区间套定理的拓展及应用

2012届本科毕业论文区间套定理的拓展及应用

姓名：

系别：数学与信息科学学院

专业：信息与计算科学

学号：

指导教师：

2012年04月20日

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

ABSTRACT (1)

KEY WORDS (1)

0引言 (2)

R上的推广 (2)

1 区间套定理在1

2区间套定理在一般度量空间上的推广 (4)

R上的推广 (5)

3区间套定理在n

4 区间套定理的应用举例 (6)

参考文献 (9)

致谢 (9)

区间套定理的拓展及应用

摘要

通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用.

关键词

区间套;拓展;应用

The expansion and application of the nested interval theorem

Abstract

s everal theorems which are testified are got after the expanding of the nested interval theorem through the application of analogy,analysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples.

Key words

nested interval;expansion;application

0 引言

区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用范围,本文从区间套定理的概念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.

首先，将区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理,增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间,使得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间n

R 上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重要的作用.

1 区间套定理在1R 上的推广

区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的内容. 定义1.1 设[]{}),3,2,1(, =n b a n n 是R 中的闭区间列，如果满足: （1）[][] 3,2,1,,,11=?++n b a b a n n n n ; （2）()0lim =-∞

→n n n a b ;

则称[]{}n n b a ,为R 中的一个闭区间套，或简称区间套.

定理]

1[1.1 （闭区间套定理）若[]{}n n b a ,是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得

[]),3,2,1(, =∈n b a n n ξ,

且

ξ==∞

→∞

→n n n n b a lim lim .

推论1.1 若[]),3,2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,确定的点,则对任意正数ξ,存在自然数N ,当N n >时,总有

[]()εξ,,U b a n n ?.

定义2.1 (严格开区间套定理)设(){}),3,2,1(, =n b a n n 是R 中的开区间列,如果满足:

(1) ,3,2,1,1121=<<<<<<<<-n b b b a a a n n n ; (2)()0lim =-∞

→n n n a b ;

则称(){}n n b a ,为R 中的一个严格开区间套.

定理]

1[2.1 (严格开区间套定理)若(){}n n b a ,是R 中的一个严格开区间套，则存在惟一

一点ξ，使得

() 3,2,1,,=∈n b a n n ξ,

且

ξ==∞

→∞

→n n n n b a lim lim .

证明 由定义2.1条件(1),{}n a 是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界定理,

{}n a 有极限,不妨设

ξ=∞

→n n a lim ,

且

,3,2,1,=

同理严格递减有下界数列{}n b 也有极限.由定义2.1条件(2)应有 ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim ,

且 ,3,2,1,=>n b n ξ.

从而存在() 3,2,1,,=∈n b a n n ξ.

最后证明惟一性.假如另有?,使得() 3,2,1,,=∈n b a n n ?,那么有 ,3,2,1,=-<-n a b n n ξ?.

在上述不等式两边取极限,有

0)(lim =-≤-∞

→n n n a b ξ?.

即ξ?=.

故原命题成立.

定义3.1 设{

}),3,2,1(),[n =n b a n 是R 中的半闭半开区间列,如果满足:

(1) ,3,2,1,1121=<<<<<≤≤≤-n b b b a a a n n n ; (2)()0lim =-∞

→n n n a b ;

则称{

}),[n n b a 为R 中的一个严格半闭半开区间套. 定理]

1[3.1(严格半闭半开区间套定理)如果{

}),3,2,1(),[n =n b a n 是R 中的半闭半开区间套, 则存在惟一一点ξ，使得

,3,2,1),,[=∈n b a n n ξ, 且 ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim .

仿定理2.1的证明即可.

2 区间套定理在一般度量空间上的推广

完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性.具体到序列,指的是该序列

除了满足一般度量空间的要求,还应在度量空间上收敛.这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广.

定义1.2 设H 是一个非空集合,在H 上定义一个双变量的是指函数),(y x ρ,对任意

的H z y x ∈,,,,有:

(1)(正定性)0),(≥y x ρ,并且0),(=y x ρ当且仅当y x =成立; (2)(对称性)),(),(x y y x ρρ=; (3)(三角不等式)),(),(),(x z z x y x ρρρ+≤;

则称H 为一个度量空间.

定义2.2 设F 是度量空间H 中的一个子集,对于F 中的任意点列{}n x ,若当 )(0)(0∞→→-n x x n ρ, 有F x ∈0,则称F 为闭集.

定义3.2 设()ρ,X 是一度量空间,X 中的一个序列{}+

∈z i i x ,若对任意的实数0>ε,

存在整数0>N ,使得N j i >,时,有()

ερ

∈z i i x 为一个柯西序列.

定义4.2 如果对度量空间()ρ,X 中的X 的每一个柯西序列都收敛,则称()ρ,X 是一个完备度量空间.

定理]

2[1.2 设{}n F 是完备度量空间H 上的闭集列，如果满足：

(1)),3,2,1(1 =?+n F F n n ;

(2)),(sup )((0)(lim ,?ξρ?ξn

F n n n F d F d ∈∞

→==;

则在H 中存在惟一一点ξ,使得

,3,2,1,=∈n F n ξ.

证明 任意n F 中的点列{}n x ,当n m >时,有n m F F ?,所以 )(0)(),(,,∞→→≤∈n F d x x F x x n m n n m n ρ.

即对任意给定的实数0>ε,存在整数0>N ,使得N j i >,时,有()

ερ

现证惟一性.如果另有一点?,使得, ,3,2,1,=∈n F n ξ.则由定义1.3条件(3)有 ()()()())0(02,,,→→≤+≤n F d x x n n n ?ρξρ?ξρ, 从而?ξ=.

故在H 中存在惟一一点ξ,,使得 ,3,2,1,=∈n F n ξ.

3 区间套定理在n R 上的推广

进一步还可以将区间套定理在常用度量空间-实数空间n

R 上推广.为此,先给出一个有用的概念.

定义1.3 对于任意的()()n

n n R y y y y x x x x ∈==,,,,,,,2121 ,令

()()2

1

,∑=-=

n

i i i

y x

y x ρ,

则称ρ为n

R 上的距离.

下面验证对于如上定义的n R ,ρ能做成完备的度量空间.

求证 对于任意的()()n

n n R y y y y x x x x ∈==,,,,,,,2121 ,且

()()2

1

,∑=-=

n

i i i

y x

y x ρ,则n R ,ρ能做成完备的度量空间.

证明 对于任意()()()n

n n n R z z z z y y y y x x x x ∈===,,,,,,,,,,,212121 .

(1)

()02

1

≥-∑=n

i i i

x z

,并且()0,=y x ρ当且仅当),2,1( ==i y x i i ,即y x =.

(2) ()()()()x y x y

y x

y x n

i i i

n

i i i

,,2

1

2

1

ρρ=-=

-=

∑∑==.

(3)另i i i x y u -=和i i i y z v -=由施瓦兹不等式得到

()∑∑∑∑∑=====++≤+n

i i

n i i

n i i

n

i i n

i i i

v

v u u v u

1

21

21

21

21

2

2

.

则

()

∑∑∑===+

≤

+n

i i n

i i n

i i i v u v u 1

21

21

2

, 即

()()()2

1

2

1

2

1

∑∑∑===-+

-≤

-n

i i i

n

i i i

n

i i i

y z

x y

x z

.

所以ρ满足度量的定义,又n

R 是完备的,故n

R 是完备的度量空间.

于是根据前面的论述,可以得到实数空间n

R 的闭集套定理: 定理1.3 设{}n F 是n

R 上的闭集列,如果:

(1) ),3,2,1(1 =?+n F F n n :

(2) ),(sup )((0)(lim ,?ξρ?ξn

F n n n F d F d ∈∞

→==;

则在n

R 中存在惟一一点ξ,使得 ,3,2,1,=∈n F n ξ.

4 区间套定理的应用举例

区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套,从而找到属于每个区间的公共点.证明中区间套的构造方法主要有以下两点:

(1)已知特殊点的存在区间时,利用两分法构造区间套,进而套出所求的特殊点. (2)首先依据不等式确定特殊点的存在区间,再利用区间的收缩,套出所求的特殊点. 下面举几个例子说明这一思路.

例1证明:闭区间上连续函数必有界.

证明 假设()x f 在[]b a ,上无界,则等分[]b a ,,即[]??

?

???+??????+=b b a b a a b a ,22,

, ,至少有一个子区间上()x f 无界,不妨设为[]11,b a ,将[]11,b a 等分,则存在子区间[]22,b a ,使得

()x f 在[]22,b a 上无界.依次类推,不断等分区间,则得到无穷闭区间列[]..,,t s b a n n :

(1)[][][][] ?????n n b a b a b a b a ,,,,2211; (2)∞→→-=

-n a b a b n

n n ,021

1; (3) ()x f 在[]n n b a ,上无界,+

∈Z n

由(1)、(2),根据区间套定理,?惟一[]b a ,∈ξ,使得ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim .

而由(3)[]n n n b a x Z n ,,∈?∈?+,使()n x f n >,从而得到一点列{}n x 及函数列(){}n x f ,且()∞→∞→→n x f x t s n n ,,..ξ,由数列极限与连续函数极限的关系应有 ()()ξξf x f x n →→,

这与()∞→x f 矛盾.故假设不成立,从而命题得证.

例2 证明一致连续性定理:在闭区间[]b a ,上连续的函数()x f ,在[]b a ,上一致连续 证明 我们只须证明:对0>?ε,可将[]b a ,分成有限个小段,使()x f 在每一小段上任意两点函数值之差都小于ε.

用反证法.假设上述不成立,即对某个00>ε,[]b a ,不能按上述要求分成有限个小段. 将[]b a ,等分为二:[][]b c c a ,,,,则二者之中必有一个不能按上述要求分成有限个小段,记为

[]11,b a .

再将[]11,b a 等分为二:[][]1111,,,b c c a ,根据同样办法,取其一,记为[]22,b a .如此继续下去,得到闭区间套[]{}n n b a ,,由区间套定理,存在[]),3,2,1(,, =∈n b a n n ξ.

[]()x f b a ∴∈,,ξ 在ξ=x 连续,于是0>?δ,与[])

,(,b a x x ∈<-δξ时,()()2

ε

ξ<

-f x f .

注意到n n n n b a ∞

→∞

→==lim lim ξ,我们可取充分大的K ,使得δξδξ<-<-K K b a ,,从而

对[]K K b a x ,∈?都有δξ<-x ,因此[]K K b a x x ,,21∈?,成立: ()()()()()()00

2212

2

εεεξξ=+

<

-+-≤-x f f f x f x f x f .

这表明在[]K K b a ,上任两点函数值之差小于0ε了,与区间[]K K b a ,的定义相违,故命题成立.

例3 证明实数集R 是不可列集

证明 用反证法.假如R 可列,即{} ,,,,21n x x x R =.先取区间[]11,b a ,使

[]111,b a x ?,然后将[]11,b a 三等分,则三等分的小区间中至少有一个不含2x ,将其记为

[]22,b a ,又将[]22,b a 三等分,同样必有一个小区间不含,将其记为[]33,b a ;如此继续下去,我

们得到一个闭区间套[]{}n n b a ,,满足[]),3,2,1(, =?n b a x n n n .

由闭区间套定理,存在惟一实数[]),3,2,1(, =∈n b a n n ξ,而)(N n x n ∈?≠ξ,这与集合{} ,,,,21n x x x 表示实数集R 的全体实数产生矛盾,命题得证

例4证明:设{}n a 为数列,若对任意的0>ε,存在0>N ,使得N n m >,时,有

ε<-n m a a ,则数列{}n a 收敛.(数列柯西收敛准则的充分条件)

分析 由已知条件可得存在N N >0,当0N n >时,有ε<-0N n a a ,即在区间

],[00εε+-N N a a 内含有{}n a 中几乎所有项,由极限定义可知数列{}n a 收敛点必在其内部.

此时只需利用区间套定理证明该点的存在性.

证明 由假设N N >0,当0N n >时,有ε<-0N n a a ,即在区间],[00εε+-N N a a 内含有{}n a 中几乎所有项.

令21=

ε,则存在1N ,在区间[]??????

+-=21,21,1111N N a a b a 内含有}{n a 中几乎所有项； 令221=

ε,则存在2N ,在区间[]??

????

+-=222221,21,11N N a a b a 在区间内含有{}n a 中几乎所有项； 依次令 ,21

,214

3=ε,则得到区间列[]{}n n b a ,,满足:其中每个区间都含有{}n a 中几乎所有

项;[][])02

1

;,3,2,1(,,1

11→≤

-=?-++n n n n n n n a b n b a b a ,显然[]{}n n b a ,构成闭区间套, 存在[]),3,2,1(, =∈n b a n n ξ,且对任意的0>ε,存在0>N ,使得N n >,有 []()εξ,,U b a n n ?

由极限定义()εξ,U 内含有{}n a 中几乎所有项,即ξ=→∞

n n a lim .命题得证.

参考文献

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[8] 陈传璋.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983，第二版.

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致谢

本文是在张斐然老师的精心指导下完成的，张老师的广博的学识，严谨求实的治学态度，高度的敬业精神对我产生了重要影响，张老师开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪，在此对张老师表示深深的感谢！

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