸课题，“为了满足实际需要，我们必须把已经学习过的算术数扩充到有理数。”例如，在学习“同类项”一节课时，可通过设计情境：准备一小袋零钱（有1角，2角，5角，1元），请一位同学来数数一共有多少钱？在情境中渗透分类的数学思想，从而引入新课。再如学习“图形的旋转”可以向学生展示生活中的钟表、电风扇叶片、大风车、自行车车轮等，引起学生学习数学兴趣，使数学“生活化”；学生这节课后，请学生应用所学的旋转设计一个广告图案，并为设计书写说明，这又使得生活“数学化”了。（2）让数学回归生活现代社会里，“数学不仅能够帮助我们在经营中获利，而且，它能给予我们能力，包括直观思维、逻辑推理、精确计算，以及结论的明确无误”。例如一个人要成立一家新公司，由于业务关系，急需一辆汽车，但又因资金问题无力购买，决定暂租一辆汽车使用。现有两家出租车公司供选择，两家出租车公司条件不同，租哪家的更合算？一家的出租条件是“每月付给司机1000元工资，另外每百公里付10元汽油费”；另一家公司只按行程算账，出租条件是“每百公里付140元的费用”。这就要求新公司老板根据自身业务用车情况（里程）运用数学的知识去选择有利于自己的出租车公司。足以说明数学并不是远离生活的抽象理论，而是生活中必不可少的知识──让数学回归生活，以激发学生学习的兴趣。数学新课程标准倡导课程和教学的发展性，强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”。因此，我认为在引导学生进行数学学习的过程中，从学生认知发生、发展的规律出发，提出思考的途径，随着学生的思路层层递进，把数学条理化，符合学生的认知规律，活泼多变，向

区间套定理在数学教学中的应用及意义

区间套定理在数学教学中的应用及意义一、问题的由来数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。然而，笔者在调研中发现无论是在教还是在学的活动中，教师和学生自觉运用数学的思想与方法去教学或解决数学问题的意识和能力都相当薄弱。这正如涂荣豹教授指出的：“在数学教学中注重知识的传授、记忆和模仿，忽视数学思想方法的渗透和教学的问题仍然比较普遍。”以至于在遇到一些重点教学内容和复杂的数学问题时往往缺少科学有效的解决办法，更难形成一类数学问题解决的思想方法。案例1梯形中位线的性质定理是集位置关系和数量关系于一身的重要定理。然而在引导学生猜想梯形中位线性质的问题上，虽然在教学实践和相关文献中有许多方法，但绝大多数教师都因缺少恰当的数学思想方法的指导而没有较为明确的思维方向。许多教师不得不靠创设有较明显暗示的情境来引导学生思考，或者靠降低学生的思维层次让他们通过盲目地多次试验来找到解决问题的方法目。最近在全国性的一个学术活动上，上海某中学教师上的“梯形中位线”观摩课极具代表性。他在引导学生猜想梯形中位线的性质时是这样设计的：教师在黑板上画了8个全等的梯形(意为让学生逐一试验)后提出了供学生探讨的三个问题。问题一：在梯形中画出各边中点连线，并尝试分析画出的线段的情况?问题二：猜想梯形的中位线与梯形的各边有没有特殊的关系?问题三：怎样证明你的猜想?其结果，在降低了部分学生的思维层次和耗费了很多的时间后还有相当数量的学生仍没有发现结论。案例2笔者曾对50位中学数学教师作了“用尽可能多的方法将一个正方形四等分”的能力测试，“结果能用6种以上(含6种)方法等分的教师仅占28.6％，而且这些方法几乎局限于被等分的部分是全等的图形”，其中仅有3人想出了图1的等分方法。尽管笔者作了“由图2和图3两种四等分方法你能推出第三种四等分方法吗?”的提示，仍有大部分人找不到这种等分方法。由上述二案例不难看到，缺少数学思想方法指导的数学教学是低效的教学，即使我们通过大量的“试验”和“题海战术”获得的一些解题思路和方法也很难上升到方法论的层面，更难以形成具有宏观指导作用的数学思想。因此，用数学思想方法指导中小学数学教与学已成为提高中小学数学教学质量的一个十分重要而紧迫的课题。二、区间套定理在中小学数学教学中的应用

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基

本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量

数学教育教学的理论与方法

数学教育教学的理论与方法每次“国培计划”的培训内容丰富，形式多样。专家的教育教学理念、人格魅力和治学精神深深地印在我的心中。让我了解到小学数学教育发展的最新动态、趋势；深刻领会了数学教育的理念、新时期数学教师所面临的主要任务等一系列数学教育方面独到的观点；让我学到了更多提高自身素养和教学水平的方法；让我从内心深处体会到了教育家的博大胸怀和乐观向上的工作态度。身为教师，就要懂得寻找规律，掌握学生的认知发展规律，要在教学实践中不断地学习、反思和研究，厚实自己的底蕴，以适应社会发展的需要，适应教育改革的步伐。在这段时间的学习中，我认真聆听了很多专家的精彩讲座，积极做好学习笔记，努力用新知识来提高自己。专家们精湛的教艺，先进的理念，独特的设计给我留下了深刻的印象，使我受益匪浅，有了质的飞跃。一、经历和感触。每次培训活动安排合理，内容丰富，专家们的解惑都是我们教师所关注和急需的领域，是我们发自内心想在这次培训中能得到提高的内容，可以说是“人心所向”。在培训过程当中，我始终流露出积极、乐观、向上的心态。我认为，保持这种心态对每个人的工作、生活都是至关重要的。作为一名新课改的实施者，我应积极投身于新课改的发展之中，成为新课标实施的引领者，与全体教师共同致力于新课标的研究与探索中，共同寻求适应现代教学改革的心路，切实以新观念、新思路、新方法投入教学，适应现代教学改革需要，

切实发挥新课标在新时期教学改革中的科学性、引领性，使学生在新课改中获得能力的提高。同时，我还深刻地体会到，教材是教学过程中的载体，但不是唯一的载体。在教学过程中教材是死的，但作为教师的人是活的。在新课程改革的今天，深刻的感受到了学生知识的广泛化，作为新时代的传道、授业、解惑者，名教师，应该不断地学习，不断地增加、更新自己的知识，才能将教材中有限的知识拓展到无限的生活当中去。“我是用教材教，还是教教材？”作为一名教师，应当经常问问自己。而这次专家给了我明确的回答。二、收获与决心 “活到老，学到老，知识也有保质期”、“教师不光要有一桶水，更要有流动的水”作为教师，实践经验是财富，同时也有它的局限性。骨干教师都要有熟练地驾驭课堂的能力，那是在应试教育的模式下形成的，在实施新课程中会不自觉地走上老路。新课程标准出台后，教材也做了很大的修改，教材体系打乱了，熟悉的内容不见了，造成许多的不适应，教师因此对课程改革产生了抵触情绪，这种抵触情绪我也有过，一开始都感到新教材不好教。正是“国培”小学数学学习，使我从教学理论上得到了提高，知道如何处理北师大版教材中题少难教的问题，怎样进行最有效的课堂教学，在业务了却实得到了提高。今后，我们教必须要用全新、科学、与时代相吻合教育思想、理念、方式、方法来更新自己的头脑。三、将学到的教学理论运用到自己在教学实践中，成长

缠论本质及其区间套

缠论本质及其区间套操作缠论之所以伟大，在于发现了股市是一个吻合于自然、社会等复杂系统普适的描述性的几何模型，即通过自同构性结构的自组和级别间的扩展自组递归函数。而缠论的应用，在于对这个天然而严密的数学系统的熟练和把握，也就是用动力和形态相结合的方法，找到这个递归函数不同级别间的节点。那么，什么又是递归函数呢？在数学上，关于递归函数的定义如下：对于某一函数f(x)，其定义域是集合A，那么若对于A集合中的某一个值X0，其函数值f(x0)由f(f(x0))决定，那么就称f(x)为递归函数。在编程语言中，把直接或间接地调用自身的函数称为递归函数。函数的构建通常需要一个函数或者一个过程来完成。一个含直接或间接调用本函数语句的函数被称之为递归函数，它必须满足以下两个条件：1）在每一次调用自己时，必须是（在某种意义上）更接近于解； 2）必须有一个终止处理或计算的准则。那么我们再来看缠论中的递归函数的意义。走势是以中枢为基本单元，通过级别联立构成立体的、层次分明的系统。相邻级别间，遵循同一个递归的标准，即：本级别中枢为次级别三个走势类型的重叠。级别的界定：通常我们所使用的1-5-30-60-日-周……级别界定方式，只是为了看盘方便而使用而已，并非是天然生长的级别。那么，如何去选择初始分析级别（即通常所言的最低级别）？这是个令大多数缠论学习者迷惑的问题。其实这个问题如果理解了上述的递归函数构建的终止（若递推叫起始）原则，就不存在了。为了直观的、容易的理解一些，还是来具体说说。初始级别，即递归函数的起始点。首先初始级别是取出来的。初始中枢，是所选最低级别三个线段重合部分。线段只跟最低级别有关。如果你在某级别定义线段，那么就认定它是最低级别了，为避免混淆，我们称之为初始级别。线段，被人为认定为初始级别的次级别走势类型。而分型，笔，都是线段构建的条件，分型只跟笔发生直接关系，笔只跟线段发生直接关系。比如你选择5F为初始级别，那么5F的线段，即认定为次级别走势类型，不管它是否符合1F的实际走势类型。同理，比如你选择30F为初始级别，那么30F的线段，即认定为次级别走势类型，不管它是否符合5F的实际走势类型，而图上可以看到的1F基本就不用考察了。即是说，当你选定了某个级别作为分析的初始级别以后，其次级别以下的波动就可以全部忽略掉了。而在实际应用中，通常为了兼顾精确与简便，选操作级别为初始级别，用次级别确定精度，高一级别观察中期方向，高二级别观察长期方向。初始级别的选择，需要综合考虑几个条件：技术熟练度、投机性质、看盘时间、资金量、标的活跃度、方便性等。精度的选择，除了跟操作级别相关联外，还需要考虑本期计划交易量，标的交易量可承受范围。区间套是精度逐级确定的方法。区间套操作的终极意义是追踪节点。从高到低一级级背驰下去，一直追踪到某一单成交为止。这个概念就好比在某个区域搜索一个人，先去定哪个区，然后哪栋楼，然后哪间房，然后哪个座位。方法1：运用了“区间套”逐步逼近的思想方法

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结 XXX 学号数学科学学院数学与应用数学专业班级指导老师 XXX 摘要在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，

《小学数学教学理论与方法》读书心得

《小学数学教学理论与方法》读书心得《小学数学教学理论与方法》读书心得《小学数学教学的理论与方法》读书心得三道镇新民学校丘志豪近来,我阅读了《小学数学教学的理论与方法》一书,这本书对国内外的课程改革的特点，以及小学生数学学习的特点与分类。为什么要改变学生的数学学习方式以及如何改变学习方式等作了一些介绍。书中说小学数学是基础教育的重要支柱学科之一建国50多年来，经过全国广大小学教师及数学教育专业研究者的共同努力，我国的小学数学教育取得了世人瞩目的成绩。但是，随着21世纪的来临和数学教育国际视野的拓展，大家感到，我国的小学数学教育还存在着种种不足，特别是在培养学生创造意识与实际能力方面，更显得十分薄弱。为此，近几年来，教育部组织了各方面的专家、教研员及部分一线教师，集中力量编制和审议新的数学教育课程标准。同时，全国各地也在组织各方面的力量，重新修改编写中小学数学教材。这项工作意义深远，它的成功，将为我国培养新一代适应时代要求后备合格人才创造有利条件。作者分为三个部分对本书进行了介绍。

第一部分重点介绍我国小学教学课程改革的概况。在第一章中，作者分析了建国以来小学数学课程的发展有就此学数学课程实施的状况，并且对我国小学数学教材的几次重大改革进行对比分析。这些分析对我们了解小学数学课程的发展，理解目前课程改革的重要性，提供了清晰的脉络。第二章分别叙述了我国新课程标准编制的基本理念及目前正在各地使用的全国实验性教材编写的特点。这些基本的理念与教材特点的分析，对理解当前数学教育的改革有一定的现实意义。第三章介绍国际小学数学改革的基本概况，这对拓展师范生和广大教师的研究视野，把握国外数学课程发展的趋势提供了较为系统的信息。第二部分介绍小学数学教学理论的研究。其中，第四章阐述了小学数学的学习理论。在这一章中，较详细地分析了小学数学教学的基木特点、类型、层次，重点探讨了改变学生的学习方式的途径和策略。第五章分析小学数学教学的内在特点及基本关系，本章从教师决策与学生参与两个角度，对小学数学教学过程进行了较为全面的剖析。在第六章和第七章中，分别探讨了课堂教学模式及教学的艺术，这些可操作性问题的讨论，对师范生今后进人学校有重要的意义。第三部分重点分析小学数学教学的各部分内容。其中，第八章在概念教学方面，讨论学生概念形成的特点及培养学生数概念的途径。第九章在计算教学研究中，深人讨论了计算教学的内容分布、策略及计算教学改革的趋势。第十章在几何教学方面，作者把几何教学界定为经验与实验的教学，在解决问题方面，作者介绍目前解决问题的基本理论，并作了深人探讨，这为师范生以及广大教师进一步研究提供了基础。通过对本书的学习使我深深的认识到教师上课时应根据学生的特点，发挥学生本身的主动性、积极性和创造性，创造最佳的教育方式和方法，克服本身的缺点，

套定理证明闭区间上连续函数的性质

西安工程学院学报 JOURNAL OF XI’AN ENGINEERING UNIVERSITY 1998年　第20卷　第2期　Vol.20　No.2 用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质周　明提　要　用数学分析中的区间套定理证明了闭区间上连续函数的四个定理。关键词　区间序列；连续；一致连续中图法分类号　O174.1 PROOF TO PROPERTIES OF CONTINUOUS FUNCTION ON A CLOSED INTERVAL WITH AN INTERVAL SEQUENCE THEOREM Zhou　Ming (Xi′an Engineering University,Xi′an 710054) Abstract　Four theorems about continuous function on an closed interval are proved by a interval sequence theorem in mathematical analysis. Key words　interval sequence, continuity, uniform continuity 在高等数学中所遇到的闭区间上连续函数的性质，通常都不加以证明，其实这些性质在数学分析中都给出了证明，可用数学分析中的一些定理来证明。实际上这些性质的证明也可用数学分析中的一个定理即区间套定理证得。下面就用区间套定理来证明这些性质。在证明这些性质之前，先叙述一下区间套定理。区间套定理：设一无穷闭区间列｛〔a n,b n〕｝适合下面两个条件： (1)后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n，有a n≤a n+1＜b n+1≤b n。 (2)当n→∞时，区间列的长度｛(b n-a n)｝所成的数列收敛于零，即limn→∞(b n-a n) =0。则区间的端点所成两数列｛a n｝及｛b n｝收敛于同一极限ξ，且ξ是所有区间的唯一公共点。 1　有界性定理若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它在〔a,b〕上有界。证明(反证法)：设f(x)在〔a,b〕上无界，将〔a,b〕二等分，则f(x)必在其一上无界，记其为〔a1,b1〕，再将〔a1,b1〕二等分，记f(x)在其上无界的区间为〔a2,b2〕，这样继

(整理)闭区间上连续函数的性质

§4.2 闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]，有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间

几种数学教育理论

几种数学教育理论一、弗赖登塔尔的数学教育理论（一）“数学现实”原则弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。在运用“现实的数学”进行教学时，必须明确认识以下几点：第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容．第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去．第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。（二）“数学化”原则弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。

现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。对于前者，基本流程是： 1、确定一个具体问题中包含的数学成分； 2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系； 3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化； 4、找出蕴含其中的关系和规则； 5、考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； 6、作出形式化的表述。对于后者，基本流程是： 1、用数学公式表示关系； 2、对有关规则作出证明； 3、尝试建立和使用不同的数学模型； 4、对得出的数学模型进行调整和加工； 5、综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； 6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法； 7、作一般化的处理、推广。（三）“再创造”原则弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。学生

第三章(2)戴得金定理证明6页word

Ⅰ 戴德金定理； Ⅱ 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； Ⅲ 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； Ⅳ 闭区间套定理； Ⅴ 致密性定理； Ⅵ 柯西收敛准则； Ⅶ 有限覆盖定理．在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题．下面给出这42个证明过程． Ⅰ?Ⅱ：（戴德金定理?单调有界数列必收敛定理）证明：设数列{n x }单调递增且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 的构造可知α不是{n x }的上界，N N +?∈使N x α>，则 N x B ∈，且为数列{n x }的上界，由数列{n x }单调递增可知，,n N ?>均有n N x x =，从而{n x }极限存在．若B 中有最小数，不妨设为β，现在证明β即为数列{n x }的极限．事实上，β是数列{n x }的上界，且对0,εβε?>-不属于B ，从而不是{n x }的上界，即,N N N x βε+ ?∈>-使，又因为{n x }的单调性，从而： ,.N n n N x x βεβ?>-<≤< 也即，数列{n x }收敛于β． Ⅰ?Ⅲ：（戴德金定理?确界原理）证明：设数集E 非空且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 构造可知α不是数集E 的上界，从而存在,E ξ∈ ξα>使．即B ξ∈为E 的上界，因此sup E ξ=，数集E 的上确界存在．若B 中有最小数，不妨设为β，则对0,A εβε?>-∈不是E 的上界．从而,E ξ?∈ 使： βεξβ-<≤．也即sup E ξ=，E 的上确界存在．

正确的数学教学本质观及其对数学教学的指导作用

正确的数学教学本质观及其对数学教学的指导作用俞旭安数学教学过程的理论是数学教学论的基本理论。任何教学论著作中，都必然涉及这个问题。由于看问题的角度不同，所以对此问题的见解，也有一定的差异。本节，从教学过程的本质方面加以研究。一、教学的本质 1、现代教学论家对教学本质的论述国内外教学论专家对此问题的论述，可以归纳为下列几种观点。（1）教学的生物化解释自20世纪以来，在教学过程理论的认识上产生了众多的学派其中对教学过程本质论述较有代表性的有20世纪初美国心理学家桑伐克为代表的行为主义学派，提出“剌激——反应”说。桑代克认为，全部教学过程无非是一种训练——培养对某种剌激引起反应的过程，一定的剌激产生一定的反应，而联结刺激和反应之间的是知识。这种将教学过程生物学化的解释，抹煞了教学的社会性。（2）教学的本质是以儿童为中心的“活动”过程本世纪20年代美国著名教育家、哲学家社威提出教学过程活动说，把教育的本质概括为“教育即生长”。杜威认为，教学过程的本质就是以儿童为中心的“活动”过程，由此出发，教学过程要按照学生自己的兴趣、需要去活动，去做。主张“做中学”，在活动中学习，主张把学校办成小型社会。杜威的实用主义教育思想，实际上否定了间接知识的学习，排斥了学生学习系统科学知识继承人类文化遗产的必要性。杜威的这一理论对我国教育界产生了极大影响，我国“文革”期间的“开门办学”和极端“联系生活动”，实质上就是杜威实用主义教育思想的体现。这些实验和做法，由于不易操作和控制，实际上形成教学上放任自流的状况，所以不久即为教师所拒绝。（3）教学是一种特殊的认识过程 20世纪30年代的前苏联教育理论家凯洛夫在其主编的《教育学》中指出，教学过程是一种特殊的认识过程，并力图运用马克思列宁主义的认识论来阐明教学过程的本质。他提出通过教学，学生可以领会正确反映外界事物与现象以及存在于它们之间的联系的知识体系，从这个角度说，教学过程与科学认识过程之间具有一致之点，与此同时，他还着重指出：教学不是，也不可能是与科学认识过程完全一致的过程，在教学过程中学生对于现实的认识具有以下特征：学生领受的是既知的、为人类所获得的真理。学生经常由有经验的教师来领导；有巩固知识的工作；还包括有计划地实现着发展每个儿童的智力、道德和体力的工作。凯洛夫并没有摆脱历来教育家所偏重"教"的过程，仍然忽视"学"的过程的桎梏；忽视智能发展，恪守传授和认识知识为中心的教学原则，教学方法以及教学组织形式的教学体系。我国教学论专家王策三在其《教学论稿》中认为，"教学过程确实是一种特殊的认识过程。其任务、内容和整个活动，都是认识世界或对世界的反映。它的特点就在于是学生个体的认识，主要是间接性的，有领导的，有教育性的。（4）教学是师生相互作用的过程