勒贝格积分的分部积分和变量替换

线性变换在多变量函数积分学中的应用

线性变换在多变量函数积分学中的应用 在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极坐标代换,或类似此类的代换。而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。线性变换用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易看出。下作讨论。 在O-XYZ 坐标系中，将一组基（X ，Y ，Z ）乘一个矩阵M 3×3，转化为另一组基（U ，V ，W ），这时Jacob 行列式为 ) ,,() ,,(w v u z y x ??=detM 1-= M det 1 ，特别地,当M 为正交矩阵， 即进行正交变换，Jacob 行列式为1，在进行线性变换时，要合理选择M 。 1． 合理选择M ，化复杂区域为简单区域。 如计算由平行六面体 1111h z c y b x a ±=++2222h z c y b x a ±=++, 3333h z c y b x a ±=++围成的体积, 线性变换后,此空间不规则区域可化为标准长方体, 只需另u z c y b x a =++111，v z c by x a =++22,w z c y b x a =++333, 易确定-h1≤u ≤h1, -h2≤v ≤h2, -h3≤w ≤h3, ) ,,(),,(w v u z y x ??= 3 3 3 2221111c b a c b a c b a 。 于是V= ??? v dxdydz= ? ?? ---1 1 22 3 3 h h h h h h dv du 3 3 3 2221111c b a c b a c b a dw=。 3 3 3 2221113218c b a c b a c b a h h h 。 这样看问题，避免了为确定积分限而进行的复杂计算，而且x,y,z 地位等价，化为累次积分，往往计算量很大。 2． 合理选择M ，将复杂的空间曲线转化为某个平面上的规则曲线。 在曲线积分中，若易找出r(t),则计算简便，但若曲线由很一般的曲面交线给出，如果曲线在“倾斜”的平面上，线性变换可化到O-XYZ 平面上，便于研究。 如计算dl x l ? 2 ，l :球面2 222a z y x =++与 0=++z y x 交线。 分析此问题，由于x,y,z 对称，可考虑??? =++= l l l dl a dl z y x dl x ,3 1)(3122 222 本文不再讨论，事实上，观察知，l 是0=++z y x 平面上的圆，半径为,a 圆心在原点，考虑变换到O UVW -坐标系中，使此圆落在ouv 平面内，圆方程为 0,122==+w v u 。

探究定积分的定义,实现积分变量的替代

探究定积分的定义，实现积分变量的替代 山东省莱州市第一中学 赵 凯 学生为主体，教师为指导的新的教学理念逐步的被广大教师应用于教学实践中，提倡学生积极主动，勇于探索的学习这也是新的课程改革的要求。适时地提出问题，为学生创设探究思维的学习环境，是我们教育工作者面临的具有挑战性的任务。通过对定积分的教学使我有了更深的体会。 定积分的有关内容是课程改革后新增加的，定义的理解又是学习掌握着部分内容的基础。通过研究求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程，归纳出了定积分定义，得到： ? b a f dx x )(=∞ →n lim ∑ =-n i n a b 1 )(i f ξ。 借助定义求定积分，通过“四步曲”：分割，近似代替，求和，取极限显然比较麻烦，当然应用微积分基本定理是最好的方法。 如何把一个和式的极限转化成定积分的形式，是我们在教学过程中不得不向学生提出的问题，解决这个问题的关键就是对定积分定义的理解，引导学生对定义的再认识。 定义：如果函数)(x f 在区间[a , b]上连续，用分点 b a x x x x x n i i =

§3二重积分的变量代换

§3 二重积分的变量代换 也有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例：2 2() x y D I e dxdy -+= ??，D={}222(,)|x y x y a +≤ 分析：∵f(x,y)=22() x y e -+在D 上几乎处处连续，有界函数{} 222(,)|x y x y a +≤=?D 是零测度集，∴f ∈R （D ） 22 2222 () a a x x y a a x I dx e dy --+---=?? =22 2 2 22 a a x x y a a x e dx e dy ------?? or 22 2222 () a a x x y a a x I dy e dx --+---= ? ? =22 2 2 22 a a x y x a a x e dy e dx ------?? 计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来。说明我们的计算方法有问题。因此，我们有必要寻找 更有效的计算二重积分的方法。联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法。在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？是可以的。这就是我们今天给大家要讲解的，二重积分的变量代换，利用这种方法，就可以解决上面的计算问题。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。 1． 极坐标交换 先介绍极坐标变换：cos ,sin x r y r θθ== (0,02)r θπ≤<+∞≤≤。 设D 是2 R 中的有界闭区域，且D ?是2 R 中的零测度集；再设f 在D 上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f ∈R （D ）∴ (,)D f x y dxdy ??有意义的；它的值不因对区域D 的分割方式不同而变化。 在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线来分划区域D 为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D （如左图示），得出若干个小块ij σ，这时小块的面积若极为ij σ?，（,i j i j x y σ∈）则Rieman 和为 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑ ， 注意到 ij σ?=221[()]2j j i j i r r r θθ+??-?=1(2)2j j j i r r r θ+???=21 2 j j i j i r r r θθ??+?? 易见,当i θ?，j r ?充分小时，ij σ可近似地看成一个矩形，边长分割为：j r ?和j i r θ?，即 ij σ?≈j j i r r θ??，若有Rieman 和 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑中以 j j i r r θ??代替ij σ，并按极坐标交换：cos ,sin x r y r θθ== c o s ,s i n i j i j j i x r y r θθ==，1 1(,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑≈ 1 1 (cos ,sin )n m j i j i j j i i j f r r r r θθθ==??∑∑。当分割的精度→ 0是，由上面分析知： 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑→ (,)D f x y dxdy ??。

重积分的计算方法

重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：

在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）

高等数学中常见的变量替换

目 录 引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于 0(或 ∞ ∞)型极限 (2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限x y n +∞ →lim 的求法 (3) (四) 求数列的极限………………………………………………………(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 …………………………………(6) (一) 三角函数代换……………………………………………………(6) (二) 倒数代换…………………………………………………………(7) (三) 指数代换…………………………………………………………(8) (四) 不定积分? dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函 数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。...................................................(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换..............................(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧.................................(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用........................(14) (二) 求解齐次方程 中变量替换的应用 (15)

积分变量变换的应用

积分变量变换的应用 嘉应大学 数学学院083班 廖礼敏 专业：数学与应用数学 学号：2080111322 中文摘要：首先总结了已有的不定积分和定积分的换元积分法的应用， 并对所获得的结果进行了应用。 关键词：不定积分；定积分；换元积分法； 正文： 一、不定积分换元积分法：求解不定积分，能应用直接积分法的函数不多， 因此，有必要进一步研究不定积分的求解方法。 1、换元积分法的基本思想 应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。其实，换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。 回顾复合函数的微分手法，是将复合函数[()]f x ?的复合变量替换为简单变量()x u ?=，然后应用简单函数的微分方法得()'()df u f u du =， 应用替换法，同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分： [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 于是，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。 换元积分法通常分两类：第一类换元法和第二类换元法。 第一类换元法是将复杂变量替换为简单变量：()x u ?=，从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分； 第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量：()x u ?=，从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。 下面分别进行分析。 一、第一类换元法 1、第一类换元法的积分思路 第一类换元法并非一种独立存在的积分方法，它建立在直接积分法的基础

上，依赖直接积分法去最终完成积分。或者说，它以换元法为主要手段，以直接积分法为解决积分的最终方法。 换言之，第一类换元法的积分思路，就是将含复合函数的积分转换为简单函数的积分，从而应用直接积分法解决问题。 2、第一类换元法的基本公式 定理1 设()f u 具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式 [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 或为 [()]'() () () f x x d x x u f u d u ?? ?=?? 公式的要点： ①可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构： [()]()f x d x ??? 或 [()] '()f x x d x ??? ②换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换：一个是复合函数 [()]f x ?的第一中间变量()x ?，一个是微分函数()d x ?中的待微分函数()x ?。 ③换元后得到的积分式()f u du ?必须是简单函数的积分，如果仍含有复合函数，那么换元失败或复合变量认定错误。 3、第一类换元积分法的步骤分解 第一类换元法的基本公式在具体运用时，有许多技巧性手法，一下子不容易掌握，但万变不离其宗，根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。 为准确理解和掌握第一类换元法的基本公式，下面进行分解说明。 第一类换元法的积分过程分为五个步骤：特征判断，凑微分，变量代换，直接积分，变量回代。 下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。 第一步骤：特征判断——检查被积函数是否适合应用第一换元法 第一换元法要求被积函数具有结构特征： [()]()f x d x ??? 或 [()] '()f x x d x ??? 亦即被积式可分解为具有乘积关系的两个部分： ①复合函数[()]f x ?；

二重积分的变量代换

§4 二重积分的变量代换 引言 有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例如 2 2() x y D I e dxdy -+=??，D={}222(,)|x y x y a +≤ 分析：∵函数f(x,y)=2 2() x y e -+ 在有界区域D={}222(,)|x y x y a +≤处处连续，∴f ∈R （D ） 22 2222 () a a x x y a a x I dx e dy --+---=?? =22 2 2 22 a a x x y a a x e dx e dy ------?? 或者 22 2222 () a a x x y a a x I dy e dx --+---=?? =22 2 2 22 a a x y x a a x e dy e dx ------?? 计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来，因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法. 联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法. 在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这种方法，。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用. 对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数. 1 定积分换元积分法公式的改写 2 一元函数)(x f y =在0x 的导数的绝对值)(0x f '的几何意义 3 函数行列式的几何意义 设变换),( , ),(v u y y v u x x ==的Jacobi 0) ,() ,(≠??v u y x D '是在该变换的逆变换),( , ),(y x v v y x u u ==下XY 平面上的区域D 在UV 平面上的象. 由条件0) ,() ,(≠??v u y x , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换),( , ),(y x v v y x u u ==,设函数),( , ),(y x v v y x u u ==在XOY 平面上的区域D 内有连续的偏导数 . 在此变换之下,XOY 平面上的区域D 变为UV 平面上的区域D ', 且 设0),(),(≠??=v u y x J .由此求出变换),( , ),(v u y y v u x x ==，并且 1 ),(),(),(),(-??? ? ????=??y x v u v u y x . 引理1( 补充) 设变换T ： ),( , ),(y x v v y x u u ==如上所述, 又设在XOY 平面上有一块包

反常积分与含参变量的积分

116 第十二章 反常积分与含参变量的积分 一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ● 无穷积分： ():lim ()A a a A f x dx f x dx +∞→+∞=? ? ● 瑕积分： 0 ():lim ()b b a a f x dx f x dx δ δ+-→=?? b 为瑕点 若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞ ?收敛，则称()a f x dx +∞? 绝对收敛. 若()a f x dx +∞ ? 收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ● 比较判别法： 若0()() [,)f x c x x a ?≤≤?∈+∞ ()a x dx ?+∞ ? 收敛?()a f x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 发散?()a x dx ?+∞ ?发散 若0()() [,]f x c x x a b ?≤≤?∈ ()b a x dx ??收敛?()b a f x dx ? 收敛 ()b a f x dx ? 发散?()b a x dx ??发散 若()() ()a x f x g x f x dx +∞ →+∞? 收敛()a g x dx +∞ ?? 收敛 ● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足 () ().[,),0A a a f x f x dx M A a dx x λλ+∞ ≤?∈+∞?>? ? 收敛. ·若()f x 满足 ().[,)()(),0x b a a f x dx M x a b x b f x dx λλ≤?∈?->? ?收 敛. ● ·()f x 满足： ().[,)A a f x dx M A a x ≤?∈+∞→+∞? 时()g x 单调趋 于0 ()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛.

变量替换法应用

“变量替换法”在各类计算中的应用 下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述“变量替换法”在高等数学教学中适用的各种运算问题类型。 1 在极限运算中的应用 例1 求111 1 0lim x x x x x e e e e +-→- +-． 分析：该极限看上去形式比较复杂，需要作化简处理，将函数中的一个单元(子函数1x e )作为一个整体进行变量替换，令1x e u =，该极限就变成为容易求解的等价极限形式，可使问题迎刃而解。 解：令1 x e u =，则1 1x e u -=，且当0x +→时，x →+∞，于是 2211=lim lim 111u u u u u u u u →+∞→+∞+ +==--原式 例2 求 01lim x x a x →-． 分析：该极限看起来形式简单，但没有直接可利用的公式套用，需要进行变 量替换，若令1x a u -=，可转化为对数形式的函数极限101lim log (1)u u a u →+，即可联系到第二个重要极限的结果来计算。 例3 求2222(,)(0,0)sin()lim (3)() x y x y xy x y →+++. 解：令22x y u +=，则(,)(0,0)x y =时，即0u →，于是 (,)(0,0)01sin 11=lim lim (3)033 x y u u xy u =→==++原式 这里，所引入的变量表示了一个二元函数。 2 在导数运算中的应用 在导数运算中变量替换法主要用于复合函数(包括隐函数)的求导问题，根据链式法则，通过对复合函数复合关系的分析，引入中间变量，将复合函数拆成几

个简单函数，使求导运算得以顺利进行。这里所引入的变量表示的都是函数，且它们只起中间变量的作用，即在求导过程中，需要时引进来，求导完之后要回代，需要注意的是清楚地分析复合函数的复合关系、恰当地引入中间变量且弄清每个中间变量所表示的函数是运用该方法熟练进行求导的关健所在。 例4 求ln cos(1)y x =+的导数 解：令cos(1)u x =+,1v x = +,则ln y u =，cos u y =，1v x =+ 于是''1sin(1)'(ln )(cos )(sin )tan(1)cos(1) u v x y u v v x u x -+==-==++ 注意：复合函数中间变量换元要分层次，引入不同的中间变量。 例5 设22 (,sin )z f x y x y =+，且f 具有一阶连续偏导数，求z x ??. 解：令22u x y =+，sin v x y =，则(,)z z x y =，于是 2sin 2sin u v u v z z u z v f x f y xf yf x u x v x ?????=+=+=+????? 该例子表明多元复合函数求偏导时，也必须对函数的复合结构做出正确分析，通过引入中间变量进行替换，才能使运算得以进行，这里两个中间变量都各自表示了一个相应的二元函数。 例6 设1z e xyz -=，求z y ?? ． 解：视(,)z z x y =，对方程两边的y 求导，得 ()0x z z e xz xy y y ??-+=?? 所以2z xz y e xy ?=?- 这里z 视为,x y 的二元隐函数(,)z x y ，则z 相当于链式法则中的中 间变量。 例7 设()f x 可导，10()()x n n n F x t f x t dt -=-?，求'()F x ． 解：该变限函数是无法直接进行求导的，只有通过变量替换，令 n n x t u -=,即可转化为可求解的形式。

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D U 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ??U ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ? ?也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()() () 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有