到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：
二、债券价格的计算公式：
债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：
久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计
算债券的久期。修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期
限相比较得到债券的久期。Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动
越不敏感。
四、凸性的计算公式：
凸性的计算可以使用修正凸性法。修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。修正凸性越高，债券价格对利率的变
动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和
风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。了解这些指标的计
算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。 债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。 久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。 凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。 下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。 一、到期收益率的计算公式： 二、债券价格的计算公式： 债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。 三、久期的计算公式：
久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。 修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计 算债券的久期。修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。 Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期 限相比较得到债券的久期。Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动 越不敏感。 四、凸性的计算公式： 凸性的计算可以使用修正凸性法。修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。修正凸性越高，债券价格对利率的变 动越具有非线性的变化。 总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和 风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。了解这些指标的计 算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文 久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要 工具。久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是 衡量债券价格对利率波动的非线性变化。下面我们将详细介绍久期和凸性 的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。 首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。它是一个衡量债券价格 变动对利率变动的敏感度的指标。具体来说，久期表示的是债券的平均回 本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。久期越长，表示 债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。反之，久期越短，表 示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。 计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。Macaulay久期 的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci 为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。 除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。凸性描述了债券 价格对利率波动的非线性响应。凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格 的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。凸性大的债券价格 波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。 计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。麦堪昆凸性的计算 公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为 债券的价格，r为债券的到期收益率。
久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。首先，久期和凸性可 以帮助投资者衡量债券投资的风险。通过计算久期和凸性，投资者可以了 解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。久期和凸性可以作为评估不同 债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风 险和收益平衡。最后，久期和凸性可以帮助投资者制定投资策略。通过观 察债券价格在不同市场环境下的久期和凸性变化，投资者可以预测债券价 格的走势，从而制定相应的投资策略。 总而言之，久期和凸性分析是投资者评估债券投资风险和收益的重要 工具。久期和凸性可以帮助投资者了解债券价格对利率变动的敏感度和非 线性变化，从而做出科学合理的投资决策。在实际的投资过程中，投资者 应综合考虑久期和凸性等因素，以降低投资风险，实现更好的投资回报。
债券价格计算公式4个
债券价格计算公式4个 债券是一种固定利息的有价证券，用于借款和资金筹集。债券价格的计算是用于确定债券的市场价值。债券价格的计算公式主要有四个：按面额计算的价格、按到期收益率计算的价格、按资产市值平滑计算的价格和按债券久期计算的价格。 1.按面额计算的价格： 按面额计算的价格是指根据债券的面额和到期日计算的债券价格。公式如下： 债券价格=债券面额/(1+到期日收益率)^到期年限 这个公式假设债券持有人将按到期日收益率持有债券，并在到期日收回债券面额，忽略了债券的付息和重投资。 例如，一张面额为1000元，到期收益率为5%，到期日为3年的债券计算价格为： 债券价格=1000/(1+0.05)^3=863.84元 2.按到期收益率计算的价格： 按到期收益率计算的价格是指根据债券的每期付息金额和剩余期限计算债券价格。公式如下： 债券价格=Σ[每期付息金额/(1+到期收益率)^n]+偿还债券面额/(1+到期收益率)^剩余期限 这个公式考虑了债券的每期付息和偿还债券面额的现值。
例如，一张每期付息金额为50元，到期收益率为5%，剩余期限为3年的债券计算价格为： 债券价格 =50/(1+0.05)^1+50/(1+0.05)^2+50/(1+0.05)^3+1000/(1+0.05)^3=1073. 80元 3.按资产市值平滑计算的价格： 按资产市值平滑计算的价格是指根据债券的每期付息金额、剩余期限和市场利率的变动计算债券价格。公式如下： 债券价格=Σ[每期付息金额/(1+到期收益率)^n]+债券剩余期限内的现金流/(1+当期市场利率)^剩余期限 这个公式考虑了债券剩余期限内的现金流的现值。 例如，一张每期付息金额为50元，剩余期限为3年的债券，当期市场利率为4%，剩余期限内现金流为50元，计算价格为： 债券价格 =50/(1+0.05)^1+50/(1+0.05)^2+50/(1+0.05)^3+50/(1+0.04)^3=1080.69元 4.按债券久期计算的价格： 债券久期是衡量债券现金流的平均到期时间的指标，用于估算债券价格的变动幅度。按债券久期计算的价格可以理解为债券价格对利率变动的敏感性。公式如下： 债券价格=债券每期付息金额*(1-(1+当前债券收益率)^(-剩余期限))/当前债券收益率+偿还债券面额/(1+当前债券收益率)^剩余期限
关于债券的相关计算公式
关于债券的相关计算公式 债券是一种借款工具，发行者可以通过发行债券来筹集资金，购买债 券的投资者则可以获得固定的利息收入和还本付息的权利。在债券投资中，有一些重要的计算公式可以帮助投资者评估债券的回报和风险。 1.债券价格计算公式 债券价格是指债券的市场价格，也是投资者购买债券时需要支付的金额。债券价格的计算公式如下： 债券价格=[每期利息支付金额/(1+债券的市场利率)^剩余付息期 数]+[面值/(1+债券的市场利率)^剩余期数] 其中，面值是债券的本金金额，每期利息支付金额是债券每年支付的 利息金额，剩余期数是债券到期日与计算日期之间的年数。 2.债券的收益率计算公式 债券的收益率是指投资者购买债券后可以获得的回报率。债券的收益 率可以通过以下两种方法计算。 -当期收益率计算公式： 当期收益率=(每期利息支付金额+(面值-债券价格))/债券价格 其中，债券价格是投资者购买债券时支付的金额。 -市场利率计算公式： 市场利率=[每期利息支付金额/((面值+债券价格)/2)]*(1/剩余期数)
其中，每期利息支付金额是债券每年支付的利息金额，面值是债券的 本金金额，债券价格是投资者购买债券时支付的金额，剩余期数是债券到 期日与计算日期之间的年数。 3.债券的到期收益率计算公式 债券的到期收益率是指投资者持有债券直到到期日所获得的回报率。 债券的到期收益率可以通过以下两种方法计算。 -简单收益率计算公式： 到期收益率=[(面值+利息收入-债券价格)/债券价格]/剩余期数 其中，面值是债券的本金金额，利息收入是指债券持有期间获得的全 部利息金额，债券价格是投资者购买债券时支付的金额，剩余期数是债券 到期日与计算日期之间的年数。 -复合收益率计算公式： 到期收益率=[(面值+利息收入)^(1/剩余期数)/债券价格]-1 其中，面值是债券的本金金额，利息收入是指债券持有期间获得的全 部利息金额，债券价格是投资者购买债券时支付的金额，剩余期数是债券 到期日与计算日期之间的年数。 4.债券的修正久期计算公式 债券的修正久期是用于衡量债券对利率变动的敏感性。修正久期越长，债券的价格对利率变动的敏感性越高。债券的修正久期可以通过以下公式 计算：
到期收益率的两种算法
债券的收益率与久期 假设债券在未来时间1t ，2t ，…，n t ，有现金流1C ，2C ，…，n C ，其中包括付息及到期兑付现金流。则 1）对每年付息1次的债券，1t ，2t ，…，n t 之间的间隔为1； 2）对每年付息2次的债券，1t ，2t ，…，n t 之间的间隔为0.5。 假设当前时间为t ，价格为P 。以下为几个常用指标的计算公式。 1．到期收益率：以1年为时间单位的算法 以1年为时间单位计算的到期收益率y ，计算公式为： t t n t t t t n y C y C y C P ---++++++=) 1()1()1(2121 2．到期收益率：bond equivalents 算法 以半年为时间单位计算，然后换算为1年的到期收益率BE y ， ) (2)(22)(21)2/1()2/1()2/1(21t t BE n t t BE t t BE n y C y C y C P ---++++++= 3．到期收益率：人民银行公式 人民银行“银货政[2001]51号”文件所给出的计算公式为 111)/1()/1(/)/1(/)/1(/-+-+++++++++=n w n w w w f y M f y f C f y f C f y f C PV 以上公式实际上同时包含了两种算法。 1）对于1年付息1次的情况，1=f ，以上公式给出收益率y ； 2）对于1年付息2次的情况，2=f ，以上公式给出收益率BE y 。 如果需要比较不同债券的到期收益率，应该用同一种算法。也就是说，可以全部选择使用y ，或者全部选择使用BE y 。而不能将一个债券的y 与另一个债券的BE y 进行直接比较。这一点非常重要。 4．修正久期与凸性 修正久期与凸性都是利率风险指标，衡量债券价格对利率变化的敏感性。具体地说，有公式 2)(*/2dy C dy D P dP +-= 其中，dy 表示收益率的变化，dP 表示价格的变化，*D 表示修正久期，C 表示凸性。
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标 关于久期，一篇科普性质的文章可见： 本文将稍显晦涩。 关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期 收益率贴现的现值。 我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期 限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。 用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则： 到期收益率曲线非水平时： P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} 特殊地，到期收益率曲线水平时： P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}} 久期 在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全 导数： \operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}
旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。 我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有： \begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y \end{aligned} 有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上 式也可以写成： \begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=- \frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned} 出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over \operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。于是定义： \begin{aligned} D_{\rm Mod}:=-{\operatorname dP/P\over \operatorname dy}&={1\over P}\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \\ &={1\over P}\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \end{aligned}这就是修正久期（Modified Duration）。
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式 债券相关指标计算 一、名词解释 在本文中，下列名词具有以下含义： （一）零息债券：债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期 兑付日按债券面值进行偿付的债券。 （二）固定利率债券：债券发行人按固定票面利率定期支付利息的债券。 （三）浮动利率债券:债券发行人根据一定规则调整票面利率,并依此 利率定期支付利息的债券。 （四）到期一次还本付息债券：发行时规定票面利率、但是在到期兑 付日前不支付利息，全部利息至到期兑付日和本金一同偿付的债券。 （五）日计数基准：债券市场中计算应计利息天数和付息区间天数时 采用的基准，如“实际天数/实际天数”、“实际天数/365”、“30/360”等。 （六）理论付息日：对零息债券和到期一次还本付息债券，债券期限 内每年与到期兑付日相同的日期。如零息债券A到期兑付日为2022年8 月10日，则债券期限内每年的8月10日为债券A的理论付息日。 二、日计数基准
银行间债券市场（包括债券回购交易）日计数基准为“实际天数/实际天数”，即应计利息天数按实际天数计算（算头不算尾），一年按实际天计算。 注：1，银行间债券闰年的2.29日是计算利息的，之前的版本不算利息；对于交易所债券来说2.29还是不计算利息的2，付息周期的实际天数是指下一个付息日与上一个付息日之间的实际天数，算头不算尾，含闰年的2月29日；计息年度是指发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，依此类推。 三、债券全价中内含应计利息的计算 应计利息的计算需注意债券基础数据的准确。涉及到债券基本信息、债券利率、债券 所处时点的前后付息日期几个关键的数据。 应计利息计算公式如下： 1．对固定利率债券和浮动利率债券，每百元面值的应计利息额为：AICftTS（1） 其中： AI:每百元面值债券的应计利息额； C：每百元面值年利息，对浮动利率债券，C根据当前付息期的票面利率确定；：起息日或上一付息日至结算日的实际天数。 t fTS:年付息频率
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文 久期是衡量债券价格对利率变动的敏感性的指标。它表示债券的平均 回收期，即投资者从持有债券获得的现金流量的平均到期时间。久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。久期的计算方法有两种：修正久期和 加权久期。修正久期是用来衡量债券特定到期收益率的变动对债券价格的 影响。加权久期是用来衡量整个收益率曲线上的利率变动对债券价格的影响。久期计算公式如下： 修正久期=Σ(CFt*t)/P 加权久期=Σ(CFt*t*DFt)/P 其中，CFt表示在第t期获得的现金流量，t表示现金流量获得的时间，DFt表示第t期的贴现因子，P表示债券价格。 凸性是衡量债券价格对利率变动的曲率的指标。它表示债券价格变动 与利率变动之间的关系。凸性为正表示当利率上升时，债券价格下降的幅 度大于利率下降时债券价格上升的幅度。凸性为负则相反。凸性的计算方 法如下： C=(P--2P+P+)/(P*Δy^2) 其中，P-表示利率下降时的债券价格，P+表示利率上升时的债券价格，Δy表示利率变动的大小。 久期和凸性的分析有助于投资者理解债券投资的风险和回报特征。首先，久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性。当投资者预 计利率上升时，可以选择久期较短的债券，降低利率上升对债券价格的影响。其次，凸性可以帮助投资者评估利率变动对债券价格变动的曲线形状。
当投资者预计利率波动较大时，可以选择凸性较高的债券，以获得更高的 回报。 此外，久期和凸性分析对债券组合管理也具有重要意义。投资者可以 通过调整久期和凸性来优化债券组合的风险和回报特征。例如，投资者可 以通过组合久期较短和久期较长的债券，实现对利率变动的敏感性的平衡。同时，投资者还可以通过组合凸性为正和凸性为负的债券，实现对利率变 动的曲线形状的平衡。 综上所述，久期和凸性分析是债券投资领域重要的工具。久期帮助投 资者理解债券价格对利率变动的敏感性，凸性帮助投资者理解债券价格对 利率变动的曲线形状。通过久期和凸性分析，投资者可以评估债券的风险 和回报特征，并优化债券组合的风险和回报特征。在实际投资过程中，投 资者可以根据自己的投资目标和风险偏好，灵活运用久期和凸性分析来指 导投资决策。
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式 债券到期收益率（YTM）是指债券投资者持有一定期限的债券并将其持有至到期时所能获得的年化收益率。久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感程度的度量。凸性（Convexity）是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。本文将介绍债券到期收益率、久期和凸性之间的关系以及久期凸性公式的推导。 债券到期收益率是影响债券价格的重要因素之一，通常情况下，债券价格与到期收益率呈反向关系，即债券价格上升时到期收益率下降，反之亦然。这是因为当到期收益率上升时，新发债券的利率更高，对于已发行的低息债券而言，其收益率相对较低，导致其价格下降，以提高其收益率与新债券相匹配。 久期是评估债券价格对利率变动敏感性的重要衡量指标。久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。久期的计算公式如下： 久期=Σ（PVt×t）/（P×ΔY） 其中，PVt为债券每期现金流的现值，t为期数，P为债券的价格，ΔY为利率变动的大小。 然而，久期只能提供一阶段的价格变化信息，忽视了价格曲线的曲率问题。凸性的引入填补了这一缺陷。凸性是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。 凸性的计算公式如下： 凸性=Σ（PVt×t×t）/（P×ΔY^2）
债券价格的二阶泰勒展开式可以表示为： P(Y)≈P(0)+ΔY×P'(0)+0.5×ΔY^2×P''(0) 其中，P(Y)是在到期收益率Y下的债券价格，P(0)是在当前到期收益率下的债券价格，P'(0)和P''(0)分别是在当前到期收益率下的债券价格对收益率的一阶导数和二阶导数。 通过以上公式，我们可以推导出久期和凸性之间的关系。将债券价格的二阶泰勒展开式中的一阶导数代入久期的计算公式中，可以得到以下公式： 久期≈-（1/P）×P'(0)≈-（1/P）×ΔP 其中，ΔP是债券价格的变化。 进一步地，将债券价格的二阶泰勒展开式中的二阶导数代入凸性的计算公式中，可以得到以下公式： 凸性≈（1/P）×[ΔP-（0.5×久期×ΔY^2）] 通过以上推导，我们可以得到久期和凸性之间的关系： 凸性≈（1/P）×[ΔP-（0.5×久期×ΔY^2）] 这个公式表明，凸性是债券价格变化的一项修正项，它包含了久期项的修正，使得凸性能够更准确地评估债券价格的变化。 总结起来，债券到期收益率、久期和凸性之间存在着密切的关系。债券价格是受到这三者共同影响的，其中久期决定了债券价格对利率变动的敏感性，而凸性补充了久期忽视的价格曲线的曲率问题。通过久期凸性公
债券凸性的计算公式
债券凸性的计算公式： 对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为C F t，它的现值为P t=CF t 1+y ，那么债券的理论价格就是各期现金流的现值和 P(y)= CF1 1+y + CF2 (1+y)2 + CF3 (1+y)3 +⋯+ CF t (1+y)t +⋯=∑ CF t ()t T t=1 . 下面我们来求P(y)的泰勒级数前三项展开式．P(y)的一阶导数为 dP dy = CF1 (1+y)2 − CF2 (1+y)3 − CF3 (1+y)4 −⋯− t×CF t (1+y)t+1 −⋯1 1 1(1) T t t t t CF y y = ⨯ =- ++ ∑ P(y)的二阶导数为 d2P dy2= 2×CF1 (1+y)3 + 2×3×CF2 (1+y)4 +⋯+ t×(t+1)×CF t (1+y)t+2 +⋯ 2 1 (1) 1 (1)(1) T t t t t t CF y y = + = ++ ∑ 根据泰勒级数公式，债券价格P(y)的近似计算公式为 P(y)≈P(y0)+dP dy (y−y0)+ 1 2 ∙ d2P dy2 (y−y0)2 将一阶导数和二阶导数代入上式，有：
P (y )≈P (y 0)−11+y ∑t ×CF t (1+y )t T t=1 ×(y −y 0) +12(1+y )2 ∑t (t +1)×CF t (1+y )t ×(y −y 0 )2．T t=1 或者 P (y )−P (y 0)P (y )≈−y −y 0P (y )(1+y )2 ∑ t ×CF t (1+y )t T t=1 (y −y 0)22P (y )(y −y 0)2t (t +1)×CF t (1+y )t ． 令∆P =P (y )−P (y 0)，∆y =y −y 0． 令1111 (1)(1)(1)T T t t t t t t t CF CF dP D P dy y y y ==⨯=-=÷+++∑∑ 是债券现金流的加权平均期限，被称为久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间t 所支付的现金流CF t 的现值占整个现金流P 的百分比，修正值D*=D*(1+y )−1，经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率y 的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标． 令222 11 (1)11(1)(1)(1)T T t t t t t t t t CF CF d P C P dy y y y ==+= =÷+++∑∑ C 被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积t ×(t +1)的加权修正值，权数是现金流CF t 的现值占整个现金流P 的百分比，不同于久期的是，其修正值为(1+y )−2． 因此，债券价格的近似公式简化为： ∆P P =−Ｄ∗×∆y + C ２ ×(∆y )2
凸性与债券价格非付息期的计算
一.久期与凸性 1、久期（仅针对分次附息债券.一次还本债.贴现债久期=剩余期限） （1） 久期含义：与剩余期不同，它指债券未来一系列现金流入的平均到期时间，即完全收回本金利息的加权平均年数。可从期限角度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。简化公式 （2）Macaulay 久期计算 D= 1 ()( )=⨯∑T t PV ct t P D 1=1×[C 1/(1+r)]/p 0+2 ×[C 2/(1+r)2 /p 0]+….+n × [(C n +p n )/(1+r)n ]/p 0 当每次现金流相同,公式简化为: D 1=011/(1)()(1)-+--+〈〉⨯n r c n n r p r r 每年一次现金流 D 1=22011/(1/2) /22()2(1/2)/2 -+--+〈 〉⨯n r c n n r p r r 半年一次现金流 甲债券,3年为期,年息票80元,面值1000元,到期收益率10%,现市价950.24元.求久期? D 1=1×[80/(1+0.1)]/950.24+2×[80/(1+0.1)2 /950.24]+3×[(80+1000)/(1+0.1)3 ]/950.24 =1×0.0766 +2×0.0696+3×0.8539=2.78年 （3）修正久期: D 2 = D 1/1+r (差异在于D 1用连续复利, D 2用离散复利,常用后者) (4) Fisher —w eil 久期:
D 3 =1×[C 1/(1+r 1)]/p 0+2×[C 2/(1+r 1)(1+r 2)]/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r 1)(1+r 2)…(1+r n )]/p 0 (差异在于r 随时而变) r 1、r 2…r n 用期限结构曲线计算。 组合D= 1 =∑n i i t W D 1 1==∑n i t W 其它久期计算: 永久年金债券D=(1+ r)/ r 固定年金债券D=[(1+ r)/r]－T/[(1+ r)T －1] T-年金支付次数 r-年金率 带息债D=(1+ r)/r －{(1+ r)＋T(c －r)/c[(1+ r)T －1]＋r} c-每个付息期间息率 T-利息支付次数 债券以面值出售时, D=[(1+ r)/r][1－1/(1+ r)T ] 2.久期性质 1)零息债息债久期=到期期限,有息债久期<到期期限 2)距到期日时间一定时,息票率越低,其久期越长, 3)当息票率一定时, 久期随距到期日时间延长而延长 4)其它因素不变, 到期收益率越低, 其久期越长, 3．久期与债券价格变化关系 D 1 =1∆- +r r /∆P P ∆P P =11∆-+r D r ∆P P = —D 2×∆r 例: 乙债券, D 1为10年,到期收益率8%,现市价1000元.如r 由8% 上升到9%,市价为多少? ∆P P =11∆-+r D r = －10×((0.09－0.08)/1+0.08 = －9.26% ∆P = －10×((0.09－0.08)/1+0.08×1000 =－92.6元
债券久期、免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性 一、久期及其计算 多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。 有效持续期用公式表示则为： P y tC D n t t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。价格为95.2，当前利率为12%。求其持续期。 第0年 第1年 第2年 第3年 当前利率 95.2 10 10 110 12% 持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。 简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。 持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。 对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。 二、债券价格对利率变动的敏感程度 由金融工具的理论价格公式：∑=+=n t t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度： ∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1) 1(11 两边同时乘以p dy 得
固定收益证券计算题
计算题 题型一：计算普通债券的久期和凸性 N 久期的概念公式：D t W t t 1 其中， W t是现金流时间的权重，是第 t 期现金流的现值占债券价格的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。 久期的简化公式： 1 y(1y) T(c y) D c[(1y)T1]y y 其中， c 表示每期票面利率， y 表示每期到期收益率， T 表示距到期日的期数。 1N 凸性的计算公式： C(t 2t) W t (1y) 2t 1 其中， y 表示每期到期收益率； W t是现金流时间的权重，是第 t 期现金流的现值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。
例一：面值为 100 元、票面利率为 8%的 3 年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为 10%，计算它的久期和凸性。 每期现金流： C 100 8% 4 实际折现率： 10% 5% 2 2 息票债券久期、凸性的计算 2 时间（期 现 金 流 现金流的现值 权重 时间 ×权重 (t +t) ×W t 数） （元） （元） （W t ） （t ×W t ） 1 4 4 0.0401 0.0401 0.0802 3.8095 3.8095 (1 5%) ） （ 94.9243 2 4 4 0.0382 0.0764 0.2292 3.6281 (1 5%) 2 3 4 4 0.0364 0.1092 0.4368 3.4554 (1 5%) 3 4 4 4 0.0347 0.1388 0.6940 3.2908 (1 5%) 4 5 4 4 0.0330 0.1650 0.9900 3.1341 (1 5%) 5 6 104 104 0.8176 4.9056 34.3392 77.6064 (1 5%) 6 总计 94.9243 1 5.4351 36.7694 即， D=5.4351/2=2.7176 1 5% (1 5%) 6 (4% 5%) 利用简化公式： D 4% [(1 5%) 6 1] 5.4349 （半年） 5% 5% 即， 2.7175（年） 36.7694/ （1.05）2 =33.3509 ； 以年为单位的凸性： C=33.3509/（2）2=8.3377