2021年内蒙古包头市中考数学试卷(附答案详解)

2021年内蒙古包头市中考数学试卷(附答

案详解)

2021年内蒙古包头市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10^5，则n等于()

A.6

B.5

C.4

D.3

2.下列运算结果中，绝对值最大的是()

A.1+(−4)

B.(−1)^4

C.(−5)^−1

D.√4

3.已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为()

A.1

B.3

C.1或3

D.2或3

4.柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那

么取出的鞋是同一双的概率为()

A.3/1

B.4/1

C.5/1

D.6/1

5.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=√5，BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB 于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为()

A.8−π

B.4−π

C.2−4/π

D.1−4/π

6.若x=√2+1，则代数式x^2−2x+2的值为()

A.7

B.4

C.3

D.3−2√2

7.定义新运算“⨂”，规定：π⨂π=π−2π。若关于x的不等式x⨂m>3的解集为x>-1，则m的值是()

A.−1

B.−2

C.1

D.2

8.如图，直线l1//l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，

过点B的直线l4∠1+∠2+∠3=240°，交l1于点C。若∠3=50°，则∠4等于()

A.80°

B.70°

C.60°

D.50°

9.下列命题正确的是()

A.在函数y=−2x中，当x>0时，y随x的增大而减小

B.若a1−a

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.各边相等的圆内接四边形是正方形

10.已知二次函数 $y=ax^2-bx+c(a\neq0)$ 的图像经过第一

象限的点 $(1,-b)$，则一次函数 $y=bx-ac$ 的图像不经过（）。

11.如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\triangle DBC$ 和 $\triangle ABC$ 关于直线 $BC$ 对称，连接 $AD$，

与 $BC$ 相交于点 $O$，过点 $C$ 作 $CE\perp CD$，垂足为$C$，$AD$ 相交于点 $E$，若 $AD=8$，$BC=6$，则

$\dfrac{2OE+AE}{BD}$ 的值为（）。

12.如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的

$OA$ 边在 $x$ 轴的正半轴上，$OC$ 边在 $y$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$，反比例函数

$y=\dfrac{x}{x}(x>0)$ 的图像与 $BC$ 交于点 $D$，与对角线$OB$ 交于点$E$，与$AB$ 交于点$F$，连接$OD$，$DE$，$EF$，$DF$。下列结论：①$\sin\angle DOC=\cos\angle BOC$；

②$OE=BE$；③$\triangle DOE\sim\triangle BEF$；④$ ）。

13.因式分解：

$\dfrac{2m}{11}x^2+ax+a=\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}

}$。

14.化简：$\dfrac{m^2-4+2-

m}{m+2}=\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}$。

15.一个正数 $a$ 的两个平方根是 $2b-1$ 和 $b+4$，则

$a+b$ 的立方根为 $\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}$。

16.某人 $5$ 次射击命中的环数分别为 $5$，$10$，$7$，$x$，$10$。若这组数据的中位数为 $8$，则这组数据的方差

为 $\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}$。

17.如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，过点 $B$ 作 $BD\perp BC$，垂足为 $B$，且 $BD=3$，连接$CD$，与 $AB$ 相交于点 $M$，过点 $M$ 作 $MN\perp BC$，垂足为 $N$。若 $AC=2$，则 $MN$ 的长为

$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}$。

18.如图，在 $\triangle ABD=12$，$\square ABCD$ 中，以$AD$ 为直径的圆 $\odot O$ 与 $BC$ 相切于点 $E$，连接

$OC$。若 $OC=AB$，则 $\square ABCD$ 的周长为

$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}$。

19.在正方形ABCD中，连接CE，其中E是BD上的一点，F是CB延长线上的一点，且DE=DC，EF=EC。求∠BAF的

度数。

20.已知抛物线y=x^2-2x-3与x轴交于A、B两点（其中

A在B的左侧），与y轴交于C点。点D(4,y)在抛物线上，E

是该抛物线对称轴上的一动点。当BE+DE的值最小时，求

△ACE的面积。

21.为了庆祝中国建党100周年，某校开展了学党史知识

竞赛。参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名。赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如下表），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中b=2a。请根据所给信息，解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

成绩(分) 70 80 90 100

人数 3 a 2a 5

1) 求统计表中a、b的值；

2) 小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：(70+80+90+100)÷4=85(分)。根据所学统计知识判断小明

的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；

3) 如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好

的是哪个组？请说明理由。

22.某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C、D两个观测点，如下图所示。已知AC

长为√k米，CD长为(√2+√6)k米，BD长为2米，∠ACD=60°，∠CDB=135°（A、B、C、D在同一水平面内）。

1) 求A、D两点之间的距离；

2) 求隧道AB的长度。

23.小刚家到学校的距离是1800米。某天早上，小刚到学

校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他

立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校。

已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行

车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍。

1) 求小刚跑步的平均速度。

所以46.61万的科学计数法表示为4.661×105.而1.23亿

=xxxxxxxx0=1.23×108，所以1.23亿的科学计数法表示为

1.23×108.因为1.23×108>4.661×105，所以1.23亿比46.61万大，选B。

将46.61万用科学记数法表示为4.661×10^5，因此n等于5.因为科学记数法的表示形式为a×10^n的形式，其中1≤|a|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，

n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值≥10时，n 是正整数。因此，本题主要考查了科学记数法的表示方法，需要正确确定a的值以及n的值。

绝对值最大的选项是A，因为|1+(-4)|=|-3|=3，|(-

1)^4|=|1|=1，|(-5)^(-1)|=|-5|=5，|√4|=|2|=2，且5<1<2<3.因此，

先计算各个选项，再求计算结果绝对值，最后比较大小得出答案。本题考查了有理数的运算、负整数指数幂的运算和绝对值

的化简，解题的关键是掌握有理数的运算法则、负整数指数幂的运算法则和绝对值的化简方法。

根据题意可分为两种情况：①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；

②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是

线段AC的中点，即可得出答案。本题主要考查了两点之间的

距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键。

两双不同的鞋用A、a、B、b表示，其中A、a表示同一

双鞋，B、b表示同一双鞋。共有12种等可能的结果，其中取

出的鞋是同一双的结果数为4，因此取出的鞋是同一双的概率

为3/12.本题主要考查了用列举法求概率，需要掌握列表法与

树状图法。

2+∠4=180°。

1=∠4。

1+∠2=180°。

π

1

π

3

故选：B．

根据平行线的性质，利用对应角、内错角、同旁内角等角度关系，可以推出两条直线是否平行．本题考查了平行线的性质，需要注意角度关系的运用．

解：根据对称性质可得到AC=CD。AB=BD，而AB=AC，因此四边形ABDC是菱形。根据菱形的性质可得到AO=DO=4，BO=CO=3，同时∠ACO=∠DCO，因此可以利用勾股定理计

算BD的长度，得到BD=5.又因为CE垂直于CD，因此

∠CED=90°，故CE也是BD的中线，因此CE=BD/2=2.5.综上

所述，BD=5，CE=2.5，因此选D。本题考查了轴对称的基本

性质和菱形的判定与性质，关键在于利用对称性质得到菱形，并利用菱形的性质计算出BD和CE的长度。

本文涉及数学知识，主要是对几何知识的运用。文章中存在格式错误、错别字等问题，需要进行修改。

修改后的文章：

题目1：

由轴对称的性质可得$AC=CD$，$AB=BD$，可证四边形ABDC是菱形，由菱形的性质可得$AD\perp BC$，

$AO=DO=4$，$BO=CO=3$，$\angle ACO=\angle DCO$，在$\triangle BOD$中，利用勾股定理可求$BD$的长，由锐角三

角函数可求$EO$，$AE$的长，即可求解。本题考查了菱形的

判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出$EO$的长是解题的关键。

答案：D

题目2：

①矩形OABC中，$B(4,2)$，$\overline{OA}=4$，

$\overline{OC}=2$，由勾股定理得：

$\overline{OB}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，当$y=2$时，

$2=\frac{x}{\overline{OB}}$，$\therefore x=1$，

$\overline{CD}=1$，由勾股定理得：

$\overline{OD}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\sin\angle

DOC=\frac{2}{\overline{OD}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\angle

BOC=\frac{2\sqrt{5}}{\overline{OB}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} $，故①正确；

②设$OB$的解析式为：$y=kx(k\neq0)$，把$(4,2)$代入得：$4k=2$，$\therefore k=\frac{1}{2}$，$\therefore

y=\frac{1}{2}x$，当$\frac{1}{2}x=x$时，$x=\pm2$，

$\therefore E(2,1)$，$\therefore E$是$OB$的中点，故②正确；

③当$x=4$时，$y=2$，$\therefore F(4,2)$，

$\overline{BF}=\frac{2}{\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}\cdot(4-

2)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$S_{\triangle DOE}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2-\frac{1}{2}\cdot3\cdot1-

\frac{1}{2}\cdot2\cdot1=-\frac{1}{2}$，$\therefore S_{\triangle DOE}=-S_{\triangle BEF}$，故③正确；

④由勾股定理得：

$\overline{DF}=\sqrt{3^2+(\frac{1}{2}\overline{BF})^2}=\frac{

3\sqrt{5}}{2}$，$\because\overline{OD}=\sqrt{5}$，

$\therefore\frac{\overline{OD}}{\overline{DF}}=\frac{2}{3\sqrt{ 5}}$，即$

其中正确的结论有①②③④，共4个。故选：A。

根据矩形的性质，可以计算出CD、OD和BC的长度，

利用三角函数的定义可以进行判断。利用待定系数法可以得到OB的解析式，列出方程组可以得到交点E的坐标，根据中点

坐标的性质可以知道E是OB的中点，可以进行判断。根据三角形面积公式计算△πππ和△πππ的面积，可以进行判断。

根据勾股定理计算OD和DF的长度，进行比较可以进行判断。本题考查了矩形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是利用点的坐标确定线段的长度，本题属于中等题型。

解题思路：

1.根据矩形的性质，计算CD、OD和BC的长度，利用三

角函数的定义进行判断。

2.利用待定系数法得到OB的解析式，列出方程组得到交

点E的坐标，根据中点坐标的性质判断E是OB的中点。

3.根据三角形面积公式计算△πππ和△πππ的面积，进行判断。

4.根据勾股定理计算OD和DF的长度，进行比较判断。

答案：本题属于中等难度，考查了矩形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、勾股定理等知识。解题的关键在于利用点的坐标确定线段的长度。

知识点】等腰三角形的性质、角平分线的性质

解析】解：如图，连接AE，DE。

AD=DE，∠ADE=∠AED。

ADE为等腰三角形。

DAE=∠DEA。

ADE=∠AED。

DAB=∠EAC。

AB//CE。

BAC=∠ECA。

CAD=∠BAE。

AD=DE，∠ADE=∠AED。

ADE为等腰三角形。

DAE=∠DEA。

ADE=∠AED。

DAB=∠EAC。

AB//CE。

BAC=∠ECA。

CAD=∠BAE=22.5°。

故答案为：22.5°．

如图，连接AE，DE，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质，得到∠CAD=∠BAE=22.5°．

本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质，解题的关键在于发现等腰三角形和角平分线的性质，进而得到

∠CAD的度数．

连接AE，根据SAS证明三角形ADE和CED全等，得出AE=CE=EF。再证明三角形AEF为等腰直角三角形，得出

∠AEF=45°，因此∠BEF=67.5°。由于∠ABF=90°，因此

∠BAF=22.5°。所以答案为22.5°。

本题主要考查正方形和全等三角形的性质，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质。连接AE后可以通过SAS判定ADE和CED全等，进而得出AE=CE=EF。再通过证明AEF

为等腰直角三角形，可以得出∠BEF=67.5°。最后结合

∠ABF=90°可以求出∠BAF=22.5°，从而得出答案。

解：当y=0时，解方程x^2-2x-3=0，得出x1=-1，x2=3，则A(-1,0)，B(3,0)。抛物线的对称轴为直线x=1.当x=0时，y=-3，则C(0,-3)。当x=4时，y=5，则D(4,5)。连接AD交直线x=1于E，交y轴于F点，如图所示。由于

BE+DE=EA+DE=AD，因此此时BE+DE的值最小。设直线AD的解析式为y=kx+b，代入A(-1,0)和D(4,5)得到{k=-

1/5,b=6/5}。因此直线AD的解析式为y=-x/5+6/5.将其代入AE 的方程x=y得到E(6/5,6/5)，再将其代入直线x=1的方程得到E(1,1)。因此AE=CE=EF=√2/2.由于AEF为等腰直角三角形，因此∠AEF=45°，因此∠BEF=67.5°。由于∠ABF=90°，因此∠BAF=22.5°。所以答案为22.5°。

本题主要考查二次函数的性质和轴对称-最短路线问题。首先求出抛物线的焦点和对称轴，然后通过连接AD和直线x=1来求出最短路线BE+DE的最小值，进而求出∠BAF的度数。

2)连接AC，BD，如图所示：

由(1)得，∠πππ=30°，∠πππ=60°。

πππ=90°−30°−60°=0°。

AE=ED=AD=2k，CE=CB+BE=k(√3+1)，DE=CE-

CD=k(√3+1)-2k=k(√3-1)。

3)设AD的中点为O，连接OE，如图所示：

OE=DE/2=(2-√3)/2。

tan∠AOD=tan(2∠AOC)=tan(120°)=√3。

AOD=60°。

EOA=∠DOA/2=30°。

sin∠EOA=1/2。

OE=OA*sin∠EOA=2*sin30°=1。

DE=2OE=2。

AD=2DE=4．

知识点】勾股定理、正弦定理

解析】(1)连接AE，ED，利用勾股定理求出AE和CE，再利用正弦定理求出DE；

2)连接AC，BD，利用勾股定理和正弦定理求出

3)设AD的中点为O，连接OE，利用正弦定理和勾股定

理求出OE和AD，再利用倍角公式和正弦定理求出∠AOD和DE，最后利用AD=2DE求出AD的长度．

本题考查了勾股定理和正弦定理的运用，以及三角函数的性质和倍角公式的应用．

1) 由勾股定理可得，AD为直径的圆的直径长度为4√6km，所以AD的长度为2√6km。又由等腰直角三角形的性质可得，AE=DE=√6km。所以，△ADE是一个等腰直角三角形，且

AD=√2AE=√2×√6=√12=2√3km。因此，隧道AB的长度为

AB=AD×√2=2√3×√2=2√6km=3km。

2) 根据题意，设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚

骑自行车的平均速度为1.6x米/分。根据题意，得到方程

1.6x+4.5=1800/x。解方程得到x=150，代入式子检验，得到

150是方程的解。因此，小刚跑步的平均速度为150米/分。

由此，小刚跑步所用时间为12分钟，骑自行车所用时间

为7.5分钟，加上取作业本和取自行车共用了3分钟。因此，

小刚从开始跑步回家到赶回学校需要的时间为12+7.5+3=22.5

分钟。因为22.5>20，所以小刚不能在上课前赶回学校。

3) 题目中给出的图形不够清晰，难以理解。建议重新绘

制一张清晰的图形，并注明各个角度和线段的长度。然后，根据题意，利用同弧所对的圆周角相等、直角三角形的性质和勾股定理，进行证明。

四边形AEDF是圆的内接四边形，因此有

∠πππ+∠πππ=180°，同时有∠πππ+∠πππ=180°．

解：如图1，连接OF。由于AD是圆的直径，且AD是

△πππ的高，GF⊥AB，因此有

∠πππ=∠πππ=∠πππ=∠πππ=90°。因此，

△πππ∽△πππ，从而有ππ=ππ。由于

tan∠πππ=ππ/ππ，因此有ππ=2.又因为∠πππ=45°，所以

有∠πππ=∠πππ=∠πππ=45°，从而有∠πππ=90°。在

ππ△πππ与ππ△πππ中，有∠πππ=∠πππ（对顶角），因此有△πππ∽△πππ，从而有ππ=ππ=2.由于AD=4，因

此有ππ=ππ=2，从而有ππ=2，解得ππ=1，ππ=ππ−ππ=1.设ππ=π，则ππ=2π，在△πππ中有：ππ2+ππ2=ππ2，即