2017数学花园探秘初赛五年级讲义教师版

小学数学花园探秘（原迎春杯）讲义

第一讲计算与计数专题

一、知识梳理

数、小数、分数的基本概念和性质、定义新运算

①分数：两个正整数p 、q 相除，可以用分数q 分之p 表示。特别注意，分母不为0.②真分数：分子比分母小的分数。假分数：分子大于或者等于分母的分数。

带分数：一个正整数与一个真分数相加所成的数。

真分数一定小于1；假分数大于或等于1；带分数一定大于1。

③带分数化成假分数：分母不变，分子等于整数部分乘以分母加上原分子。

④分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等。

⑤最简分数：分子和分母互素的分数，叫做最简分数。

⑥分数乘法的法则：两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，将分母相乘的积作积的分母。整数与分数相乘，整数与分数的分子的积作积的分子，分母不变。⑦分数除法法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数

倒数：两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数。互为倒数的两个数的乘积是1。a 的倒数是a 分之一（a 不为0）。1的倒数是1。0没有倒数。

⑧定义新运算：用心的运算符号对四则混合运算进行组合运算。例：A △B ＝3A-2B.速算巧算：凑整法、提取公因数（式）、头同尾十、换元法等提取公因数：A ×B ＋A ×C ＋A ×D ＝A ×（B ＋C ＋D ）头同尾十：

() 37

44143472021

??+?=数列：等差、等比数列

等差数列求和公式：和＝（首项+末项）×项数÷2（适用于所有的等差数列）等差数列项数＝（末项－首项）÷公差+1等比数列：借来还去法、乘公比错位相减。横式数字谜、竖式数字谜与数阵图、幻方

数字谜：首位分析法、末位分析法、整除分析法、金三角、进位一次数字和减9

幻方：三阶幻方解题技巧：幻和＝条件数的总和÷3＝中心数×3

主线：如图：三阶幻方中有中心数参与的幻和（共四条主线，如左下图）

斜三角定律：在三阶幻方中，幻方顶点上的数应为两条对边中间数之和的平均数；（如右下图，A＝（B ＋C）÷2；B＝2A－C）；

计数：排列组合

加法原理和乘法原理：在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。

主要题目：1.常规应用题计数2.数论中的计数3.几何计数

常用公式：

例题

【1】（2012年迎春杯初赛五年级第1题）

算式101×2012×121÷1111÷503的计算结果是____________．【答案】44

【2】（2010年迎春杯初赛五年级第4题）

2009

2010200920092009个???的个位数字是____________．

【答案】1

【3】（2011年迎春杯初赛五年级第5题）

规定12010203=+=※.

..，232349=0+0+0=0※....，54567826=0+0+0+0=※.....，如果15165a =※.，那么a 等于．

【4】（2016年数学花园探秘初赛五年级第1题）算式()??

??-÷?-?1912121912121919的计算结果是．

【答案】228

【5】（2015年数学花园探秘初赛五年级第1题）算式()20141220

5930830

-??

-的计算结果是__________．

【6】（2009年迎春杯初赛五年级第9题）

571719

1155(

+)234345891091011

?+++????????…=

．

【解析】1155×﹝

4325??＋5437??＋……＋109817??＋1110919

??﹞

＝1155×﹝431?＋421?＋541?＋531?＋……＋11101?＋11

?﹞

＝1155×｛﹝431?＋541?＋651?＋……＋11101?﹞＋﹝421?＋531?＋……＋1191

?﹞｝

＝1155×｛﹝31－111﹞＋﹝21－101＋31－111﹞×21

｝

＝1155×｛338＋﹝52＋338﹞×2

｝

＝1155×

＝651

【7】（2010年迎春杯初赛五年级第5题）

一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2010项中有_________项是整数．

【8】（2016年数学花园探秘初赛五年级第4题）

有一个数列，第一项为12，第二项为19，从第三项起，如果它的前两项和是奇数，那么该项就等于前两项的和，如果它的前两项和是偶数，那么该项就等于前两项的差（较大数减较小数）．那么，这列数中第项第一次超过2016．

【9】（2015年数学花园探秘初赛五年级第7题）

将1至8填入方格中，使得数列□□，9，□□，□□，□□从第三项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是___________．

【10】（2013年数学花园探秘初赛五年级第2题）

如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是__________．

【答案】160

【11】（2015年数学花园探秘初赛五年级第3题）

在下图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立。那么，两个乘数的和是________．

【12】（2011年迎春杯初赛五年级第7题）

如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是．

455+229=684

【13】（2012年迎春杯初赛五年级第6题）

在下图中的竖式除法中，被除数为．

【14】（2012年迎春杯初赛五年级第11题）

在算式2011=???+H G F E ABCD ，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 代表1~8中不同的数字（不同的字母代表不同的数字），那么四位数ABCD =

．

【15】（2016年数学花园探秘初赛五年级第6题）

右图中，A 、B 、C 、D 、E 是正五边形各边的中点，那么，图中共有

个梯形．

【16】（2011年数学花园探秘初赛五年级第6题）

如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，并且恰好经过正方体每个顶点一次，那么蚂蚁一共有种不同的爬法．

【17】（2015年数学花园探秘网考题五年级第4题）

如图，3×3的表格中有16个小黑点．一个微型机器人从A点出发，沿格线运动，经过其它每个小黑点恰好一次，再回到A点，共有种不同的走法．

【18】（2009年迎春杯初赛五年级第5题）从1、2、3、4、5、6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有种不同的选取方法．

【19】（2014年数学花园探秘初赛五年级第7题）

如图，四个边长相同的正方形的中心分别是点A、B、C、D，且这四个点到O点的距离相等．同时还知道A、C间的连线与B、D之间的连线是垂直的，且所有正方形中都有与AC平行的边．现在四个正方形保持这样的垂直关系，以相同的速度向O点运动，直至A、B、C、D四个点同时与O点重合．那么整个过程中，由这四个正方形组成的图案中最多出现过______个正方形．

【答案】18，如右图

【20】（2016年数学花园探秘初赛五年级第8题）

甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有5种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订两份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有________种不同的订阅方式．

练习

【1】（2013年数学花园探秘初赛五年级第1题）

算式122333444455555666666777777788888888999999999+-+-+-+-的计算结果的各位数字之和是__________．【答案】45

【2】（2009年迎春杯初赛五年级第1题）

计算：82.54＋835.27－20.38÷2＋2×6.23－390.81－9×1.03=．

【3】（2010年迎春杯初赛五年级第1题）

计算：

1111

612193321722______.

2334

????

?-+?++-+-+=

????

．

【答案】30

【4】（2014年数学花园探秘初赛五年级第1题）

在下图算式的每个方框中填入“＋”或“—”，得到的所有不同的计算结果的总和是．

【5】（2016年数学花园探秘初赛五年级第3题）

如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是．

【6】（2008年迎春杯初赛五年级第11题）

在下图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立，则被除数应是．

【答案】38686（38686÷46=841）

【7】（2012年迎春杯初赛五年级第4题）

在下图中，共能数出个三角形．

【答案】40

【8】（2010年迎春杯初赛五年级第8题）

请从1、2、3、…、9、10中选出若干个数，使得1、2、3、…、19、20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和。那么，至少需要选出个数．

【9】（2010年迎春杯初赛五年级第10题）

九个大小相等的小正方形拼成了右图，现从A点走到B店，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法），那么从A点走到B点共有_____种不同的走法．

【答案】9

【10】（2012年迎春杯初赛五年级第12题）

有一个6×6的正方形，分成36个1×1的正方形．选出其中一些1×1的正方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出_______条对角线．

【答案】21

【11】（2008年迎春杯初赛五年级第13题）

国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有______条．

【答案】12

第二讲数论专题

知识梳理

整除的概念a ，b ，c 为整数，且

，如果a÷b=c ，即整数a 除以整数b ，得到的商是整数c 且没有

余数，那么称作a 能被b 整除，或者是说b 能整除a ，记作

；否则，称为a 不能被b 整除，或是

说b 不能整除n ．如果整数a 能够被整数b 整除，则a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的约数．整除的基本性质

如果

a ，

b 都能够被

c 整除，那么它们的和与差也能够被c 整除．即：如果，那么

如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a ．即：如果，那么

如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a ．即：如果

如果b ，c 都能够整除，且b 与c 互质，那么b 与c 的乘积能整除a ．即：

数的整除特征

能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；

能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；

能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差能够被7(或1、11、13)整除；

能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；

能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．

质数与合数

一个数除了l 和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数．

质因数与分解质因数（算术基本定理）

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．比如：把42分解质因数应该是42=2×3×7，其中2，3，7是42的质因数．又如：35423=?，其中2和3都是54的质因数．利用分解质因数求约数的个数

一般地，如果分解质因数有下列形式：其中

都是质因数，而

是

指数，即对应A 包含各个质因数的个数．

那么A 的所有约数的个数为比如：

，那么300的所有约

数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18个．那么A 的所有约数的和为：

12010101111222()()()

n b b b n n n a a a a a a a a a ++?++?++ 约数与倍数

约数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，就是在多个数之间去研究公约数和公倍数，经常地应用最大公约数与最小公倍数解题．下面我们就先回顾基本的概念：

公约数与最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如：12的约数有1，2，3，4，6，12．18的约数有l ，2，3，6，9，18那么它们的公约数有l ，2，3，6；其中最大公约数为6．公倍数与最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数．例如：15的倍数有：15，30，45，60，75，90，105，120，…．10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70，80。90，…．那么它们的公倍数有30，60，90，…是有无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为30．互质的概念

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数互质．显然的，两个不同的质数一定互质．辗转相除法求最大公约数最大公约数与最小公倍数性质分数的计算

()[],,,b d b d a c a c ??= ???；[]()

,,,b d b d a c a c ??=???约倍关系()[]

,,ab a b a b =

例题

【1】（2016年数学花园探秘初赛五年级第7题）

对于自然数N ，如果在1～9这九个自然数中至少有六个数可以整除N ，则称N 是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的六合数是．【答案】2016

【2】（2012年迎春杯初赛五年级第5题）一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101，如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD ，那么ABCD =_____________．【解析】1221

【3】（2010年迎春杯初赛五年级第7题）

已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即abcba deed ?）,那么这个五位回文数最大的可能值是________．

【解析】答案：59895考点：数的整除性

详解：由于abcba 45，则abcba abcba 9,5，那么a 最大为5，b =9，分析4559□95，□=8，五位数最大为59895．

【4】（2013年迎春杯初赛网考题五年级第7题）

某位同学的18位身份证号码是11010120000□2□1630，这个数正好被91整除，那么该同学出生在

月．

【解析】设1630201101012000b a ，91=7×13

根据三位截断法，奇位和a a +=++73110100630；偶位和b b 1051111020012+=++，两者相减，()()b a b a 1022010511731-+=+-+，若要被91整除，差应为91的倍数

18210220=-+b a ，则a =2，b =4，该同学出生在2月．

【5】（2008年迎春杯初赛五年级第6题）

一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是________．

【6】（2015年数学花园探秘初赛五年级第11题）

如果一个自然数的数字和与它3倍的数字和相同，却与它2倍的数字和不同，我们称这种数为“奇妙数”，那么，最小的“奇妙数”是．

【7】（2012年迎春杯初赛五年级第8题）今天是2011年12月17日，在这个日期中有4个1，2个2，1个0，1个7．用这8个数字组成若干个合数的和的最小值是________________．

【8】（2009年迎春杯初赛五年级第3题）

如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么它们的和是________．

【答案】23

【9】（2014年数学花园探秘初赛五年级第3题）

甲、乙、丙三个非零自然数满足：甲和乙的最大公约数有1个约数，乙和丙的最大公约数有2个约数，丙和甲的最大公约数有3个约数．那么，甲乙丙三个数之和最小是________．

【答案】19

甲和乙的最大公约数有1个约数，说明甲、乙互质；丙和甲的最大公约数有3个约数，是平方数，最小是4．假设甲丙为4和8，经试验不成立；甲为4，丙为12，此时乙可以是3，符合条件．4+3+12=19．

【10】（2015年数学花园探秘网考题五年级第5题）

在所有的正整数中，因数的和不超过30的共有________个．

【11】（2015年数学花园探秘初赛五年级第5题）

A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是________．

【12】（2016年数学花园探秘初赛五年级第5题）

四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数.那么，四位数成双双成有个因数．

【13】（2014年数学花园探秘初赛五年级第9题）

黑板上有1111个1，2222个2，3333个3和4444个4．小明每次都做这样的操作：擦掉三个不同的数，并且把没擦掉的那种数再写两个．已知最后剩下了4个数，那么这4个数的乘积是．

【14】（2009年迎春杯初赛五年级第10题）200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学

向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学

向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名．

【15】（2008年迎春杯初赛五年级第12题）

有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．则这18个数中最大的数是：．

【答案】9810

【16】（2013年迎春杯初赛五年级第10题）

有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它

的数字和得到的结果全是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方

数．如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是．

练习

【1】（2015年数学花园探秘网考题五年级第1题）

如果两个质数的差恰好是2，称这两个质数为一对孪生质数．例如：3和5是一对孪生质数，29和31也是一对孪生质数．在数论研究中，孪生质数是最热门的研究课题之一．华裔数学家张益唐在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就．他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究．在不超过100的整数中，一共可以找到__________对孪生质数．

【2】（2013年迎春杯网考题五年级第2题）

1、2、3、4、……、2013的最小公倍数末尾恰有个连续的0．

【答案】4

【3】（2013年迎春杯初赛五年级第3题）

把1~8这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数．如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有__________个不是整数．

【解析】中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，则两个顶点处的数字的奇偶性相同

上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，则上、下底面的四个数同为奇数或者偶数。

另外四个中点是上下两个数的平均数，是一奇一偶，所以都不是整数

另外四个中点处所写的数中，有四个不是整数

【4】（2008年迎春杯初赛五年级第8题）

在纸上写着一列自然数1、2、3、…、98、99．第一次操作是将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在这列数的最后面．例如第一次操作后得到4、5、6、…、98、99、6；而第二次操作后得到7、8、9、…、98、99、6、15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是．【答案】观察规律发现，最后一个数字即为1到99的和，即为4950

【5】（2011年迎春杯初赛五年级第14题）

把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数”：（1）从左往右数，第三位起，每一位的数字是它前面

两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字，例如：132、871、54132都是“幸运数”；但8918（数

字“8”重复）、990（数字“9”重复）都不是“幸运数”．那么最大“幸运数”从左往右的第二位数字是．

【答案】5（954132）

如果要求必须前面的数字减去后面的数字，则答案应为853210