材料力学求形心位置例题
材料力学求形心位置例题
对于一个物体，定位其形心位置是物体力学中的基本问题之一。形心位置是一个物体整体
平衡的位置，也可以被认为是物体质量的重心。通过求解形心位置，可以帮助我们更好地理解
物体的平衡状态和运动性质。下面我们来看一个求解形心位置的例题。
例题：一个均匀的长方形板有边长为a和b，其质量密度为ρ。求解板的形心位置。
解答：为了求解板的形心位置，我们需要用到物体的质量和质量元的概念。质量(m)可以通过
物体的质量密度(ρ)和物体体积(V)相乘得到，即m = ρV。对于一个均匀的长方形板，可以将其
看作无数个宽度微小但高度为b的质量元叠加而成。
首先，我们将长方形板沿着宽度(b)方向进行切割，得到宽度为Δx的无数个矩形质量元。然后，对于每个质量元，我们需要确定其质量(dm)和距离形心位置的距离(x)。
由于板的质量密度为ρ，那么每个矩形质量元的质量(dm)可以表示为dm = ρΔx。而每个质量元
距离形心位置的距离(x)可以表示为x = Δx/2。
然后，我们可以将质量元质量(dm)和距离形心位置的距离(x)相乘，然后将所有的质量元的乘积累加起来得到形心位置的坐标。
形心位置的x坐标可以表示为x_cm = Σ(dm*x) / Σ(dm)。而形心位置的y坐标则与矩形板的宽
度(b)无关，即y_cm = 0。
接下来，我们将上面的表达式代入求解。
解得，形心位置的x坐标为x_cm = (b/2) * (a/3) = ab/6。
因此，长方形板的形心位置为(ab/6, 0)。
通过求解形心位置，我们可以得到长方形板的形心位置坐标。这个结果说明，在一个均匀的长
方形板上，形心位置位于长方形的重心位置，且形心位置的x坐标与长方形的长和宽有关，y
坐标为0。
在实际问题中，求解形心位置对于分析物体的平衡和运动至关重要。对于复杂的物体形状，求
解形心位置可能需要更加复杂的数学方法，但其基本原理是相同的。形心位置的求解是物体力
学中的一个基础知识点，对于学习物理学的人来说具有重要意义。
材料力学求形心位置例题
材料力学求形心位置例题 对于一个物体，定位其形心位置是物体力学中的基本问题之一。形心位置是一个物体整体 平衡的位置，也可以被认为是物体质量的重心。通过求解形心位置，可以帮助我们更好地理解 物体的平衡状态和运动性质。下面我们来看一个求解形心位置的例题。 例题：一个均匀的长方形板有边长为a和b，其质量密度为ρ。求解板的形心位置。 解答：为了求解板的形心位置，我们需要用到物体的质量和质量元的概念。质量(m)可以通过 物体的质量密度(ρ)和物体体积(V)相乘得到，即m = ρV。对于一个均匀的长方形板，可以将其 看作无数个宽度微小但高度为b的质量元叠加而成。 首先，我们将长方形板沿着宽度(b)方向进行切割，得到宽度为Δx的无数个矩形质量元。然后，对于每个质量元，我们需要确定其质量(dm)和距离形心位置的距离(x)。 由于板的质量密度为ρ，那么每个矩形质量元的质量(dm)可以表示为dm = ρΔx。而每个质量元 距离形心位置的距离(x)可以表示为x = Δx/2。 然后，我们可以将质量元质量(dm)和距离形心位置的距离(x)相乘，然后将所有的质量元的乘积累加起来得到形心位置的坐标。 形心位置的x坐标可以表示为x_cm = Σ(dm*x) / Σ(dm)。而形心位置的y坐标则与矩形板的宽 度(b)无关，即y_cm = 0。 接下来，我们将上面的表达式代入求解。 解得，形心位置的x坐标为x_cm = (b/2) * (a/3) = ab/6。 因此，长方形板的形心位置为(ab/6, 0)。 通过求解形心位置，我们可以得到长方形板的形心位置坐标。这个结果说明，在一个均匀的长 方形板上，形心位置位于长方形的重心位置，且形心位置的x坐标与长方形的长和宽有关，y 坐标为0。 在实际问题中，求解形心位置对于分析物体的平衡和运动至关重要。对于复杂的物体形状，求 解形心位置可能需要更加复杂的数学方法，但其基本原理是相同的。形心位置的求解是物体力 学中的一个基础知识点，对于学习物理学的人来说具有重要意义。
材料力学学生习题解答
E F N1 F N3 F N2 β (c) 2-1 试绘出下列各杆的轴力图。 2-2 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A 1=A 2=1150mm 2； 解：（1）分析整体，作示力图 ∑=0)(i B F M ： 041088=??-?A F 40kN A F = （2）取部分分析，示力图见（b ） ∑=0)(i C F M ： 02442.22=?+?-?q F F A N 2(404402) 36.36kN 2.2 N F ?-?== 3 2622 36.361031.62MPa 115010N F A σ-?===?杆 （3）分析铰E ，示力图见（c ） ∑=0ix F ： 0sin 12=-βN N F F 22 1221 40.65kN 2 N N F F +=?= 3 1 6 11 37.9610 35.3MPa 115010N F A σ-?= ==?杆 F 2F F N 2F F N A E C D B F A F B C F A F Cy F Cx N2(b)
2-3 求下列各杆内的最大正应力。 （3）图(c)为变截面拉杆，上段AB 的横截面积为40mm 2，下段BC 的横截面积为30mm 2，杆材料的ρg =78kN/m 3。 解：1.作轴力图，BC 段最大轴力在B 处 6N 120.530107812.0kN B F -=+???= AB 段最大轴力在A 处 6N 1212(0.5300.540)107812.0kN A F -=++?+???= 3 N 26 12.010 400MPa 30mm 3010B B F σ--?===? 3 N 2 6 12.010 300MPa 40mm 4010A A F σ--?= ==? 杆件最大正应力为400MPa ，发生在B 截面。 2-4 一直径为15mm ，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm ，直径缩小了0.022mm ，确定材料的弹性模量E 、泊松比ν。 解：加载至58.4kN 时，杆件横截面中心正应力为 3 N 24 58.410330.48MPa 1.5104 F A σπ-?==??＝ 线应变：3 33 Δ0.910 4.51020010 l l ε--?===?? 弹性模量：33 330.48MPa 73.410MPa 4.510 E σ ε -===?? 侧向线应变：310467.115 022 .0-?=＝， ε 泊松比：, 0.326 εμε= = 2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm ，截面尺寸为100×100mm 2；下段为铝制，长300mm ，截面尺寸为200×200mm 2。当柱顶受F 力作用时，柱子总长度减少了0.4mm ，试求F 值。已知E 钢=200GPa ，E 铝=70GPa 。 解：柱中的轴力都为F ，总的变形（缩短）为： 12 0.20.3Δg l F F l E A E A = + 123 99Δ0.20.30.410 0.20.3200100.10.170100.20.21931.0kN g l l F E A E A -= ?? +???????=?? +?????????? = A B C 12.0 12.0 F N (kN)
《材料力学》第8章-组合变形及连接部分的计算-习题解
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
材料力学习题集
2-1 1、试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并做轴力图。 （1） （2） 2-6 2、图示拉杆承受轴向拉力F =10kN ，杆的横截面面积A =100mm 2 。如以α表示斜截面与横 截面的夹角，试求当α=10°,30°,45°,60°,90°时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。 2-8 3、一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10GPa 。如不计柱的自重，试求： (1)作轴力图； (2)各段柱横截面上的应力； (3)各段柱的纵向线应变； (4)柱的总变形。 2-10 4、(1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变d ε,等于直径方向的线应变d ε。 (2)一根直径为d =10mm 的圆截面杆,在轴向拉力F 作用下,直径减小0.0025mm 。如材料的弹性摸量E =210GPa ，泊松比ν=0.3,试求轴向拉力F 。 (3)空心圆截面钢杆,外直径D =120mm,内直径d =60mm,材料的泊松比ν=0.3。 当其受轴向拉
伸时, 已知纵向线应变ε=0.001,试求其变形后的壁厚δ。 2-14 5、图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的自重不计。试求： (1) 钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律)； (2) 钢丝在C点下降的距离?； (3) 荷载F的值。 2-19 6、简易起重设备的计算简图如图所示.一直斜杆AB应用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组 [σ=170MPa。试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度成,钢的许用应力] 条件? 2-21 7、一结构受力如图所示,杆件AB,AD均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ=170MPa，试选择杆AB,AD的角钢型号。 ]
(完整版)材料力学习题册答案-附录平面图形几何性质
附录 截面图形的几何性质 一、是非判断题 ⒈ 图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。（ √ ） ⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。（ × ） ⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。（ √ ） ⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。（ √ ） 二、填空题 ⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 各组成图形对同一轴静矩 的代数和。 ⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 。 ⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形 主惯性轴 。 ⒋ 过图形的形心且 图形对其惯性积等于零 的一对轴为图形的形心主惯性轴。 三、选择题 ⒈ 图形对于其对称轴的（ A ） A 静矩为零，惯性矩不为零； B 静矩和惯性矩均为零 C 静矩不为零，惯性矩为零； D 静矩和惯性矩均不为零 ⒉ 直径为d 的圆形对其形心主轴的惯性半径i =（ C ）。 A d/2 B d/3 C d/4 D d/8 ⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴z 的惯性矩Z I =（ C ）。 A 123234dD D -π B 6323 4dD D -π C 126434dD D -π D 6643 4dD D -π z
四、计算题 1、求图示平面图形中阴影部分对z 轴的静矩。 232.0)2.06.0(4.0bh h h h b S Z =+??= () 8842422222bh h H B h h b h H h h H B S Z +-=??+??? ??-+?-?= 2、求图示平面图形对z 、y 轴的惯性矩。 4523231023.251040121040251040123010mm I I I II I Z ?=??+?+??+?=+= 由于图形对称，4 51023.2mm I I Z Y ?=== 3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 mm y C 7.56100 20201401010020902010=?+???+??= 4723231021.17.46200.1012201003.33201401214020mm I I I II I Z ?=??+?+??+?=+=46331076.112 100201220140mm I Y ?=?+?= z z z
材料力学习题及答案
资料力学-学习指导及习题谜底之迟辟智美创作 第一章绪论 1-1 图示圆截面杆，两端接受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且年夜小均为M的力偶作用.试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其年夜小. 解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其年夜小即是M. 1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ. 解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故 σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPa τ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa 1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零.试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其年夜小.图中之C点为截面形心.
解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力 F N=100×106×××103 N =200 kN 其力偶即为弯矩 M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m 1-4 板件的变形如图中虚线所示.试求棱边AB与AD的平均正应变及A 点处直角BAD的切应变. 解： 第二章轴向拉压应力 2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最年夜值. 解：(a) F N AB=F,F N BC=0,F N，max=F =F (b) F N AB=F,F N BC=－F,F N ，max (c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN,F N CD=3 kN,F N =3 kN ，max
材料力学练习册答案
第二章 轴向拉伸和压缩 2.1 求图示杆11-、22-、及33-截面上的轴力。 解：11-截面，取右段如)(a 由0=∑x F ，得 01=N F 22-截面，取右段如)(b 由0=∑x F ，得 P F N -=2 33-截面，取右段如)(c 由0=∑x F ，得 03=N F 2.2 图示杆件截面为正方形，边长cm a 20=，杆长m l 4=，kN P 10=，比重 3/2m kN =γ。在考虑杆本身自重时，11-和22-截面上的轴力。 解：11-截面，取右段如)(a 由 0=∑x F ，得 kN la F N 08.04/2 1==γ 22-截面，取右段如)(b 由 0=∑x F ，得 kN P la F N 24.104/32 2=+=γ 2.3 横截面为2 10cm 的钢杆如图所示，已知kN P 20=，kN Q 20=。试作轴力图并求杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。GPa E 200=钢。 解：轴力图如图。 杆的总伸长： m EA l F l N 5 9 102001 .0102001.02000022-?-=???-?==? 杆下端横截面上的正应力： MPa A F N 201000 20000 -=-== σ 2.4 两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径mm d 40=，杆的总伸长cm l 21026.1-?=?。试求荷载P 及在P 作用下杆内的最大正应力。（GPa E 80=铜，GPa E 200=钢）。 解：由∑=?EA l F l N ，得 )10 4010806 .0410********.04( 1026.16 296294---?????+?????=?ππP 4 /4 /4/4 / )(a ) (b ) (c 2N 1 N ) (a kN kN 图 N F cm cm cm
材力练习题
一、计算题 例1 求图1所示截面的形心C 的位置，及x I 、y I 例2 试分别计算下图对形心轴x 、y 的的形心主惯性矩x I 、y I 和面积矩S 的最大值、截面模量X W 的最小值。 例3 图3所示半径为R 的半圆形截面，形心C 与直径轴x 1的距离43c R y π= ，求半 圆截面对于形心轴x c 的惯性矩I xc 。 图 1 图3
例4将一根直径d ＝1mm 的直钢丝绕于直径D ＝1m 的卷筒上（图4），已知钢丝的弹性模量E ＝200GPa ，试求钢丝由于弹性弯曲而产生的最大弯曲正应力。又材料的屈服极限σs ＝350MPa ，求不使钢丝产生塑性变形的卷筒轴径D 1应为多大。 例5 T 字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图5(a)示，C 为T 形截面的形心，惯矩I z ＝6013×104 mm 4 ，试校核梁的抗剪强度和抗弯强度最大值。 例6矩形截面悬臂梁如图6示，试计算梁的最大切应力和最大正应力并比较大小。 例7图7所示悬臂梁由三块胶合 在一起，截面尺寸为：b =100mm ，a =50mm 。已知木材的[σ]＝10MPa ，[τ]＝1MPa ，胶合面的[τj ]＝0.34Mpa 试求许可荷载[P ]。 例8一钢材试件，直径为25㎜，原标距为 125㎜，做拉伸试验，当屈服点荷载为201.0KN ，达到最大荷载为250.3KN ，拉断后测的标距长为138㎜，求该钢筋的屈服点、抗拉强度及拉断后的伸长率。 图4 图5 图6 图7
二、选择题 题1 请选择正确结论：图形对其对称轴的(a )。 (A)静矩为零，惯性矩不为零，惯性积为零 (B)静矩不为零，惯性矩和惯性积均为零 (C)静矩、惯性矩及惯性积均为零 (D)静矩、惯性矩及惯性积均不为零 题2 由惯性矩的平行移轴公式，I Ｚ２ 的答案为(c )。、 (A) ＩＺ２＝ＩＺ1＋bh ３ ／４ (B) ＩＺ２＝ＩＺ＋bh ３／４ (C) ＩＺ２＝I Ｚ＋bh ３ (D) ＩＺ２＝ＩＺ1＋bh ３ 题3 图示矩形截面，Z 轴过形心C ，则该截面关于Z 、Z 1及Z 2轴的惯性矩关系为(c ) (A) I Ｚ＞ＩＺ1＞ＩＺ2 (B) ＩＺ2＞ＩＺ＞ＩＺ1 (C) ＩＺ2＞ＩＺ1＞ＩＺ (D) ＩＺ1＞ＩＺ＞ＩＺ2 题4 在边长为2a 的正方形中挖去一个边长为a 的正方形，如图示，则该图形对Z 轴的 惯性矩I Ｚ为( ) (A) a 4/4 (B) a 4/3 (C) ４a 4/5 (D) ５a 4 /４ 题2图 题4图 题3图
材料力学中形心的相关知识 材料力学形心
面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。 判断形心的位置 当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心； 只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。 建坐标形心位置（Xc,Yc ） Xc=[∫a(ρxdA)]/ρA=[∫a(xdA)]/A=Sy/A Yc=[∫a(ρydA)]/ρA=[∫a(ydA)]/A=Sx/A 1、重心物体的重力的合力作用点称为物体的重心。(与组成该物体的物质有关) 2、物体的几何中心。(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关) 。
3、一般情况下重心和是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。 4、当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心； 5、只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。 6、对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。 三角形共有五心 内心三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质到三边距离相等。 外心三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质到三个顶点等远。 重心三条中线的交点。 性质三条中线的三等分点。 垂心三条高所在直线的交点。 性质此点分每条高线的两部分乘积 旁心三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质到三边的距离相等。
工程力学材料力学 知识点 及典型例题
作出图中AB杆的受力图。 A处固定铰支座 B处可动铰支座 作出图中AB、AC杆及整体的受力图。 B、C光滑面约束 A处铰链约束 DE柔性约束 作图示物系中各物体及整体的受力图。 AB杆：二力杆 E处固定端 C处铰链约束
（1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。 （2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。 3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。 4、力的表示方法： （1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！） （2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。 5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。 6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。 约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。 约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处 7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。 8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。 (1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。 (2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。（） 9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。 （1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。 （2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。（） 10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。 约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。（）11、固定铰支座 （1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。
《材料力学》附录I 截面的几何性质 习题解
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+⨯⨯=⋅= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰ πθθθπ π 因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 解：
[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )( 四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰ ⎰ -⋅== 2/0042 /0 2 3 2 2c o s 1]4[s i n ππθθ θθd x d dx x I r r x )]2(2cos 21[2142/02 /0 4θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 2 12{82 /04πθπ-=r 16 4 r ⋅= π 由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为： 16 4 r I I x y ⋅= =π 微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：
工程力学(静力学与材料力学)课后习题答案
. 1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。与其它物体接触处的摩擦力均略去。 解： 1-2 试画出以下各题中AB 杆的受力图。 (a) B (b) (c) (d) A (e) A (a) (b) A (c) A (d) A (e) (c) (a) (b)
解： 1-3 试画出以下各题中AB 梁的受力图。 (d) (e) B B (a) B (b) (c) F B (a) (c) F (b) (d) (e)
解： 1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。 (a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。 解： (a) F (b) W (c) (d) D (e) F Bx (a) (b) (c) (d) D (e) W (f) (a) D (b) B (c) B F D
1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。 (a) 结点A ，结点B ；(b) 圆柱A 和B 及整体；(c) 半拱AB ，半拱BC 及整体；(d) 杠杆AB ，切刀CEF 及整体；(e) 秤杆AB ，秤盘架BCD 及整体。 解：(a) (d) F C (e) W B (f) F F BC (c) (d) AT F BA F (b) (e)
(b) (c) (d) (e) C A A C ’C D D C ’ B
2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上， F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。 解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆， (2) 列平衡方程： 1 214 0 sin 600530 cos6005 207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N =⨯+-==⨯--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。 2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示。如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束 力。 解：(1) 取整体ABCD 为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形： (2) F 1 F F D F F A F D
材料力学形心计算公式
材料力学形心计算公式 材料力学形心计算公式 1. 点形心公式 •点形心公式用于确定一个物体的几何中心。它是一个三维空间中的点坐标。 公式： X = (Σx_i * m_i) / Σm_i Y = (Σy_i * m_i) / Σm_i Z = (Σz_i * m_i) / Σm_i 其中，X、Y、Z 是点形心的坐标； x_i、y_i、z_i 是物体上各个点的坐标； m_i 是各个点的质量。 例子：假设一个物体由三个点组成，它们的坐标和质量如下：点1：(1, 2, 3)，质量为 2kg；点2：(3, 1, 2)，质量为 3kg；点3：(2, 2, 2)，质量为 4kg。代入公式计算： X = ((1*2) + (3*3) + (2*4)) / (2+3+4) = Y = ((2*2) + (1*3) + (2*4)) / (2+3+4) = Z = ((3*2) + (2*3) + (2*4)) / (2+3+4) = 因此，这个物体的点形心坐标为 (, , )。
•面形心公式用于确定一个平面上的几何中心。它是一个二维空间中的点坐标。 公式： X = (1 / (6A)) * Σ((x_i + x_i+1) * (x_i * y_i+1 - x _i+1 * y_i)) Y = (1 / (6A)) * Σ((y_i + y_i+1) * (x_i * y_i+1 - x_i+1 * y_i)) 其中，X、Y 是面形心的坐标； (x_i, y_i) 是平面上各个点的坐标； A 是平面的面积。 例子：假设一个平面由四个点组成，它们的坐标如下：点1：(1, 1) 点2：(3, 1) 点3：(3, 3) 点4：(1, 3) 代入公式计算： A = (1/2) * [(1*1 + 3*3 + 3*1 + 1*3) - (1*3 + 3*1 + 3*3 + 1*1)] = 4 X = (1 / (6*4)) * [(1+3)*(1*1 - 3*3) + (3+3)*(3*1 - 1*3) + (3+1)*(3*3 - 1*1) + (1+1)*(1*3 - 3*1)] = 2 Y = (1 / (6*4)) * [(1+3)*(1*1 - 3*3) + (3+3)*(3*1 - 1*3) + (3+1)*(3*3 - 1*1) + (1+1)*(1*3 - 3*1)] = 2 因此，这个平面的面形心坐标为 (2, 2)。
工程力学材料力学答案(整理)
oo=0.577),物块与斜面间摩擦因数为6-9图=100 N,W斜面倾角为30a,tan30(题6-9 已知物体重 f=0.38,f'=0.37,求物块与斜面间地摩擦力？并问物体在斜面上是静止.下滑还是上滑？ss如果使物块沿斜面向上运动,求施加于物块并与斜面平行地力F至少应为多大？ F 确定摩擦角,(1) 并和主动力合力作用线与接触面法向夹角相比较；解：W W ?? (a) (b) ?,物体与斜面地动滑动摩擦力为(2) 判断物体地状态,求摩擦力：物体下滑W ?? f全约束力与接触面法向夹角等,(3) 物体有向上滑动趋势,且静滑动摩擦力达到最大时于摩擦角； ?? +f；(4) 画封闭地力三角形,求力FF FF W R R ?W ? 6-10 重500 N地物体A置于重400 N地物体C上如题图所示.已知B上,B又置于水平面? f F ?o 地力F.问当F力逐渐加大时,=0.2,今在A上作用一与水平面成30是A先动=0.3,ff BCAB呢？还是A.B一起滑动？如果B物体重为200 N,情况又如何？
F B.C间地摩擦角：(1) 确定A.B和解：o30A B ,画物体A地受力图和封闭力三角形；(2) 当A.B间地静滑动摩擦力达到最大时F1 C F o301 A o30B A与当B.C间地静滑动摩擦力达到最大时,画物体地受力图和封闭力三角形；(3) WF A R1 WF A F?2 R11 f F o2 30?A o301 f F；(4) 比较F和21 B FW2R A+B先滑动；A物体C ?；W=700 N,再求F(4) 如果W=200 N,则2 f W2A+BB F A+B2R?2 和一起滑动；物体A,已知梯与地面地静摩擦因数f如图所示,B端靠在光滑铅直墙上,,l6-11 均质梯长为,重为P sA? =求平衡时？
材料力学作业
一、试作出图示各杆的轴力图。 二、图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为mm 10和mm 20，试求两杆的应力。设两根横梁皆为刚体。 三、桁架的尺寸及受力如下图，假设 kN 300=F ，AB 杆的横截面面积 2mm 6000=A ， 试求AB 杆的应力。 () a
四、在图示简易吊车中，BC 为钢杆， AB 为木杆。木杆 AB 的横截面面积 21cm 100=A ， 许用应力[]MPa 71=σ；钢杆BC 的横截面面积2 2cm 6=A ，许用应力[]MPa 1602=σ。试求许可吊重[]F 。 五、在低碳钢拉伸实验用的力与变形曲线及应力应变曲线中分别标出p F 、s F 、b F 和p σ、s σ、b σ，并答复在εσ -曲线中的p σ、s σ、b σ是否是构件中的真实应力，如果不是请另绘出强化阶段与颈 缩阶段真实应力曲线的大致形状。 六、像矿山升降机钢缆这类很长的拉杆，应考虑其自重的影响。设材料单位体积的重量为γ，许用应力为 []σ。钢缆下端所受拉力为F ，且钢缆截面不变。试求钢缆的允许长度及其总伸长。钢缆横 截面面积为A 。 B
七、图示结构中，AB 为刚体，杆1、杆2、杆3的材料和横截面面积均相同，在杆AB 的中点C 作用铅垂方向的载荷F ，试计算 C 点的水平位移和铅垂位移。已知： kN 20=F ， 2321mm 100====A A A A ，mm 1000=l ，GPa 200=E 。 八、设横梁 ABCD 为刚体。横截面面积为 2mm 36.76的钢索绕过无摩擦的滑轮。设 kN 20=P ，试求钢索内的应力和C 九、图示结构中，AB 为刚体，1、2杆的抗拉〔压〕刚度均为EA 。试求两杆的轴力。
材料力学的习地的题目及答案详解
材料力学-学习指导及习题答案 第一章绪论 1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。 解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。 1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。 解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故 σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPa τ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa 1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。
解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力 F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN 其力偶即为弯矩 M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m 1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。 解： 第二章轴向拉压应力 2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。
解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F (b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F (c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN (d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN 2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC与AB 段的正应力相同，试求BC段的直径。 解：因BC与AB段的正应力相同，故