第四章系统的瞬态响应及误差分析 - 教学目的.

【教学目的】

※熟悉系统时间响应、性能指标的概念及求法

※了解稳态误差的相关知识

【教学重点】

※时间响应的基本概念

※二阶系统的阶跃响应及欠阻尼状态下的性能指标及参数的求取

※误差及稳态误差的概念

※位置误差、速度误差和加速度误差的计算

【教学难点】

※二阶系统的时间响应

※干扰作用下的系统误差的计算

【教学方法及手段】

采用板书讲授的方式，将二阶系统在不同阻尼下的时间响应进行对比讲解，并将各种阻尼状态下的极点分布进行比较，画在一个复平面上，通过绘制响应曲线来表明各性能指标在图上的位置，帮助学生对概念的理解。

【学时分配】

8课时

【教学内容】

对于一个实际的系统，在建立数学模型之后，就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能。本章的时域分析就是其中一种重要的方法。

时域分析法是直接求解系统的微分方程，即利用拉氏变换和拉氏反变换求解，然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能。这种方法结果直观，应用范围广。

本章主要介绍系统的时间响应及其组成，并对一阶、二阶系统的典型时间响应进行分析，最后介绍系统的误差与稳态误差的概念。

3-1 时间响应

时间响应的概念

系统在外加作用激励下，其输出量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。

任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两个部分组成。

瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。 瞬态响应反映了系统动态性能。

稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度。

3-2 一阶系统的时间响应

1、一阶系统的数学模型

用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。 a 图示的RC 电路，其微分方程为

i(t)+

r(t)

+

（a ） 电路图

R

C

)(t r U dt

du RC c c

=+ )()()(t r t C t C T =+?

其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC 为时间常数。

（b ）方块图

（c ）等效方块图

一阶系统电路图、方块图及等效方块图

当初使条件为零时，其传递函数为

C(s)1

G(s)R(s)TS 1

=

=

+ T-时间常数 下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。

2、一阶系统的单位阶跃响应(Unit-Step Response of First-order System)

因为单位阶跃函数的拉氏变换为S

s R 1

)(=，则系统的输出为 1111

C(s)G(s)R(s)TS 1S S TS 1

==

?=-++ 对上式取拉氏反变换，得T

t e t c --=1)(0≥t

t

一阶系统单位阶跃响应的特点 ※ 响应分为两部分 瞬态响应：t T

e

-

表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程） 稳态响应：1

表示t→∞时，系统的输出状态

※xo(0) = 0，随时间的推移，xo(t) 指数增大，且无振荡。xo(∞) = 1，无稳态误差；

※xo(T) = 1 - e-1= 0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

※当t=0时，初始斜率为

t

T

t0

dc(t)11

e

dt T T

-

=

==

※时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T越小，C(t)响应越快(上升速度越快)，达到稳态用的时间越短。即系统的惯性越小。反之，T越大，系统的响应速度越慢，惯性越大，达到稳态用的时间越长。

※通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。

3、一阶系统的脉冲响应

当输入信号为理想单位脉冲函数时，X

i

(s)＝1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即

01

X (s)TS 1

=

+ t T

o 1x (t)e

t 0T

-=≥

一阶系统单位脉冲响应的特点

※ 瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0； ※ xo (0)=1/T ,随时间的推移，xo (t )指数衰减； ※

o t 0

2

dx (t)1dt

T ==-

※ 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T ）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。

※ 同样满足上述规律，即T 越大，响应越慢，无论哪种输入信号都如此。 对于一阶系统：

即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。 此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变系统及非线性系统。

3-3 二阶系统的时间响应

1、二阶系统的数学模型

凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 例：

二阶系统的传递函数的标准形式为：

其中，T —为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。

n ω－自然频率（或无阻尼固有频率）

ξ－阻尼比（相对阻尼系数）

二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示

S(S+2ξωn )

ωn 2R(s)

C(s)

图3-8 标准形式的二阶系统方块图_

二阶系统的动态特性，可以用ξ和n ω这两个参量的形式加以描述 2、二阶系统的单位阶跃响应

二阶系统的特征方程： 022

2=++n n S S ωξω 特征根为：122,1-±-=ξωξωn n S 下面分四种情况进行说明： (1)欠阻尼(10<<ξ)

?

22,11ξωξω-±-=n n j S

令n ξωσ=－衰减系数

d j ωσ±-= 21ξωω-=n d －阻尼振荡角频率

S

s R 1

)(=

，得 S

S S s R s s C n n n 1

2)()()(2

22?++==ωξωωφ 22

22)()(1

d

n n d n n S S S S ωξωξωωξωξω++-+++-=

]sin 1[cos 1)(2

t t e t h d d t n ωξ

ξ

ωξω-+

-=-

1

ξ

2

1ξ-β

2211ξ

ξωξωξωωωξωω-=-=d n n d d n d

h(t)0)

sin(1112

≥+--

=-t t e d t n βωξ

ξω

ξξ

ξβarccos 12

=-=arctg

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点: ※ xo (∞) = 1，无稳态误差；

※ 瞬态分量为振幅等于n w t 2e /1-ζ-ζ的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由ξ和ωn 决定。阻尼振荡角频率为2d n w w 1=-ζ； ※ 振荡幅值随ξ减小而加大。

(2)临界阻尼(1=ξ)

S

s R t u t r 1)(,)()(=

= n n n n n S S S S S s C ωωωωω+-

+-=?+=1

)(11)()(222

临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应

n n n t t t n n c(t)1e t e 1e (1t)

t 0-ω-ω-ω=-ω-=-+ω≥

特点

※ 单调上升，无振荡、无超调； ※ xo (∞) = 1，无稳态误差。

(3)过阻尼(1>ξ)

1

22,1-±-=ξωξω

n n S

S

S S S S S S S s C n n n n )]1()][1([1

))(()(222

212

-++--+=

?--=ξξωξξωωω )

1()1(2322

1-+++

--++=

ξξωξξξωn n A S A S A

11=A

)1(1

22--+-=

ξξωn S A

)1(121

223-+-=

ξξξA

22n n (1)t

(1)t

2

2

2

2

c(t)1e

e

t 0

21(1)

21(1)

-ξ-ξ-ω-ξ+ξ-ω=-

+

≥ξ-ξ-ξ-ξ-ξ+ξ-

特点

单调上升，无振荡，过渡过程时间长 xo (∞) = 1，无稳态误差。

(4)无阻尼（ξ=0）状态

系统有一对共轭虚根1,2n s jw =±，系统在无阻尼下的单位阶跃响应为：

n c(t)1cos w t (t 0)=-≥

二阶系统的极点分布如下图所示：

图

3-9二阶系统极点分布

0<ξ<1

ξ=1

两个相等根

j ωn ξ=0

ωd =ωn

σ

j ωn

β

ξ=0 j ω右半平面ξ<0

ξ>1两个不等根

3、二阶系统的单位脉冲响应

几点结论：

※ 二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性：

ξ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；

ξ≥1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；

0< ξ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快，

ξ= 0时，出现等幅振荡。

※程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。

①※ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳

态值，

3-4 瞬态响应的性能指标

为了评定系统动态性能的好坏，常用一些性能指标来定量地描述系统瞬态性能。

1、瞬态响应的性能指标

控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。

这里定义瞬态响应的性能指标是在两个假设前提下：

1）系统在单位阶跃信号作用下

2）初始条件为0，即在单位阶跃输入作用前，系统处于静止状态。

常见的性能指标有：延迟时间t

、上升时间t r、峰值时间t p、调整时间t s、最大

d

超调量M p。

t

10.90.50.1图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线h(t)

(∞h )(∞h )

(∞h )(∞h

表示性能指标的单位阶跃响应曲线

※ 延迟时间t d ：单位阶跃响应c(t)达到其稳态值的50%所需的时间。

※ 上升时间tr ：响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，

上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 ※ 峰值时间tp ：响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 ※ 最大超调量Mp ：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用 百分数表示：p c(t )c()%100%c()

-∞σ=

?∞

※ 调整时间ts ：响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态 值的±2%或±5%）内所需的时间。

t d 、t r 、t p 、t s 用来评定系统的快速性（灵敏性）。 M p 用来评定系统的相对平稳性。 2、二阶系统的瞬态响应指标

以二阶系统在欠阻尼状态，输入为单位阶跃信号时，来推导上述性能指标。 1）上升时间tr

欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：

根据上升时间的定义有：

显然，ξ一定时，ωn越大，tr越小；

ωn一定时，ξ越大，tr 越大。

2）峰值时间tp

令，并将t = tp代入可得：

根据tp的定义解上方程可得：

可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2π/ωd的一半。且ξ一定，ωn越大，tp越小；

ωn 一定， ξ越大，tp 越大。 3）最大超调量Mp

超调量在峰值时间发生，故p c(t )即为最大输出

n p

t p d p

2

1c(t )1e

sin(t )1-ξω=-ω+β-ξ

2

1p c(t )1e -πξ

-ξ=+ 21sin )sin(ξββπ--=-=+

2

p 1c(t )c()%100%e 100%c()

πξ-

-ξ-∞σ=

?=?∞

显然，Mp 仅与阻尼比ξ有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。ξ越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当ξ= 0.4~0.8时，可以求 得相应的Mp = 25.4%~1.5%。

4）调整时间t s

由定义知，当s t t ≥时，

c(t)c()%c()-∞≤δ∞

对于二阶欠阻尼系统，其响应曲线为衰减的振荡曲线，其有一对包络线，即：

为简化运算，用包络线替代响应曲线，即

n w t %-ζ≤δ 当t=t s

n s w t %-ζ=δ

两边取对数，

s n

n

ln100ln t w -δ

=

ζ

S

n S

n

3t (5)

4t (2)

δ=ξωδ=ξω

当ξ一定时， ωn 越大，ts 越小，系统响应越快。

结论

※ 二阶系统的动态性能由ωn 和ξ决定。

※ 通常根据允许的最大超调量来确定ξ。ξ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整

ωn 以获得合适的瞬态响应时间。

※ ξ一定， ωn 越大，系统响应快速性越好， tr 、tp 、ts 越小。

※ 增加ξ可以降低振荡，减小超调量Mp ，但系统快速性降低，tr 、tp 增加； ※ 当ξ=0.7时，系统的Mp 、t s 均小，故称其为最佳阻尼比。 例题

图a)所示机械系统，当在质量块M 上施加f (t )=8.9N 的阶跃力后，M 的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M 、弹性系数K 和粘性阻尼系数C 的值。

解：根据牛顿第二定律：

系统的传递函数为：

3-5 系统的误差分析

一个系统的特性主要有快速性、平稳性和准确性。

快速性、平稳性可用瞬态响应的性能指标来评价，而准确性是由稳态误差来衡量的。它表征了系统的精度和抗干扰能力。

1、误差及稳态误差的概念

)

(s

R)

(s

C

)

(s

H

)

(s

E

)

(s

G

1）误差：

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)

系统在误差信号作用下，不断调整，使输出量趋于希望值。误差直接或间接地反映了系统输出希望值与实际值之差，从而反映了系统精度。

2）稳态误差：

稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t→∞）下的差值，即误差信号e(t) 的稳态分量：

当sE (s )的极点均位于s 平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：

E(s)R(s)B(s)R(s)H(s)C(s)

G(s)

R(s)

H(s)R(s)1G(s)H(s)1

R(s)1G(s)H(s)

=-=-=-?+=+

所以：ss t s 0

s 0

1

e lime(t)limsE(s)lims

R(s)1G(s)H(s)

→∞

→→===+

从式中可看出，e ss 与输入及开环传递函数的结构有关，即决定于输入信号的 特性及系统的结构和参数。当R(s)一定时，就取决于开环传递函数。 例：已知单位反馈系统的开环传递函数为：G (s )=1/Ts

求其在单位阶跃输入、单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号sin ωt 输入下的稳态误差。

解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：

在单位阶跃输入下的稳态误差为：

在单位速度输入下的稳态误差为：

在单位加速度输入下的稳态误差为：

sin ωt 输入时：

由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。 对上式拉氏变换后得：

稳态输出为：

而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：

此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。 2、系统的类型

系统的开环传递函数可写成下面的形式：

m n s T s s K s H s G j n j i m

i ≥++=∏∏-==,)1()1()()(1

1νν

τ

系统的开环增益。:K

)

(22100

:复合系统不会碰到。系统在控制工程中一般种类型的

很难使之稳定，所以这型以上的系统，实际上时，型系统型系统

型系统节数为系统中含有的积分环II >??

?

??II =I ==ννννν

ss m

s 0

s 0

i i 1

n j j 1v 1

v

s 01

e limsE(s)lims

R(s)

K (s 1)1s (T s 1)

s lim

K s →→=-νν=+→==τ++

+=+∏∏

可以看出，与系统稳态误差有关的因素为：

??

???输入信号开环增益有关

系统型别与)(s R K e ss ν

下面进一步讨论不同类型的系统，在不同的输入信号作用下的静态误差。 3、静态误差系统与稳态误差

按输入信号的不同来定义各种静态误差系数，并求相应的稳态误差。 1）静态位置误差系数Kp

当输入为单位阶跃时的稳态误差，称为位置误差。

ss s 0s 0s 011

e limsE(s)lims

1G(s)H(s)s

11

lim 1G(s)H(s)1Kp

→→→==?

+==++

其中，

称为静态位置误差系数。

v

s 0K

Kp G(0)H(0)lim

s →== ??

?≥∞==1,0,ννK K p